Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THỊ THÚY QUỲNH TẬP NGẪU NHIÊN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THỊ THÚY QUỲNH TẬP NGẪU NHIÊN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS: NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình TS Nguyễn Thịnh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Xin chân thành cảm ơn bạn động viên, cổ vũ, đóng góp ý kiến, trao đổi giúp đỡ hoàn thành luận văn thời hạn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thành viên gia đình tạo điều kiện tốt mặt cổ vũ, động viên suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, 26 tháng 07 năm 2014 Trần Thị Thúy Quỳnh Danh mục kí hiệu ii Danh mục kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực Rn Không gian thực n - chiều C Không gian phức n - chiều a∈A a thuộc A ∀a ∈ A Với a thuộc A A⊂B A tập B (A bị chứa B) n {x ∈ X : x ∈ P } Tập phần tử x ∈ X, có tính chất P f (A) Ảnh A qua f f −1 (B) Nghịch ảnh B qua f (xn ) = {xn } ∑ i ∏ i Dãy ( số dãy phần tử) |x| Giá trị tuyệt đối x ∥x∥ Chuẩn x f := g Định nghĩa f g f :X→Y Ánh xạ f từ X vào Y xn → x Dãy xn hội tụ đến x (Ω, F, P ) Không gian xác suất P (A) Xác suất A P (A | F) Xác suất có điều kiện A F EX Kỳ vọng X E(X | F) Kỳ vọng có điều kiện X F Tổng số Tích số Kết thúc chứng minh Mục lục Danh mục kí hiệu ii LỜI NÓI ĐẦU v Tập đóng ngẫu nhiên hàm công suất 1.1 Định lý Choquet 1 1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập 1.1.2 Hàm công suất capacity 1.1.3 1.2 Tập compact ngẫu nhiên Tính đo lựa chọn 1.2.1 1.2.2 1.3 Hàm đa trị không gian metric Sự lựa chọn tập đóng ngẫu nhiên 12 Hàm công suất tính chất tập đóng ngẫu nhiên 15 1.3.1 Tính bất biến tính dừng 15 1.3.2 Tập ngẫu nhiên tách 16 1.4 Phép tính với hàm công suất 19 1.4.1 19 1.4.2 1.5 Tích phân Choquet Định lý Radon- Nikodym hàm công suất 22 Sự hội tụ 24 1.5.1 Sự hội tụ yếu 24 1.5.2 Sự hội tụ h.c.c hội tụ theo xác suất 26 Kỳ vọng lựa chọn 29 2.1 Lựa chọn khả tích iii 29 2.2 Kỳ vọng lựa chọn 34 2.2.1 Tập ngẫu nhiên khả tích 34 2.2.2 Tính chất lựa chọn 36 2.3 Sự hội tụ kỳ vọng lựa chọn 38 2.3.1 Bổ đề Fatous cho tập bị chặn Rd 38 2.3.2 Bổ đề Fatous tập ngẫu nhiên không bị chặn 39 2.3.3 Sự hội tụ đơn điệu hội tụ yếu 40 2.4 Kỳ vọng có điều kiện 42 2.4.1 Sự tồn 42 2.4.2 Tính chất kỳ vọng có điều kiện 43 Luật mạnh số lớn tập ngẫu nhiên 46 3.1 Luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên 46 3.2 Định lý Shapley - Folkman-Starr 47 3.3 Luật mạnh số lớn trường hợp không gian Euclide 49 3.4 Luật mạnh số lớn không gian Banach 52 Định lý giới hạn trung tâm cho trung bình Minkowski 53 4.1 Định lý giới hạn trung tâm biến ngẫu nhiên 53 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide 54 4.3 58 Định lý giới hạn trung tâm không gian Banach Một số kết xa liên quan tới tổng Minkowski 60 5.1 Luật loga lặp 60 5.2 Định lý ba chuỗi 61 5.3 Định lý ergodic 63 KẾT LUẬN 67 Tài liệu tham khảo 68 Lời nói đầu v LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết tập ngẫu nhiên liên quan đến phát triển cấu trúc toán học để nghiên cứu chủ đề ngẫu nhiên mà phép thể chúng tập Các chủ đề xuất cách khoảng thời gian dài thống kê toán kinh tế hình thức khoảng tin cậy mà miêu tả tập ngẫu nhiên Ý tưởng tập ngẫu nhiên hình thức khoảng phụ thuộc vào xuất tình cờ Kolmogorov (1950) mà công bố năm 1933 Với mong muốn tìm hiểu lý thuyết tập ngẫu nhiên, luận văn nghiên cứu đề tài " Tập ngẫu nhiên vấn đề liên quan" Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn đề cập đến phần xung quanh vấn đề tập ngẫu nhiên Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Tập ngẫu nhiên hàm công suất Chương trình bày khái niệm tập ngẫu nhiên, hàm công suất ( định nghĩa, định lý), lựa chọn tập đóng ngẫu nhiên, dạng hội tụ Chương 2: Kỳ vọng lựa chọn Mục đích chương đưa định nghĩa, tính chất kỳ vọng lựa chọn, hội tụ kỳ vọng lựa chọn kỳ vọng có điều kiện Chương 3: Luật mạnh số lớn tập ngẫu nhiên Chương đưa luật mạnh số lớn trường hợp không gian Euclidean không gian Banach Chương 4: Định lý giới hạn trung tâm tập ngẫu nhiên Mục đích chương trình bày định lý giới hạn trung tâm trường hợp không gian Euclidean không gian Banach Lời nói đầu vi Chương 5: Một số kết xa liên quan tới tông Minkowski Chương giới thiệu số kết như: Luật loga lặp, định lý ba chuỗi, định lý ergodic Mặc dù cố gắng trình độ thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện Chương Tập đóng ngẫu nhiên hàm công suất 1.1 1.1.1 Định lý Choquet Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập Vì họ tất tập rộng nên thường xét tập đóng ngẫu nhiên yếu tố ngẫu nhiên không gian tập đóng không gian topo E Họ tập đóng không gian E kí hiệu F, K G kí hiệu tương ứng họ tất tập compact tập mở E Thường giả sử E không gian topo compact Hausdoff địa phương đếm thứ hai ( không gian LCHS) ( locally compact Hausdoff second countable topologial space) Không gian Euclidean Rd ví dụ chung không gian E Cố định không gian xác suất (Ω, F, P ) mà sử dụng để xác định yếu tố ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 ( Tập đóng ngẫu nhiên) Một ánh xạ X : Ω → F gọi tập đóng ngẫu nhiên với tập compact K E ta có {w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F (1.1) 1.1 Định lý Choquet Điều kiện (1.1) nói ánh xạ X : Ω → F đo ánh xạ không gian xác suất không gian F trang bị σ− đại số B(F) sinh {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} với K thuộc họ K tập compact E Chú ý B(F) gọi σ− đại số Effros Chúng ta viết FK = {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} σ− đại số sinh FK với K ∈ K bao gồm F K = {F ∈ F : F ∩ K = ∅} Hơn nữa, với G thuộc họ G tập mở ta có FG = {F ∈ F : F ∩ G ̸= ∅} = ∩n FKn {Kn , n ≥ 1} dãy tập compact cho Kn ↑ G ( tính compact địa phương E cần thiết) Do đó, FG ∈ B(F) với G ∈ G Chú ý topo Fell Fđược sinh tập mở FG với G ∈ G F K với K ∈ K Khi đó, σ− đại số sinh FK với K ∈ K trùng với σ− đại số Borel sinh không gian Fell F Có thể đưa định nghĩa tương tự với định nghĩa 1.1.1 sau Định nghĩa 1.1.1’ Ánh xạ X : Ω → F gọi tập đóng ngẫu nhiên X đo σ− đại số Borel F theo topo Fell, tức X −1 (χ) = {w : X(w) ∈ χ} ∈ F với χ ∈ B(F) Khi (1.1) viết lại sau X −1 (FK ) = {w : X(w) ∈ FK } ∈ F (1.2) Vì σ− đại số B(F) σ− đại số Borel topo F nên ta có f (X) tập đóng ngẫu nhiên X tập đóng ngẫu nhiên ánh xạ f : F → F liên tục nửa liên tục Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên(2009), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục [3] Adler, R.J (1981) The Geometry of Random Fields, Wiley, New York [4] Aubin, J.P and Frankowska (1990) Set- valued Analysis, Birkhauset, Boston [5] Billingsley, P (1968) Convergence of Probability Measures, Wiley, New York [6] Cramer,H and Leadbetter, M R.(1967) Stationary and Related Stochastic Processes, Wiley, New York.bibitemDL [7] Cross,R (1998) Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker, New York [8] Jaffray,J,Y (1997) Applications and Theory of Random Sets, Berlin, Springer [9] J Gani,C.C.Heyde, P Jagers,T.G.Kutz Theory of random sets, Published in association with the Applied Probability Trust [10] Kallenberg,O (1983) Random Measures, Berlin, Springer Tài liệu tham khảo 69 [11] Kuratowski, K and Ryll- Nardzewski, C (1965) A general theorem on selectors, Berlin, Springer [12] Taylor,R L (1978) Stochastic Convergence of Weighted Sum of Random Elements in Linear Spaces , Berlin, Springer [13] Xuerong Mao (1997) Stochastic Differential Equations and their Applications, Horwood Publishing Chichester