Một số bài toán về tính bền vững của hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC THUẬN MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH BỀN VỮNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2012 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Luận án bảo vệ trước hội đồng chấm luận án Tiến sĩ cấp nhà nước họp …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………… Vào hồi ……… giờ…… ngày……… tháng……… năm……… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà nội LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Các ket qua, so li¾u lu¾n án trung thnc chưa tùng đưoc cơng bo bat cú cơng trình Tác gia lu¾n án Đő ĐÉc Thu¾n iii LèI CAM ƠN Dìu dat đưịng tốn HQ c, ln tao nhung thu thách giúp tơi tn HQc hoi, tìm tịi sáng tao, nhung tơi may man đưoc tiep nh¾n tù ngưịi thay đáng kính cna mình, GS TSKH Nguyen Khoa Sơn Thay Sơn khơng nhung hưóng dan t¾n tình mà cịn truyen cho tơi nhieu kinh nghi¾m quý báu nghiên cúu khoa HQ c cu®c song Tơi xin gui đen Thay lịng biet ơn sâu sac nhat Tơi bày to lòng biet ơn đen GS TS Nguyen Huu Dư Thay có nhung chi dan q báu chun mơn nghiên cúu khoa HQc Đưoc làm vi¾c vói Thay giúp tơi mo r®ng von kien thúc cna thu đưoc m®t so ket qua đóng góp vào lu¾n án Tơi xin gui tói GS TSKH Pham Kỳ Anh, PGS TS Vũ Hoàng Linh Thay Cơ giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin trưịng Đai HQ c Khoa HQ c HQ c Tn nhiên - ĐHQGHN lòng biet ơn sâu sac, nhung ngưòi day chi bao t¾n tình tơi, giúp đõ rat nhieu đe tơi đen đưoc đưịng tốn HQ c bây giị Tơi xin chân thành cam n cỏc Thay Cụ Hđi ong phan biắn v Thay Cơ Vi¾n Tốn HQ c, nhung ngưịi nh¾n xét, góp ý q giá đe lu¾n án đưoc tot ĐQ c cho nhung Tôi xin gui lịi cam ơn tói PGS TS Nguyen Th% Bach Kim, Thay Cơ giáo Khoa Tốn - Tin úng dung trưịng Đai HQc Bách Khoa Hà N®i, nhung ngũi luụn nng hđ nhiắt tỡnh, tao ieu kiắn thu¾n loi san sàng giúp đõ tơi thịi gian Lu¾n án đưoc hồn thành dưói sn đ®ng viên, chia se, giúp đõ lón lao cna Bo, Me, ngưịi thân ban bè Tơi xin gui lịi cam ơn dành quà cho tat ca! Hà N®i, ngày 24 tháng năm 2011 Tác gia Mnc lnc Danh mnc ký hi¾u chE viet tatvi Lài nói đau1 KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Tốn tu đa tr% tuyen tính 14 1.2 Tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính huu han chieu.21 1.3 Tính đieu khien oc cna hắ cú rng buđc ieu khien 23 1.4 Sn n %nh m cna hắ đng lnc trờn thang thịi gian .26 14 Hfi CĨ RÀNG BU®C VéI MIEN THAM SO ĐIEU KHIEN B± NHIEU 29 2.1 Khoang cách giua nón .30 2.2 Bán kính đieu khien đưoc .36 2.3 Ví du 47 Hfi ĐIEU KHIEN TUYEN TÍNH CH±U NHIEU CAU TRÚC 50 3.1 Bán kính đieu khien đưoc dưói nhieu cau trúc 51 3.2 Bán kính đieu khien đưoc dưói đa nhieu cau trúc .60 3.3 Ví du 64 3.4 Thu¾t tốn tính tốn 71 BÁN KÍNH TỒN ÁNH VÀ CÁC ÚNG DUNG CUA NÓ 75 4.1 Bán kính tồn ánh 76 4.2 Bán kính őn đ%nh hóa đưoc 83 4.3 Bán kính őn đ%nh cna hắ đng lnc an trờn thang thũi gian88 4.4 Cỏc bán kính đieu khien đưoc cna h¾ descriptor 95 Ket lu¾n115 Danh mnc cơng trình khoa HQC CUA tác gia liên quan đen lu¾n án118 TÀI LIfiU THAM KHAO 120 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU VÀ CHU VIET TAT K Trũng C hoắc R Knìm Tắp tat ca cỏc ma trắn cap n ì m K gr F Đo th% cna F ker F Không gian nhân cna F Im F Không gian anh cna F dom F Mien xác đ%nh cna F σ(A) T¾p phő cna A σ [A] Giá tr% d%giá nhotr%nhat cnacna A σˆ(A) T¾pkì kì d% Amin A∗ Liên hop cna A A† Ngh%ch đao Moore-Penrose cna A M ⊥ Phan bù trnc giao cna t¾p M P, Q Các nón P^, Q^ Các phép chieu T Thang thòi gian f S ∆ Delta đao hàm cna f Mien őn đ%nh mũ đeu cna thang thòi gian Me ĐAU Trong thnc tien, có nhieu van đe cna ky thu¾t, HQ c, HQ c, v¾t lý, sinh kinh te đưoc mơ ta boi cỏc hắ đng lnc Hắ đng lnc có thêm bien đieu khien se đưoc h¾ đieu khien Lý GQI thuyet đieu khien đưoc phát trien tù khoang 150 năm trưóc đieu khien HQ c can có the đưoc mơ ta m®t cách tốn HQ c Các tính chat đ%nh tính cna h¾ đieu khien đưoc quan tâm nhieu nhat tính đieu khien đưoc, tính őn đ%nh tính n %nh húa oc Núi mđt cỏch n gian, hắ đưoc GQI đieu khien đưoc neu ton tai m®t ieu khien e chuyen hắ tự mđt trang thỏi ban đau cho trưóc sang m®t trang thái mong muon cuoi H¾ đưoc MQI GQI őn đ%nh ti¾m c¾n neu quy đao cna chuyen dan ve trang thái dùng thịi gian tien vơ h¾ đưoc GQI őn đ%nh hóa đưoc neu ton tai m®t đieu khien ngưoc (đieu khien phu thu®c vào bien trang thỏi) e bien nú thnh mđt hắ n %nh ti¾m c¾n Hi¾n nay, van đe đưoc quan tâm l tớnh chat cna cỏc hắ đng lnc ch%u anh hưong cna nhieu Phan lón tính chat "tot" cna cỏc hắ đng lnc cng nh cỏc oi tong tốn HQ c nói chung đeu bao tồn tham so cau trúc cna h¾ ho¾c đoi tưong ch%u nhieu bé Ví du: tính đieu khien đưoc cna m®t h¾ đieu khien tuyen tính lý thuyet đieu khien; tính őn đ%nh ti¾m c¾n cna nghi¾m phương trình vi phõn; tớnh chinh (well-posedness) cna mđt hắ phng trỡnh tuyen tớnh, tớnh hđi tu cna mđt thuắt tốn giai tích so; tính kha ngh%ch 10 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems with perturbed control sets", Vietnam J Math., 36(2), pp 239-251 Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan (2008), "Controllability ra- dius of linear systems under structured perturbations", Vietnam J Math., 36(4), pp 473-479 Nguyen Khoa Son, Do Duc Thuan (2010), "Structured distance to uncontrollability under multi-perturbations: an approach using multi-valued linear operators", Systems & Control Letters, 59, pp 476-483 (SCI) Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan (2010), "The structured con- trollability radii of higher order descriptor systems", Vietnam J Math., 38(3), pp 373-380 Nguyen Khoa Son, Do Duc Thuan (2011), "On the radius of sur- jectivity for rectangular matrices and its applications to measuring stabilizability of linear systems under structured perturbations", J Nonlinear and Convex Anal., 12(3), pp 441-453 (SCIE) Nguyen Khoa Son, Do Duc Thuan (2012), "The structured distance to non-surjectivity and its applications to calculating the controlla- bility radius of descriptor systems", J Math Anal Appl., 388, pp 272-281 (SCI) Nguyen Huu Du, Do Duc Thuan and Nguyen Chi Liem (2011), "Sta- bility radius of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales", Systems & Control Letters, 60, pp 596-603 (SCI) TÀI LIfiU THAM KHAO Tieng Vi¾t [1] Pham Huu Anh NGQc (2000), M®t so tốn ve tính őn đ%nh vung cua cỏc hắ đng lnc, Luắn ỏn tien s, Viắn Toỏn HQc [2] Vũ NGQc Phát (2001), Nh¾p mơn lý thuyet đieu khien tốn HQc, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [3] Dương Đ¾ng Xn Thành (2009), Tính őn đ%nh ben vung cua mđt so tớnh chat hắ đng lnc tuyen tính, Lu¾n án tien sĩ, Đai HQc Quoc Gia Thành Pho Ho Chí Minh Tieng Anh [4]P.K Anh, D.S Hoang (2006), "Stability of class of singular difference equations", Int J Difference Eq., 1(2), pp 181-193 [5]B.T Anh, D.C Khanh and D.D.X Thanh (2009), "Eising-like formulae for structured controllability radii", Systems & Control Letters, submitted [6]B.T Anh, N.K Son, D.D.X Thanh (2008), "Stability radii of delay difference systems under affine parameter perturbations in infinite dimensional spaces", Appl Math Comp., 202, pp 562-570 [7]B.T Anh, N.K Son, D.D.X Thanh (2009), "Stability radii of positive linear time-delay systems under fractional perturbations", Systems & Control Letters, 58, pp 155-159 [8]B.T Anh, N.K Son (2010), "Robust stability of positive linear systems in Banach spaces", J Difference Eq Appl., 16, pp 1447-1461 [9]A Berman and R.J Plemmons (1979), Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences, Acad Press, New York [10]M Bohner and A Peterson (2001), Dynamic equations on time scales: An Introduction with Applications, Birkhăauser, Boston [11]M Bohner and A Peterson (2003), Advances in dynamic equations on time scales, Birkhăauser, Boston [12]S Boyd and V Balakrishnan (1990), "A regularity result for the singular values of a transfer matrix and a quadratically convergence algorithm for computing its L∞-norm", Systems & Control Letters, 15, pp 1-7 [13]M Bracke (2000), On stability radii of parametrized linear differential-algebraic systems, Ph.D thesis, University of Kaiserslautern [14]R Brammer (1972), "Controllability of linear autonomous systems with positive controllers", SIAM J Control Optim., 10, pp 339353 [15]A Bunse-Gerstner, R Byers, V Mehrmann, and N.K Nichols (1999), "Feedback design for regularizing descriptor systems", Linear Algebra and its Applications, 299, pp 119-151 [16]J.V Burke, A.S Lewis and M.L Overton (2004), "Pseudospectral components and the distance to uncontrollability", SIAM J Matrix Anal Appl., 26, pp 350-361 [17]R Byers (1994), "The descriptor controllability radius", in: U Helmke, R Mennicken, J Saurer (Eds.), Proceedings of the Conference on the Mathematical Theory of Networks and Systems, MTNS’93, Akademie Verlag, Berlin, pp 85-88 [18]S Clark, Y Latushkin, S Montgomery-Smith, and T Randolph (2000), "Stability radius and internal versus external stability in Banach spaces: An evolution semigroup approach", SIAM J Control Optim., 38, pp 1757-1793 [19]R Cross (1998), Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker, New York [20]J.J DaCunha (2005), "Stability for time varying linear dynamic systems on time scales", J Comput Appl Math., 176(2), pp 381410 [21]L Dai (1989), Singular Control Systems, Springer, Berlin- Heidelberg [22]R.A DeCarlo and M Wicks (1991), "Computing the distance to an uncontrollable system", IEEE Trans Automat Control, 36(1), pp 39-49 [23]T.S Doan, A Kalauch and S Siegmund (2009), "Exponential Stability of Linear-Time Invariant Systems on Time Scales", Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 9, pp 37-50 [24]T.S Doan, A Kalauch, S Siegmund and F Wirth (2010), "Stability radii for positive linear time-invariant systems on time scales", Systems & Control Letters, 59, pp 173-179 [25]N.H Du (1999), "Stability radii for differential-algebraic equations", Vietnam J Math., 27, pp 379-382 [26]N.H Du, V.H Linh (2005), "Implicit-system approach to the robust stability for a class of singularly perturbed linear systems", Systems & Control Letters, 54, pp 33-41 [27]N.H Du, V.H Linh (2006), "Stability radii for linear time-invarying differential-equations with respect to dynamic perturbations", J Differential Equations, 230, pp 579-599 [28]N.H Du (2008), "Stability radii of differential-algebraic equations with structured perturbations", Systems & Control Letters, 57, pp 546-553 [29]N.H Du, D.D Thuan and N.C Liem (2011), "Stability radius of im- plicit dynamic equations with constant coefficients on time scales", Systems & Control Letters, 60, pp 596-603 [30]C Eckart, G Young (1936), "The approximation of one matrix by another of lower rank", Psychometrika, 1, pp 211-218 [31]R Eising (1984), "Between controllable and uncontrollable", Sys- tems & Control Letters, 5, pp 263-264 [32]A Fischer (1997), "Stability radii of infinite-dimensional positive systems", Math Control Signals Sys., 10, pp 223-236 [33]A Fischer, D Hinrichsen and N.K Son (1998), "Stability radii of Metzler operators", Vietnam J Math., 26, pp 147-163 of C[34]A andJ.application to Neerven stability (1998), of delay equations", 0-semigroups Fisher and M A.Analysis M van "Robust Journal of Mathematical and Applications, 226, pp.stability 82100 [35]P Gahinet, A.J Laub (1992), "Algebraic Riccati equations and the distance to the nearest uncontrollable pair", SIAM J Control Optim., 4, pp 765-786 [36]M Gao, M Neumann (1993), "A global minimum search algorithm for estimating the distance to uncontrollability", Linear Algebra and its Applications, 188-189, pp 305-350 [37]M Gu (2000), "New methods for estimating the distance to uncontrollability", SIAM J Matrix Anal Appl., 21, pp 989-1003 [38]M Gu, E Mengi et al (2006), "Fast methods for estimating the distance to uncontrollability", SIAM J Matrix Anal Appl., 28, pp 447-502 [39]M.L.J Hautus (1969), "Controllability and observability conditions of linear autonomous systems", Nederl Acad Wetensch Proc Ser A, 72, pp 443-448 [40]N.T Ha, B Rejanadit, N.V Sanh and N.H Du (2009), "Stability radii for implicit difference equations", Asia-Europian J of Mathematics, 2(1) [41]C He (1995), "Estimating the distance to uncontrollability: A fast method and a slow one", Systems & Control Letters, 26, pp 275-281 [42]C He, G.A Watson (1999), "An algorithm for computing the distance to instability", SIAM J Matrix Anal Appl., 20(1), pp 101116 [43]S Hilger (1990), "Analysis on measure chains - a unified approach to continuous and discrete calculus", Results Math., 18, pp 18-56 [44]S Hilger (1988), Ein Makettenkalkuăl mit Anwendung auf Zen- trumsmannigfaltigkeiten, Ph.D thesis, Universităat Wuărzburg [45]D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters, 7, pp 1-10 [46]D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), "Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation", Systems & Control Letters, 8, pp 105-113 [47]D Hinrichsen, A.J Pritchard (1990), "Real and Complex stability radii: A survey", In: D Hinrichsen, B Martensson eds Control of Uncertain systems, Progress in System and Control Theory, Basel, Birkhăauser, pp 119-162 [48]D Hinrichsen, A.J Pritchard (1994), "Robust stability of linear evolution operators on Banach spaces", SIAM J Control Optim., 32(6), pp 1503-1541 [49]D Hinrichsen, B Kelb, and A Linnemann (1989), "An algorithm for the computation of the structured complex stability radius", Automatica, 25, pp 771-775 [50]D Hinrichsen, A Ilchmann, A.J Pritchard (1989), "Robustness of stability of time-varying linear systems", J Differential Equations, 82, pp 219-250 [51]D Hinrichsen, N.K Son (1989), "The complex stability radius of discrete-time systems and symplectic pencils", Proceedings of the 28th IEEE Conference on Decision and Control, 1-3, pp 2265-2270 [52]D Hinrichsen, N.K Son (1991), "Stability radii of linear discretetime systems and symplectic pencils", Int J Robust Nonlinear Control, 1, pp 79-97 [53]D Hinrichsen, N.K Son (1998), "Stability radii of positive discretetime systems under affine parameter perturbations", Int J Robust Nonlinear Control, 8, pp 1969-1988 [54]D Hinrichsen, N.K Son (1998), " µ-analysis and robust stability of positive linear systems", Appl Math and Comp Sci., 8(2), pp 253-268 [55]D Hinrichsen, N.K Son and P.H.A Ngoc (2003), "Stability radii of higher order positive difference systems", Systems & Control Letters, 49, pp 377-388 [56]R Horn and C Johnson (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, London [57]G Hu and E.J Davison (2004), "Real controllability/stabilizability radius of LTI systems", IEEE Trans Automat Control, 49(2), pp 254.257 [58]B Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time-varying systems", J Differential Equations, 142, pp 167-187 [59]R.E Kalman (1960),"Contributions to the theory of optimal control", Bul Soc Math Mexicana, 5, pp 102-119 [60]M Karow, D Kressner (2009), "On the structured distance to uncontrollability", Systems & Control Letters, 58, pp 128-132 [61]T Kato (1976), Perturbation Theory for Linear Operator, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [62]D.C Khanh, D.D.X Thanh (2006), "Controllability radii and stabilizability radii of time-invariant linear systems", Vietnam J Math., 34, pp 495-499 [63]V I Korobov et al (1975), "Controllability of linear autonomous systems with restraints on control", Differenfsiafnye Urauneniya, 11, pp 1967-1979 [64]M.G Krein and M.A Rutman (1948), "Linear operators leaving invariant a cone in Banach space", Uspekhi Mat Nauk, 3, pp 3-95 [65]E.B Lee, L Markus (1967), Foundations of Optimal Control Theory, John Willey, New York [66]A Lewis, R Henrion, A Seerger (2006), "Distance to uncontrollability for convex processes", SIAM J Control Optim., 45, pp 2650 [67]C.F Van Loan (1976), "Generalizing the singular value decomposition", SIAM J Numer Anal., 13, pp 76-83 [68]C.F Van Loan (1985), "How near is a stable matrix to an unstable matrix", In Contemporary Mathematics, Linear Algebra and Systems Theory, American Mathematical Society, 47, pp 465-478 [69]P Losse and V Mehrmann (2008), "Controllability and observability of second order descriptor systems", SIAM J Control Optim., 47, pp 1351-1379 [70]V Mehrmann, R Nabben and E Virnik (2008), "Generalisation of the Perron-Frobenius theory to matrix pencils", Linear Algebra and its Applications, 428, pp 20-38 [71]E Mengi (2006), "On the estimation of the distance to uncontrollability for higher order systems", SIAM J Matrix Anal Appl., 30, pp 154-172 [72]P.H.A Ngoc, N.K Son (2004), "Stability radii of linear systems under multi-perturbations", Numer Funct Anal Optim., 25(3-4), pp 221-238 [73]P.H.A Ngoc, B.S Lee and N.K Son (2004), "Perron Frobenius theorem for positive polynomial matrices", Vietnam J Math., 32, pp 475-481 [74]P.H.A Ngoc, N.K Son (2005), "Stability radii of positive linear functional differential equations under multi-perturbations", SIAM J Control Optim., 43, pp 2278-2295 [75]P.H.A Ngoc (2007), "Stability radii of positive linear VolterraStieltjes equations", J Differential Equations, 243(1), pp 101-122 [76]P.H.A Ngoc, T Naito, J.S Shin, S Murakami (2008), "On stability and robust stability of positive linear Volterra equations", SIAM J Control Optim., 47(2), pp 975-996 [77]C.C Paige (1981), "Properties of numerical algorithms relating to controllability", IEEE Trans Automat Control, AC-26, pp 130138 [78]J Pena (2005), "On the block-structured distance to nonsurjectivity of sublinear mappings", Math Programming Ser A, 103, pp 561-573 [79]V.N Phat, P.T Nam (2007), "Exponential stability and stabilization of uncertain linear time-varying systems using parameter dependent Lyapunov function", Int J Control, 80(8), pp 1333-1341 [80]C Păotzsche, S Siegmund and F Wirth (2003), "A spectral characterization of exponential stability for linear time-invariant systems on time scales", Discrete and Continuous Dynamical System, 9(5), pp 1123-1241 [81]A.J Pritchard, S Townley (1989), "Robustness of linear systems", J Differential Equations, 77(2), pp 254-286 [82]L Qiu, B Bernhardsson, A Rantzer, E.J Davison, P.M Young and J.C Doyle (1995), "A formula for computation of the real stability radius", Automatica, 31, pp 879-890 [83]J Renegar (1994), "Some perturbation theory for linear programming", Math Programming, 65, pp 73-91 [84]B Shafai, J Chen and M Kothandaraman (1997), "Explicit formulas for stability radii of nonnegative and Metzlerian matrices", IEEE Trans Automat Control, 42, pp 265-270 [85]N.K Son, P.H.A Ngoc (1999), "Robust stability of positive linear time delay systems under affine parameter perturbations", Acta Math Vietnam., 24, pp 353-372 [86]N.K Son, P.H.A Ngoc (2001), "Robust stability of linear functional differential equations", Adv Studies in Contemporary Math., 3, pp 43-59 [87]N.K Son (1980), "Local controllability of linear systems with restrained controls in Banach space", Acta Math Vietnam., 5, pp 7887 [88]N.K Son and D.D Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems with perturbed control sets", Vietnam J Math., 36(2), pp 239-251 [89]N.K Son and D.D Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems under structured perturbations", Vietnam J Math., 36(4), pp 473-479 [90]N.K Son, D.D Thuan (2010), "Structured distance to uncontrollability under multi-perturbations: an approach using multi-valued linear operators", Systems & Control Letters, 59, pp 476-483 [91]N.K Son and D.D Thuan (2010), "The structured controllability radii of higher order descriptor systems", Vietnam J Math., 38(3), pp 373-380 [92]N.K Son, D.D Thuan (2011), "On the radius of surjectivity for rectangular matrices and its applications to measuring stabilizability of linear systems under structured perturbations", J Nonlinear and Convex Anal., 12, no 3, pp 441-453 [93]N.K Son, D.D Thuan (2012), "The structured distance to nonsurjectivity and its applications to calculating the controllability radius of descriptor systems", J Math Anal Appl., 388, pp 272281 [94]D.D.X Thanh, D.N Vu (2008), "An algorithm for computing a gen- eralized problem of controllability radii", Proceedings of the IEEE Inter Conference on Research Innovation and Vision for the Future in Computing and Communication Technology, ISBN 1-42442379-8, IEEE Xplore, pp 17-22 [95]H Tuy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Acad Publ., Amsterdam [96]F Wirth, D Hinrichsen (1994), "On stability radii of infinitedimensional time-varying descrete-time systems", IMA J Math Control Inform., 11, pp 253-276 [97]F Wirth (1998), "On the calculation of real time-varying stability radii", Int J Robust Nonlinear Control, 8, pp 1043-1058 [98]Z Yun, Y Chengwu (1993), "Formulae for the distance between controllable and uncontrollable linear systems", Systems & Control Letters, 21, pp 173-180 [99]E.L Yip, R.F Sincovec (1981), "Solvability, controllability and observability of continuous descriptor systems", IEEE Trans Automat Control, AC-26, pp 702-707 [100]J Zabczyk (1992), Mathematical control theory: An introduction, Birkhăauser, Boston Basel Berlin ... c can có the đưoc mơ ta m®t cách tốn HQ c Các tính chat đ%nh tính cna h¾ đieu khien đưoc quan tâm nhieu nhat tính đieu khien đưoc, tính őn đ%nh tính őn đ%nh hóa đưoc Nói m®t cách đơn gian, h¾... ngh%ch 10 cna mđt ma trắn vuụng so tuyen tính; tính qui metric cna m®t ánh xa giai tích Sn bao tồn tính chat đ%nh tính dưói anh hưong cna nhieu đưoc Các nhà toán HQ c GQI sn ben vung mong muon tìm... ký hi¾u chE viet tatvi Lài nói đau1 KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Toán tu đa tr% tuyen tính 14 1.2 Tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính huu han chieu.21 1.3 Tớnh ieu khien oc cna hắ cú rng buđc