Một số lớp bất đẳng thức hàm và các bài toán liên quan

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± HIEN M®T SO LéP BAT ĐANG THÚC HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH NGUYEN VN MẳU H NđI - NĂM 2014 Mnc lnc Ma đau Bat thÉc hàm chuyen đoi phép tính so HQC 1.1 Hàm so chuyen đői tù phép c®ng cna đoi so 1.2 Hàm so chuyen đői tù phép nhân cna đoi so 21 1.3 Hàm so chuyen đői phép bien đői hình HQc cna đoi so .25 Bat thÉc hàm chuyen đoi trung bình ban cua đoi so 40 2.1 Hàm so chuyen đői tù trung bình c®ng cna đoi so 40 2.2 Hàm so chuyen đői tù trung bình nhân cna đoi so 42 2.3 Hàm so chuyen đői tù trung bình đieu hịa cna đoi so .43 Bat thÉc láp hàm loi, lõm tEa loi, lõm 48 3.1 Hàm loi, lõm 48 3.2 Hàm tna loi tna lõm .55 3.3 Hàm tna loi, lõm dang hàm sin cosin 63 M®t so dang tốn liên quan 71 Ket lu¾n 82 Tài li¾u tham khao 83 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tình cna GS TSKH Nguyen Văn M¾u Thay dành nhieu thịi gian q báu cna đe kiên trì hưóng dan giai đáp thac mac cna suot ca q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói ngưịi thay cna Tơi muon gui tói tồn the thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi, cỏc thay cụ ó am nhắn giang day hai khóa Cao HQc 2010 - 2012 2011 - 2013, đ¾c bi¾t thay tham gia tham gia giang day nhóm Phương pháp Tốn sơ cap 2010 - 2012 lòi cam ơn chân thành đoi vói cơng lao day suot thịi gian cna khóa HQc Tơi xin cám ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p, anh ch% em nhóm Cao HQc Tốn 2010-2012, đ¾c bi¾t anh ch% em nhóm Phương pháp Toán sơ cap quan tâm, giúp đõ, tao ieu kiắn cng nh đng viờn tinh than e tơi có the hồn thành khóa HQc Ma đau Chuyên đe bat thúc hàm m®t lĩnh vnc nghiên cúu quan TRQNG cna Giai tích tốn HQc Ngay tù Trung hQc phő thơng đưoc biet đen m®t so lóp bat thúc hàm quen biet hàm đong bien, ngh%ch bien hàm loi, lõm, Túc lóp hàm so đưoc mơ ta tính chat qua bat thúc Jensen Σ x+y f (x) + f (y ) f ≤ 2 Trong nhung năm gan đây, nhà toán HQc rat quan tâm đen bat thúc hàm, mo r®ng bat thúc tőng qt cho lóp hàm xét (ví du bat thúc dang Karamata cho hàm loi) Trong đe thi Olympic Toán quoc te, đe thi cHQN HQc sinh gioi nhung năm gan có xuat hi¾n nhieu dang tốn liên quan đen bat thúc hàm, toán giai bat phương trình hàm, chúng minh tính chat cna lóp bat thúc hàm Nói chung dang tốn mói me, rịi rac khỏ khú Luắn ny trỡnh by ve mđt so lóp bat thúc hàm m®t so tốn liên quan, vói hi vQNG có the bưóc đau trình by mđt cỏch cú hắ thong mđt so ắc iem, mđt so dang toỏn cú the thiet lắp o mđt so lóp bat thúc hàm Lu¾n văn chn yeu tőng hop kien thúc tù nhieu nguon sách, báo, báo cáo khoa HQc viet ve chuyên đe bat thúc hàm, bat phương trình hàm, đe thi HQc sinh gioi cap, đe thi Olympic Tốn quoc te, tài li¾u Internet Qua trình bày lan lưot, h¾ thong lai đưa mđt so k thuắt e, giai cỏc cỏc bi toán liên quan đen bat thúc hàm, giúp ban ĐQc tiep c¾n gan gũi vói khái ni¾m bat thúc hàm Ngồi phan mo đau danh muc tài li¾u tham khao lu¾n văn gom có chương: Trong hai chương đau lu¾n văn trình bày ve lóp bat thúc hàm chuyen đői phép tính đai lưong trung bình ban Chương trình bày riêng ve lóp hàm quen thu®c hàm loi, lõm Ngồi ra, cịn xây dnng phương pháp mô ta hàm tna loi, tna lõm tù lóp hàm loi lõm m®t khoang, tù áp dung vào m®t so tốn giai bat phương trình hàm lưong giác M®t so tốn liên quan t¾p đe ngh% đưoc trình bày o chương Do thòi gian gap rút kien thúc cịn han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, rat mong nh¾n đưoc nhung đóng góp cna thay ban bè ong nghiắp, xin trõn TRQNG cam n H Nđi, thỏng 11 năm 2014 HQc viên Nguyen Th% Hien Chương Bat thÉc hàm chuyen đoi phép tính so HQC Nói đen bat thúc hàm, ngưịi ta nhó đen bat thúc hàm Cauchy cő đien f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y R Vỡ vắy mđt cỏch tn nhiờn chỳng ta xét đen lóp bat thúc hàm đau tiên là: Bat thúc hàm chuyen đői phép tính so HQc Trong có hai phép tính thưịng thay nhat lý thuyet ve phương trình - bat phương trình hàm phép c®ng phép nhân 1.1 Hàm so chuyen đoi tÈ phép c®ng cua đoi so 1.1.1 Bat thÉc hàm chuyen đoi phép c®ng thành phép c®ng Dưói ta xét m®t so tốn nghiên cúu hàm so thoa mãn bat thúc hàm f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1a) Hàm so thoa mãn bat thúc (1.1) đưoc GQI hàm c®ng tính (Subadditive), ngưoc lai neu hàm so thoa mãn (1.1a) đưoc GQI hàm dưái c®ng tính (Superadditive) Bài tốn 1.1 Cho hàm so f : R → R thoa mãn (1.1): f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, f khơng âm vói mQI x ∈ R mà |x| ≥ k, k hang so dương Chúng minh rang f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Lài giai Do f thoa mãn (1.1) vói MQI x, y ∈ R nên ta de dàng chúng minh đưoc f (nx) ≤ nf (x), ∀n ∈ Z∗+ , ∀x ∈ R Gia su f (x) ≥ vói MQi x mà |x| ≥ k Khi vói moi x mà |x| < k ln có so nguyên dương n cho n|x| > k hay |nx| > k Do ≤ f (nx) Mà f (nx) ≤ nf (x), suy ≤ nf (x) V¾y f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Bài toán 1.2 Chúng minh rang neu hàm so f : R → R thoa mãn (1.1) vói ∀x, y ∈ R , liên tuc tai vói f (0) = f liên tuc vói MQI x ∈ R Lài giai Th¾t v¾y, vói x ∈ R, f (x) = f (x + h − h) ≤ f (x + h) + f (−h) Suy f (x) − f (−h) ≤ f (x + h) ≤ f (x) + f (h) vói MQI h Cho h → 0, f liên tuc tai f (0) = suy f liên tuc tai x Bài toán 1.3 Cho hàm f kha vi I = (a, +∞), (a ≥ 0) Chúng minh rang f (x) f hàm c®ng tính neu f J (x) < , ∀x ∈ I f hàm dưái x c®ng tính f (x) neu f J (x) > , ∀x ∈ I x Lài giai Th¾t v¾y, neu f J (x) ton tai I = (a, ∞), a ≥ 0, f J (x) < f (x) x ∀x ∈ I Ta có f (x) f J (x) < , ∀x ∈ I x J ⇔ x.f (x) − f (x) < 0, ∀x ∈ I Σ d f (x) x.f J (x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ − f (x) = dx Như v¾y x f (x) đơn đi¾u giam I x Vói x, y ∈ I, ta có f (x + y) = x x2 f (x + f (x + + y) x y) x y +y +y ≤ x f (x) + y x f (y) y = f (x) + f (y) Suy f (x) hàm c®ng tính I Đieu ngưoc lai chúng minh tương tn Bài tốn 1.4 Cho f hàm c®ng tính R f kha vi (a, +∞), (a ≥ 0) Chúng minh rang neu f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) f J (x) hàm đơn đi¾u khơng tăng (a, +∞) f (−x) ≤ 0, ∈ I.trên Khic®ng lay ∈ I,R,t f >J (x) thnc bat(x) kì + DofLài giai f ∀x hàm tínhx1 tonsotai trêndương I = J (a; ∞), a ≥ 0, f (x1 + t) ton tai nên f (x1 + t + h) − f lim (x1 + t) = + t) f J (x1 h Suy ra, vói ε > 0, ton tai h > đn nho cho h→0 f J( Do f (x1 + t + h) − f (x1 + t) − + t) ε < h x1 f( + t) − ε < x1 [f (x1 J h +t+ +h− )−f x1 x1 (x1 + t)] ≤ [f (x1 + t) + f (x1 + h) + f (−x1) − f (x1 h + t)] = h [f (x1 + h) + f (−x1)] ≤J [f (x1 + h) − f (x 1)] J J Suy f (x + t) ≤ f (x ), ∀t > Do f (x) hàm đơn đi¾u khơng tăng h 1 I Bài toán 1.5 Cho hàm f (x) : R → R thoa mãn (1.1) vói MQi x, y ∈ R Chúng minh rang f hàm so chan f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Lài giai Th¾t v¾y, cho x = 0, tù (1.1) ta có f (y) ≤ f (0)+ f (y) suy f (0) ≥ Do f chan nên 2f (x) = f (x) + f (−x) ≥ f (x − x) = f (0) ≥ 0, ∀x ∈ R Như v¾y qua tốn ta cú mđt so nhắn xột ve cỏc hm so trờn dỏi cđng tớnh: Nhắn xột 1.1 (i)Hm f : R → R hàm c®ng tính khơng âm vái MQI x ∈ R mà |x| ≥ k, k > f (x) khơng âm R (ii)Hàm f : R → R hàm c®ng tính, liên tnc tai vái f (0) = f liên tnc vái MQI x ∈ R (iii) Hàm f kha vi I = (a, ∞ + ), (a 0) hàm c®ng tính neu fJ(x) < f (x) f (x) , ∀x ∈ I hàm dưái c®ng tính neu f J (x) > , ∀x ∈ I x x (iv) Hàm f hàm c®ng tính R kha vi (a, +∞), (a ≥ 0), neu f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) fJ(x) hàm đơn iắu khụng tng trờn (a, +) (v) Hm trờn cđng tính f (x) : R → R hàm so chan khơng âm Ta xét m®t so tốn giai bat phương trình hàm liên quan Bài tốn 1.6 Xác đ%nh hàm so f (x) thoa mãn đong thòi hai đieu ki¾n sau: (i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R; (ii) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Lài giai Thay x = 0, y = vào đieu ki¾n đe ta đưoc f (0) ≥ 2f ⇒ f (0) = (0), f (0) ≥ V¾y nên ∀x ∈ R, ta có = f (0) = f (x + (−x)) ≥ f (x) + f (−x) Mà f (x) ≥ 0, f (−x) ≥ nên f (x) = 0, ∀x ∈ R Hay f (x) ≡ Thu lai ta thay hàm so f (x) ≡ thoa mãn đieu ki¾n đe ... hàm đơn đi¾u khơng tăng (a, +∞) (v) Hàm c®ng tính f (x) : R → R hàm so chan khơng âm Ta xét m®t so tốn giai bat phương trình hàm liên quan Bài toán 1.6 Xác đ%nh hàm so f (x) thoa mãn đong thịi hai... bat thúc hàm, bat phương trình hàm, đe thi HQc sinh gioi cap, đe thi Olympic Toán quoc te, tài li¾u Internet Qua trình bày lan lưot, hắ thong lai v a mđt so k thuắt đe, giai các toán liên quan đen... ∈ R (1.1a) Hàm so thoa mãn bat thúc (1.1) đưoc GQI hàm c®ng tính (Subadditive), ngưoc lai neu hàm so thoa mãn (1.1a) đưoc GQI hàm dưái c®ng tính (Superadditive) Bài toán 1.1 Cho hàm so f : R