Một số bài toán số học tổ hợp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tran Thanh Nhã M®T SO BÀI TỐN SO HOC - TO HeP LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60.46.01.13 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH HÀ HUY KHỐI HÀ N®I, NĂM 2013 Mnc lnc Lài ma đau Lài cam ơn M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Kien thúc tő hop 1.1.1 Quy tac c®ng 1.1.2 Quy tac nhân 1.1.3 Hoán v% 1.1.4 Chinh hop 1.1.5 Tő hop 1.1.6 Nguyên lý bù trù 1.1.7 Nguyên lý Dirichlet 1.1.8 Khai trien nh% thúc Newton 1.2 Kien thúc so HQc 1.2.1 Tính chia het 1.2.2 Bieu dien so 1.2.3 So nguyên to 1.2.4 Ưóc chung lón nhat, b®i chung nho nhat 1.2.5 Thu¾t tốn Euclid 1.2.6 Đong dư 1.2.7 Đong dư tuyen tính 1.2.8 Th¾ng dư 1.2.9 M®t so đ%nh lý quan TRQNG 6 6 7 8 8 9 9 11 11 12 12 13 M®t so tốn So HQC - To hap 14 2.1 Tính chat so hQc 14 2.1.1 Tính chia het .14 2.1.2 Bieu dien so 30 2.1.3 Thuắt toỏn Euclid v mđt so tốn liên quan đen ưóc chung lón nhat 37 2.2 Bài toán chia keo Euler 47 2.3 Bat bien 53 2.4 Cnc tr% t¾p hop rịi rac 61 2.5 So phúc - Tő hop 75 M®t so tốn trị chơi 86 Ket lu¾n 96 Tài li¾u tham khao 97 Lài ma đau Tốn rịi rac đóng m®t vai trị quan TRQNG tốn HQc boi có n®i dung rat phong phú có nhieu úng dung địi song thnc tien Trong kì thi đai HQc, thi HQc sinh gioi quoc gia, quoc te, tốn tő hop xuat hi¾n nhieu thưịng có n®i dung rat khó Nhìn chung, neu vi¾c phân loai tốn so HQc, đai so, giai tích, hình HQc tương đoi rõ ràng vi¾c phân loai tốn tő hop mơ ho Chính sn đa dang nên vi¾c giang day v HQc chỳng l mđt van e khó khăn Hơn nua, chương trình tốn phő thơng, tài li¾u tham khao ve lĩnh vnc tő hop rat ớt, nờn luắn ny nham gúp mđt phan kien thúc nho bé đe hő tro cho vi¾c HQc t¾p giang day, bő sung thêm tài li¾u tham khao ve tő hop Lu¾n văn nham muc tiêu giói thiắu mđt so bi toỏn cú the GQI thuđc loai "so HQc - tő hop" Thnc khơng có m®t "đ%nh nghĩa" cho loai tốn Nên lu¾n ny chi giúi han o viắc a mđt so tốn thưịng g¾p kì thi HQc sinh gioi, mà vi¾c giai chúng địi hoi nhung phương pháp cna so HQc tő hop Bo cuc lu¾n văn đưoc chia thành ba chương: Chương : M®t so kien thÉc chuan b% Trong chương này, trình bày m®t so kien thúc ban ve so HQc (tính chia het, bieu dien so, so nguyên to, b®i chung nho nhat, ưóc chung lón nhat, đong dư, thắng d, mđt so %nh lý quan TRQNG bao gom: đ%nh lý Wilson, đ%nh lý Fermat, đ%nh lý phan dư Trung Hoa) m®t so kien thúc ban ve tő hop (quy tac c®ng, quy tac nhân, hốn v%, chinh hop, tő hop, nguyên lý bù trù, nguyên lý Dirichlet, khai trien nh% thúc Newton) Chương : M®t so tốn So HQC - To hap Muc đích cna chương trình bày m®t so tốn thu®c loai "so HQc - tő hop" theo chn đe (tính chat so HQc , toán chia keo Euler, bat bien, cnc tr % t¾p hop rịi rac so phúc), đong thịi moi tốn chúng tơi co gang phân tích đe tiep c¾n lịi giai cú bỡnh luắn Chng 3: Mđt so bi toỏn trũ chi Trong chng cuoi cựng, chỳng tụi giúi thiắu mđt so tốn trị chơi đ¾c bi¾t úng dung cna "ti so vàng" lòi giai cna tốn trị chơi M¾c dù ban thân co gang nhieu q trình thnc hi¾n, thịi gian có han kien thúc ban thân cịn han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Rat mong nh¾n đưoc sn chi bao cna q thay ban Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nghiêm khac chi bao t¾n tình cna GS TSKH Hà Huy Khối Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen ngưịi thay cna Qua đây, tơi xin gui tói thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2011 − 2013 lòi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot q trình giáo duc đào tao tai Nhà trưịng Tơi xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban giám hi¾u t¾p the giáo viên trưịng THPT chun Lê Q Đơn tinh Bình đ%nh quan tâm, tao đieu kiắn v đng viờn c v tụi e tụi cú the hon thnh nhiắm vu cna mỡnh H nđi, thỏng 11 năm 2013 Chương M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 Kien thÉc to hap Quy tac c®ng dung có cm cách cHQN đoi tưong a1 , m2 cách cHQN đoiN®i tưong a2,.quy ,tac: mnNeu cách HQN đoi tưong an , cách cHQN đoi tưong (1 ≤ i ≤ n) không phu thu®c vào bat kì cách cHQN đoi tưong aj Σn (1 ≤ j ≤ n, i ƒ= j) mi cách cHQN đoi tưong a1 , ho¾c a2, , i= ho¾c se có an {A1, A2 , , An } l mđt HQ cỏc hop huu han cua t¾p A saoXét cho Đe su dung tot quy tac ta chuyen sang ngôn ngu t¾p hop sau: hai t¾p bat kì khơng có phan tu chung, hop cna tat ca t¾p A, Sn A Ai Khi đó, ta có n i= = Σ |A| = |A1| + |A2| + + |An| = 1.1.2 Quy tac nhân |Ai| i=1 N®iđoidung quy Chomoi n cách đoi tưong , , anc,HQN neuđoi có tưong m1 cách cHQN tưong a1tac: vói cHQN a a11,cóa2m cách a2 , sau vói moi cách cHQN a1, a2 có m3 cách cHQN 2đoi tưong a3, cuoi vói moi cách cHQN a1, a2, , an−1 có mn cách cHQN đoi tưong an Như v¾y se có m1.m2 mn cách cHQN đoi tưong a1 , roi a2 , , roi an Tương tn quy tac c®ng, ta se chuyen sang ngơn ngu t¾p hop sau: Gia su có n t¾p hop Ak (1 ≤ k ≤ n) vói |Ak | = mk Khi đó, so cách cHQN b® gom n phan tu (a1, a2, , an) vói ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) se n Y |A1 × A2 × × An| = m1 × m2 × × mn = mk k=1 1.1.3 Hốn v% Đ%nh nghĩa 1.1 (Hốn v% khơng l¾p) Gia su A t¾p hop huu han gom n phan tu M®t cách sap xep n phan tu khác cna A theo mđt thỳ tn no ú oc GQI l mđt hoỏn v% khụng lắp cna cỏc phan tu t¾p A, hay đơn gian sn sap xep n phan tu cna t¾p A Khi đó, so hốn v% khơng l¾p cna n phan tu kí hi¾u Pn tính theo cơng thúc Pn = n (n − 1) = n! Đ%nh nghĩa 1.2 (Hốn v% có l¾p) Hốn v% moi phan tu xuat hi¾n nhat m®t lan đưoc GQI hốn v% có l¾p Kí hi¾u P (n1, n2, , nk) so hốn v% có l¾p cna n phan tu gom k loai, mà phan tu loai i (1 ≤ i ≤ k) xuat hi¾n ni lan đưoc tính theo công thúc n! P (n1, n2, , !n ! n.! nk) = n 1.1.4 k Chinh hap Đ%nh nghĩa 1.3 (Chinh hop khơng l¾p) Cho t¾p hop A gom n phan tu Moi b® gom k (0 ≤ k ≤ n) phan tu đưoc sap thú tn cna A oc GQI l mđt chsnh hap khụng lắp chắp k cna n phan tu thuđc A Kớ hiắu so chsnh hap khơng l¾p ch¾p k cna n Ank, tính boi cơng thúc n! Ank = (n − k)! Đ%nh nghĩa 1.4 (Chinh hop có l¾p) Cho t¾p hop X gom n phan tu Moi dãy có đ di k phan tu cna X, m moi phan tu có the l¾p lai nhieu lan đưoc sap theo m®t thú tn nhat đ%nh đưoc GQI mđt chsnh hap cú lắp chắp k cna n phan tu thuđc X Kớ hiắu so chsnh hap cú l¾p ch¾p k cna n Ank , tính boi công thúc k Akn = n 1.1.5 To hap Đ%nh nghĩa 1.5 (Tő hop khơng l¾p) Cho t¾p hop A gom n phan tu Moi t¾p gom k (0 ≤ k ≤ n ) phan tu cna t¾p A oc GQI l mđt t hap khụng lắp chắp k cna n phan tu thuđc A k Kớ hiắu so tő hap khơng l¾p ch¾p k cna n C n , tính boi cơng thúc n! Ck = n k! (n − k)! Đ%nh nghĩa 1.6.m (Tő(m hopkhơng có l¾p) Cho t¾p A =nho {ahơn 1, a2, , an} Mđt t hap cú lắp chắp nhat thiet phai n) cna n phan tu thu®c A m®t b® gom m phan tu, mà moi phan tu l mđt nhung phan tu cna A Kớ hiắu so tő hap có l¾p ch¾p m cna n nCm, tính boi cơng thúc Cm = Cm n n+m−1 1.1.6 Nguyên lý bù trÈ Gia su M1, sau M2,đây: , Mn t¾p hop huu han Khi ta có cơng thúc tőng qt n |M1 ∪ M2 ∪ ∪ Mni= 1| = Σ Σ 1≤i