Một số lớp bất đẳng thức hàm và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ HẠNH MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Đà Nẵng – Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Phan Thị Hạnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài .1 Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu .2 Cấu trúc luận văn Tổng quan tài liệu nghiên cứu .3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .4 1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1.2 HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ TỰA ĐƠN ĐIỆU 1.2.1 Hàm đơn điệu .6 1.2.2 Hàm tựa đơn điệu .15 1.3 HÀM LỒI, LÕM VÀ TỰA LỒI, LÕM 17 1.3.1 Các tình chất hàm lồi .17 1.3.2 Hàm tựa lồi tựa lõm 25 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM 29 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC HÀM JENSEN 29 2.1.1 Cơ sở lý thuyết 29 2.1.2 Một số toán liên quan 31 2.2 BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA 37 2.2.1 Cơ sở lý thuyết 37 2.2.2 Một số toán liên quan 41 2.3 BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC .44 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 44 2.3.2 Một số toán liên quan 46 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN60 3.1 BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG 60 3.1.1 Cơ sở lý thuyết 60 3.1.2 Một số toán liên quan 61 3.2 MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AG .62 3.2.1 Định lý giá trị trung bình cộng nhân 62 3.2.2 Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG 64 KẾT LUẬN .77 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong tốn học, bất đẳng thức có vị trí đặc biệt, khơng đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trị cơng cụ đắc lực ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác Bất đẳng thức chun mục có tính hấp dẫn giáo trình giảng dạy học tập mơn tốn nhà trường phổ thơng Nó đề tài thường xun có mặt đề thi tốn, kỳ thi tuyển sinh quốc gia kỳ thi tuyển sinh Olympic toán cấp Đối với chương trình tốn phổ thơng, bất đẳng thức chuyên đề khó, khó với học sinh đội tuyển học sinh giỏi Các toán bất đẳng thức đa dạng chứng minh nhiều phương pháp khác Vì việc giải tốn bất đẳng thức đòi hỏi phải vận dụng kiến thức cách linh hoạt, có tính sáng tạo, người học cần khéo léo sử dụng kỹ thuật đề đưa toán đến kết nhanh Học sinh thường gặp khó khăn việc định hướng cách giải toán bất đẳng thức Do đó, việc phân loại đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng vấn đề cần quan tâm Với ý tưởng này, tơi chọn cho đề tài “ Một số lớp bất đẳng thức hàm áp dụng” Đề tài đưa hệ thống lý thuyết, tập phương pháp giải toán bất đẳng thức hàm cách rõ ràng, cụ thể Mục tiêu nghiên cứu Sưu tầm, giới thiệu, hệ thống hóa phân loại số lớp bất đẳng thức hàm để áp dụng giải tốn sơ cấp khó, hay gặp kỳ thi vào lớp chuyên, đại học thi học sinh giỏi quốc gia Olympic quốc tế như: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình Hệ thống tốn số lớp bất đẳng thức hàm, phân dạng nêu áp dụng chúng Nắm số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, tạo bất đẳng thức từ bất đẳng thức biết Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu bất đẳng thức liên quan đến lớp hàm như: bất đẳng thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu hàm tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm tựa lồi, lõm, bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến tam giác áp dụng liên quan Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tạp chí tốn học, số chuyên đề bất đẳng thức Phương pháp nghiên cứu Phương pháp tự nghiên cứu tư liệu gồm: sách giáo khoa phổ thông trung học, tài liệu tham khảo bất đẳng thức, tạp chí tốn học tuổi trẻ, đề tài nghiên cứu có liên quan … Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tầm, phân tích, tổng hợp tư liệu tiếp cận hệ thống Cấu trúc luận văn Luận văn dành để trình bày số lớp bất đẳng thức hàm áp dụng Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương danh mục tài liệu tham khảo Chương 1, dành để trình bày sở lý thuyết (đặc biệt bất đẳng thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm tựa lồi, lõm) dùng đến chương sau Chương 2, trình bày số lớp bất đẳng thức hàm như: bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến tam giác Chương 3, trình bày số áp dụng vào giải toán liên quan (đặc biệt bất đẳng thức AG suy rộng số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG) Tổng quan tài liệu nghiên cứu Đề tài đưa hệ thống lý thuyết, tập phương pháp giải số lớp bất đẳng thức hàm Giải hàng loạt tốn chứng minh bất đẳng thức khó trung học phổ thông CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức quen thuộc học sinh trung học phổ thông, việc nắm vững bất đẳng thức với hệ quan trọng cần thiết cho học sinh Không với học sinh thi học sinh giỏi Thành Phố, Olympic quốc gia, quốc tế khu vực mà với học sinh chuẩn bị thi vào trường đại học Từ bất đẳng n å(x t - y ) i =1 i i ³ 0; "t Î ¡ (1.1) Thực theo ý tưởng Cauchy tổng n å(x t - y ) i =1 i i =t n åx i =1 i n n i =1 i =1 - 2t å xi yi + å yi , (1.2) Ta bất đẳng thức n n n i =1 i =1 i =1 f (t ) = t å xi - 2t å xi yi + å yi ³ 0, "t Ỵ ¡, (1.3) nên D £ Định lý 1.1 (Xem [3]) Với số ( xi ),( yi ) ta ln có bất đẳng thức sau n n n (å xi yi ) £ (å xi )(å yi )2 i =1 i =1 (1.4) i =1 Dấu đẳng thức (1 4) xảy hai số ( xi ) ( yi ) tỷ lệ với nhau, tức tồn cặp số thực a , b không đồng thời 0, cho a xi + b yi = 0, "i = 1,2, , n Bất đẳng thức (1 4) thường gọi bất đẳng thức Cauchy (đơi cịn gọi bất đẳng thức Bunhiacovski, Cauchy- Schwarz CauchyBunhiacovski) Nhận xét rằng, bất đẳng thức Cauchy suy trực tiếp từ đồng thức Lagrange sau Định lý 1.2 (Lagrange) (Xem [3]) Với số ( xi , yi ) , ta ln có đồng thức: n n n (å xi )(å yi ) - (å xi yi ) = i =1 i =1 2 i =1 n å i , j =1,i j ( xi y j - x j yi ) Tương tự ta có đẳng thức dạng sau (bạn đọc dễ dàng tự kiểm chứng trực tiếp) Bài toán 1.1 Với số ( xi , yi ) , ta ln có đẳng thức sau E2 ( x + y) E1 ( x ) E1 ( y) - E1 ( x + y) E2 ( x ) E1 ( y) - E1 ( x + y) E1 ( x ) E2 ( y) = n n n ( x y y å iå j iå xj) , i =1 j =1 j =1 n E1 ( x ) := å xi , E2 ( x ) := i =1 n å i , j =1,i ¹ j xi x j Nhận xét rằng, từ đồng thức ta thu bất đẳng thức sau Hệ 1.1 Với số dương ( xi , yi ) , ta ln có bất đẳng thức sau E2 ( x + y) E2 ( x ) E2 ( y) ³ + , E1 ( x + y) E1 ( x ) E1 ( y) n E1 ( x ) := å xi , E2 ( x ) := i =1 n å i , j =1,i ¹ j xi x j Hệ 1.2 Với cặp số dương (a, b) ta ln có bất đẳng thức sau 2(a + b) ³ ( a + b )2 , hay a + b ³ ab Hệ 1.3 (Xem [3]) Với dãy số thực ( a1, a2 , , an ) ( b1, b2 , , bn ) , bi ³ , "i = 1, n Ta ln có a12 a2 an ( a1 + a2 + + an ) + + ³ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Hệ 1.4 (xem [3]) Với dãy số thực ( a1 , a2 , , an ) ( b1, b2 , , bn ) Ta ln có a12 + b12 + a2 + b2 + an + bn ³ ( a1 + a2 + + an ) + ( b1 + b2 + + bn ) 2 1.2 HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ TỰA ĐƠN ĐIỆU 1.2.1 Hàm đơn điệu Về sau ta thường sử dụng ký hiệu I ( a, b ) Ì ¡ nhằm định bốn tập hợp (a, b) , [a, b) , (a, b] [a,b] với a < b Thông thường, hàm số f ( x ) xác định tập I ( a, b ) Ì ¡ thỏa mãn điều kiện: với x1 , x2 Ỵ I ( a, b ) , ta có f ( x1 ) £ f ( x2 ) Û x1 £ x2 , ta nói f ( x ) hàm đơn điệu tăng I(a, b) Đặc biệt, ứng với cặp x1 , x2 Ỵ I ( a, b ) , ta có f ( x1 ) < f ( x2 ) Û x1 < x2 , ta nói f ( x ) hàm đơn điệu tăng thực I(a, b) Ngược lại, f ( x1 ) ³ f ( x2 ) Û x1 £ x2 , " x1 , x2 Ỵ I (a, b) ta nói f ( x ) hàm đơn điệu giảm I(a,b) Nếu xảy 64 Hệ trực tiếp bất đẳng thức AG bất đẳng thức trung bình nhân trung bình điều hòa Hệ 3.1 (Bất đẳng thức GH) Với số dương a1 , a2 , , an , ta có n a1a2 an ³ n 1 + + + a1 a2 an Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AG số xk := (k = 1,2, , n) , ta có ak bất đẳng thức GH Hệ 3.2 Với n số nguyên dương a1 , a2 , , an Ta có n2 1 + + + ³ a1 a2 an a1 + a2 + + an 3.2.2 Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG a Kỹ thuật tách, ghép phân nhóm Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a m+ n + b m +n + c m+ n ³ am b n + b m c n + c m an Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có m.a m + n + nb m + n ³ am bn , m+n m+n m.b + nc m+ n ³ bmcn , m+n m+n m.c + na m + n ³ c m an m+n Cộng ba bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức cần chứng minh 65 Bài toán 3.5 (Xem [3]) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a5 b c + + ³ a + b3 + c b c a Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có a5 + ab2 ³ 2a3 b b5 + bc ³ 2b3 c c5 + ca2 ³ 2c3 a a3 + b3 + c3 ³ ab2 + bc + ca2 Cộng bốn bất đẳng thức thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 3.6 (Xem [3]) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b5 c + + ³ a3 + b3 + c3 bc ca ab Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có a5 + abc ³ 2a3 bc b5 + abc ³ 2b3 ca c5 + abc ³ 2c3 ab a3 + b3 + c ³ 3abc Cộng bốn bất đẳng thức này, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh 66 Bài toán 3.7 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b5 c a3 b3 c3 + + ³ + + b c a3 b c a Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có a5 a3 + ab ³ b3 b Từ đây, suy a5 a3 a + ab ³ + + ab b3 b b Mặt khác, ta lại có a3 a3 a3 + + ab ³ + a , b b b nên a5 a3 + ab ³ + a b b Tương tự, ta có b5 b3 + bc ³ + 2b2 c c c c3 + 2ca ³ + 2c a a 2(a2 + b2 + c ) ³ 2(ab + bc + ca) Cộng bất đẳng thức thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 3.8 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh x3 y3 z3 + + ³ ( x + y + z ) x + y y + 2z z + x 67 Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có 9x3 + x ( x + y) ³ x x + 2y y3 + y( y + z ) ³ y y + 2z 9z3 + z( z + x ) ³ z z + 2x 2( x + y + z ) ³ 2( xy + yz + zx ) Cộng bất đẳng thức trên, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 3.9 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh x3 y3 z3 + + ³ ( x + y + z) 2 ( y + z ) ( z + x ) ( x + y) Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có 8x + ( y + z) + ( y + z) ³ x ( y + z )2 y3 + (z + x ) + (z + x ) ³ y ( z + x )2 8z + ( x + y ) + ( x + y ) ³ z ( x + y )2 Cộng bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 3.10 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh x3 y3 z3 + + ³ ( x + y + z ) y( z + x ) z( x + y ) x ( y + z ) Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có 68 4x3 + y + (z + x) ³ x y( z + x ) y3 + z + ( x + y) ³ y z( x + y ) 4z3 + x + ( y + z ) ³ z x( y + z) Cộng bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 3.11 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh x4 y4 z4 + + ³ x + y + z yz zx xy Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có x4 + y + z + z ³ 4x yz y4 + z + x + x ³ 4y zx z4 + x + y + y ³ 4z xy Cộng bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức cần chứng minh b Kỹ thuật sử dụng số phụ bất đẳng thức AG Kỹ thuật sử dụng số phụ bất đẳng thức AG quan trọng việc tách ghép số, nhằm đảm bảo dấu đẳng thức bất đẳng thức AG xảy Kỹ thuật khơng khó lắm, phục vụ cho tất đối tượng học sinh Từ học sinh giỏi, đến em trung bình hiểu vận dụng Miễn giáo viên cần tạo số toán phù hợp với đối tượng học sinh Từ mục đích đó, xin giới thiệu số toán theo cấp độ khác nhau, phù hợp với trình độ học sinh 69 Ví dụ 3.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau S=x+ x với x ³ a a > Giải Ta thấy áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AG cho số x dấu đẳng thức khơng xảy Do đó, ta cần tách số x thành bất đẳng thức AG với x áp dụng k Khi đó, dấu đẳng thức xảy đồng thời x = a x k = a2 suy S= x x 1 + + (1 - ) x ³ a + a2 x a a Vậy S = a + , đạt x = a a Ví dụ 3.2 Tìm giá trị lớn biểu thức sau S= n x+y + n y+z + n z+x với x, y, z > 0, x + y + z = 3a a > Giải Với phương pháp trên, biểu thức đạt giá trị lớn x = y = z = a , x + y = 2a Theo bất đẳng thức AG , ta có n 2a 2a.( x + y) £ n ( x + y) £ 2a(n - 1) + x + y n suy a(n - 1) + x + y n.(2a) Tương tự, ta có n -1 n (3.2) 70 n ( y + z) £ 2a(n - 1) + y + z n.(2a) n (z + x ) £ n -1 n 2a(n - 1) + z + x n.(2a) n -1 n (3.3) (3.4) Cộng theo vế bất đẳng thức (3 2), (3 3), (3 4), ta S£ 6a (2a) n -1 n = n 2a Vậy maxS = n 2a , đạt x = y = z = a Bài toán 3.12 Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = (1 + 2a 2b 2c 2d )(1 + )(1 + )(1 + ) 5b 5c 5d 5a Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có 2a 1 a a 7 a2 1+ = + + + + ³ 5b 424 35 5b 5b b Tương tự 1+ b 7 b2 ³ 5c c 2c 7 c 1+ ³ 5d d 2d 7 d 1+ ³ 5a a2 Nhân vế bất đẳng thức trên, ta S ³ ( )4 Vậy minS = ( )4 , đạt a = b = c = d 71 Bài toán 3.13 Cho a, b, c, d > thỏa mãn a + b + c + d £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = (a + 3 3 + )(b + + )(c + + )(d + + ) b c c d d a a b Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có a a 1 1 a4 a + + = + + + + + + + ³ b c 424 b b c c c bc Hồn tồn tương tự, ta có b4 b+ + ³9 c d 2cd c4 c+ + ³9 d a d a d4 d+ + ³9 a b 2ab Nhân vế bất đẳng thức trên, ta S ³ 94 abcd 32 Mặt khác ³ a + b + c + d ³ 4 abcd Þ abcd £ Do S ³ ( )4 Vậy minS = ( )4 , đạt a = b = c = d = 72 Bài toán 3.14 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a2 + 1 1 1 2 + + b + + + c + + b2 c c2 a2 a2 b2 Giải Ta có a2 + 1 1 1 + = a + + + + + + b2 c2 16 b2 16b2 16 c 244 163 c2 1442443 144 16 16 a2 ³ 33 1632 b32 c32 33 Hồn tồn tương tự, ta có b2 1 33 b + + ³ 33 c a 1632 c32 a32 c2 + 1 c2 33 + ³ 33 a2 b2 1632 a32 b32 Suy æ a2 66 S ³ 33 ç ç 1632 b32c32 è ³ 33198 ỉ b2 66 ữ+ỗ ữ ỗ 1632 c32 a32 ứ ố 16 (abc)62 96 Mặt khác ³ a + b + c ³ 3 abc , suy ³ 23 abc ỉ c2 66 ữ+ỗ ữ ỗ 1632 a32 b32 ứ ố ữ ÷ ø 73 Do S³ 33 Vậy minS = 33 , đạt a = b = c = 2 Bài toán 3.15 Cho số thực dương a, b, c cho abc = Chứng minh a b c + + £ a +2 b +2 c +2 Giải Theo bất đẳng thức AG , ta có a b c a b c + + £ + + a + b + c + 2 a + b + 2c + 1 1 = + + 1 2+ 2+ 2+ a b c Như vậy, ta cần chứng minh 1 + £1 1 2+ 2+ b c 1 1 1 Û (2 + )(2 + ) + (2 + )(2 + ) + (2 + )(2 + ) a b b c c a 1 £ (2 + )(2 + )(2 + ) a b c 1 Û + + ³3 ab bc ca a+b+c Û ³ abc 2+ a + Theo bất đẳng thức AG , với giả thiết abc = bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cần chứng minh 74 Bài toán 3.16 (France Pre- MO 2005) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh xy yz zx + + ³ z x y Giải Bình phương hai vế bất đẳng thức, ta có x y2 y2 z z x + + + 2( x + y + z ) ³ z x y Mà x + y2 + z = Suy x y2 y2 z z x + + ³ z2 x y Ta có x y2 y2 z y2 z2 z x z2 x x y2 ( + ) + ( + ) + ( + ) ³ 2( x + y + z ) z x x y y z Từ đó, suy điều phải chứng minh Hệ toán quan trọng, thường sử dụng cho toán cụ thể sau Bài toán 3.17 Cho a, b > cho a + b £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= 1007 + + 4016ab a +b 4ab Giải Từ a + b £ 1, suy 4ab £ Do 75 1007 + + 4016ab 4ab a +b 1 = + + 1005( + 4ab) - 4ab a + b 2ab 4ab ³ + 1005.2 .4ab - a + b + 2ab 4ab = + 2009 ( a + b )2 Þ S ³ 2013 S= Vậy minS = 2013 , đạt a = b = Bài toán 3.18 Cho số thực dương a, b, c cho a + b + c £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= 1 1 + + + 2 a +b +c ab bc ca S= 1 1 1 + + + + ( + + ) 2 a + b + c 3ab 3bc 3ca ab bc ca Giải Ta có ³ 16 1 + ( + + ) a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca ab bc ca ³ 16 + ( ) (a + b + c) + ab + bc + ca ab + bc + ca S³ 2 2 16 + ( ) + ab + bc + ca ab + bc + ca Mặt khác a + b + c ³ ab + bc + ca, suy 76 (a + b + c)2 ³ 3(ab + bc + ca) Do ab + bc + ca £ + ab + bc + ca £ 3 Từ đó, suy S ³ 30 Vậy minS = 30 , đạt a = b = c = 77 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu, phân loại hệ thống hóa số bất đẳng thức hàm như: bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm Karamata, bất đẳng thức liên quan đến tam giác số áp dụng vào giải toán liên quan Trên cở sở bất đẳng thức hàm ứng dụng vào giải số toán chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị hàm số Đây dạng toán thường gặp kỳ thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia Olympic toán quốc tế Qua tác giả nhận thấy nhận thức bất đẳng thức hàm nâng lên rõ rệt Việc tìm hiểu bất đẳng thức sở giúp tác giả sáng tạo thêm nhiều toán bất đẳng thức phục vụ nhiều cho việc học tập giảng dạy thân Do thời gian thực luận văn có hạn, trình độ người viết có nhiều hạn chế dù thân cố gắng sai sót điều khó tránh khỏi Vì thế, mong nhận quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 78 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kim Hùng (2007), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2006), Chuyên đề bồi dưỡng toán, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2007), Nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Văn Mậu- Phạm Thị Bạch Ngọc (2004), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục Tiếng Anh [7] Nguyen Van Mau (1989), Generalized Algebraic Elements and Linear Sin-gular Integral Equations with transformed Argument, WPW, Warszawa [8] Pl Kannappan (2009), Funtional Equations and Inequalities with Applications, Springer Đorecht Heidelberg London New York ... minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình Hệ thống toán số lớp bất đẳng thức hàm, phân dạng nêu áp dụng chúng Nắm số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, tạo bất đẳng thức từ bất đẳng. .. bất đẳng thức hàm Cauchy, hàm đơn điệu tựa đơn điệu, hàm lồi, lõm tựa lồi, lõm) dùng đến chương sau Chương 2, trình bày số lớp bất đẳng thức hàm như: bất đẳng thức hàm Jensen, bất đẳng thức hàm. .. phương pháp giải số lớp bất đẳng thức hàm Giải hàng loạt toán chứng minh bất đẳng thức khó trung học phổ thơng 4 CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức