Luận văn thạc sĩ phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± DIfiP PHƯƠNG PHÁP ĐAO HÀM VÀ CÁC BÀI TỐN VE TÌM GIÁ TR± LéN NHAT VÀ NHO NHAT Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS.TS NGUYEN MINH TUAN Hà N®i- 2015 Lài cám ơn Trưóc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, tụi xin bày to lịng cam ơn chân thành tói PGS.TS Nguyen Minh Tuan, ngưịi thay trnc tiep hưóng dan, chi bao t¾n tình giúp đõ tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin chân thành cam ơn sn giúp đõ cna thay giáo, giáo khoa Tốn Cơ Tin HQ c, Trương Đai HQ c Khoa HQ c Tn Nhiên-Đai HQ c Khoa sau đai HQ c, nhi¾t tình giúp đõ tơi hồn thành khóa Cao Quoc gia Hà N®i HQc Tơi xin bày to lịng biet ơn đen gia đình, ban bè ln đ®ng viên khuyen khích tơi rat nhieu thịi gian nghiên cúu HQc t¾p Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc nên lu¾n văn cịn nhieu thieu sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban đe lu¾n văn hồn thiắn hn H Nđi, nm 2015 Nguyen Th% Diắp Mnc lnc Lài ma đau M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Đ%nh nghĩa đao hàm tai m®t điem 1.2 Cnc tr% cna hàm so 1.3 Các đ%nh lí ban ve hàm kha vi 1.4 Hàm loi hàm lõm Úng dnng đao hàm giai tốn tìm giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat cua hàm so 11 2.1 Khao sát trnc tiep hàm so mien xác đ%nh .11 2.2 Khao sát hàm so theo tùng bien 17 2.3 Đ¾t bien phu chuyen ve đánh giá hàm so m®t bien .30 2.4 Đánh giá gián tiep thơng qua bieu thúc b¾c nhat 44 2.5 Phương pháp su dung tính chat cna hàm loi, hàm lõm 51 CEc tr% hàm nhieu bien 59 3.1 Cnc tr% tn 59 3.2 Cnc tr% có đieu ki¾n 63 Lài ma đau Trong nhung năm gan đây, kỳ khao sát chat lưong, thi HQc HQ c sinh gioi b¾c trung phő thơng thưịng g¾p nhung tốn u cau tìm giá tr% nho nhat, giá tr% lón nhat cna m®t đai lưong Các tốn cnc tr% rat phong phú đa dang mang n®i dung vơ sâu sac, có ý nghĩa rat quan TRQNG đoi vói em tốn ve cnc tr% góp phan khơng nho vào vi¾c rèn luy¾n tư cho HQc HQc sinh Các sinh Bài tốn tìm tot nhat, re nhat, ngan nhat, dài nhat m®t tốn Đe dan dan hình thành cho HQ c sinh thói quen tìm giai pháp toi u cho mđt cụng viắc no ú cuđc song sau ny Luắn trỡnh by mđt so ỳng dung cna đao hàm đe giai toán cnc tr% Luắn chi e cắp túi mđt so phng phỏp giai m®t so loai tốn cnc tr% đai so thưịng g¾p chương trình tốn HQc trung HQ c phő thơng Lu¾n văn h¾ thong hóa, phân loai tốn trình bày theo tùng ý tưong ky nng vắn dung ao hm vo viắc giai mđt lúp tốn tìm giá tr% lón nhat giá tr% nho nhat Lu¾n văn gom có chương vói cỏc nđi dung sau: Chng 1: Luắn trỡnh by kien thúc khái ni¾m can thiet đao hàm, tính đơn đi¾u hàm loi đưoc tham khao [3] Chương 2: Lu¾n văn trình bày phương pháp su dung đao hàm vào giai tốn tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat Chương lu¾n văn trình bày phương pháp khao sát trnc tiep hàm so t¾p xác đ%nh cna hàm so, khao sát theo hàm so tùng bien, đ¾t bien phu chuyen ve đánh giá hàm m®t bien, đánh giá thơng qua bieu thúc b¾c nhat, hay phương pháp su dung tính chat hàm loi, hàm lõm đưoc tham khao [1, 5, 6, 2, 7, 4] Chương Lu¾n văn trình bày phương pháp đe tìm cnc tr% tn cnc tr% có đieu ki¾n cna hàm nhieu bien so Tù tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna hàm so đưoc tham khao [3] Chương M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Đ%nh nghĩa đao hàm tai m®t điem Đ%nh nghĩa 1.1 Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh khoang (a, b) x0 ∈ (a, b) Neu giái han sau ton tai huu han lim x→x0 giái han đưac GQI f (x) − f ( x 0) x − x0 đao hàm cua hàm so f tai điem x0 đưac ký hi¾u f j (x0 ) Khi ta nói rang f kha vi tai x0 Chú ý Neu kí hi¾u ∆x = x − x0, ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) f j (x0 ) = lim x→x0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆y = lim ∆x→0 ∆x x− x0 Neu hàm so y = f (x) có đao hàm tai x0 liên tuc tai điem Ý nghĩa hình HQ c Cho hàm so y = f (x) có đo th% (C) Khi đó, f j (x0 ) h¾ so góc cna tiep tuyen đo th% (C) cna hàm so y = f (x) tai M (x0 , y0 ) ∈ (C) Phương trình tiep tuyen cna đo th% hàm so y = f (x) tai điem M (x0 , y0 ) ∈ (C) y = f j (x0 )(x − x0 ) + y0 1.2 CEc tr% cua hàm so Đ%nh nghĩa 1.2 Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh t¾p hap D ⊂ R x0 ∈ D Điem x0 đưac GQi m®t điem cnc đai cua hàm so f (x) neu ton tai m®t khoang (a, b) chúa điem x0 cho f (x) ≤ f (x0 ) vái ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi f (x0 ) đưac giá tr% cnc đai cua f (x) điem (x0 , f (x0 )) đưac so y = f (x) Điem x0 đưac GQI GQI GQI là điem cnc đai cua đo th% hàm m®t điem cnc tieu cua hàm so f (x) neu ton tai m®t khoang (a, b) chúa điem x0 cho f (x) ≥ f (x0 ) vái ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi f (x0 ) đưac GQI giá tr% cnc tieu cua f (x) điem (x0 , f (x0 )) đưac GQI điem cnc tieu cua đo th% hàm so y = f (x) Điem cnc đai, cnc tieu đưac đưac GQI GQI chung điem cnc tr% Giá tr% cnc đai, giá tr% cnc tieu chung cnc tr% Đ%nh lý 1.3 Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh liên tnc [a, b] Neu f j (x) ≥ ∀x ∈ [a, b] f (x) đong bien [a, b] ta có mi f (x) = f (a), max f (x) = n f (b) x∈[a,b ] x∈[a,b] Neu f j (x) ≤ ∀x ∈ [a, b] f (x) ngh%ch bien [a, b] ta có mi f (x) = f (b), max f (x) = n f (a) x∈[a,b ] x∈[a,b] Chú ý Khái ni¾m cnc đai cnc tieu cna m®t hàm so có tính chat đ%a phương, chúng chưa chac giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna hàm so Ta có ket qua sau ve đieu ki¾n can cna cnc tr% Đ%nh lý 1.4 ( Đ%nh lý Fermat) Cho hàm f xác đ%nh (a, b) x0 ∈ (a, b) Neu hàm so f có cnc tr% tai x0 hàm f có đao hàm tai x0 f j (x0 ) = Chú ý Đieu ngưoc lai khơng đúng: Neu hàm f có f j (x0 ) = chưa chac x0 điem cnc tr%, ví du hàm y = x3 có yj (0) = hàm so khơng có cnc tr% tai x = Neu hàm so f có cnc tr% tai x0 có the tai x0 đao hàm khơng xác đ%nh, ví du hàm y = |x| có cnc tieu tai x = de chúng minh đưoc hàm so khơng có đao hàm tai x = Đ%nh lý 1.5 Gia su hàm so f kha vi khoang (a, b) chúa x0 , f j (x0 ) = Neu f j (x) ≥ vái MQI x ∈ (a, x0 ) f j (x) ≤ vái MQI x ∈ (x0 , b) ( túc đao hàm đői dau tù (+) sang (-) qua x0 ) x0 điem cnc tieu cua hàm f Neu f j (x) ≤ vái đői MQI x ∈ (a, x0 ) f j (x) ≥ vái MQI x ∈ (x0 , b) ( túc đao hàm dau tù (-) sang (+) qua x0) x0 điem cnc đai cua hàm f Đ%nh lý 1.6 Gia su hàm so f có đao hàm cap m®t khoang (a, b) chúa x0, có đao hàm cap hai khác tai x0 Neu f j (x0 ) = f jj (x0 ) > x0 điem cnc tieu cua hàm f Neu f j (x0 ) = f jj (x0 ) < x0 điem cnc đai cua hàm f 1.3 Các đ%nh lí ban ve hàm kha vi Trong phan này, lu¾n văn trình bày hai đ%nh lý quan TRQNG ve đao hàm Đó đ%nh lí Lagrange, đ%nh lí Rolle (xem [3]) Đ%nh lý 1.7 (Đ%nh lý Rolle) Neu f (x) hàm liên tnc đoan [a, b], có đao hàm khoang (a, b) f (a) = f (b) ton tai c ∈ (a, b) cho f j (c) = Chúng minh Vì f (x) liên tuc [a, b] nên theo đ%nh lí Weierstrass f (x) nh¾n giá tr% lón nhat M giá tr% nho nhat m [a, b] - Khi M = m ta có f (x) hàm hang [a, b], vói có MQI c ∈ (a, b) ln f j (c) = - Khi M > m, f (a) = f (b) nên ton tai c ∈ (a, b) cho f (c) = m ho¾c f (c) = M , theo Đ%nh lý Fermat suy f j (c) = Đ%nh lý đưoc chúng minh H¾ qua 1.8 Neu hàm so f (x) có đao hàm (a, b) f (x) có n nghi¾m ( n so nguyên dương lán 1) (a, b) f j (x) có nhat n − nghi¾m (a, b) ... tính đơn đi¾u hàm loi đưoc tham khao [3] Chương 2: Lu¾n văn trình bày phương pháp su dung đao hàm vào giai tốn tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat Chương lu¾n văn trình bày phương pháp khao sát... Úng dnng đao hàm giai tốn tìm giá tr% lán nhat, giá tr% nho nhat cua hàm so 2.1 Khao sát trEc tiep hàm so mien xác đ%nh Bài toán ( Thi HSG Quoc gia, 1992) Cho so tn nhiên n > Tìm giá tr% lán nhat... [1, 5, 6, 2, 7, 4] Chương Lu¾n văn trình bày phương pháp đe tìm cnc tr% tn cnc tr% có đieu ki¾n cna hàm nhieu bien so Tù tìm giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna hàm so đưoc tham khao [3] Chương