Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

Danh mục các kí hiệu ii Danh mục các kí hiệu N Tập các số tự nhiên R Tập các số thực R n Không gian thực n - chiều C n Không gian phức n - chiều a ∈ A a thuộc A ∀a ∈ A Với mọi a thuộc A A ⊂ B A là tập con của B (A bị chứa trong B) {x ∈ X : x ∈ P } Tập các phần tử x ∈ X, có tính chất P f(A) Ảnh của A qua f f −1 (B) Nghịch ảnh của B qua f (x n ) = {x n } Dãy ( số hoặc dãy các phần tử)  i a i Tổng các số a i  i a i Tích các số a i | x | Giá trị tuyệt đối của x ∥x∥ Chuẩn của x f := g Định nghĩa f là g f : X → Y Ánh xạ f từ X vào Y x n → x Dãy x n hội tụ đến x (Ω, F, P ) Không gian xác suất P (A) Xác suất của A P (A | F) Xác suất có điều kiện của A đối với F EX Kỳ vọng của X E(X | F) Kỳ vọng có điều kiện của X đối với F  Kết thúc chứng minh . Mục lục Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất 1 1.1 Định lý Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Hàm công suất capacity . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Tập compact ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tính đo được và sự lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Hàm đa trị trên không gian metric . . . . . . . . 9 1.2.2 Sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu nhiên . . . . 12 1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 15 1.3.1 Tính bất biến và tính dừng . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Tập ngẫu nhiên tách được . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Phép tính với hàm công suất . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Tích phân Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Định lý Radon- Nikodym đối với hàm công suất 22 1.5 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.1 Sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.2 Sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất . . . . 26 2 Kỳ vọng lựa chọn 29 2.1 Lựa chọn khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii 2.2 Kỳ vọng lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Tập ngẫu nhiên khả tích . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Tính chất của lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Bổ đề Fatous cho tập bị chặn trong R d . . . . . . 38 2.3.2 Bổ đề Fatous đối với tập ngẫu nhiên không bị chặn 39 2.3.3 Sự hội tụ đơn điệu và sự hội tụ yếu . . . . . . . . 40 2.4 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.1 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2 Tính chất của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . 43 3 Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên 46 3.1 Luật mạnh số lớn đối với các biến ngẫu nhiên . . . . . . 46 3.2 Định lý Shapley - Folkman-Starr . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Luật mạnh số lớn trong trường hợp không gian Euclide . 49 3.4 Luật mạnh số lớn trong không gian Banach . . . . . . . 52 4 Định lý giới hạn trung tâm cho trung bình Minkowski 53 4.1 Định lý giới hạn trung tâm đối với các biến ngẫu nhiên . 53 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide . . . 54 4.3 Định lý giới hạn trung tâm trong không gian Banach . . 58 5 Một số kết quả xa hơn liên quan tới tổng Minkowski 60 5.1 Luật loga lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Định lý ba chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Định lý ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Lời nói đầu v LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết tập ngẫu nhiên liên quan đến sự phát triển của cấu trúc toán học để nghiên cứu các chủ đề ngẫu nhiên mà phép thể hiện của chúng là các tập. Các chủ đề như vậy xuất hiện cách đây một khoảng thời gian dài trong thống kê và trong toán kinh tế dưới hình thức của một khoảng tin cậy mà có thể được miêu tả như các tập ngẫu nhiên. Ý tưởng đầu tiên của tập ngẫu nhiên dưới hình thức một khoảng phụ thuộc vào sự xuất hiện tình cờ trong Kolmogorov (1950) mà được công bố đầu tiên năm 1933. Với mong muốn tìm hiểu về lý thuyết tập ngẫu nhiên, luận văn nghiên cứu về đề tài " Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan". Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn đề tập ngẫu nhiên. Bố cục luận văn gồm 5 chương: Chương 1: Tập ngẫu nhiên và hàm công suất. Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về tập ngẫu nhiên, hàm công suất ( định nghĩa, định lý), sự lựa chọn của các tập đóng ngẫu nhiên, các dạng hội tụ. Chương 2: Kỳ vọng lựa chọn. Mục đích của chương này là đưa ra định nghĩa, tính chất của kỳ vọng lựa chọn, sự hội tụ của kỳ vọng lựa chọn và kỳ vọng có điều kiện. Chương 3: Luật mạnh số lớn đối với tập ngẫu nhiên. Chương này đưa ra luật mạnh số lớn trong trường hợp không gian Euclidean và không gian Banach. Chương 4: Định lý giới hạn trung tâm đối với tập ngẫu nhiên Mục đích của chương này là trình bày định lý giới hạn trung tâm trong trường hợp không gian Euclidean và không gian Banach. Lời nói đầu vi Chương 5: Một số kết quả xa hơn liên quan tới tông Minkowski. Chương này giới thiệu một số các kết quả như: Luật loga lặp, định lý ba chuỗi, định lý ergodic. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi còn thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Chương 1 Tập đóng ngẫu nhiên và hàm công suất 1.1 Định lý Choquet 1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập Vì họ của tất cả các tập là rất rộng nên chúng ta thường xét các tập đóng ngẫu nhiên như các yếu tố ngẫu nhiên trong không gian các tập con đóng của không gian topo E nào đó. Họ các tập con đóng của không gian E được kí hiệu là F, K và G được kí hiệu tương ứng là họ của tất cả các tập con compact và tập con mở của E. Thường giả sử rằng E là không gian topo compact Hausdoff địa phương đếm được thứ hai ( không gian LCHS) ( locally compact Hausdoff second countable topologial space). Không gian Euclidean R d là ví dụ chung của không gian E. Cố định không gian xác suất (Ω, F, P ) mà được sử dụng để xác định yếu tố ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.1.1 ( Tập đóng ngẫu nhiên). Một ánh xạ X : Ω → F được gọi là một tập đóng ngẫu nhiên nếu với mọi tập compact K trong E ta có {w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F (1.1) 1.1. Định lý Choquet 2 Điều kiện (1.1) nói rằng ánh xạ X : Ω → F là đo được như một ánh xạ giữa không gian xác suất cơ bản và không gian F được trang bị σ− đại số B(F) được sinh bởi {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} với K thuộc họ K các tập con compact của E. Chú ý rằng B(F) được gọi là σ− đại số Effros. Chúng ta viết F K = {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} σ− đại số được sinh bởi F K với mọi K ∈ K bao gồm F K = {F ∈ F : F ∩ K = ∅} Hơn nữa, với mọi G thuộc họ G các tập mở ta có F G = {F ∈ F : F ∩ G ̸= ∅} = ∩ n F K n trong đó {K n , n ≥ 1} là một dãy các tập compact sao cho K n ↑ G ( ở đây tính compact địa phương của E là cần thiết). Do đó, F G ∈ B(F) với mọi G ∈ G. Chú ý rằng topo Fell trên Fđược sinh bởi các tập mở F G với G ∈ G và F K với K ∈ K. Khi đó, σ− đại số sinh bởi F K với K ∈ K trùng với σ− đại số Borel sinh bởi không gian Fell trên F. Có thể đưa ra định nghĩa tương tự với định nghĩa 1.1.1 như sau Định nghĩa 1.1.1’ Ánh xạ X : Ω → F được gọi là tập đóng ngẫu nhiên nếu X là đo được đối với σ− đại số Borel trên F theo topo Fell, tức là X −1 (χ) = {w : X(w) ∈ χ} ∈ F với mỗi χ ∈ B(F). Khi đó (1.1) có thể được viết lại như sau X −1 (F K ) = {w : X(w) ∈ F K } ∈ F (1.2) Vì σ− đại số B(F) là σ− đại số Borel đối với topo trên F nên ta có f(X) là một tập đóng ngẫu nhiên nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên và ánh xạ f : F → F là liên tục hoặc nửa liên tục . 1.1. Định lý Choquet 3 Ví dụ 1.1.2 ( Ví dụ đơn giản về tập đóng ngẫu nhiên) (i) Nếu ξ là một yếu tố ngẫu nhiên trên E (đo được đối với σ− đại số Borel trên E) thì có duy nhất X = {ξ} là một tập đóng ngẫu nhiên. (ii) Nếu ξ là biến ngẫu nhiên thì X = (−∞, ξ] là một tập đóng ngẫu nhiên trên đường thẳng E = R 1 . Thật vậy, {X ∩ K ̸= ∅} = {ξ ≥ inf K} là đo được đối với mọi K ⊂ E. X = (−∞, ξ 1 ] ×···×(−∞, ξ d ] là một tập con đóng ngẫu nhiên của R d nếu (ξ 1 , ··· , ξ n ) là một vector ngẫu nhiên d- chiều. Ví dụ 1.1.3 ( Biến ngẫu nhiên liên kết với tập đóng ngẫu nhiên). (i) Dễ dàng thấy rằng chuẩn ||X|| = sup{||x|| : x ∈ X} đối với một tập đóng ngẫu nhiên X trên E = R d là một biến ngẫu nhiên (có thể giá trị vô hạn). (ii) Với mọi x ∈ E thì hàm chỉ tiêu 1 X (x) ( bằng 1 nếu x ∈ X và bằng 0 nếu x ̸∈ X) là một biến ngẫu nhiên. Nếu hai tập đóng ngẫu nhiên X và Y có cùng phân phối thì chúng ta viết X d ∼ Y . Điều này có nghĩa là P {X ∈ χ} = P {Y ∈ χ} với mọi họ độ đo của các tập đóng χ ∈ B(F). 1.1.2 Hàm công suất capacity Phân phối của một tập đóng ngẫu nhiên X được xác định b ởi P (χ) = P {X ∈ χ} với mọi χ ∈ B(F). Sự chọn lựa riêng của χ = F K và P {X ∈ F K } = P {X ∩ K ̸= ∅} là hữu ích vì họ F K , K ∈ K sinh ra σ− đại số Borel B(F). Định nghĩa 1.1.4 (Hàm công suất) Hàm T X : K → [0, 1] được cho bởi T X (K) = P {X ∩ K ̸= ∅}, K ∈ K (1.3) được gọi là hàm công suất của X. Chúng ta viết T (K) thay cho T X (K). Ví dụ 1.1.5 ( Hàm công suất của biến ngẫu nhiên đơn) 1.1. Định lý Choquet 4 (i) Nếu X = {ξ} là một tập ngẫu nhiên duy nhất thì T X (K) = P {ξ ∈ K} tức là hàm công suất là phân phối xác suất của ξ. (ii) Cho X = (−∞, ξ] là một tập đóng ngẫu nhiên trên R, trong đó ξ là một biến ngẫu nhiên. Khi đó, T X (K) = P {ξ > inf K} với mọi K ∈ K. Từ định nghĩa của hàm công suất ta có các tính chất sau: T (∅) = 0, và 0 ≤ T(K) ≤ 1, K ∈ K Vì F K n ↓ F K khi K n ↓ K nên tính liên tục của độ đo xác suất P kéo theo tính chất T là nửa liên tục trên, tức là T (K n ) ↓ T(K) khi K n ↓ K trong K. Dễ dàng thấy rằng hàm công suất T là đơn điệu, tức là T (K 1 ) ≤ T(K 2 ) nếu K 1 ⊂ K 2 . Hơn nữa, T thỏa mãn tính đơn điệu mạnh. Với mọi hàm T xác định trên họ các tập compact, chúng ta định nghĩa ∆ K 1 T (K) = T(K) − T(K ∪ K 1 ), ∆ K n ···∆ K 1 T (K) = ∆ K n−1 ··· ∆ K 1 T (K) − ∆ K n−1 ···∆ K 1 T (K ∪ K n ), với n ≥ 2 và K, K 1 , K 2 , ··· , K n ∈ K. Nếu T xác định trong (1.3) là hàm công suất của X thì ∆ K 1 T (K) = P {X ∩K ̸= ∅} − P {X ∩(K ∪ K 1 ) ̸= ∅} = −P {X ∩ K 1 ̸= ∅, X ∩ K = ∅}. 1.1. Định lý Choquet 5 Từ đó ta có −∆ K n ···∆ K 1 T (K) = P {X ∩K = ∅, X ∩ K 1 ̸= ∅, i = 1, ··· , n} = P {X ∈ F K K 1 ···K n }, trong đó F K K 1 ···K n = {F ∈ F : F ∩ K = ∅, F ∩ K 1 ̸= ∅, ··· , F ∩K n ̸= ∅} Do đó ta có ∆ K n ···∆ K 1 T (K) ≤ 0 với mọi n ≥ 1 và K, K 1 , ··· , K n ∈ K. Một hàm giá trị thực φ trên K thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là hàm công suất. Hàm công suất là một hàm trên K nhận giá trị trong [0,1], bằng 0 trên tập rỗng và là nửa liên tục trên và đan dấu đầy đủ trên K. Định nghĩa 1.1.6 (Hàm đan dấu đầy đủ completely alternating ). Cho D là họ các tập mà đóng với phép hợp hữu hạn ( tức là M 1 ∪M 2 ∈ D nếu M 1 , M 2 ∈ D) . Một hàm φ giá trị thực xác định trên D được gọi là đan dấu đầy đủ completely alternating nếu ∆ K n ···∆ K 1 φ(K) ≤ 0, n ≥ 1, K, K 1 , ··· , K n ∈ D. Nếu bất đẳng thức trên xảy ra với mọi n ≤ m thì φ được gọi là đan dấu bậc m. Hàm φ xác định trên K có thể được mở rộng lên họ P các tập con của E mà giữ được tính đan dấu hoặc tính đơn điệu bởi φ. Đặt T ∗ (G) = sup{T (K) : K ∈ K, K ⊂ G}, G ∈ G T ∗ (M) = inf{T ∗ (G) : G ∈ G, G ⊃ M}, M ∈ P Định lý 1.1.7 (Tính nhất quán của sự mở rộng). (i) T ∗ (K) = T(K) với mỗi K ∈ K. [...]... một biến ngẫu nhiên; Nếu X và Y là hai tập đóng ngẫu nhiên thì 1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 14 (iii) X ∪ Y và X ∩ Y là các tập đóng ngẫu nhiên; (iv) cl(X + Y ) là một tập đóng ngẫu nhiên ( nếu E là không gian Banach); (v) Nếu cả X và Y là bị chặn thì ρH (X, Y ) là một biến ngẫu nhiên; Nếu {Xn , n ≥ 1} là một dãy các tập đóng ngẫu nhiên thì (vi) cl(∪n≥1 Xn ) và ∩n≥1 Xn là các tập đóng ngẫu nhiên Chứng... rằng E là Polish và không gian xác suất là đầy đủ nên định lý 1.2.3 đưa ra một số các định nghĩa tương đương của hàm đa trị đo được để đưa ra cách chứng minh tính đo được của các phép toán với các tập đóng ngẫu nhiên Định lý 1.2.12 ( Tính đo được của các phép toán lý thuyết tập) Nếu X là một tập đóng ngẫu nhiên trong không gian Polish E thì các hàm đa trị sau là các tập đóng ngẫu nhiên: (i) co(X),... 1] thỏa mãn T (∅) = 0 là hàm công suất của một tập đóng ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu T là nửa liên tục trên trên J , trong đó phần sau được trang bị với topo cảm sinh bởi topo myopic trên họ K các tập compact 1.3 Hàm công suất và tính chất của các tập đóng ngẫu nhiên 17 Chứng minh Chúng ta chỉ chứng minh điều kiện đủ Mở rộng T lên họ G các tập mở và họ các tập compact bởi T ∗ (G) = sup{T (L) : L ⊂ G, L... gian topo thì sự hội tụ h.c.c của tập đóng ngẫu nhiên ( trong topo Fell) kéo theo sự hội tụ yếu của chúng Mặt khác, một dãy hội tụ yếu của các tập đóng ngẫu nhiên có thể thu được trên không gian xác suất đơn như một dãy hội tụ h.c.c Định lý 1.5.7 ( Sự hội tụ h.c.c của các tập compact ngẫu nhiên) Cho V là một tập con đóng của K và cho {Xn , n ≥ 1} là một dãy các tập ngẫu nhiên V− giá trị sao cho cl(∪n... trên tính xấp xỉ của các tập đóng ngẫu nhiên bởi các tập ngẫu nhiên với nhiều nhất là một 1.2 Tính đo được và sự lựa chọn 12 số hữu hạn các giá trị Định nghĩa 1.2.5 ( Tập ngẫu nhiên đơn) Một tập đóng ngẫu nhiên X được gọi là đơn nếu giả sử tại nhiều nhất một số hữu hạn các giá trị thì tồn tại một phân hoạch đo được hữu hạn A1 , · · · , An của Ω và các tập F1 , · · · , Fn ∈ F sao cho X(w) = Fi với mọi... hàm chỉ tiêu là không liên tục tại điểm nào đó cho trước với xác suất không Tính chất của X là liên tục h.c.c có thể được kiểm tra lại bằng việc sử dụng hạn chế của hàm công suất trên họ các tập hữu hạn Mệnh đề 1.3.9( Tính liên tục h.c.c và tính tách được h.c.c) (i) Một tập đóng ngẫu nhiên X là liên tục h.c.c nếu và chỉ nếu X là P − liên tục và cl(X ∩ Q) là liên tục h.c.c với tập trù mật đếm được 1.4... biến ngẫu nhiên với giá trị có thể 0 và 1 xuất hiện như sự lựa chọn Định lý 1.2.9 ( Sự lựa chọn của phân phối đồng nhất identically các tập ngẫu nhiên) Xét hai không gian xác suất không nguyên tử? ( non- atomic) (Ω, F, P ) và (Ω′ , F′ , P ′ ) và hai tập đóng ngẫu nhiên X và Y trong không gian Polish E xác định tương ứng trên Ω và Ω′ Nếu X và Y là phân phối đồng nhất thì tính đóng yếu của S(X) và S(Y... ∈Q {F ⊂ F : F ⊂ ∪n B1/m (xi )} i=1 trong đó Q là tập trù mật đếm được trên E, Br (x) là hình cầu đóng bán kính r có tâm tại x Định nghĩa 1.1.11 ( Tập compact ngẫu nhiên) Một tập đóng ngẫu nhiên X với giá trị compact h.c.c ( tức là X ∈ K h.c.c) được gọi là một tập compact ngẫu nhiên Có thể xây dựng một tập compact ngẫu nhiên trực tiếp như một yếu tố ngẫu nhiên K− giá trị Topo myopic trên K ( hoặc metric... Trong trường hợp này vì họ F các tập đóng là compact nên điều kiện không kín no tightness là cần thiết cho sự hội tụ yếu của các tập đóng ngẫu nhiên trong không gian LCHS, tức là tất cả các họ phân phối các tập đóng ngẫu nhiên là compact tương đối Điều 1.5 Sự hội tụ 25 này được xây dựng như sau Định lý 1.5.2 Nếu E là không gian LCHS thì mọi dãy {Xn , n ≥ 1} của các tập đóng ngẫu nhiên có một dãy con hội... liên tục tại x0 ∈ E nếu pX (x) = P {x ∈ X} là liên tục tại x0 như một hàm của x Hơn nữa, X được gọi là P − liên tục nếu nó là P − liên tục tại mọi x0 ∈ E Tập ngẫu nhiên liên tục h.c.c Định nghĩa 1.3.8 ( Liên tục h.c.c) Một tập đóng ngẫu nhiên X được gọi là liên tục h.c.c nếu P {x ∈ ∂X} = 0 với mọi x ∈ E Chú ý rằng ∂X ( biên của X ) là một tập đóng ngẫu nhiên Nếu thay đổi công thức cho hàm chỉ tiêu . thuyết tập ngẫu nhiên, luận văn nghiên cứu về đề tài " Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan& quot;. Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn chỉ đề cập đến một phần xung quanh vấn đề tập ngẫu nhiên. Bố. một biến ngẫu nhiên; Nếu X và Y là hai tập đóng ngẫu nhiên thì 1.2. Tính đo được và sự lựa chọn 14 (iii) X ∪ Y và X ∩ Y là các tập đóng ngẫu nhiên; (iv) cl(X + Y ) là một tập đóng ngẫu nhiên (. ĐẦU Lý thuyết tập ngẫu nhiên liên quan đến sự phát triển của cấu trúc toán học để nghiên cứu các chủ đề ngẫu nhiên mà phép thể hiện của chúng là các tập. Các chủ đề như vậy xuất hiện cách đây một