5 Một số kết quả xa hơn liên quan tới tổng Minkowski
5.3 Định lý ergodic
Mệnh đề 5.2.2 Nếu {Xn, n ≥ 1} là một dãy các tập compact ngẫu nhiên độc lập sao cho cả ∑
EXn và ∑
V arAXn hội tụ thì ∑
Xn hội tụ h.c.c.
5.3 Định lý ergodic
Định lý ergodic theo từng điểm đối với họ các tập ngẫu nhiên quay về định lý ergodic cộng tính dưới của Kingman. Vì định lý ergodic theo từng điểm tổng quát không xảy ra trong không gian Banach của các hàm liên tục nên điều này được xảy ra đối với sự tổng quát hóa đặc biệt của định lý ergodic cho các tập đóng ngẫu nhiên.
Xét một dãy tam giác X = {Xm,n, m, n = 0,1,2,· · · , m < n} của các tập compact lồi ngẫu nhiên trong không gian Banach E. Một dãy
{Xn, n ≥ 1} của các tập compact ngẫu nhiên được gọi là dừng trên superstationary nếu Ef(X1, X2,· · ·) ≥ Ef(X2, X3,· · ·) cho tất cả các hàm f tăng tọa độ từng điểm bị chặn Borel.
Định nghĩa 5.3.1 ( Dãy dừng trên cộng tính dưới). Một dãy tam giác X được gọi là
(i) cộng tính dưới nếu X0,n ⊂ X0,m + Xm,n h.c.c đối với tất cả
0< m < n;
(ii) dừng trên nếu {X(m−1)k,mk, m≥ 1}là dãy dừng trên với mỗik ≥1
và với mỗi m ≥ 0 phân phối chung của {Xm,m+n, n ≥ 1} trội hơn phân phối chung của {Xm+1,m+n+1, n ≥ 1}, tức làEf(Xm,m+1, Xm,m+2,· · ·) ≥
Ef(Xm+1,m+2, Xm+1,m+3,· · ·) cho tất cả các hàm f bị chặn Borel tăng từng tọa độ .
Định lý 5.3.2 ( Định lý ergodic). Cho X là một họ cộng tính dưới, dừng trên của các tập compact lồi ngẫu nhiên sao choE||X0,1|| < ∞. Khi đó tồn tại một tập compact lồi ngẫu nhiênX∞sao choρH(n−1X0,n, X∞) →
5.3. Định lý ergodic 64
0 khi n → ∞.
Chứng minh. Vì X0,n ⊂ ∑n
i=1Xi−1,i và {Xn−1,n, n ≥ 1} là một dãy dừng trên nên bổ đề 5.3.3 được áp dụng. Do đó cl(∪∞
n=1n−1X0,n) là compact. Theo mệnh đề 1.5.7 đủ để chi ra rằngdH(n−1X0,n, K)hội tụ với mọi K ∈
coK.VìdH(., K) là một hàm tăng nên các biến ngẫu nhiên{ρH(Xm,n,(n−
m)K)} có dạng một họ cộng tính dưới dừng trên. Thật vậy, với0 < m < n và x ∈ X0,n thì tồn tại x1 ∈ X0,m và x2 ∈ Xm,n sao cho x = x1 + x2. Với y1, y2 ∈ K nào đó, y = n−1(my1 + (n−m)y2) ∈ K theo tính lồi và
||x−ny|| ≤ ||x1 −my1||+ ||x2 −(n−m)y2||, do đó dH(X0,n, K) ≤ dH(X0,m, mK) +dH(Xm,n,(n−m)K). Hơn nữa, dH(X0,n, nK) ≤ ||X0,n||+||nK||và ||X0,n|| ≤ ∑n i=1 ||Xi−1,i|| h.c.c. Do đó EdH(X0,n, nK) ≤ n(E||X0,1||+ ||K||) < ∞.
Theo định lý ergodic cộng tính dưới đối với biến ngẫu nhiên thì biến ngẫu nhiên dH(n−1X0,n, K) hội tụ h.c.c. Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 5.3.3 Cho {Xn, n ≥ 1} là một dãy dừng trên của các tập com- pact ngẫu nhiên sao choX1 là khả tích bị chặn. Khi đócl(∪∞
n=1n−1 n ∑ i=1 Xi) là compact h.c.c.
Chứng minh. Cho Q = {xk, k ≥ 0} là một tập trù mật đếm được trong E với x0 = 0. Định nghĩa Vk = co{x0,· · · , xk} và dk(K) = dH(K, Vk) với
k ≥ 1 và V ∈ K. Với mỗi k thì {dk(Xn, n ≥ 1)} là một dãy dừng trên của các biến ngẫu nhiên và dk(X1) ≤ ||X1||. Vì X1 là compact h.c.c nên
dk(X1) → 0 h.c.c khi k → ∞, do đó Edk(X1) → 0 khi k → ∞. Cho
5.3. Định lý ergodic 65 thì tồn tại biến ngẫu nhiênξ sao cho n−1
n
∑
i=1
dk(Xi) →ξ h.c.c khin → ∞
và P{ξ > ε/2} ≤ ε/2. Theo định lý Egoroff sử dụng sự hội tụ đều trên tập con của độ đo nhỏ nhất 1−ε/2 ta đạt được
P{sup n≥N n−1 n ∑ i=1 dk(Xi) > ε} ≤ ε
với số N nào đó. Vì Vk là lồi nên
P{sup n≥N dk(n−1 n ∑ i=1 dk(Xi)) > ε} ≤ ε. Với ε ≥ 0 ta định nghĩa Aε = ∪k.N{∪∞ n=Nn−1 n ∑ i=1 Xi ⊂ Vkε}
Khi đó P(Aε) ≥ 1−ε và P(∩ε>0Aε) = 1. Cho trước ε > 0, chọn k và N sao cho ∪∞n=N(n−1 n ∑ i=1 Xi) ⊂Vkε
h.c.c. Chú ý rằng Vkε được chứa trong một số hữu hạn các hình cầu có bán kính ε. Vì ∪N−1
n=1 n−1
n
∑
i=1
Xi được chứa trong một số hữu hạn các hình cầu có bán kính ε nên tập ∪∞
n=1n−1∑n
i=1Xi là bị chặn hoàn toàn. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Dễ dàng thấy rằng giới hạn trong định lý 5.3.2 là tất định nếu dãy
{dH(Xmn,(m+1)n, nK), m ≥ 1} là ergodic với mọi n≥ 1 và K ∈ coK. Một ví dụ quan trọng của một họ cộng tính dưới X = {Xm,n} xuất hiện nếu
Xm,n = Yn−m, trong đó {Yk, k ≥ 1} là một dãy cộng tính dưới của các tập compact lồi ngẫu nhiên, tức là
5.3. Định lý ergodic 66 với mọi m, n ≥ 0. Rõ ràng, các tổng riêng Yn = X1 + · · ·+Xn của một dãy {Xn, n ≥1} của các tập compact ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối thỏa mãn (5.7). Định lý 5.3.2 kéo theo kết quả sau.
Hệ quả 5.3.4 Nếu {Yn, n ≥ 1} là một họ cộng tính dưới của các tập compact lồi ngẫu nhiên khả tích bị chặn thì n−1Yn hội tụ trong metric Hausdoff.
Định lý 5.3.5 ( Định lý ergodic trung bình). Cho X và X∞ như trong định lý 5.3.2. Nếu E||X0,1||p < ∞ với p ≥1 thì
Kết luận 67
KẾT LUẬN
Các kết quả trong khóa luận đều được trình bày với các chứng minh chi tiết hơn trong tài liệu tham khảo [9]. Luận văn " Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan " tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
- Trình bày một cách hệ thống các kiến thức ban đầu về tập ngẫu nhiên, hàm công suất, kỳ vọng lựa chọn, luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm.
Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian, trình độ cũng như kinh nghiệm khoa học nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên(2009), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Adler, R.J (1981) The Geometry of Random Fields, Wiley, New York.
[4] Aubin, J.P and Frankowska (1990) Set- valued Analysis, Birkhauset, Boston.
[5] Billingsley, P. (1968) Convergence of Probability Measures, Wiley, New York.
[6] Cramer,H. and Leadbetter, M. R.(1967) Stationary and Related Stochastic Processes, Wiley, New York.bibitemDL
[7] Cross,R. (1998) Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker, New York.
[8] Jaffray,J,Y .(1997)Applications and Theory of Random Sets, Berlin, Springer.
[9] J. Gani,C.C.Heyde, P. Jagers,T.G.Kutz Theory of random sets, Published in association with the Applied Probability Trust.
Tài liệu tham khảo 69 [11] Kuratowski, K. and Ryll- Nardzewski, C. (1965) A general theorem
on selectors, Berlin, Springer.
[12] Taylor,R. L. (1978)Stochastic Convergence of Weighted Sum of Ran- dom Elements in Linear Spaces , Berlin, Springer.
[13] Xuerong Mao (1997)Stochastic Differential Equations and their Ap- plications, Horwood Publishing Chichester.