Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

N O N N - Lại hị hu MỘ SỐ UỖ N ẪU N N VÀ Á VẤN Ề L N QU N N i - 2017 U N O N N - Lại hị hu MỘ SỐ UỖ N ẪU N N VÀ Á VẤN Ề L N QU N LTXS v t ố ố LU V TS T 60460106 S UYỄ T Ị k toá ọc Lài cam ơn Lu¾n văn đưec hồn thành véi sE hưéng dan t¾n tình het sÉc nghiêm khac cua TS Nguyen Th%nh Trưéc trình bày n®i dung cua lu¾n văn, tác gia muon bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac téi ngưèi thay đáng kính cua Thay ln t¾n tình hưéng dan giai đáp thac mac cua tác gia suot q trình làm lu¾n văn Tác gia muon gEi téi tồn the thay Khoa Toán - Cơ - Tin Đai HQC Khoa HQC TE nhiên - Đai giang day khóa Cao HQC HQC HQC trưèng Quoc gia Hà N®i, thay đam nh¾n 2014 - 2016, đ¾c bi¾t thay tham gia giang day nhóm Xác suat thong kê 2014 - 2016 lèi cam ơn chân thành đoi véi cơng lao day dő suot thèi gian cua khóa HQC Tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p anh ch% em nhóm Xác suat thong kê 2014 - 2016 quan tâm, giúp e, tao ieu kiắn v đng viờn tinh than e tác gia có the hồn thành đưec khóa HQC Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày tháng năm 2017 HQC VIÊN Lai Th% Thu Mnc lnc Lài cam ơn Kí hi¾u Lài ma đau Kien thÉc chuan b%7 1.1 Các dang h®i tn ban 1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuan tac dãy α- on đ%nh chuan tac 10 1.3 Modun khơng gian tuyen tính 12 1.4 LQC VÀ thèi điem dÈng 14 1.5 Martingale giá tr% thEc .14 1.6 Các bat thÉc ban 17 1.7 M®t so ket qua cua martingale thEc 18 M®t so bat thÉc ban cho to hap tuyen tính ngau nhiên cua bien ngau nhiên đ®c l¼p21 2.1 Bat thÉc Levy - Octaviani .21 2.2 Bat thÉc co .25 2.3 Bat thÉc Moment 27 SE h®i tn ngun lí tr®i cua chuői bien ngau nhiờn đc lẳp32 3.1 %nh lý Ito-Nisio .33 3.2 SE h®i tn theo trung bình cap p 35 MUC LUC Mnc lnc 3.3 Moment mũ moment khác cua chuői ngau nhiên .40 3.4 Phép tr®i yeu .45 3.5 Phép tr®i manh 50 Martingale ngun lí tr®i cho Martingale56 4.1 Các bat thÉc Doob 56 4.2 SE h®i tn cua martingale .61 4.3 Các dãy tách rèi dãy tiep xúc 65 4.4 Phép tr®i yeu cho martingale 68 4.5 Phép tr®i manh cho martingale .72 Ket lu¼n 80 Mnc lnc Kí hi¾u NhEng kí hi¾u đưec sE dnng nh mđt lối chỳ giai kớ hiắu chẫ khụng phai đ %nh nghĩa thÉc |A| - lEc lưeng (so phan tE) cua t¾p hep A A0- Đai so cua t¾p A- σ− đai so cua t¾p B- σ− đai so cua t¾p Borel C - so phÉc C-các hàm loi liên tnc không âm D(T ) - Không gian Skorohod T E (X ) - Kì VQNG cua bien ngau nhiên X E , F - Không gian Banach thEc kha ly ho¾c khơng gian metric tuyen tính đay đu E f , F f - Không gian đoi ngau cua E , F F, G- σ− đai so cua t¾p (F(t )), (Fi )-Các LQC H -Khơng gian Hilbert h, g -Tích m®t khơng gian Hilbert HC- Lép siêu co IA(.)-Hàm chi tiêu cua t¾p A Lp -Khơng gian hàm p− kha tích L0-Không gian hàm đo đưec Lϕ-Không gian Musielak-Orlicz L(X )-Phân phoi cua bien ngau nhiên X m, n-Cỏc đ o ngau nhiờn Kớ hiắu N -Tắp so ngun khơng âm N +-T¾p so ngun dương p, pf-Các lũy thÈa liên hep Holder, 1/p + 1/pf = p∗ = max{p, p/(p − 1)} P1-Các trình tiên đốn đưec ho¾c dãy véi giá tr% tuy¾t đoi ≤ N P Q-Tích cua đ® đo hoắc mđt đ o v mđt hat nhõn (kernel) chuyen Q-T¾p so hEu ty Q n∗∗ = max{∥ Q k ,l ∥: ≤ i < j ≤ n, i ≤ k, j ≤ l } R-T¾p so thEc R+-T¾p so thEc dương R0- Hàm f liên tnc: R → R cho véi r, c > 0,| f (x)| ≤ c f (x) = véi |x| ≤ r Sn = X1 +···+ Xn S n∗ =max ∥S k 1≤k≤n ∥ S∗ = sup ∥ Sk ∥ 1≤k< ∞ S ∗n = max ∥ i S= l k,l =k S(≤n A)-t¾p Xi ∥ hàm A− b¾c thang T -T¾p tham so, thưèng T = [0, t∞], t ≤ ∞ X , Y -Các bien ngau nhiên (Ω, F, P) có giá tr% m®t khụng gian Banach hoắc mđt quỏ trỡnh ngau nhiờn X ≺U Y - Phép tr®i yeu cua X theo Y X ≺(κ,λ) Y -Phép tr®i manh X ≺[a,b] Y -Phép tr®i siêu co G X ≺U Y -Phép (U, G)− tr®i yeu, X ≺G Y -Phép G− tr®i manh ∥ X ∥0 = E (1∧ ∥ X ∥) ∥ X ∥p = (E ∥ X ∥p )(1∧1/p) #X # = X neu ∥ X ∥≤ 1, = X / ∥ X ∥ neu ∥ X ∥> #X #c = c#X /c# (Xˆ i )- Dãy tiep xúc tách rèi téi (X i ) X ∗ sup X (t ) = t ∈T X n∗ = sup ∥ X k ∥ V ar X k≤ n= E ∥ X − - phương sai EX∥ Z - T¾p so nguyên Jα]- So nguyên bé nhat ho¾c bang α ⎝α]- So nguyên nhat nho ho¾c bang α α∧β= min{α, β} α ∨ β = max{α, β} (γi )- Dãy Gauss tac cua bien ngau nhiên có phân phoi N (0, 1) đong nhat đc lắp x - đ o Dirac trung tai điem x δkn = neu n = k, = neu n /= k (εk )- Các bien ngau nhiờn Bernoulli (Rademacher) hoắc mđt dóy bang àX = L(X )- đ® đo phân phoi cua X π, ρ- Các modun σ(A), σ(X )- σ− trưèng sinh bei A, X ∗ - max ho¾c sup cua tong riêng ξ, η- Các bien ngau nhiên thEc ϕ, Φ- Hàm Musielak- Orlicz modun φε-Hàm đ¾c trưng cua bien ngau nhiên ξ (Ω, F, P )-Không gian xác suat Lài ma đau Hi¾n nay, xác suat thong kê ngày đóng vai trị quan TRQNG rat nhieu lĩnh vEc ngày đưec bien m®t cách r®ng rãi Cũng le đó, Lý thuyet xác suat tre thành m®t ngành nghiên cÉu đ¾c bi¾t đưec coi TRQNG Éng dnng tính thEc tien cua vi¾c dE báo, tính tốn tìm nhEng quy lu¾t tE nhiên cu®c song hàng ngày Tat nhiên, sE quan bei nhEng nhà toán HQC TRQNG đưec phát trien m®t quãng thèi gian rat dài lői lac the giéi, nên sâu vào tìm hieu nghiên cÉu ta se thay Lý thuyet xác suat đưec chia làm rat nhieu mang kien thÉc đe có the tìm hieu phát trien Vì v¾y tác gia chi xin đưec tìm hieu nghiên cÉu m®t mang nho the giéi cua ngành tốn HQC rđng lộn bao la ny Trong luắn ny, tác gia xin đưec trình bày ve m®t so chuői ngau nhiên van đe liên quan Lu¾n văn cua tác gia đưec chia làm chương: Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, tác gia giéi thi¾u chung ve kien thÉc se đe làm nen tang giúp ngưèi ĐQC CÓ the theo dõi thau hieu đưec hồn tồn n®i dung cua chương sau Kien thÉc chương bao gom: Các dang h®i tn ban, bat thÉc se, đ%nh nghĩa LQC, thèi điem dÈng, martingale giá tr% thEc Chương M®t so bat thÉc ban cho to hep tuyen tính ngau nhiên cua bien ngau nhiờn đc lắp Trong chng ny, tỏc gia giội thi¾u ve bat thÉc cho to hep tuyen tớnh ngau nhiờn cua cỏc bien ngau nhiờn đc lắp bao gom: bat thÉc Levy-Octaviani, bat thÉc co bat thÉc Moment Chương SE h®i tn ngun lí tr®i cua chuői bien ngau nhiờn đc lắp Trong chng ny, tỏc gia trỡnh by kien thÉc ve tính chat cua chuői ngau Bat thÉc suy rang véi mői hàm lõm ϕ : R + → R + , ta có Eϕ(Mn ) ≤ 3Eϕ(Nn ), bat kỳ nh vắy l mđt giội han cua dóy tng hàm mà to hep tuyen tính dương cua hàm có dang ϕ(x) = x ∧ s, s ∈ R + ϕ(x) ≡ (iii) Véi σ trên, ta có (X ∧ t 1 σ i ) P (Mn > t ) ≤ E (Mn ∧ t ) ≤ P (σ < σ t i ∞) + E = ≤ t P (σ < ∞) + E t i Yi ∧ t = ≤ P (σ < ∞) + s+t P (σ < ∞) + t t s = 2P (σ < ∞) + s t ≤ 2P (Nn > s) + t s P (σ = ∞) (iv) ChÉng minh e m®t "sE tương tE" có đieu ki¾n cua chÉng minh bat thÉc phan dư tÈ m¾nh đe2.3.1 Véi t , s, u ≥ co đ%nh δ > kí hi¾u τ = min{k : Mk > t }, σ = min{k : P (Nn > δs|Fk ) > δ} Khi {M n > s + t + u} ∩ {X n ∗ ≤ u} ∩ {σ = ∞} n[−1 ⊂ {τ = k} ∩ {σ > k} ∩ {(Mn − Mk ) > s}, {τ = k},{σ > k} ∈ Fk , ta có P (M n > s + t + u, X n n− ≤ ∗ ≤ u, σ = ∞) k EI{τ=k}∩{σ>k}P (Mn − Mk ) > s.Fk Σ Theo phiên ban có đieu ki¾n cua phan (iii) cua đ%nh lý này, ta có P (Mn − Mk ) > s.Fk Σ ≤ δ + 2P (Nn − Nk ) > δs.Fk Σ ≤ δ + 2P (nn > δs.Fk ) k= Do đó, theo đ%nh nghĩa ve σ, neu σ > k P (Mn − Mk ) > s.Fk Σ ≤ 3δ, ∗ cho P (M n > s + t + u, X n ≤ u, σ = ∞) ≤ 3δP (M n > t ) M¾t khác, theo (i) P (X n ∗ ∗ > u) ≤ 2P (Yn > u) ≤ 2P (Nn > u), P (σ.< ∞ ) P max P (Nn > δs.Fk ) > δΣ 1≤k δs), δ suy tÈ bat thÉc Doob cEc đai (m¾nh đe4.1.1) Ket hep bat thÉc véi nhau, ta thu đưec P (Mn > s + t + u) ≤ 2P (Nn > u) + P (Nn > δs) + 3δP (Mn > t ), δ Vì v¾y, theo m¾nh đe1.6.1, thay s = u = t , Eϕ Mn Nn Σ ≤ 2Eϕ(Nn ) + Eϕ Σ + 3δEϕ(Mn ) δ δ Cuoi cùng, tÈ ϕ tăng trưeng ơn hịa, 1Σ − 3δΣEϕ(M ) n≤ + c ΣEϕ(N ), c(3 δ δ ) chÉng minh đưec (iv), bei δ có the đưec CHQN nho hơn3c(31 ) Đ%nh lý 4.5.5 Cho X , , X n Y1, , Yn hai dãy (Fi )- tương thích bien ngau nhiên có giá tr% m®t khơng gian Hilbert H Giã sU rang X i Yi đoi xÚng Fi−1- có đieu ki¾n Xi ≺Fi −1 Yi vái mői i = 1, 2, n Khi (i) Vái mői t , s > P (M ∗ n > t ) ≤ t s + P (N ∗ n > s)Σ; (ii) Vái mői hàm liên tnc tăng ϕ : R + → R có tăng trưãng ơn hịa, ton tai m®t hang so C chi phn thu®c vào ϕ, cho ∗ ∗ Eϕ(M n ) ≤ C Eϕ(Nn ) ChÚng minh (i) Véi s > co đ%nh, đ%nh nghĩa k σ = min{k :∥ #Yi #2s ∥> s} i =1 Nhé rang vi¾c bo het so hang #x#α := α#x/α#   x #x# :=   x neu ∥ x ∥≤ neu khác ∥ x∥ Khi ∗ Theo đ%nh lý4.5.4, ∗ ∥ Σ P (Mn > t ) ≤ P (X n > 2s) + P k 1≤k≤n max i =1 ∗ P (X i ∗ > 2s) ≤ 2P (Yi #Xi #2s ∥> t ∗ > 2s) ≤ 2P (Nn > s) Hơn nEa i.k=#Xi #2s ∥> t Σ P max ∥1 1≤k≤n Σ k ≤ P (σ < ∞) ma ∥ I{σ≥k}#Xi #2s x i ∥> t +P 1≤k M¾t khác, tÈ.k i =1 I{σ≥k}#Xi cho = #2s , k = 1, 2, m®t mactigan, bat thÉc Doob cEc đai ta P (σ < ∞) +P max k 1≤k≤ ∥ n i.= I{σ≥k}#Xi #2s ∥> t Σ 2 n 1 Σ1 Σ ≤ t E ∥i = I{σ≥k}#Xi #2s ∥ = t E i =1 I{σ≥k} ∥ #Xi #2s ∥ n n Σ1 Σ1 i =1 I{σ≥k} ∥ #Yi #2s ∥ = t E∥ i=1 I{σ≥k}#Yi #2s ∥ ≤ t Hơn nEa k P (σ < ∞) = P ( max ∥ 1≤k≤ n #Yi #2s ∥> s) ≤ P (Nn ∗ > s), i =1 v¾y (i) đưec chÉng minh n (ii) Ý tưeng cua chÉng minh gan đong nhat véi chÉng minh cua đ%nh lý4.5.4(iv) ta se chi sE khác Cho τ = min{k :∥ Mk ∥> t }, σ = min{k : P max ∥ Ni − Nk ∥> δs.Fk Σ > δ} k s + t + u, X n n− ≤ EI{τ=k}∩{σ>k} k= P ≤ u, σ = ∞) max ∥Mi k s Fk Σ, theo phiên ban có đieu ki¾n cua (i) thu®c đ%nh lý này, ta có P max ∥ Mi − Mk ∥> s.Fk Σ Σ k δs.Fk Σ, k s + t + u, X n ∗ ∗ ≤ u, σ = ∞) ≤ 6δP (M n > t ) M¾t khác, theo đ%nh lý4.5.4(i), P (X ∗ > u) ≤ 2P (Y n ∗ > u) ≤ 2P (N n n ∗ > u ) P (σ.< ∞ ) P max P 1≤k δs.Fk k δΣ = ≤ P max P N ∗ > n 1≤k< 1∞ δs ∗ ≤ P N > Σ n δ Đieu cho ta Eϕ Mn (ii) đưec chÉng minh ∗ Σ ≤ 2Eϕ(2N ∗ ) + 6δEϕ(M ∗ ) + n n δ δ Eϕ Σ > δΣ 2Nn ∗ Σ, Ket lu¼n Nhìn chung, chuői ngau nhiên tính chat van đe liên quan m®t nhEng phan thú v% quan TRQNG lý thuyet xác suat Do kha có han nên tác gia méi chi tìm hieu ve chuői ngau nhiên, martingale van đe xoay quanh khái ni¾m Trong tương lai, neu có h®i thèi gian đe nghiên cÉu sâu ve đe tài này, tác gia se dành nhieu thèi gian đe tìm hieu ve to hep đa tuyen tính ngau nhiờn cua cỏc bien ngau nhiờn đc lắp 80 Tài li¾u tham khao [1]Đ¾ng Hùng Thang (2010), Xác suat nâng cao, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà n®i [2]Đào HEu Ho(2008), Xác suat thong kê, Nhà xuat ban Đai HQC Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [3]Nguyen Duy Tien-Vũ Viet Yên (2000), Lý thuyet xác suat, Nhà xuat ban Giáo Dnc [4]Buldygin V.V (1973), "On random series is Banach spaces" Theory of Probability and Its Applications,p 18,491-504 [5]Chatterji S.D (1960), Martingales of Banach valued random variables, Bull American Math.Soc p.66, 395-398 [6]Stanishaw Kwapien Wojbor A.Woyczynski (1992), Random Series and Stochastic In- tegrals: Single and Multiple 81 ... thiắu mđt khỏi niắm cú liờn quan đen chuői bien ngau nhiên, martingale tính chat ve phép tr®i cho khỏi niắm ny e nghiờn cẫu ve e ti "Mđt so chuői ngau nhiên van đe liên quan" , tỏc gia ó tham khao... thEc □ Khái ni¾m tương thích dE báo đưac Các σ- trưàng liên quan tái dãy ngau nhiên Gia sE (Ω, A, P ) không gian xác suat, F ⊂ A σ- trưèng cua A X bien ngau nhiên Ta nói rang X tương thích véi F... tốn tìm nhEng quy lu¾t tE nhiên cu®c song hàng ngày Tat nhiên, sE quan bei nhEng nhà tốn HQC TRQNG đưec phát trien m®t quãng thèi gian rat dài lői lac the giéi, nên sâu vào tìm hieu nghiên cÉu