Luận văn thạc sĩ tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - DƯƠNG TH± NGOC OANH VE NHÓM CR TU ĐANG CAU CUA SIÊU M¾T KIEU VƠ HAN TRONG C2 LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2016 DƯƠNG TH± NGOC OANH VE NHÓM CR TU ĐANG CAU CUA SIÊU M¾T KIEU VƠ HAN TRONG C2 Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS NINH VĂN THU Hà N®i - 2016 LèI CAM ƠN Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan chi day t¾n tình cna TS Ninh Văn Thu Nhân d%p này, tơi xin đưoc kính gui tói Thay lịi cam ơn chân thành sâu sac nhat Tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQ c Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i day bao tơi t¾n tình suot q trình HQc t¾p tai khoa Tơi xin gui lịi cam ơn đen Phịng Sau Đai HQc cna nhà trưịng tao MQI đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi sóm hồn thành lu¾n văn cna Nhân d%p tơi xin bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân ban bè Nhung ngưịi ln bên canh nng h®, đ®ng viên, giúp đõ tơi ca ve v¾t chat tinh than cuđc song v HQc Mắc dự ban thõn tụi có nhieu co gang ban lu¾n văn van khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay, ban Hà N®i, tháng 12 năm 2016 Dương Th% NGQC Oanh Mnc lnc LèI CAM ƠN DANH MUC CÁC KÝ HIfiU Me ĐAU NHUNG KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 M®t so khái ni¾m giai tích phúc 1.2 Tính chat đ%a phương cna ánh xa bao giác 1.3 Khái ni¾m điem kieu vơ han theo nghĩa D’Angelo 1.4 Khái ni¾m trưịng vector chinh hình tiep xúc 10 1.5 M®t so ket qua ve hàm tri¾t tiêu cap vơ han 10 1.6 Đ%nh lý hoa Leau-Fatou 12 1.7 Đ¾c trưng cna trưịng vector chinh hình tiep xúc vói siêu m¾t dang ong C2 13 Nhóm CR tE ang cau cua mđt so lỏp cỏc siờu mắt kieu vơ han C2 16 2.1 Nhóm G2(MP , 0) 17 2.2 Nhóm CR tn cau cna MP 18 2.3 Nhóm CR tn cau cna siêu m¾t dang ong C2 22 2.4 Đ¾c trưng cna trưịng vector chinh hình tiep xúc vói MP 25 TÀI LIfiU THAM KHAO 36 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU • N, Z, Q, R, C: tương úng t¾p so tn nhiên, t¾p so nguyên, t¾p so huu ty, so thnc, so phỳc ã υ0 (f ): Ký hi¾u cap tri¾t tiêu cna hàm f tai dùng đ%nh nghĩa loai điem vô han DAngelo ã Ký hiắu ket hop vúi ký hi¾u “ “: Dùng cho ký hi¾u bat thỳc sai khỏc mđt hang so dng ã C-trn: Dựng chi hàm kha vi liên tuc cap vơ han • P (z) = Pz(z) ∂P (z): Đao hàm theo bien z cna hàm P = ∂z J • Or = {z ∈ C : |z| < r} vói r > v ký hiắu O := O1 ã G0 = {z ∈ C : |z| < s0 } ∆∗G0 = ∆G0 \ {0} • Gia su M mđt mam siờu mắt quanh iem p C2 Khi đó, nhóm tn cau cna M (kí hi¾u boi Aut(M )) t¾p hop song chinh hình f : U → f (U )) thoa mãn f (U ∩ M ) ⊂ M , U mđt lõn cắn no ú cna p C2 ã Aut(M, p) = {f ∈ Aut(M ) : f (p) = p} nhóm őn đ%nh cna M tai p Σ • aut(M, p) = H = h1(z1, ∂zz12) ∂ + h2(z1∂z , 2z2) ∂ e đây, H tiep xúc vói M,H trưịng vector chinh hình h1, h2 hàm chinh hình m®t lân cắn cna p ã aut0(M, p) = H ∈ aut(M, p): H(p) = • MP := {(z1, z2) ∈ C2 : Re(z1) + P (z2) = 0}, P ∈ C∞(C) ν0(P ) = +∞ • S∞ (P ) = {z2 ∈ ∆G0 : νz2 (P ) = +∞}, νz2 (P ) cap tri¾t tiêu cna hàm P (z2 + ξ) − P (z2) tai ξ = • P∞(MP ) t¾p hop điem có kieu vơ han cna MP Me ĐAU Gia su (M, p) m®t mam siêu m¾t Cn cho p điem kieu vô han theo nghĩa D’Angelo (GQI tat kieu vô han) Nhóm tn cau cna M (kí hi¾u boi Aut(M )) nhóm tat ca song ánh chinh hình lân c¾n cna M bien M vào M Nhóm őn đ%nh cna M tai p (kí hi¾u boi Aut(M, p)) nhóm tat ca tn cau cna M bien p thành p T¾p hop tat ca trưịng vector chinh hình Cn tiep xúc vói M tri¾t tiêu tai p đưoc kí hi¾u aut0 (M, p) Bài tốn đưoc đ¾t mơ ta nhóm CR tn cau Aut(M, p) mơ ta trưịng vector chinh hình tiep xúc aut0 (M, p) cna mam siêu m¾t (M, p) Trong lu¾n văn này, chúng tơi xét siêu m¾t đ¾c bi¾t Cu the, chúng tơi xét mơ hình kieu vơ han MP đưoc đ%nh nghĩa sau MP := {(z1, z2) ∈ C2 : Re z1 + P (z2) = 0}, P ƒ≡ hàm C∞-trơn, tri¾t tiêu cap vơ han tai z2 = Nđi dung chớnh cna luắn ny l tỡm hieu ket qua ve nhóm CR tn cau Aut(MP , 0) mơ ta trưịng vector chinh hình tiep xúc aut0(MP , 0) cna mơ hình kieu vơ han MP Lu¾n văn đưoc trình bày dna theo báo “Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of models in C2" cna Atsushi Hayashimoto Ninh Văn Thu ([1]) Bo cuc cna lu¾n văn gom hai chương: Chương I: Nhung kien thúc chuan b% N®i dung cna chương trình bày m®t so kien thúc ban cna giai tích phúc khái ni¾m hàm chinh hình, ánh xa bao giác, khái ni¾m trưịng vector chinh hình tiep xúc, khái ni¾m điem kieu vơ han theo nghĩa D’Angelo, Đ%nh lý bơng hoa Leau -Fatou Đ¾c trưng cna trưịng vector chinh hình tiep xúc vói siêu m¾t dang ong C2 Chương II: Nhóm CR tn ang cau cna mđt so lúp cỏc siờu mắt kieu vô han C2 Trong chương này, se mơ ta nhóm CR tn cau cna m®t so lóp siêu m¾t kieu vơ han C2 mơ ta trưịng vector chinh hình tiep xúc cna MP N®i dung chn yeu chúng minh Đ%nh lý 2.2.1, 2.3.1 2.4.1 Chương Kien thẫc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm giai tích phÉc Gia su Ω mien cna m¾t phang phúc C f hàm bien phúc z = x + iy xác đ%nh Ω Đ%nh nghĩa 1.1.1 Hàm f đưac GQI C - kha vi tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai giái han f (z0 + h) − f (z0) lim h→0 h Khi đó, ta nói rang giái han đao hàm phúc cua f tai điem z0 kí hi¾u f J (z0 ) Đ%nh nghĩa 1.1.2 Hàm f đưac GQI chsnh hình tai điem z0 neu l C - kha vi tai mđt lõn cắn no cua điem z0 Hàm f đưac GQI chsnh hình mien Ω neu chsnh hình tai MQI điem cua mien ay Hàm chinh hình cịn đưoc GQI hàm giai tích hàm chinh hình ln khai trien thành chuoi Taylor tai MQI điem mien xác đ%nh cna Đ%nh nghĩa 1.1.3 f ánh xa bao giác tù mien D ⊂ lên G ⊂ Cˆ Cˆ f phân hình D f đơn ánh f (D) = G neu Ta nói f ánh xa bao giác tù D vào G neu (3) đưac thay bái f (D) ⊂ G Nh¾n xét 1.1 Neu f có cnc điem tai ∞ bao giác tai ∞ ∞ chs cnc điem đơn cua f Chúng ta chi đ%nh nghĩa ánh xa bao giác nhung t¾p liên thơng Dưói nhung tính chat ban cna ánh xa bao giác • Ánh xa ngưoc cna ánh xa bao giác ánh xa bao giỏc ã Mđt ỏnh xa bao giỏc l mđt đong phơi, túc m®t đơn ánh liên tuc vói ánh xa ngưoc liên tuc • MQI ánh xa bao giác đeu đơn di¾p đ%a phương, túc đao hàm khơng tri¾t tiêu chi có cnc điem đơn • Các góc giua cung bao gom ca sn đ%nh hưóng đưoc bao tồn qua ánh xa bao giác 1.2 Tính chat đ%a phương cua ánh xa bao giác Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho g1, g2 hai ánh xa bao giác thóa mãn g1(0) = g2(0) = Ta nói rang g1 g2 liên hap chsnh hình đ%a phương neu ton tai ánh xa song chsnh hình ϕ vái ϕ(0) = cho g1 ≡ ϕ−1 ◦ g2 ◦ ϕ Đ%nh nghĩa 1.2.2 Cho g ánh xa bao giác thóa mãn g(0) = Khi đó, ta nói (i) g tiep xúc vái đong nhat neu gJ(0) = 1; (ii) g parabolic neu gJ(0) = e2πip/q vái p, q ∈ Z; (iii) g elliptic neu gJ(0) = e2πiθ vái θ ∈ R \ Q Bo đe 1.2.1 Cho hàm P C ∞ -trơn ∆G0 (s0 > 0) thóa mãn ν0 (P ) = +∞ P (z) ƒ≡ Gia su ton tai ánh xa bao giác g ∆G0 vái g(0) = cho Σ P (g(z)) = β + o(1) P (z), z ∈ ∆G0 vái β ∈ R∗ Khi đó, |g J (0)| = ∗ Chúng minh Gia su ton Σtai ánh xa bao giác g thoa mãn g(0) = β∈ R cho P (g(z)) = β + o(1) P (z), ∀ z ∈ ∆G0 Khi đó, ta có Σ P (g(z)) = β + γ(z) P (z), z ∈ ∆G0 , vói γ hàm xác đ%nh ∆G0 thoa mãn γ(z) → z → Do γ(z) → z → nên ton tai δ0 > cho |γ(z)| < β/2 vói MQI z ∈ ∆δ0 Chúng ta xét trưòng hop sau: Trưàng hap < |g J (0)| < CHQN δ0 α thoa mãn < δ0 < s0 |g J (0)| < α < cho |g(z)| ≤ α|z| vói mQI Khi đó, vói moi so nguyên dương n, ta z ∈ ∆δ0 Co đ%nh z0 ∈ ∆∗δ mà P (z0 ) có |P (gn(z0))| = | β + γ(gn−1(z0)) ||P (gn−1(z0))| = · · · = | Σβ + γ(gn−1(z0)) Σ | · · · | β + γ(z0) ||P Σ (z0)| Σ (1.1) Σ ≥ β − |γ(gn−1(z0))| · · · β − |γ(z0)| |P Σn ≥ (z0)|β/2 |P (z )| , gn hop thành n lan cna g Hơn nua, < α < nên ton tai m0 ∈ Z∗ cho |αm0 | < β/2 Do đó, < |gn(z0)| ≤ αn|z0| vói bat kì n ∈ N Tù (1.1), ta có Σn |P (gn(z0))|≥ |P ((z0)| β/2 (1.2) m m )|m0 Do |αm0 | < → β/2 | | α | 0 n z g (z n ))| β /2 nên αm0 Σn → +∞ n → ∞ Vì v¾y, | |Pn (z(g )(zm0 g | +∞ n → ∞ Đieu mâu thuan P (z) tri¾t tiêu cap vô han tai Trưàng hap |g J (0)| > − Do = P (g(z)) = (β + o(1))P (z) vói MQI z ∈ ∆G0 nên ta suy P (g (z)) (1/β + o(1))P (z) vói MQI z ∈ ∆G0 Theo Trưòng hop 1, đieu khơng xay Do đó, |g J (0)| = bő đe đưoc chúng minh Bo đe 1.2.2 Cho f : [−r, r] → R (r > 0) hàm liên tnc cho f (0) = f ƒ≡ Neu β so thnc thóa mãn f (t + βf (t)) = f (t) vái MQI t ∈ [−r, r] t + βf (t) ∈ [−r, r] β = Đ%nh lý 2.4.1 nói rang neu có trưịng vector chinh hình tri¾t tiêu tai điem goc, tiep xúc tai MP Khi siêu m¾t MP đoi xúng đoi vói phép quay Ví du, siêu m¾t MP = {(z1 , ) ∈ C2 : Re z + exp(− ) = 0}, z2 |z2 |α α > 0, đoi xúng đoi vói phép quay Đ%nh lý 2.4.1 Cho (MP , 0) siêu m¾t C∞-trơn xác đ%nh bái phương trình ρ(z) := ρ(z1, z2) = Re z1 + P (z2) = 0, thóa mãn đieu ki¾n sau (i) Thành phan liên thông cua điem t¾p khơng điem cua P {0}; (ii) P tri¾t tiêu cap vơ han tai z2 = Khi đó, bat kì trưàng vector chsnh hình tri¾t tiêu tai goc TQa đ v tiep xỳc vỏi (MP , 0) hoắc đong nhat ve ho¾c, sau đői bien theo z2 , trưàng vector có dang iβz2 ∂z2 vái so thnc β =ƒ Trong trưàng hap thú hai, siêu m¾t MP đoi xúng quay, túc P (z2 ) = P (|z2 |) Chúng minh Gia su mam siêu m¾t (MP , 0) C2 đưoc xác đ%nh boi phương trình ρ(z1, z2) := Re z1 + P (z2) = 0, P hàm C ∞ -trơn thoa mãn hai đieu ki¾n (i) (ii) đ%nh lý Đ¾c bi¾t, P tri¾t tiêu tói cap vơ han tai z2 = Ta xét trưịng vectơ chinh hình H = h1 (z1 , z2 )∂z1 + h2 (z1 , z2 )∂z2 xác đ%nh trờn mđt lõn cắn cna goc TQA đ Hn nua, ta chi xem xét trưòng hop vector H tiep xúc tai MP Đieu có nghĩa (2.10) (Re H)ρ(z) = 0, ∀z ∈ MP Khai trien h1 h2 thành chuoi Taylor tai goc toa đ® ∞ ∞ ∞ ∞ Σ Σ Σ h1(z1, z2) Σ j k 2k = 1j z 1)z j ; h2(z1, z2) = a z a (z b z z = jk j jk = bj(z2)zj, j,k= j= j,k= j= ajk, bjk ∈ C aj, bj hàm chinh hình vói moi j ∈ N Do H(0) = nên h1(0, 0) = h2(0, 0) = Tù đó, ta có a00 = b00 = Bang tính tốn đơn gian, ta có ρz1 (z , ) = z2 (Re(z1 )+P (z2 )) z J z1 + z¯1 =( + P (z 12 ))Jz1 = ρ J (z , z ) = P (z z2 z2 ) =˜ (P (Rez )) J z2 z2 + z¯2 J = (P˜ ( )) = P J (x) z2 x = Re(z2) Tù phương trình (2.10) ta có the viet lai phương trình sau Σ (z , ) + (z ) (z , )Σ = (2.11) Re P h 1 z z2 h2 z2 vói moi (z1, z2) ∈ MP Do (it − P (z2), z2) ∈ MP vói t đn nho nên phương trình tương đương vói phương trình sau ∞ (z2) ∞ bm Re Σ jΣ,k aj mΣ,n Σm n =0 k it − P )Σj z k + P =0 ) znΣ = it − P z 2 (z2 (z2 (2.12) vói moi z2 ∈ C moi t ∈ R vói |z2| < s0 |t| < δ0, s0 > δ0 > Muc đích cna ta chi rang H ≡ Th¾t v¾y, gia su phan chúng rang H ƒ≡ Do Pz2 (z2) tri¾t tiêu cap vơ han tai Do đó, ta có the gia su rang h2 ƒ≡ Bây giò ta chia l¾p lu¾n thành hai trưịng hop sau đây: Trưàng hap h1 ƒ≡ GQI j0 so nguyên nho nhat cho aj0 k ƒ= vói so nguyên k GQI k0 so nguyên nho nhat cho aj0 k0 ƒ= Tương tn v¾y, cho m0 so nguyên nho nhat cho bm0 n ƒ= vói so nguyên n GQI n0 so nguyên nho nhat cho bm0 n0 Ta thay rang j0 ≥ neu k0 = 0, m0 ≥ neu n0 = Do P (z2 ) = o(|z2 |j ) vói MQI j ∈ N nên thay t = αP (z2 ) phương trình (2.12) vói α ∈ R ta có Re Σ a j0k0 | k0 ) j0 k0 (iα − 1)j0 (P )) z + o(| Σ (z2 z2 + bm n (2.13) Σ (iα − 1)m0 z2n0 + o(|z2 |n0 ) (P (z2 ))m0 Pz2 (z2 )Σ = 0 vói MQI z2 ∈ ∆G0 Ta ý rang trưòng hop k0 = Re(aj0 ) = 0, α đưoc cHQN cho Re (iα −0 1)j0 aj ƒ= Do đó, tù phương trình (2.13) suy j0 > m0 Pz2 (z Σ ) P (z2 ) tri¾t tiêu cap vơ han tai z2 = Bây giị ta chia l¾p lu¾n thành hai trưịng hop sau Trưàng hap 1.1 m0 ≥ Neu n0 = ta có the cHQN so thnc α cho Re (bm (iα − 1)m0 ) ƒ= Trong trưòng hop này, phương trình (2.13) mâu thuan vói Bő đe 1.5.1 Do đó, ta có m0 = Trưàng hap 1.2 m0 = Neu n0 > ho¾c neu n0 = Re(b01) ƒ= phương trình (2.13) mâu thuan vói Bő đe 1.5.1 Do đó, ta có the gia su rang n0 = Re(b01) = Su dung phép đői bien theo z2 [2, Lemma 1], gia su rang b0(z2) ≡ iz2 Tiep theo, ta se chúng minh rang bm ≡ vói moi m ∈ N∗ Th¾t v¾y, gia su ngưoc lai Khi đó, gQI m1 > so nguyên nho nhat cho bm1 ƒ≡ Khi đó, ta có the viet phương trình sau bm (z2) = bm n zn1 + o(zn1 ), 1 2 n1 = ν0(bm1 ) bm1n1 ∈ C∗ Đao hàm theo t tai t = αP (z2) hai ve cna phương trình (2.12) ý rang ν0(P ) = +∞ ta nh¾n đưoc Σm −1 Σ (z2) m1n1 n ReΣim αi − P ) Σm1 −1 b (z + j1 k Σ k aj k +1 o(|z2| z ) 1 Σj1 −1 αi − 1 z2n1 + o(| | ) Pz2 Pz2 =0 (z2) Σj1 −1 Σ (2.14) vói moi z2 ∈ ∆G0 , j1 , n1 ∈ N aj1 k1 ∈ C Theo Bő đe 1.5.1 H¾ qua 1.5.3, ta có m≡ = −1n1 = b (z ) β 1z + Σ ∗ O(z2) vói β1 ∈ R Bây giị, ta se chúng minh b1(z2) ≡ −β1z2 Th¾t v¾t, gia su ngưoc lai, tù phương trình (2.14) ta có Σ Σ Re iz2 Pz2 (z2 ) ≡ ReΣaz A + O(|z2 |) P2z (z2 )Σ + O(P (z2 )) (2.15) ∆G0 vói a ∈ C∗ A ≥ M¾t khác, ν0 (P ) = +∞ nên thay t = vào phương trình (2.12) ta có Σ Σ ReΣiz2 − iβ1 + O(|z2 |) P (z2 )ΣPz2 (z2 ) + a10 + o(1) P (z2 )Σ ≡ (2.16) ∆G0 Vì v¾y, tù phương trình (2.15) (2.16) ta có Σ Σ ReΣiaz2A + O(|z2 |) P2z (z2 ) + a10 + o(1) P (z2 )Σ ≡ (2.17) ∆G0 Đieu mâu thuan vói Bő đe 1.5.1 V¾y, b1 (z2 ) ≡ −β1 z2 Bang quy nap, ta chúng minh đưoc bm(z2) = βmim+1z2 vói moi m ∈ N∗, βm ∈ R∗ vói moi m ∈ N∗ Thay t = αP (z2) vào phương trình (2.12), ta có ReΣiz2 + iβ1 (iα − 1)P (z2 ) + · · · + im βm (iα − 1)m P m (z2 ) + · · · Σ2 Pz (z2 ) + a10 + o(1) Σ P (z2)Σ ≡ (2.18) ∆G0 Đao hàm hai ve cna phương trình (2.12) theo t tai t = αP (z2 ), ta có ReΣiz2 i2 β1 + i3 2β2 (iα − 1)P (z2 ) + · · · + im+2 mβm (iα − 1)m−1 P m (z2 ) + · · · Σ2Pz (z2 ) Σ + Σ∞ 21 ∞ Σ jajk iα − P (z )z Σ ≡ 0, j−1 j−1 j=1 k=0 hay ReΣiz + i2 β2 k (iα − 1)P (z ) + · · · + im m βm (αi − 1)m−1 P m (z ΣP 2 β1 Σ (z ) )+··· ∞ ∞ 2β1 − β1 z2 jaj Σj−1 k iα − P j−1 (z2)z2Σ ≡ k Σ j=1 k=0 (2.19) ∆G0 Tù phương trình (2.18)và (2.19) ta suy 2β2/β1 = β1, 3β3/β1 = β2, , mβm/β1 = βm−1, neu ngưoc lai, thay phương trình (2.19) vo (2.18), ta nhắn oc phng trỡnh phu thuđc vo bien α, mâu thuan vói Bő đe 1.5.1 vói α ∈ R Vì β = m (β1 ) m m! v¾y, ∗ vói moi m ∈ N Vì the, β2 h2(z1, z2) = iz2 + iβ1z1 2+ i mβ z1 + · · · Σ +i 2! vói moi z2 ∈ ∆G0 Hơn nua, (2.12) tro thành m m iβ z = iz2e 11 z + m Pz (z ) exp iβ1 Σ Re Σ jΣ∞,k aj Σj =0 k k ) ΣΣ = 2 it − P ) z2 + iz2 it − P (z2 (z2 (2.20) vói moi (z2 , t) G0 ì (0 , ) f (z2 , t) := ReΣ Σ∞ j,k=0 phương trình (2.20) ta có aj k Σj k it − P ) z Σ vói (z , t) ∈ ∆G0 (z2 × , (−δ0 δ0 ) Tù 2 f (z2 , t) = −2ReΣiz2 Pz2 (z2 ) exp iβ1 it − P (z2 ) ΣΣ, ∀ (z2 , t) ∈ ∆G0 × (−δ0 , δ0 ) Σ Đieu suy rang f (z2, t) tri¾t tiêu cap vơ han tai z2 = vói moi t Pz2 (z2) tri¾t tiêu cap vơ han tai z2 = ft (z2 , t) = −β1 f (z2 , t) H¾ qua ajk = vói moi k ∈ N∗ j ∈ N Tù đó, Σ ∞ aj f (z2 , t) = Re j=0 Σ Σj it − P ) Σ (z2 Hơn nua, phương trình ft (z2 , 0) = −β1 f (z2 , 0) kéo theo Re(ia10 ) + 2Re(ia20 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) = −β1 Re(a10 )(−P (z2 )) + o(P (z2 ))Σ Đieu suy rang Re(ia10) = 0, 2Re(ia20) = −β1Re(a10) = −β1a10 Tương tn, tù ftt (z2 , 0) = −β1 ft (z2 , 0) = β f (z2 , 0) ta có 2Re(i2 a20 ) + 3!Re(i2 a30 )(−P (z2 )) + o(P (z2 )) = β Re(a10 )(−P (z2 )) + o(P (z2 ))Σ Phương trình suy Re(i2a20) = 0, 3!Re(i2a30) = β2Re(a10) = β2a10 Tiep tuc q trình này, ta ket lu¾n rang am0 = v¾y, (iβ1 )m −1 m! 10 vói moi m ∈ N∗ h1(z1, z2) ≡ a10 eiβ1z1 − iβ Hơn nua, h1 khơng tri¾t tiêu đong nhat nên a10 ƒ= Khơng giam tính tőng quát, ta có the gia su rang a10 < Trưòng hop a10 > đưoc chúng minh tương tn Bây giị, phương trình (2.20) vói t = tương đương vói 2ReΣiz2 Pz (z ) exp − 2 iβ1 P )ΣΣ = a10 (z2 vói moi z2 ∈ ∆G0 (2.21) sin(β1P (z2)) β1 Do P liên tuc tai z = nên ta có the gia su rang P (z ) < π vói moi |z2| < s0 Hơn nua, theo gia thiet thành phan liên thơng cna điem t¾p điem cna P {0} nên ton tai m®t so thnc r ∈ (0, s0) cho < |P (r)||β< π |1 | |2 |β1| reπ/|a10 | < s0 Co đ%nh r GQI γ : (−∞, +∞) → ∆∗G0 đưòng cong thoa mãn dγ(t) = iγ(t) exp − iβ P (γ(t))Σ, γ(0) = r d t Đ¾t u(t) := P (γ(t)) vói −∞ < t < +∞ Đao hàm hàm u theo t su dung (2.21) ta có uJ (t) = a10 sin(β1u) β Bang tính tốn đơn gian, phương trình có nghi¾m P (γ(t)) = u(t) = arctan , β tan(β1 P (r)/2)ea10 t ,, −a < t < b (2.22) Vói −a < t < b, ta có ,Σ Σ∫ t γ(t) = r exp ie Σ Σ −iβ1P (γ(s)) ds Σ∫ , t =r exp − 2i arctan i exp tan(β1P (r)/2)ea10s Vì v¾y, Σ∫ t , sin arctan |γ(t)| = r exp ds a10 s tan(β1P (r)/2)e ,Σ Σ ds Do đó, có |γ(t)| = r exp Σ ∫ −∞ sin arctan , tan(β r := lim + t→−∞ Σ∫ =r exp sin =r exp sin −∞ 0−∞ P e−a10s (r)/2) tan(β , ,Σ , π−2 arctan Σ∫ −a10s arctan Σ ∫ +∞ P (r)/2)ea10 s ,ΣdsΣ e tan(β1P (r)/2) = r exp − sin ,Σ Σ d s Σ d s , ea10s tan(β ,Σ Σ = r exp Σ −2 ∫ = r exp − 1+ ∫ Σ +∞ +∞ a1 arctan d a10s s e tan(β1P (r)/2) P (r)/2) dsΣ Σ ea10s tan(β1P (r)/2) d ea10s Σ t a n ( β = r exp Σ arctan a10s e tan(β1P (r)/2) Σ2Σ ΣΣ P ( r ) / ) a1 ) < s π| ≤ r exp( |1 tan(β1P (r)/2) Vì v¾y, ton tai dãy {tn } ⊂ R cho tn → −∞ γ(tn ) → r+ eiθ0 n → ∞ vói θ0 ∈ [0, 2π) Hơn nua, |P (r+ eiθβ0 )| < | π | Tuy nhiên, a10 < P liên tuc ∆G0 nên theo phương trình (2.22) ta có |P (r )|= P ( lim γ(tn))| = lim n→ n→∞ P (γ(tn))| = |π | e | β ∞ | + iθ Đieu mâu thuan V¾y, ta ket lu¾n đưoc h1 ≡ Trưàng hap h1 ≡ Trong trưòng hop này, phương trình (2.12) tương đương vói ReΣPz2 (z ) ∞ Σ m= it − P ) (z2 Σm (z )Σ = b (2.23) m vói moi (z2 , t) ∈ ∆G0 × (−δ0 , δ0 ), s0 > δ0 > đn bé Do h2 ƒ≡ nên ton tai so nguyên nho nhat m0 cho bm0 ƒ≡ Khi đó, ta có the viet phương trình sau bm (z2) = bm n zn0 + o(zn0 ), 0 2 n0 = ν0(bn0 ) bm0 n ∈ C∗ Hơn nua, P (z2) = o(|z2|n0 ) nên thay t = αP (z2 ) (α ∈ R đưoc cHQN sau) vào phương trình (2.23) ta có Σm m0n0 n0 Σ ReΣ iα − z + o(| |n0 ) Pz (z )Σ = z2 b vói moi z2 ∈ ∆∗G0 Trong trưòng hop m0 > 0, ta cHQN α cho Σm m0n0 ReΣb iα − Σ ƒ= Do đó, theo H¾ qua 1.5.3 ta có m0 = 0, n0 = Re(bm0n0 ) = Re(b01) = Bang cách đői bien theo z2, ta có the gia su rang b0(z2) ≡ iz2 Ta se chúng minh bm ≡ vói moi m ∈ N∗ Th¾t v¾y, gia su ngưoc lai Khi đó, bang cách l¾p lu¾n tương tn trưịng hop 1.1, ta ket lu¾n đưoc m 1) ∗ bm(z2 ) ≡ im+1 (β ! m for every m ∈ N Do đó, (z ) ≡ eiβ1z1 z h2 iz2 Thay t = vào phương trình (2.23) ta có 2ReΣiz2 Pz2 (z2 ) exp − iβ1 P (z2 )ΣΣ = (2.24) vói moi z2 ∈ ∆G0 GQI γ : (−a, b) → ∆∗G0 đưịng dịng cna phương trình dγ(t) dt = iγ(t) exp − iβ P (γ(t))Σ, γ(0) = r, < r < s0 thoa mãn P (r) ƒ= Đ¾t u(t) := P (γ(t)) vói −a < t < b Khi đó, phương trình (2.24) tương đương vói uJ (t) = 0, −a < t < b Vì the, u(t) ≡ u(0) P (γ(t)) = P (r) vói moi t ∈ (−a, b) Hơn nua, ta có γ(t) = r exp ie−iβ1 P (r) tΣ vói moi t ∈ ( − a, b) Tù đó, ta có |γ(t)| = r exp sin β1P (r) tΣ (2.25) Σ Không giam tính tőng qt, ta có the gia su rang β1 P (r) < Khi đó, ta có the cHQN b = +∞, tù phương trình (2.25) suy γ(t) → t → +∞ V¾y, P (r) = P (γ(t)) = lim P (γ(t)) = P (0) = t→+∞ Đieu mâu thuan Vì v¾y, h2(z2) ≡ iz2 H¾ qua là, phương trình (2.23) tro thành ReΣiz2 P J (z2 )Σ = vói moi z2 ∈ ∆G0 Do đó, P (z2 ) = P (|z2 |) hay P đoi xúng Đ%nh lý đưoc chúng minh Ví dn 2.4.2 Cho MP siêu m¾t đưac cho bái công thúc MP := {(z1, z2) ∈ C2 : Re z1 + P (z2) = 0} hàm so P1, P2 đưac xác đ%nh bái P1(z2) = exp −|z21| α Σ neu z2 ƒ= 0 0 exp − neu z2 = 0, | z2| neu z2 ƒ= P2( 2) neu z2 = 0, z =  α > m ∈ N∗ Ta thay S∞(P1) = S∞(P2) = {0} Hơn nua, P1, P2 không âm, P1 đoi xúng P2 khơng đoi xúng Vì v¾y, theo Đ%nh lý 2.2.1, 2.3.1 α + Re(z2m)Σ 2.4.1, H¾ qua 2.2.2 2.2.3, ta có aut0 (MP1 , 0) = {iβz2 ∂z2 : β ∈ R}, aut(MP1 , 0) = g−1 ⊕ aut0 (MP1 , 0) = {iβ1∂z1 + iβ2z2∂z2 : β1, β2 ∈ R}, aut0 (MP2 , 0) = 0, aut(MP2 , 0) = g−1 = {iβ∂z1 : β ∈ R} Aut(MP ,1 0) = {(z1, z2) ›→ (z1, eitz2): t ∈ R}, Aut(MP 1) = Aut(MP ,1 0) ⊕ T1(MP ) = {(z1, z2) ›→ (z1 + is, eitz2): s, t ∈ R}, Aut(MP 2, 0) = {(z1, z2) ›→ (z1, e2kπi/mz2): k = 0, , m − 1}, Aut(MP ) = Aut(MP , 0) ⊕ T1(MP ) 2 = {(z1, z2) ›→ (z1 + it, e2kπi/mz2): t ∈ R, k = 0, , m − 1} Ket lu¾n Đóng góp cna lu¾n văn bao gom: Tìm hieu trình bày lai kien thúc ban ve giai tích phúc, khái ni¾m trưịng vector chinh hình tiep xúc, khái ni¾m điem kieu vơ han theo nghĩa D’Angelo, Đ%nh lý bơng hoa Leau -Fatou, Đ¾c trưng cna trưịng vector chinh hình tiep xúc vói siêu m¾t dang ong C2 Trình bày chi tiet Đ%nh lý 2.2.1, 2.3.1 2.4.1 ve vi¾c mơ ta nhóm CR tn cau mơ ta trưịng vector chinh hình tiep xúc cna mơ hình kieu vơ han MP ⊂ C2 35 Tài li¾u tham khao [1] Atsushi Hayashimoto and Ninh Van Thu, Infinitesimal CR automorphisms and stability groups of infinite type models in C2, Kyoto Jourmal of Mathematics 56 (2016), no 2, 441–464 [2] Kang-Tae Kim and Ninh Van Thu, On the tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, Trans Amer Math Soc 367 (2015), 867–885 [3] M Abate, Discrete holomorphic local dynamical systems Holomorphic dynamical systems, 155, Lecture Notes in Math., no 1998, Springer, Berlin, 2010 [4] F Bracci, Local dynamics of holomorphic diffeomorphisms, Boll Unione Mat Ital Sez B Artic Ric Mat (8) (2004), no 3, 609–636 [5] Ninh Van Thu, On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point, arXiv: 1303.6156 [6] Ninh Van Thu, On the CR automorphism group of a certain hypersurface of infinite type in C2, Complex Variables and Elliptic Equations 60 (2015), 977–991 [7] Ninh Van Thu, Chu Van Tiep and Mai Anh Duc, On the real-analytic infinitesimal CR automorphism of hypersurfaces of infinite type, arXiv: 1404.4914 36 ... 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS NINH VĂN THU Hà N®i - 2016 LèI CAM ƠN Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan chi day t¾n tình cna TS Ninh Văn Thu Nhân d%p... mien đơn liên bat bien vói biên chúa điem cho moi mien nhung ánh xa chinh hình tiep xúc vói đong nhat liên hop vói tn cau parabolic cna mien moi điem mien ho¾c hút vào ho¾c rịi xa điem Các chi... mđt ong phơi, túc m®t đơn ánh liên tuc vói ánh xa ngưoc liên tuc • MQI ánh xa bao giác đeu đơn di¾p đ%a phương, túc đao hàm khơng tri¾t tiêu chi có cnc điem đơn • Các góc giua cung bao gom ca