Mục tiêu chính của luận án Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân là phát biểu và chỉ ra điều kiện tồn tại đa tạp quán tính (đa tạp quán tính chấp nhận được) cho một số lớp các phương trình vi phân: phương trình vi phân với trễ hữu hạn, phương trình vi phân trung tính, phương trình vi phân cấp hai theo thời gian, phương trình vi phân ngẫu nhiên. C
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH MINH ĐA TẠP QUÁN TÍNH VÀ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 62.46.01.03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 Cơng trình hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy PGS TS Đặng Đình Châu Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Hà Nội - 2019 MỞ ĐẦU Mục tiêu luận án "Đa tạp quán tính tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân" phát biểu điều kiện tồn đa tạp quán tính (đa tạp quán tính chấp nhận được) cho số lớp phương trình vi phân: phương trình vi phân với trễ hữu hạn, phương trình vi phân trung tính, phương trình vi phân cấp hai theo thời gian, phương trình vi phân ngẫu nhiên Cụ thể, luận án ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, gồm có 05 chương sau: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết kết bổ trợ sử dụng chương lại luận án: sơ lược phổ tốn tử khơng gian hàm Banach • Chương Đa tạp qn tính chấp nhận số lớp phương trình vi phân hàm với trễ hữu hạn Trong chương này, chúng tơi định nghĩa khái niệm đa tạp qn tính chấp nhận xét tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng du + Au = f (t, ut ), t > s, t, s ∈ R; us (·) = φ(·) ∈ Cβ dt (1) A tốn tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R × Cβ → X tốn tử phi tuyến ϕ - Lipschit • Chương Đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình đạo hàm riêng trung tính Trong chương này, xét tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính dạng d (F ut ) + A(F ut ) = f (t, ut ), t > s, dt (2) u = φ, s ∈ R, s A toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; F : Cβ → X tốn tử tuyến tính bị chặn gọi toán tử sai phân, f : R × Cβ → X tốn tử phi tuyến liên tục toán tử trễ ϕ - Lipschitz • Chương Đa tạp qn tính châp nhận phương trình vi phân cấp hai theo biến thời gian Trong chương này, xét tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình vi phân cấp hai theo biến thi gian, cú dng xă(t) + 2x(t) ˙ + Ax(t) = f (t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0, x(s) = xs,0 , s ∈ R, x(s) ˙ = xs,1 , (3) A toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R × Xβ → X tốn tử phi tuyến liên tục β 1/2 • Chương Đa tạp qn tính phương trình vi phân ngẫu nhiên không gian hàm chấp nhận Trong chương này, chúng tơi xét tồn đa tạp qn tính lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng gian hàm chấp nhận được, có dạng du ˙ + Au = f (t, u) + u ◦ W dt (4) ˙ A tốn tử thỏa mãn Giả thiết 1; f hàm ϕ - Lipschitz; u ◦ W phần nhiễu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược lý thuyết phổ toán tử Trong luận án sử dụng giả thiết sau: Giả thiết A tốn tử tự liên hợp, xác định dương có phổ rời rạc, < λ1 λ2 ., giá trị có bội hữu hạn lim λk = ∞ k→∞ Hơn nữa, {ek }∞ k=1 lập thành sở trực giao X bao gồm hàm riêng tương ứng A (tức là, Aek = λk ek ) Với N ∈ N∗ , ta xây dựng phép chiếu trực giao PN lên không gian span {ek : k = 1, 2, , N }, công thức N PN x = x, ek ek (1.1) k=1 Để đơn giản, từ ta viết P thay cho PN Lúc này, ta có đánh giá nhị phân sau e−tA P M eλN |t| với t ∈ R Aβ e−tA P λβN M eλN |t| , t ∈ R, e−tA (I − P ) β −tA A e (I − P ) M e−λN +1 t , t M β t 0, β + λβN +1 e−λN +1 t , t > (1.2) đây, M số Hơn nữa, ta xây dựng hàm Green e−(t−τ )A [I − P ] với t > τ, G(t, τ ) := −e−(t−τ )A P với t τ (1.3) Dễ thấy G(t, τ ) từ X vào Xβ Mặt khác, theo đánh giá nhị phân (1.2), với γ = K(t, τ )e−µ|t−τ | eγ(t−τ ) Aβ G(t, τ ) µ = λN + λN +1 ta có (1.4) λN +1 − λN K(t, τ ) = β t−τ β + λβN +1 λβ N 1.2 với t = τ, t > τ, t τ Không gian hàm Banach Để nghiên cứu tồn đa tạp quán tính chấp nhận được, Chương Chương ta giả sử EI không gian hàm chấp nhận EI khơng gian liên kết thỏa mãn Giả thiết (i) Khơng gian hàm Banach EI khơng gian liên kết EI không gian chấp nhận đưược (ii) Không gian hàm 1+β EIβ := {u ∈ EI | |u| 1−β ∈ EI } không gian hàm Banach chấp nhận với chuẩn u β := max u EI , |u| 1+β 1−β (iii) EI chứa hàm EI - bất biến ν - mũ, tức là: với hàm ϕ hν Θν hν (t) := e−ν|t−·| ϕ(·) EI 1−β 1+β EI 0, ν > cố định, hàm Θν (t) := e 1+β −ν 1−β |t−·| ϕ 1+β 1−β 1−β 1+β (·) EI , với t ∈ I, thuộc EI Bên cạnh đó, để nghiên cứu tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian, Chương ta giả sử EI không gian hàm chấp nhận EI khơng gian liên kết thỏa mãn Giả thiết (i) Khơng gian hàm Banach EI khơng gian liên kết EI không gian chấp nhận đưược (ii) Với ϕ ∈ EI ν > cố định, hàm hν cho hν (t) := e−ν|t−·| ϕ(·) EI t ∈ I thuộc vào EI Cuối cùng, để nghiên cứu tồn đa tạp quán tính cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên không gian hàm chấp nhận được, Chương 5, ta giả sử EI không gian hàm chấp nhận EI khơng gian liên kết thỏa mãn Giả thiết Khơng gian hàm Banach EI khơng gian liên kết EI không gian chấp nhận Kết luận chương Chương này, tổng hợp kiến thức lý thuyết phổ tốn tử, khơng gian hàm Banach đề xuất số giả thiết không gian hàm Banach sử dụng chương cụ thể luận án Chương ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TRỄ HỮU HẠN 2.1 Phát biểu tốn Cho X khơng gian Hilbert tách đó, A tốn tử thỏa mãn Giả thiết 1, r > 0, β < số, ta ký hiệu Cβ = C ([−r, 0]; Xβ )) (2.1) không gian hàm liên tục mạnh [−r, 0] nhận giá trị Xβ Khi đó, Cβ khơng gian Banach với chuẩn v Cβ = sup Aβ v(θ) , ∀v ∈ Cβ θ∈[−r,0] Trong chương này, nghiên cứu tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng du + Au = f (t, ut ), t > s, t, s ∈ R; us (·) = φ(·) ∈ Cβ dt (2.2) ; f : R × Cβ → X toán tử phi tuyến r > số trễ; ut hàm lịch sử xác định ut (θ) = u(t + θ) với −r θ Ta đặt EI = E(I, Cβ ) := h : I → Cβ | h đo mạnh h(·) Cβ ∈ EI Khi đó, EI không gian Banach với chuẩn h EI h(·) := Cβ EI không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận EI Hơn nữa, ta giả sử f hàm ϕ - Lipschitz Định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận ϕ hàm giá trị dương thuộc vào E Hàm f : R × Cβ → X gọi ϕ - Lipschitz f thỏa mãn (i) f (t, 0) ϕ(t) với mọil t ∈ R, (ii) f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ϕ(t) φ1 − φ2 Cβ với t ∈ R φ1 , φ2 ∈ Cβ Nhận thấy rằng, f (t, φ) ϕ - Lipschitz f (t, φ) ϕ(t)(1 + φ Cβ ) với φ ∈ Cβ t ∈ R Định nghĩa 2.2 Một hàm u(·) nghiệm đủ tốt phương trình (2.2) [s − r, T ] us (θ) = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] t u(t) = e−(t−s)A u(s) + e−(t−τ )A f (τ, uτ )dτ (2.3) s với t ∈ [s, T ] 2.2 Đa tạp quán tính chấp nhận Lúc này, Cβ , ta định nghĩa tốn tử chiếu Pˆ công thức (Pˆ φ)(θ) = e−θA P φ(0) với φ ∈ Cβ (2.4) Khi đó, ta định nghĩa khái niệm "đa tạp quán tính chấp nhận được" sau Định nghĩa 2.3 Một đa tạp quán tính chấp nhận lớp E phương trình (2.3) tập mặt Lipschitz M = (Mt )t∈R Cβ có dạng Mt = {ˆ p + Φt (ˆ p(0)) | pˆ ∈ Pˆ Cβ } ⊂ Cβ Φt : P X → (I − Pˆ )Cβ ánh xạ Lipschitz Hơn nữa, điều kiện sau thỏa mãn (i) Các số Lipschitz Φt khơng phụ thuộc t Nói cách khác, tồn số C không chứa t cho Φt (x1 ) − Φt (x2 ) Cβ C Aβ (x1 − x2 ) ∀ x1 , x2 ∈ Xβ ; t ∈ R (ii) Tồn γ > để với φ ∈ Mt0 có nghiệm u(·) phương trình (2.3) (−∞, t0 ] thỏa mãn ut0 = φ hàm t → e−γ(t0 −t) ut Cβ , t t0 thuộc E(−∞,t0 ] với t0 ∈ R (iii) M bất biến dương phương trình (2.3) Nghĩa là, u(t) nghiệm phương trình (2.3) thỏa us = φ ∈ Ms , với t s ta có ut ∈ Mt (iv) M hút tất nghiệm phương trình (2.3) với cấp độ mũ Tức là, với u(·) nghiệm tùy ý phương trình (2.3), với s ∈ R cố định đó, tồn số dương H nghiệm u∗t thuộc M cho ut − u∗t He−γ(t−s) với t Cβ s (2.5) Định lý sau kết chương này, tồn đa tạp quán tính chấp nhận phương trình (2.3) Định lý 2.1 Cho A thỏa mãn Giả thiết Hơn nữa, cho E, E ϕ ∈ E thỏa mãn Giả thiết Ký hiệu eµ hàm số eµ (t) = e−µ|t| với t ∈ R, đặt Λ1 ϕ ∞ := − e−µ N1 N2 e3rµ λ2β N eµ 1− m β +β 1−β 2β 1+β m β + eγr N1 β β + N1 λβN +1 + N2 λβN (2.6) 1+β Λ1 ϕ 1−β 1−β 1+β ∞ Giả sử f ϕ - Lipschitz max { m(·) β , } < (2.7) Giả thiết Cho X khơng gian Hilbert tách Tốn tử sai phân F : Cβ → X có dạng F = δ0 − Ψ với δ0 : Cβ → X hàm Delta Dirac tập trung (tức là, δ0 ϕ = ϕ(0)), Ψ : Cβ → Xβ tốn tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn Ψ < Định nghĩa 3.1 Một hàm u ∈ C([s − r, T ]; Xβ ) nghiệm đủ tốt (3.1) đoạn [s − r, T ] us = φ với giá trị ban đầu φ ∈ Cβ t F ut = e−(t−s)A F φ + e−(t−τ )A f (τ, uτ )dτ (3.2) s với t ∈ [s, T ] 3.2 Đa tạp quán tính chấp nhận Lúc này, Cβ , tương tự Chương 2, ta định nghĩa phép chiếu Pˆ (Pˆ φ)(θ) = e−θA P φ(0) với φ ∈ Cβ Khi đó, ta định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận cho (3.2) sau Định nghĩa 3.2 Một đa tạp quán tính chấp nhận lớp E (3.2) họ mặt Lipschitz M = (Mt )t∈R Cβ có dạng Mt = {ˆ p + Φt (ˆ p(0))|ˆ p ∈ Pˆ Cβ } ⊂ Cβ ˆ Cβ (Q ˆ = IdC − Pˆ ) điều kiện sau thỏa mãn Φt : P X → Q β (i) Hằng số Lipschitz Φt không phụ thuộc t, tức là, tồn số C không chứa t cho Φt (p1 ) − Φt (p2 ) Cβ C Aβ (p1 − p2 ) , ∀ p1 , p2 ∈ Xβ ; ∀t ∈ R (ii) Tồn γ > cho với φ ∈ Ms tồn tương ứng nghiệm u(t) (3.2) (−∞, s] cho us = φ hàm n(t) = e−γ(s−t) ut thuộc E(−∞,s] với s ∈ R 11 Cβ , t s (iii) M F - bất biến dương tác động (3.2), tức là, u(t) nghiệm (3.2), hàm u˜s định nghĩa u˜s (θ) = F us+θ ∀θ ∈ [−r, 0] u˜s ∈ Ms u˜t0 ∈ Mt0 với t0 (3.3) s Ở đây, u˜t0 hàm định nghĩa (3.3) s thay t0 (iv) M hút tất nghiệm của(3.2) với cấp độ F -mũ, tức là, với nghiệm u(·) (3.2) với s ∈ R cố định, tồn số dương H, nghiệm u∗ (·) cho u˜∗t ∈ Mt ut − u∗t Cβ He−γ(t−s) với t s (3.4) u˜∗t xác định (3.3) Định lý sau kết chương này, tồn đa tạp qn tính chấp nhận phương trình (3.2) Định lý 3.1 Cho A thỏa mãn Giả thiết 1; E, E ϕ ∈ E thỏa mãn Giả thiết Hơn nữa, cho F thỏa mãn Giả thiết f ϕ-Lipschitz cho max {||m||β , } < − Ψ (3.5) Khi đó, phương trình (3.2) có đa tạp qn tính chấp nhận lớp E Trong ||Λ1 ϕ||∞ = − e−µ N1 N2 e3rµ λ2β N ||eµ ||||m||β + eγr N1 β β + N1 λβN +1 + N2 λβN − ||m||β +β 1−β 2β 1+β 1+β Λ1 ϕ 1−β 1−β 1+β ∞ , eµ (t) = e−µ|t| , m(·) định nghĩa (2.8) 12 (3.6) 3.3 Đa tạp quán tính chấp nhận phương trình truyền nhiệt vật liệu nhớ có trễ Kết chương áp dụng cho toán t ∂ ∂2 u(t, x) = u(t, x) + (t − s)(t − s − 1)u(s, x)ds ∂t ∂x t−1 t t + [−2(t − s) + 1] u(s, x)ds + a(t) ln (1 + |u(s, x)|) ds, t−1 t−1 (3.7) u(0, t) = u(π, t) = 0, t s us (x, θ) = u(x, s + θ) = φ(x, θ), x ∈ [0, π], θ ∈ [−1, 0] a(t) xác định 1 n t ∈ n − n+c , n + n+c 2 a(t) = trường hợp lại với n = 1, 2, (3.8) Kết luận chương Qua chương này, xây dựng khái niệm đa tạp quán tính chấp nhận chứng minh tồn lớp phương trình vi phân trung tính sử dụng kết thu tồn đa tạp qn tính chấp nhận phương trình truyền nhiệt vật liệu có nhớ, trễ Các kết chương này, xem kết mở rộng chương Kết chương dựa vào báo [2] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 13 Chương ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA CẤP HAI THEO BIẾN THỜI GIAN 4.1 Phát biểu toán Trong chương này, tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian có dạng xă(t) + 2x(t) + Ax(t) = f (t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0, x(s) = xs,0 , s ∈ R, x(s) ˙ = xs,1 , (4.1) A tốn tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R × Xβ → X toán tử phi tuyến liên tục Xβ := D (Aβ ) với β 1/2 Đặt H = D (A1/2 ) × X Ta có H khơng gian Hilbert tách với tích vơ hướng (U, V ) = (Ax0 , y ) + (x1 , y ), U = (x0 , x1 ), V = (y , y ) ∈ H Lúc này, H tốn (4.1) viết lại dạng hệ cấp sau dU (t) + AU (t) = F(t, U (t)), dt U (s) = U , t > s, s với U (t) := (x(t), x(t)) ˙ 14 Us = (xs,0 , xs,1 ) (4.2) Trong đó, tốn tử tuyến tính A ánh xạ F định nghĩa công thức AU = (−x1 , Ax0 + 2εx1 ) với tập xác định D (A) = D (A) × D (A1/2 ), F(t, U (t)) = (0, f (t, x0 (t))) với U = (x0 , x1 ) Ta kiểm tra giá trị riêng vectơ riêng tốn tử A có dạng µ± N =ε± ε2 − λN , ± gN = (eN , −µ± N eN ) với N = 1, 2, · · · với λN eN giá trị riêng vectơ riêng toán tử A Hơn nữa, ta đặt EI = h : I → H | h đo mạnh h(·) ∈ EI Khi đó, EI không gian Banach với chuẩn h EI := h(·) EI không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận EI Giả sử tồn số tự nhiên N cho ε2 > λN +1 Ta phân tích H dạng tổng trực giao H = H1 ⊕ H2 với H1 = span{(ek , 0), (0, ek ) : k = 1, · · · , N }, H2 = span{(ek , 0), (0, ek ) : k N + 1} Trên H1 H2 , ta trang bị tích vơ hướng sau U, V = ε2 (x0 , y ) − (Ax0 , y ) + (εx0 + x1 , εy + y ), U, V = (Ax0 , y ) − (ε2 − 2µN +1 )(x0 , y ) + (εx0 + x1 , εy + y ) Trong đó, U = (x0 , x1 ) V = (y , y ) phần tử thuộc H1 H2 Khi đó, ta định nghĩa tích vơ hướng chuẩn H sau U, V = U1 , V1 + U2 , V2 , 15 |U | = U, U 1/2 với U = U1 + U2 V = V1 + V2 , Vi , Ui ∈ Hi , i = 1, Ta cố định N , xét không gian H1± := span{gk± : k N } Ta có H1 = H1+ ⊕ H1− ký hiệu PHi phép chiếu trực giao lên không gian Hi H , i = 1, Đặt P ≡ PH1− Q := I − P = PH1+ + PH2 Ta có đánh giá − eµN |t| , etA P t ∈ R, − e−tA (I − P ) e−µN +1 t , Hơn nữa, ta định nghĩa hàm Green sau e−(t−τ )A [I − P ] G(t, τ ) = −e−(t−τ )A P t > với t > τ, với t (4.3) τ Khi G(t, τ ) từ H vào H e−α|t−τ | eγ(t−τ ) |G(t, τ )| với t, τ ∈ R (4.4) − µ− N +1 − µN α := − µ− N +1 + µN γ := Nhận xét 4.1 Trong trường hợp không gian pha vô hạn chiều, thay cho (4.2), ta xét phương trình tích phân t U (t) = e −(t−s)A e−(t−ξ)A F(ξ, U (ξ))dξ U (s) + với hầu hết t s (4.5) s Lúc này, nghiệm phương trình (4.5) hiểu hàm U (·) đo mạnh xác định khoảng J đó, nhận giá trị H thỏa mãn (4.5) với t, s ∈ J Lưu ý rằng, nghiệm U phương trình (4.5) gọi nghiệm đủ tốt phương trình (4.2) Tiếp theo, ta định nghĩa tính chất ϕ-Lipschitz phần phi tuyến f sau 16 Định nghĩa 4.1 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận R ϕ hàm dương thuộc E Khi đó, hàm f : R × Xβ → X gọi ϕ-Lipschitz f thỏa mãn (i) f (t, x) ϕ(t) + Aβ x (ii) f (t, x1 )−f (t, x2 ) với hầu hết t ∈ R với x ∈ Xβ , ϕ(t) Aβ (x1 − x2 ) với hầu hết t ∈ R với x1 , x2 ∈ Xβ Theo cách xác định F, ta có Mệnh đề 4.1 Nếu f ϕ-Lipschitz, |F(t, U )| ϕ(t) + ψ(t)|U |, |F(t, U ) − F(t, V )| (4.6) ψ(t)|U − V |, (4.7) với β− −1 −1 ψ(t) = ϕ(t)λβN +1 δN,ε = ϕ(t)λN +12 δN,ε max 1, λN +1 ε2 − λN +1 Nhận xét 4.2 Để đơn giản, với t ∈ R ta đặt β− −1 κ(t) := max{ϕ(t), ψ(t)} = max ϕ(t), ϕ(t)λN +12 δN,ε max 1, λN +1 ε2 − λN +1 vậy, f ϕ-Lipschitz F κ-Lipschitz, hay |F(t, U )| |F(t, U ) − F(t, V )| 4.2 κ(t)(1 + |U |), κ(t)|U − V | Đa tạp quán tính chấp nhận Định nghĩa 4.2 Cho E không gian hàm chấp nhận E không gian Banach tương ứng với E Một đa tạp quán tính chấp nhận dược lớp E phương trình (4.5) họ mặt M = {Mt }t∈R X cho Mt đồ thị hàm Lipschitz Φt : P H → (I − P )H , 17 tức là, Mt = {U + Φt U : U ∈ P H } với t ∈ R (4.8) Hơn nữa, tính chất sau thỏa mãn (i) Các số Lipschitz Φt độc lập với t, nghĩa là, tồn số C không phụ thuộc t cho |Φt U1 − Φt U2 | với t ∈ R U1 , U2 ∈ P H C|U1 − U2 | (4.9) (ii) Tồn γ > cho với U0 ∈ Mt0 tồn nghiệm U (·) phương trình (4.5) (−∞, t0 ] thỏa mãn U (t0 ) = U0 hàm V (t) = e−γ(t0 −t) |U (t)|, t (4.10) t0 thuộc E(−∞,t0 ] với t0 ∈ R (iii) {Mt }t∈R bất biến dương tác động (4.5), tức là, nghiệm U (·) phương trình (4.5) thỏa mãn U (s) ∈ Ms , U (t) ∈ Mt với t s (iv) {Mt }t∈R hút mũ tất nghiệm phương trình (4.5), tức là, với U (·) nghiệm tùy ý (4.5), s ∈ R tùy ý cố định, tồn số dương H cho He−γ(t−s) distH (U (t), Mt ) với t s, (4.11) γ số (4.10), distH tựa khoảng cách Hausdorff sinh chuẩn H Nội dung chương kết tồn đa tạp quán tính chấp nhận phương trình (4.5) định lý sau: Định lý 4.1 Cho A thỏa mãn Giả thiết E, E thỏa mãn Giả thiết Giả sử f ϕ-Lipschitz Nếu k t0 u(t , x) = φ (x), ∂u (t , x) = φ (x), < x < π ∂t φ1 , φ2 hàm cho trước đó, a(t) xác định 1 n t ∈ n − n+c , n + n+c với n = 1, 2, 2 a(t) = trường hợp lại t0 (4.13) (4.14) Kết luận chương Qua chương này, định nghĩa chứng minh tồn đa tạp quán tính chấp nhận lớp phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian ứng dụng kết đạt tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trình truyền sóng tắt dần Kết chương dựa vào báo [3] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 19 Chương ĐA TẠP QN TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN TRÊN KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 5.1 Phát biểu toán Trong chương này, ta chứng minh tồn đa tạp quán tính phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu nhân tính theo nghĩa Stratonovich dạng du ˙ + Au = f (t, u) + u ◦ W dt (5.1) A tốn tử tuyến tính đóng, xác định tương, tự liên hợp (thường xem toán tử vi phân đạo hàm riêng) có phổ rời rạc; f hàm ϕ - Lipschitz ˙ phần nhiễu (như Định nghĩa 5.1); u ◦ W Hơn nữa, ta định nghĩa Định nghĩa 5.1 Cho β ∈ [0, 1/2) Giả sử E không gian hàm Banach R ϕ hàm giá trị dương thuộc vào E Hàm f : R × Xβ → X gọi ϕ - Lipschitz f thỏa mãn • f (t, x) ϕ(t)(1 + Aβ x ) với hầu hết t ∈ R với x ∈ Xβ ; • f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ϕ(t) Aβ (x1 − x2 ) với hầu hết t ∈ R với x1 , x2 ∈ Xθ Định nghĩa 5.2 Một họ ánh xạ {θt }t∈R không gian xác suất (Ω, F, P) gọi hệ động lực metric điều kiện sau thỏa mãn 20 (i) θ0 = IdΩ , θt+s = θt ◦ θs với t, s ∈ R; (ii) Ánh xạ (t, ω) → θt ω (B ⊗ F; F) - đo được; (iii) P bất biến theo θt với t ∈ R; Trong chương này, ta xét hệ động lực metric sinh từ trình Wiener Cụ thể, giả sử Wt trình Wiener R, có quỹ đạo thuộc khơng gian C0 (R, R) gồm hàm thực liên tục, xác định R, triệt tiêu t = 0; F mộ σ - đại số Borel liên kết với trình Wiener; P độ đo Wiener Ω; với t ∈ R ánh xạ θt : (Ω, F, P) → (Ω, F, P) xác định θt ω(·) = ω(· + t) − ω(t) (5.2) Hơn nữa, ta xét tập Ω ⊂ C0 (R, R), bất biến {θt }t∈R , nghĩa là, θt Ω = Ω với t ∈ R 5.2 Đa tạp quán tính Giả sử z(·) nghiệm dừng phương trình (5.3) dz + zdt = dWt Khi đó, đặt v(t) = e−z(θt ω) u(t) phương trình (5.1) trở thành dv + Av = z(θt ω)v + e−z(θt ω) f (t, ez(θt ω) v) dt (5.4) Tiếp theo, ta gọi nghiệm đủ tốt phương trình (5.4) đoạn J hàm đo mạnh v(·) xác định J nhận giá trị Xθ thỏa mãn phương trình tích phân t t −(t−s)A+ z(θr ω)dr v(t) = e s τ −(τ −s)A+ z(θr ω)dr−z(θτ ω) v(s) + e s f τ, ez(θτ ω) v(τ ) dτ (5.5) s với hầu hết t ≥ s, t, s ∈ J ω ∈ Ω Định nghĩa 5.3 Đa tạp quán tính ngẫu nhiên cho nghiệm đủ tốt phương trình (5.4) họ mặt Lipschitz {M (ω)}ω∈Ω X cho 21 (i) với ω ∈ Ω, M (ω) biểu diễn dạng đồ thị ánh xạ Lipschitz m(ω) : P X → QXβ , tức là, M (ω) = {x + m(ω)x | x ∈ P X}; (ii) tồn số γ > cho với x0 ∈ M (ω) có nghiệm v(·) phương trình (5.5) (−∞, 0] cho v(0) = x0 t sup e γt− z(θr ω)dr Aβ v(t) < ∞; (5.6) t (iii) M (ω) bất biến dương tác động của(5.5), tức là, nghiệm v(t), t phương trình (5.5) thỏa mãn v(0) ∈ M (ω), v(t) ∈ M (θt ω) với t > 0; (iv) M (ω) hút mũ tất nghiệm phương trình (5.5), tức là, với nghiệm tùy ý v(·) phương trình (5.5) tồn nghiệm v ∗ (·) phương trình (5.5) cho v ∗ (t) ∈ M (ω) với t ≥ số H(ω) để Aβ (v ∗ (t) − v(t)) H(ω)e−γt với t > Ta đặt ϕ(s) t−1 (t − s) R(ϕ, β) := sup t∈R 1+β 2β t 1+β ds < ∞ (5.7) k= M β β N1 + λβN +1 N1 + λβN N2 − e−α M (N1 + N2 ) Λ1 ϕ − e−α ∞ 1−β Λ1 ϕ ∞ + M β β R(ϕ, β) (1 + β)α < β < 1−β 1+β (5.8) β = Nội dung chương kết tồn đa tạp quán tính chấp nhận phương trình (5.4) định lý sau: Định lý 5.1 Cho A thỏa mãn Giả thiết E, E thỏa mãn Giả thiết Hơn nữa, f : R × Xβ → X ϕ-Lipschitz với ϕ ∈ E cho (5.7) thỏa mãn Giả sử k < M kλ2θ N N2 Λ1 ϕ (1 − k)(1 − e−α ) ∞ +k 0, < x < π = + ru(t, x) − b(t)u3 (t, x) + u(t, x) ◦ W ∂t ∂x u(t, 0) = u(t, π) = 0, t ∈ R u(0, x) = φ(x) < x < π (5.10) Kết luận chương Qua chương này, định nghĩa chứng minh tồn đa tạp quán tính lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng gian hàm chấp nhận được, kết áp dụng cho lớp phương trình Chafee - Infante khơng ôtônôm Kết chương dựa vào báo [4] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Luận án "Đa tạp quán tính tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân" nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân thơng qua việc xét tồn đa tạp quán tính cho số dạng phương trình vi phân Cụ thể, luận án đã: Chứng minh tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trinh vi phân có trễ hữu hạn; chứng minh tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trinh vi phân trung tính; chứng minh tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian; chứng minh tồn đa tạp quán tính cho lớp phương trinh vi phân ngẫu nhiên không gian hàm chấp nhận Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận án, số vấn đề sau tiếp tục nghiên cứu: tồn đa tạp qn tính chấp nhận phương trình vi phân cấp hai, hệ phương trình vi phân, chẳng hạn, hệ nhiệt đàn hồi phụ thuộc thời gian, ; tồn đa tạp quán tính số dạng phương trình vi phân hàm với trễ vơ hạn; tồn đa tạp qn tính phương trình vi phân cấp phân thứ; tồn đa tạp qn tính chấp nhận phương trình vi phân mơ tả chuyển động dịng chất lỏng khơng tuân theo định luật Newton 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Thieu Huy Nguyen, Anh Minh Le (2018), “Admissible Inertial Manifolds for Delay Equations and Applications to Fisher-Kolmogorov Model”, Acta Applicandae Mathematicae 156 (1), 15-31 (SCI) Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen; Anh Minh Le (submitted), “Admissible Inertial Manifolds for Neutral Equations and Applications to Heat Transfer in Materials with Memory” Le Anh Minh (2019), “Admissible inertial manifolds for second order in time evolution equations”, Khayyam Journal of Mathematics, (accepted) (SCOPUS) Do Van Loi, Le Anh Minh (2019), “Non-autonomous stochastic evolution equations, inertial manifolds and Chafee - Infante models”, Hong Duc University Journal of Science (ISSN : 1859 - 2759), 10, 83 - 98 Le Anh Minh, Nguyen Thieu Huy, Dang Dinh Chau (2018), “Asymptotic behavior of solutions of differential equations: Asymptotic equilibrium and admissible inertial manifold”, Báo cáo khoa học Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX Le Anh Minh (2017), “Inertial manifolds and the asymptotic behavior of differential equations”, Báo cáo khoa học Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ II 25 ... điều kiện tồn đa tạp quán tính (đa tạp quán tính chấp nhận được) cho số lớp phương trình vi phân: phương trình vi phân với trễ hữu hạn, phương trình vi phân trung tính, phương trình vi phân cấp hai... cơng trình khoa học liên quan đến luận án 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Luận án "Đa tạp quán tính tính chất định tính nghiệm phương trình vi phân" nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương. .. nghiệm phương trình vi phân thơng qua vi? ??c xét tồn đa tạp quán tính cho số dạng phương trình vi phân Cụ thể, luận án đã: Chứng minh tồn đa tạp quán tính chấp nhận cho lớp phương trinh vi phân có trễ