Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các bài toán số học hình học hình học tổ hợp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————o0o——————– VŨ TH± THOA GIÁ TR± LéN NHAT VÀ GIÁ TR± NHO NHAT TRONG CÁC BÀI TOÁN SO HOC, HÌNH HOC, HÌNH HOC TO HeP Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cap Mã so: 60460113 LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS PHAN HUY KHAI HÀ N®I - 2013 Mnc lnc Ma đau Giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat so HQC 1.1 M®t so tốn ve giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat so HQc4 1.2 Bài t¾p đe ngh% 23 Giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat hình HQC 24 2.1 Giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat hình HQc khơng gian24 2.2 Bài t¾p đe ngh% 35 2.3 Giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat hình HQc phang 36 2.4 Bài t¾p đe ngh% 51 Giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat hình HQC to hap 53 3.1 M®t so tốn ve giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat hình HQc tő hop .53 3.2 Bài t¾p đe ngh% 71 Ket lu¾n 73 Tài li¾u tham khao 74 Ma đau Bài tốn tìm giá tr% lón nhat ho¾c nho nhat hay tìm cnc tr% nói chung có tù lâu ln xuat hi¾n MQI lĩnh vnc cna tốn HQc Trong chương trình tốn phő thơng, tốn tìm giá tr% lón nhat ho¾c nho nhat trai dài o hau het cap HQc, có m¾t o tat ca b® mơn So HQc, Đai so, Giai tích, Hình HQc Lưong giác Đ¾c bi¾t, kỳ thi Đai HQc, HQc sinh gioi quoc gia quoc te thưịng có xác đ%nh cnc tr% nói chung Boi v¾y, tốn tìm giá tr% lón nhat hoắc nho nhat l mđt so nhung bi toỏn đưoc rat nhieu ngưịi thu®c nhieu lĩnh vnc quan tâm đen Các tốn ve tìm giá tr% lón nhat hay nho nhat rat phong phú, đa dang, đòi hoi v¾n dung nhieu kien thúc v¾n dung cho hop lý, đơi rat đ®c đáo Hơn nua, tốn xác đ%nh giá tr% lón nhat ho¾c nho nhat cịn liên quan đen sn đánh giá, tìm ch¾n ho¾c xét xem tốn se có tính chat đat cnc tr% Chính the, đe đáp úng nhu cau HQc t¾p giang day mơn tốn o b¾c phő thơng, lu¾n văn em xin t¾p trung trình bày m®t so tốn ve giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat so HQc, hình HQc hình HQc tő hop vói tên đe tài: "Giá tr% lán nhat giá tr% nhó nhat tốn so HQc, hình HQc hình HQc tő hap" Lu¾n văn ngồi muc luc, lịi nói đau, ket lu¾n, tài li¾u tham khao lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương I: Giá tr% lán nhat, giá tr% nhó nhat so HQc Trong chương giá tr% lón nhat nho nhat cna so HQc có đ¾c điem su dung nhuan nhuyen đ%nh lí ban cna so HQc đưa tốn đien hình ve giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat so HQc Chương II: Giá tr% lán nhat, giá tr% nhó nhat hỡnh HQc Trong chng ny giúi thiắu mđt vi bi tốn ban ve giá tr% lón nhat nho nhat hình hQc khơng gian hình HQc phang Chương III: Giá tr% lán nhat, giá tr% nhó nhat hình HQc tő hap Trong chương t¾p trung trình bày m®t so tốn ve tìm giá tr% lón nhat giá Lu¾n văn thac sy HQc viên: Vũ Th% Thoa tr% nho nhat hình HQc tő hop thưòng liên quan đen đoi tưong t¾p hop huu han Qua lu¾n văn này, em xin gui lòi cam ơn sâu sac đen thay PGS TS Phan Huy Khai ngưịi t¾n tình chi bao, hưóng dan giúp đõ em suot q trình làm lu¾n văn Em xin trân TRQNG cam ơn ban lãnh đao khoa Tốn Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên- Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, thay trang b% kien thúc, tao đieu ki¾n cho em thịi gian HQc t¾p tai trưịng Em xin trân TRQNG cam ơn! Hà N®i, tháng 12 năm 2013 Chương Giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat so HQC Trong chương có su dung nhuan nhuyen đ%nh lí ban cna so HQc, có ket hop vói phương pháp truyen thong cna giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat đe hình thành tốn đ¾t tìm giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat mang m®t n®i dung so HQc mà tù trưóc đen giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat so HQc chưa đưoc phő c¾p tốn lưong giác hay bieu thúc Sau m®t vài tốn đien hình ve giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat so HQc 1.1 M®t so toán ve giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat so HQC Bài toán 1.1 : Cho P = 5|x| 3|y|, o õy x, y thuđc hop D đưoc xác đ %nh sau: D = {(x, y) : x, y ∈ Z 4x + 5y = 7} Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc P (x, y) ∈ D Lài giai Neu (x, y) ∈ D chac chan x ƒ= 0; y ƒ= Th¾t v¾y neu trái lai, gia su chang han x = ⇒ 5y = Đieu vơ lí y ∈ Z M¾t khác, neu (x, y) ∈ D x y trái dau Th¾t v¾y neu x y dau, chang han dương x, y ∈ Z ⇒ x ≥ 1, y ≥ ⇒ 4x + 5y ≥ Đó đieu vơ lí Lu¾n văn thac sy HQc viên: Vũ Th% Thoa Vì le D = D1 ∪ D2, đó: D1 = {(x, y) : x > 0, y < 0; x, y ∈ Z 4x + 5y = 7}, D2 = {(x, y) : x < 0, y > 0; x, y ∈ Z 4x + 5y = 7} Theo nguyên lí phân rã, ta có: P = { P ; P} (x,y)∈ D Tù 4x + 5y = ⇒ x = (x,y)∈D (1) − 5y 1+y (x,y)∈D2 =2−y− 1+y Do x, y ∈ Z ⇒ = t, vói t ∈ Z y = 4t − (*) Tù ta có: x = − 5t • Khi (x, y) ∈ D1 P = 5x + 3y − 5t > (2) Do x > 0; y < nên suy ra: t ∈ Z) Vói 4t − < ⇒ t< ⇒ t = 0; −1; −2; (do x = − 5t; y = 4t − 1, ta có P = 5x + 3y = 12 − 13t (3) Tù (3) t = 0, −1, −2, nên suy úng vói t = 0, ta có (x,y)∈D P = 12 (4) P = −5x − 3y (5) • Khi (x, y) ∈ D2 Do x < 0; y > nên tù (*) suy ra: − 5t < Lúc 4t − > ⇒t> ⇒ t = 1; 2; (do t ∈ Z.) P = 13t − 12 Tù (6) t = 1, 2, 3, suy úng vói t = 1, (6) Lu¾n văn thac sy P = 13.1 − 12 = (x,y)∈D HQc viên: Vũ Th% Thoa (7) Tù (1), (4), (7) ta có: (x,y)∈ D ⇔ x=3− P =1 5.1 y = 4.1 − ⇔ x = −2 y = .x = −2 V¾y giá tr% nho nhat cna P y = Bài toán 1.2: Cho m, n so nguyên dương Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc f (m, n) = |36m − 5n| Lài giai Vì chu so cuoi cna chu so 36m vói MQI chu so tn nhiên m chu so cuoi cna so 5n vói MQI so tn nhiên n, nên chu so cuoi cna hi¾u so 36m − 5n 36m > 5n chu so cuoi cna hi¾u so 5n − 36m 36m < 5n Vì v¾y chu so cuoi cách bieu dien th¾p phân cna so N = |36m − 5n | chi có the ho¾c giá tr% nho nhat có the đưoc cna so có the 1, ho¾c 11 Vói m = n = rõ ràng ta có N = 11 Ta chúng minh rang thúc N = N = không the xay ra, đieu có nghĩa N = 11 giá tr% nho nhat Th¾t v¾y, neu ta có thúc 5n − 36m = 5n = 36m + m®t b®i so cna đieu khơng the đưoc Neu ta có thúc 36m −5n = 5n = 36m −1 = (6m +1)(6m −1); 6m −1 = 5k 6m + = 5n−k đieu vơ lí so 6m + t¾n bang chu so khơng the bang mđt ly thựa cna Nh vắy, ta chúng minh đưoc rang giá tr% nho nhat cna f (m, n) (m,n) ∈ D f (m, n) = 11, o D t¾p hop tat ca giá tr% tn nhiên cna m n Bài toán 1.3: Cho m, n so nguyên dương Tìm giá tr% nho nhat cna bieu thúc: P = |12m − 5n| Lài giai Trưóc het ta chúng minh rang vói MQI m, n so nguyên dương |12m0 − 5n0 | ≥ (1) Th¾t v¾y gia su (1) không đúng, túc ton tai hai so nguyên dương m0, n0 cho |12m0 − 5n0 | < (2) Vì 12m0 so chan, cịn 5n0 so t¾n 5, nên suy ra: 12m0 − 5n0 so le ⇒ 12m0 − 5n0 ƒ Do 12m0 ƒ 5, n0 ⇒ m0 − n0 ƒ m0 3, còn125n0 ƒ ⇒ 512m0 − 5.5n0 ƒ Lai thay 12 Ket hop lai đieu ki¾n trên, tù (2) suy ra: |12m0 − 5n0 | = (3) Tù (3) ta có: ho¾c 12m0 − 5n0 chia cho 13 dư ho¾c 12m0 − 5n0 chia cho 13 dư 12 Rõ ràng ta có: 12m0 ≡ (−1)m0 (mod13) (4) Như v¾y neu m0 so chan 12m0 ≡ 1(mod13), cịn neu m0 so le 12m0 ≡ 12(mod13) M¾t khác ta ln ln có the bieu dien: n0 = 4k0 + z0 vói k0 ∈ Z z0 ∈ {0; 1; 2; 3} Tù suy ra: 5n0 = 625k0 5z0 ≡ 1k0 5z0 (mod13) (5) Tù (5) ta có: Khi 5n0 chia 13 so dư se 1, 5, 12 ho¾c (tương úng vói z0 = 0, 1, ho¾c 3) Tù (4), (5) suy đem 12m0 − 5n0 chia cho 13 khơng the dư ho¾c 12 Đieu mâu thuan vói (3) V¾y khơng the có (2), túc (1) M¾t khác neu cHQN m = 1; n = 1, P = Như v¾y giá tr% nho nhat P = Bài tốn 1.4: Xét t¾p hop tat ca cách cHQN 30 so nguyên dương x1 , x2 , x3 , , x30 cho x1 + x2 + + x30 = 2011 Tìm giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat cna P = x1 x2 x30 Lài giai Do vai trị bình giua x1, x2, , x30 nên khơng mat tính tőng qt ta gia su rang x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ x30 Xét tốn tìm P Xét b® so (x1, x2, , x30) đó: < x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ x30 x1 + x2 + x30 = 2011 Khi ta có P = x1.x2 x30 Bây giị xét b® so (x1 − 1, x2, , x29, x30 + 1) Khi đe ý rang x1 > ⇒ x1 ≥ ⇒ x1 − ≥ M¾t khác, (x1 − 1) + x2 + · · · + x29 + (x30 + 1) = x1 + x2 + x30 = 2011, nên b® so mói thoa mãn yêu cau đe Úng vói b® so ta có: P˜ = (x1 − 1)x2 x29 (x30 + 1) ⇒ P− P ˜= x2 x29[x1x30 − (x1 − 1)(x30 + 1)] = x2 x29(x30 − x1 + 1) Do xi > 0, ∀i = 2; 29, x1 ≤ x30 ⇒ P > ˜ P (1) (1) chúng to rang b® so (x1, x2, , x30) khơng làm cho tích P at giỏ tr% nho nhat Vắy mđt ieu kiắn can đe P đat giá tr% nho nhat x1 = Tù l¾p lu¾n hồn tồn tương tn suy x2 = x3 = · · · = x29 = đieu ki¾n can đe P đat giá tr% nho nhat Tù suy P = 1.1 1(2011 − 29) = 1982 V¾y P = 1982 ⇔ có 29 thùa so bang 1, m®t thùa so bang 1982 Xét tốn tìm max P Xét b® so (x1, x2, , x30) đó:  x1 ≤ x2 ≤ ≤ x30 x30 − x1 ≥ x1 + x2 + + x30 = 2011  Úng vói b® so ta có P = x1x2 x30 Bây giị xét b® so mói sau đây: (x1 + 1, x2, , x29, x30 − 1) M¾t khác de thay: (x1 +1)+x +· · · +x29 +(x30 − 1) = x1 +· · · +x30 = 2011, nên b® so mói thoa mãn u cau đe Úng vói b® so ˜ ta có: P = (x1 + 1)x2 x29(x30 − 1) ⇒ P˜− P = x2 x29[(x1 + 1)(x30 − 1) − x1x30] = x2 x29(x30 − x1 − 1) Tù x30 − x1 ≥ ⇒ P˜ > P bat thúc chúng to b® so (x1, , x30) chưa làm cho P V¾y 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 ... quyet tốn hình HQc m®t cách đơn gian nhat Sau tốn đien hình ve giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat hình HQc 2.1 Giá tr% lán nhat giá tr% nho nhat hình HQC khơng gian Bài tốn 2.1.1: Cho hình chóp... lón nhat giá tr% nho nhat hình HQc khơng gian24 2.2 Bài t¾p đe ngh% 35 2.3 Giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat hình HQc phang 36 2.4 Bài t¾p đe ngh% 51 Giá tr% lán nhat, giá tr%... Chương II: Giá tr% lán nhat, giá tr% nhó nhat hỡnh HQc Trong chng ny giúi thiắu mđt vài tốn ban ve giá tr% lón nhat nho nhat hình hQc khơng gian hình HQc phang Chương III: Giá tr% lán nhat, giá tr%