Lý thuyết đồ thị với các bài toán phổ thông luận án ths toán học 60 46 01 13

Đai HQC Quoc gia Hà N®i Trưàng Đai HQC Khoa HQC TE nhiên Lê Th% Thu Hien LÝ THUYET ĐO TH± VéI CÁC BÀI TỐN PHO THƠNG Chun ngành : Phương pháp toán sơ cap Mã so : 60.46.01.13 Ngưài hỏng dan khoa HQC: GS.TS ắng Huy Ruắn H Nđi- 2013 Mnc lnc Ma đau Lý thuyet đo th% 1.1 Các khái ni¾m ban 1.2 B¾c cna đo th% 1.3 Xích, chu trình, đưịng, vòng 14 1.4 Đo th% liên thông 16 1.5 Sac so đo th% tô màu 17 1.6 So őn đ%nh trong, so őn đ%nh 19 1.7 Nhân cna đo th% úng dung vào trò chơi 21 1.8 Cây 26 Khai thác lý thuyet đo th% vào giai tốn trung HQC thơng 30 2.1 Quy trình chuyen đői tù tốn thơng thưịng sang ngơn ngu lý thuyet đo th% 30 2.2 Bài tốn liên quan đen đo th% có hưóng .33 2.3 Bài toán liên quan đen đo th% màu .35 2.4 Bài tốn có liên quan đen b¾c canh cna đo th% .47 2.5 Bài tốn liên quan đen đưịng 51 2.6 Bài toán liên quan đen đo th% liên thông .55 2.7 Bài toán liên quan đen 57 2.8 Tőng hop .60 Ket lu¾n 72 Tài li¾u tham khao 73 Ma đau Phương pháp lý thuyet đo th% môn khoa HQc có tính khái qt cao giúp nghiên cúu toi ưu moi liên h¾ giua đinh, nút, canh ho¾c cung đe chuyen thành phương pháp giai tốn Đ¾c bi¾t đoi vói trung HQc phő thông phương pháp đo th % giai đưoc nhieu tốn hay bő ích V¾n dung lý thuyet đo th% vào giai t¾p cho HQc sinh se giúp rèn luy¾n lnc h¾ thong hóa kien thúc thúc đay trình sáng tao trình tn HQc nghiên cúu moi HQc sinh Qua toán sơ cap logic, lý thuyet đo th% giúp phân tích yeu to, cau trúc, đưa cách cHQN lna hop lý cho tùng trưòng hop toán Lý thuyet đo th% phát trien khoang the ki trưóc Đánh dau sn xuat hi¾n cna lý thuyet đo th% ket qua úng dung cna vào năm 1736 báo cna Leonhard Euler ve “Bay cau Euler” Cho đen ngày mang lai nhieu úng dung quan TRQNG khoa hQc, kĩ thu¾t : Tin HQc, v¾t lý, hóa HQc, mang lưói giao thơng, đieu khien HQc, cau trúc máy tính, Đe hieu sâu ve lý thuyet đo th% phương pháp này, trưóc het can nam bat đưoc tính chat ban cna đo th% : o th% l mđt cỏc oi tong đưoc GQI đinh (ho¾c nút) noi vói boi canh (ho¾c cung) Canh có the có hưóng ho¾c vơ hưóng Đo th% thưịng đưoc ve dưói dang mđt cỏc iem (cỏc inh noi vúi bang đoan thang (các canh) Đo th% bieu dien đưoc rat nhieu cau trúc Nhieu tốn thnc te có the bieu dien bang đo th% Do v¾y, sn phát trien cna thu¾t tốn xu lý đo th% m®t moi quan tâm cna phương pháp đo th% Ngồi ra, Cau trúc đo th% có the đưoc mo r®ng bang cách gán TRQNG so cho moi canh Có the su dung đo th% có TRQNG so đe bieu dien nhieu khái ni¾m khác Lu¾n văn : “Lý thuyet đo th% vói tốn trung HQc phő thơng” nghiên cúu cau trúc tốn đưoc bieu dien bang đo th%, đưa phương pháp nh¾n dang tốn phát trien lnc v¾n dung lý thuyet đo th% vào giai t¾p tốn Đong thịi làm női b¾t ưu the cna lý thuyet đo th% qua toán úng dung thnc te Cau trúc lu¾n văn Lu¾n văn gom phan mo đau v ba chng Chng : Giúi thiắu nđi dung cna lý thuyet đo th%, khái ni¾m, đ%nh lý, tính chat h¾ qua đưoc chúng minh Chương : T¾p trung khai thác lý thuyet đo th% vào giai tốn trung HQc phő thơng qua dang tốn cu the Đưa phương pháp giai dang toán liên quan đen đo th%, đo th% tô màu, đo th% liên thơng, cây, b¾c, đưịng tốn tőng hop Chương : Hưóng dan giai m®t so tốn có the quy ve phương pháp đo th %, v mđt so bi toỏn ỏp dung Luắn oc hồn thành dưói sn hưóng dan khoa HQc cna GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, HQc Quoc gia H Nđi, ngũi Thay ó tắn tình giúp đõ tác gia trình nguyên cúu soan thao lu¾n văn Tác gia xin bày to lịng biet ơn chân thành kính TRQNG sâu sac tói Giáo sư Hà N®i, tháng năm 2013 Tác gia Lê Th% Thu Hien Chương Lý thuyet đo th% 1.1 Các khái ni¾m ban Đ%nh nghĩa đo th% yeu to liên quan + T¾p hop X ƒ= ∅ đoi tưong tùy ý v bđ E cỏc cắp oc sap thỳ tn v không đưoc sap thú tn phan tu cna X đưoc GQI m®t đo th%, đong thịi đưoc kí hi¾u ho¾c bang G(X, E) ho¾c bang G = (X, E) ho¾c bang G(X) Các phan tu cna t¾p X đưoc GQi đinh phan tu cna t¾p E đưoc gQI canh cna đo th% G Hình anh ve đo th%: Trong (H1) có: T¾p đinh X = {2, 3, 5, 6, 7, 10} T¾p canh E = {(2, 3), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (3, 10), (6, 5), (6, 7), (7, 5), (7, 10)} + C¾p đinh khơng sap thú tn a = (x, y) đưoc GQi canh hay canh vơ hưóng, cịn x, y đưoc GQI đinh đau cna canh a; c¾p đinh đưoc sap thú tn b = (u, v) đưoc GQI canh có hưóng hay cung Đinh u đưoc GQI đinh đau, đinh v đưoc GQI đinh cuoi cna cung b Ngưịi ta cịn nói rang: cung b tù đinh u đen đinh v Trong hình (H2) có: T¾p canh (3, 5), (5, 7), (7, 10) Cung (3,10), đinh đau, 10 đinh cuoi + Đo th% chi chúa canh đưoc GQI đo th% vơ hưóng Đo th% chi chúa cung GQI đo th% có hưóng Neu đo th% chúa ca canh lan cung, GQI đo th% hon hop hay o th% hon tap + Mđt cắp đinh có the đưoc noi vói bang hai ho¾c nhieu hai canh ( hai ho¾c nhieu hai cung m®t hưóng) Các canh (cung) đưoc GQI canh (cung) b®i + M®t canh (hay m®t cung) có the bat đau ket thúc tai m®t đinh Canh (cung) loai đưoc GQI khuyên hay nút (có hưóng) Trong hình (H4) có: Canh b®i canh (3, 5) Cung b®i cung (3, 10) Khuyên (7, 7) Nút (5, 5) + C¾p đinh x, y đưoc GQI hai đinh ke nhau, neu x ƒ= y hai đau cna m®t canh hay m®t cung + Đoi vói moi đinh x dùng D(x) đe kí hi¾u t¾p đinh, mà moi đinh đưoc noi vói x bang nhat m®t canh D+(x) đe chi t¾p đinh, mà moi đinh tù x có cung tói D−(x) đe chi t¾p đinh, mà moi đinh có cung tói x Trong hình (H4) có: D(3) = {5, 7}; D+(3) = {10}; D−(3) = ∅ + Hai canh (cung) a, b đưoc GQi ke nhau, neu: Chúng khác Chúng có đinh chung (neu a, b khơng phu thu®c vào đinh chung đinh đau hay đinh cuoi cna cung a, đinh đau hay đinh cuoi cna cung b ) Bieu dien đo th% bang hình HQC Đo th% có nhieu cách đe bieu dien phan chi trình bày cách bieu dien bang hình HQc Gia su có đo th% G = (X, E) Đe có dang bieu dien hình HQc cna G ta can bieu dien đinh canh Bieu dien đsnh: Lay điem m¾t phang hay khơng gian tương úng vói phan tu cna t¾p X dùng kí hi¾u phan tu đe ghi điem tương úng Bieu dien canh: Neu canh a vói hai đinh đau x, y đưoc bieu dien bang m®t đoan thang hay m®t đoan cong noi giua hai điem x, y không qua điem tương úng chung gian khác Bieu dien cung: Cung b có đinh đau u, đinh cuoi v, đưoc bieu dien bang m®t đoan thang hay m®t đoan cong đưoc đ%nh hưóng tù u sang v không qua điem tương úng chung gian khác Hình nh¾n đưoc GQI dang bieu dien hình HQc cna đo th% G = (X, E) Đơi ngưịi ta GQI dang bieu dien hình HQc đo th% Ví dn Gia su đo th% G có t¾p đinh X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 } t¾p canh E gom canh a1 = (x1 , x2 ), a2 = (x2 , x3 ), a3 = (x4 , x5 ), a4 = (x5 , x6 ), khun vơ hưóng a5 = (x7 , x7 ), khuyên có hưóng (x6 , x6 ) cung b1 = (x1 , x8 ) Khi đo th% G = (X, E) có dang bieu dien hỡnh HQc sau: Mđt so dang o th% ắc bi¾t Trong nhung trưịng hop khơng can phân bi¾t canh cung ta quy ưóc dùng canh thay cho ca cung + Đo th% G = (X, E) khơng có khun moi c¾p đinh đưoc noi vói bang khơng q m®t canh, đưoc GQI đo th% đơn hay đơn đo th% thơng thưịng GQI đo th% Hình anh ve đơn đo th% + Đo th% G = (X, E) khơng có khun có nhat mđt cắp inh oc noi vúi bang tự hai canh tro lên đưoc GQI đa đo th% Hình anh ve đa đo th% + Đo th% vơ hưóng (có hưóng) G = (X, E) đưoc GQI đo th% đay đn neu moi c¾p đinh đưoc noi vói bang m®t canh (m®t cung vói chieu tùy ý) + Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI huu han, neu so đinh cna huu han, túc t¾p X có lnc lưong huu han + Đo th% G đưoc GQI gia đo th% neu G ton tai m®t canh noi m®t đinh vói Canh đưoc GQI khuyên + Cho Y ⊆ X, Y ƒ= ∅, H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y ) Đo th% G1 = (Y, F ) đưoc GQi đo th% con, G2 = (X, H) o th% bđ phắn cna o th% G = (X, E) + Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI đo th% (đa đo th%) hai mang, neu t¾p đinh X đưoc phân thành hai t¾p ròi X1 , X2 , (X1 ∪ X2 = X X1 ∩ X2 = ∅) moi canh đeu có m®t đau thu®c X1 , cịn đau thu®c X2 Khi G = (X, E) cịn đưoc kí hi¾u bang G = (X1 , X2 ; E) Hình anh cna đo th% hai mang 1.2 Bắc cua o th% e %nh long so canh thuđc moi đinh đo th% ngưịi ta đưa khái ni¾m b¾c cna đinh Đoi vói đo th% đa đo th% có hưóng đe đ%nh lưong so cung vào so cung tai moi đinh cịn có khái ni¾m nua b¾c vào nua b¾c B¾c cua đinh đo th% Gia su G = (X, E) m®t đo th% hay đa đo th% có hưóng ho¾c khơng có hưóng So canh cung thuđc inh x oc GQI l bắc cna inh x kí hi¾u bang m(x) Neu canh khun đưoc tính Trong đo th% hình (H9) có: m(X1) m(X3) m(X4) m(X6) m(X7) = = = = = 3; m(X2) = m(X5) = + Đinh có b¾c đưoc GQI đinh bi¾t l¾p + Đinh có b¾c đưoc GQI đinh treo + Canh (cung) có nhat m®t đau đinh treo đưoc GQI canh (cung) treo Trong đo th% hình (H9) có: X7 đinh bi¾t l¾p X6 đinh treo (X4, X6) cung treo NEa b¾c Gia su G = (X, E) đo th% ho¾c đa đo th% có hưóng So cung vào đinh x đưoc GQI nua b¾c vào cna đinh x kí hi¾u bang mJ (x) ho¾c m−(x) So cung khoi đinh x đưoc GQI nua b¾c cna đinh x kí hi¾u bang JJ m (x) ho¾c m+ (x) Kí hi¾u t¾p cung vào đinh x bang E−(x), cịn t¾p cung khoi đinh x bang E+(x) Trong đo th% hình (H10) có: mJ (X1 ) = 0; mJJ (X1 ) = mJ (X2 ) = 1; mJJ (X2 ) = - Khi AP có đ® dài 1, chu trình só cap có đ® dài ta ln cHQN đưoc canh không ke không ke AD, PT, BN - Khi AP có đ® dài 2, chi viắc cHQN canh thuđc ũng i ngan nhat tù A đen P hai canh khơng ke vói chu trình sơ cap cịn lai, chang han AD, TP, NB ho¾c DP, AT, NB V¾y MQI trưịng hop ta đeu tìm đưoc canh đơi m®t khơng ke Khang đ%nh đưoc chúng minh Chuyen toán ve dang đo th% Dùng điem tương úng vói ngoai ngu nói Dùng chu đau cna tên ngoai ngu đe ghi tên điem tương úng : A, P, N, D, T, B Moi ngưịi biet hai ngoai ngu đưoc bieu th% boi m®t canh noi hai đinh tương úng vói hai ngoai ngu Đo th% nh¾n đưoc kí hi¾u G Có ngưịi tham gia dn tuyen moi ngưịi biet hai ngoai ngu, đo th% G có canh Bat kì hai ngưịi dn tuyen chi biet toi đa m®t ngoai ngu nói trên, nên đo th% G khơng có mđt cắp inh no oc noi bang hai canh Vắy G m®t đo th% đơn gom đinh canh Do đó, theo khang đ%nh trên, ln ln tìm đưoc canh khơng ke tùng đơi m®t Khi chi vi¾c cHQN ngưịi đưoc bieu th% bang canh nói trên, moi ngưịi đeu biet hai ngoai ngu khơng có hai ngưịi biet m®t ngoai ngu Do nhóm ngưịi biet tat ca sáu ngoai ngu : Anh, Pháp, Nga, Đúc, Trung Quoc Bo Đào Nha Bài ( Bắc - Liờn Thụng ) Trong mđt cuđc HQP cú hai đai bieu không quen moi đai bieu có m®t so le ngưịi quen đen dn Chúng minh rang ln ln có the sap xep m®t so đai bieu ngoi chen giua hai đai bieu nói trên, đe moi ngưòi ngoi giua hai ngưòi mà đai bieu quen Giai Lay điem m¾t phang hay khơng gian tương úng vói đai bieu dn h®i ngh% Dùng tên đai bieu đe ghi điem tương úng Hai điem tùy ý x, y đưoc noi bang m®t đoan thang chi đai bieu x, y quen Đo th% nh¾n đưoc ta kí hi¾u bang G Hai đai bieu khơng quen nhau, hai đinh tương úng khơng ke Moi đai bieu lai có m®t so le ngưòi quen đen HQP, nên đo th% G có hai đinh b¾c le hai đinh lai khơng ke Khi đó, theo h¾ qua hai đinh liên thơng, nên có nhat mđt ũng noi giua hai inh bắc le ny Gia su α m®t nhung đưịng noi giua hai đinh b¾c le Dna vào α ta sap xep đai bieu tương úng ngoi giua hai đai bieu cna hai đinh b¾c le, moi đai bieu se ngoi giua hai ngưòi mà anh (ch%) ta quen Bi (Bắc - Chu trỡnh) Cho mđt hop X gom n > điem m¾t phang, khơng có điem thang hàng m®t so tn nhiên k (k < n) Chúng minh : Neu k ≤ n2 tù moi điem cna t¾p hop cho có the ve đưoc đoan thang noi vói nhat k điem khác, cho khơng có ba đoan thang tao thành m®t tam giác Neu k > n moi điem cna t¾p hop cho đưoc noi bang nhung đoan thang vói k điem khác, đoan thang bao giị có đoan thang lắp thnh cna mđt tam giỏc Giai Xột k 2n CHQN X , mđt A gom [2 n ] điem, B = X\A chúa2 [ n ] + điem, neu n le Neu n chan lnc lưong cna A B đeu bang2 n Vì k nguyên k ≤ n ,2 nên A, B chúa khơng k điem Xõy dnng o th% mang: Moi inh thuđc A eu cú inh noi vúi MQI inh thuđc B Khi moi đinh cna t¾p X đeu có đoan thang noi vói nhat k đinh, khơng có tam giác xuat hi¾n Xét k > moi điem X đưoc noi vói k điem khác boi đoan thang n Gia su (x, y) m®t so đoan thang Theo gia thiet, x y moi điem đưoc noi vói k điem khác bang đoan thang, nên (x, y) tù moi điem x, y đeu xuat phát k oan nua.Boi vắy tng cđng so oan thang cú ớt nhat mđt au mỳt l x hoắc y bang 2k − Nhưng so điem lai (khác x, y) n − k > n , nên 2k − > n− Do 2k − đoan thang nói phai có đoan thang trùng đau mút z Boi v¾y ba đoan thang (x, y), (x, z), (y, z) lắp thnh mđt tam giỏc Tong quỏt cho bi tốn Cho t¾p X có n > điem, khơng có điem thang hàng so tn nhiên p, k thoa mãn : ≤ p < n; k < n Chúng minh rang: Neu k < p−2 , moi điem cna x có the đưoc noi bang đoan thang đen n p−1 nhat k điem khác cna x, cho bat kỳ t¾p Y (chúa p điem X) cna X đeu có điem khơng đưoc noi bang đoan thang Neu k >−2 n p p− moi điem cna X đeu đưoc noi boi đoan thang vói k điem khác cna X, thỡ cú mđt A cna X chỳa p điem, cho điem bat kì thu®c A đeu đưoc noi bang m®t đoan thang Phn lnc Bài tốn đưa ve đo th% I Bài tốn Trong m®t nhóm gom 1996 ngưịi mà bat kì ngưịi có m®t ngưịi quen vói ca ngưịi cịn lai Hãy xác đ%nh so nho nhat nhung ngưòi quen vói tat ca 1995 ngưịi cịn lai có the bao nhiêu? Trên t¾p S đưa vào quan h¾ " > ": Vói phan tu cna S có tính chat sau: (1) Vói hai phan tu khác bat kỳ a, b cna S, chi có ho¾c a > b, ho¾c b > a (2) Vói ba phan tu bat kỳ a, b, c thu®c S, neu có a > b b > c suy c > a Hoi t¾p S có toi đa phan tu? Chúng minh rang có the noi giua n điem cho trưóc (n > 4) bang mũi tên, cho tù moi điem có the i en mđt iem bat kỡ khỏc theo mđt hoắc hai mũi tên ( moi c¾p điem chi đưoc noi bang m®t mũi tên chi đưoc theo m®t chieu cna mũi tên) a Trong m®t phịng có 10 ngưòi, bat kỳ ngưòi HQ có ngưịi quen tù trưóc Chúng minh rang, có the tìm đưoc ngưịi mà hai ngưịi bat kỳ HQ quen tù trưóc b Khang đ%nh a có cịn nua khơng, neu so ngưòi e quoc gia H, cú thành bat kỳ đưoc noi vói bang mđt cỏc phng tiắn giao thụng: ụtụ, tu hoa, máy bay Biet rang, khơng có thành giao lưu đưoc vói thành khác bang ca loai phương ti¾n trên,đong thịi, khơng có ba thành mà thành bat kỳ oc giao lu bang cựng mđt loai phng tiắn Hóy tìm so lón nhat thành có the có cna quoc gia H Có 20 đ®i bóng thi au vũng trũn mđt lot Hoi so trắn ó au toi thieu đe bat kỳ ba đ®i có hai đ®i đau vói Có đau thn cị vua thi đau theo the thúc vịng trịn Chúng minh tai m®t thịi điem bat kỳ khơng dien tr¾n đau đeu có hai au thn cựng chi mđt so trắn nh Trong đot thi đau tranh giai vô đ%ch quan vot quoc gia năm 1996 có đau thn tham gia Chúng minh rang neu tai m®t thịi điem khơng thi đau mà có hai đau thn chơi m®t so ván, cịn m®t đau thn ho¾c chưa đau ván nào, ho¾c đau xong vói nhung ngưịi cịn lai Trong m®t đồn tham quan mà moi thành viên có khơng nhieu ngưịi khơng quen Chúng minh rang có the chia đồn thành nhóm, mà moi nhóm, moi thành viên chi có khơng nhieu m®t ngưịi khơng quen 10 Trong mđt quoc gia, hắ thong ũng bay đưoc bo trí sau: Moi thành có đưịng bay thang đen nhieu nhat thành bat cú thành có the bay đen m®t thành khác vói nhieu nhat m®t lan chuyen tiep liên quoc gia có the có nhieu nhat thành pho? 11 Có n ngưịi khơng quen biet Chúng minh rang có the giói thi¾u m®t so ngưịi HQ quen nhau, đe cuoi khơng có ngưịi có so ngưịi quen bang 12 Trên bị cna m®t ho trịn lón, có m®t so điem dân cư M®t so điem dân cư đưoc liên h¾ qua lai vói bang tàu thny theo đieu ki¾n sau: Hai điem dân cư đưoc liên h¾ chi hai điem tiep sau (ke tù m®t điem hai điem này), theo ngưoc chieu kim đong ho, khơng đưoc liên h¾ Chúng minh rang tù m®t điem dân cư bat kì có the đen m®t điem dân cư tùy ý khác bang tàu thny mà khơng q lan chuyen tàu (đői hưóng cna tàu) 13 Cho n điem noi chúng bang đoan thang không giao nhau, cho tù moi điem có the đen tùng điem điem cịn lai theo đoan thang này, ngồi ra, khơng có hai điem chúng đưoc noi boi hai đưịng khác Chúng minh rang có n - đoan thang noi? 14 Trong m®t thành bat k giao lđ (ni gắp cna ớt nhat hai đưịng) A, B, C có m®t đưịng tù A đen B khơng qua C Chúng minh rang tù bat kỳ giao l® đeu có the đen m®t giao l® khác nhat theo hai đưịng khơng giao 15 Chín nhà tốn HQc gắp o hđi ngh% toỏn HQc quoc te năm 1996 HQ nh¾n là: Bat kỳ ngưịi HQ có nhat ngưịi núi oc vúi cựng mđt thỳ tieng Mắt khỏc, moi ngưịi HQ khơng nói đưoc nhieu thú tieng Chúng minh rang, có nhat nhà tốn HQc nói đưoc vói m®t thú tieng 16 M®t trưịng HQc gom 1989 HQc sinh, moi HQc sinh quen vói nhat 45 ban khác Chúng minh rang có the cHQN đưoc ban xep quanh m®t bàn tròn cho moi ban ngoi giua hai ban quen 17 Có n ki¾n tưóng cị vua tranh giai vơ đ%ch quoc gia năm 1996 (khơng có tr¾n hịa) Chúng minh rang neu có hai ki¾n tưóng thang cựng mđt so trắn, thỡ phai cú kiắn túng m moi ngũi cú mđt trắn thang v mđt trắn thua (trong nhóm ngưịi này) 18 Tat ca mắt cna mđt khoi a diắn loi eu l tam giác Chúng minh có the tơ canh cna khoi đa di¾n bang màu xanh đo cho: Tù moi đinh bat kỳ cna khoi đa di¾n đen m®t đinh tùy ý khác, có the chi liên tuc canh đong màu 19 Cho điem khơng gian khơng có điem đong phang Tat ca nhung điem đưoc noi tùng c¾p bang đoan thang Các đoan thang đưoc tơ bang m®t màu: Xanh, đo, vàng Tìm giá tr% nho nhat cna n, cho vói MQI cách tơ màu n canh đeu ton tai m®t tam giác có canh đong màu 20 Cho m®t so điem đo xanh M®t so điem chúng đưoc noi boi đoan thang Ta GQI điem x yeu, neu nua so điem noi vói x có màu khác vói x Ta đői màu điem " yeu" bang cỏch: Moi lan gắp mđt iem "yeu" ta i màu cho Chúng minh sau m®t so lan đői màu v¾y, se khơng cịn điem " yeu " 21 Gia su rang Vi¾t Nam có 67 trưịng đai HQc Hãy chúng minh rang ton tai m®t trưịng đai HQc có so chan đưịng giao thơng tói trưịng đai HQc khác 22 Chúng minh rang lóp HQc tùy ý, so HQc sinh mà moi ngưịi có m®t so le ban thân lóp m®t so chan 23 Chúng minh rang so ngưịi mà moi ngưịi có m®t so le lan bat tay trái đat m®t so chan 24 Trong m®t cu®c h®i ngh%, moi đai bieu bat tay nhat đai bieu khác, ngưòi ta đem đưoc tat ca 57 lan bat tay Hoi hđi ngh% ú cú bao nhiờu ngũi? 25 Liắu có the có nhóm ngưịi moi ngưịi chi quen biet ngưịi khác đưoc khơng? 26 Có 20 đ®i bóng thi đau vói nhau, moi đ®i phai au mđt trắn vúi cỏc khỏc Chỳng minh rang vào bat cú lúc có đ®i au mđt so trắn nh nhau? 27 Chỳng minh rang m®t cu®c HQP tùy ý gom đai bieu tro lên, ln ln có nhat đai bieu mà HQ có so ngưịi quen bang đai bieu đen dn HQP 28 Chúng minh rang neu m®t nhóm tùy ý gom nhat ngưịi, mà có ngưịi có so ngưịi quen bang nhau, HQ khơng the đong thịi khơng quen ho¾c đong thịi quen tat ca nhung ngưịi cịn lai nhóm 29 M®t h®i ngh% gom 1998 ngưịi, đai bieu g¾p bat tay a Chúng minh rang có so đai bieu bat tay m®t so le lan m®t so chan b Trong so đai bieu dn h®i ngh% có nhat đai bieu có so lan bat tay bang c Gia su 1998 ngưịi dn h®i ngh% có đai bieu có so lan bat tay bang hai đai bieu khơng the có so lan bat tay ho¾c 1997 lan 30 Trưóc vào h®i ngh% đai bieu bat tay (hai ngưịi bat tay nhieu nhat m®t lan Có m®t đai bieu khơng bat tay M®t ngưịi đem so lan bat tay nói rang có ngưịi bat tay lan, ngưòi bat tay lan, ngưịi bat tay lan Neu h®i ngh% ay có 15 ngưịi ơng ta đem nham? Tai sao? 31 M®t thơn có nhat gia đình, moi gia đình thân vói nhat gia đình khác Chúng minh rang có the sap xep m®t so chan gia đình làm nhà xung quanh m®t ho đe moi gia đình song giua hai gia đình mà HQ thân? 32 Khi ve nghi hè, moi ban lóp 12 cna trưịng Lê Q Đơn đeu trao đői đ%a chi vói nhat m®t nua so ban lóp Chúng minh rang thòi gian nghi hè moi ban HQc sinh cna lóp 12 đeu có the báo tin trnc tiep ho¾c gián tiep cho tùng ban lóp 33 Có n so tn nhiên tùy ý (n ≥ 3) moi so đeu có ưóc chung vói nhat so khác Chúng minh rang có the ghi m®t phan cna so ny lờn mđt vũng trũn e moi so có ưóc chung vói so bên canh 34 Có n ngưịi đen da h®i (n ≥ 4) Moi ngưịi quen nhat ngưịi đen dn Chúng minh rang ln ln có the tách m®t so chan ngưịi đe xep cho HQ ngoi xung quanh m®t bàn tròn, cho moi ngưòi ngoi giua hai ngưòi mà anh (ch%) ta quen 35 Có 16 em thi đau bóng bàn Theo l%ch moi em phai thi đau tựng cỏc ban khỏc mđt trắn Hiắn moi em thi đau 11 tr¾n Chúng minh rang, tìm đưoc em mà moi em đeu đau vói em cịn lai 36 Có 1998 so tn nhiên lón thoa mãn đieu ki¾n: Cú so bat kỳ, so nguyên to vói so cịn lai Hãy tìm xem có nhat so so nguyên to vói 1997 so cịn lai 37 Trong m®t h®i ngh% quoc te ve ngơn ngu HQc có n nhà bác HQc tham gia (n ≥ 4) cú ngưòi tùy ý đeu có nhat ngưịi nói chuy¾n trnc tiep đưoc vói ngưịi cịn lai Chúng minh rang nhat n − ngưịi so HQ, moi ngưịi đeu nói chuy¾n trnc tiep vói ba ngưịi cịn lai? 38 Trong phịng có 100 ngưịi, mà moi ngưịi quen vói nhat 66 99 ngưịi cịn lai Hoi li¾u có xay hay khơng trưịng hop bat kỳ ngưịi phịng có ngưịi khơng quen nhau? ( Đe thi HQc sinh gioi Ba Lan 1966 - 1967) II Hưáng dan giai toán Dùng đ%nh lý 1.5 cna chương I Đáp so: Không nhieu phan tu Dùng qui nap: Vói n = 3, 5, làm trnc tiep Vói h¾ X gom n điem thoa mãn gia thiet qui nap, GQI a, b điem thú n + n + Khi noi a vói điem cna h¾ X bang mũi tên hưóng ve X Noi điem X vói b, mũi tên hưóng ve b Noi b vói a, mũi tên hưóng ve a Chúng minh khơng có nhat m®t ngưịi quen vói khơng ngưòi lai, đong thòi ngưịi có m®t ngưịi quen khơng ngưịi nhóm Chúng minh moi thành khơng n ca phng tiắn, cú mđt phng tiắn phuc vu không nhieu thành Đáp so 90 CHQN búng cú so trắn au ớt nhat Dùng đ%nh lý 1.3 cna chương I Dùng đ%nh lý 1.4 cna chương I Chia thành nhóm tùy ý, sau chuyen ngưịi có ngưịi khơng quen sang nhóm tőng so c¾p, khơng quen tùng nhóm giam Sau m®t so huu han bưóc se thnc hi¾n xong 10 Đáp so 10 11 Dùng đ%nh lý cna chương I 12 Chúng minh đưoc chia thành tùng c¾p có liên h¾ Trong cắp cú ỳng mđt liờn hắ tự cắp đen c¾p 13 Dùng đ%nh lý 19 cna chương I 14 Dùng qui nap theo đ® dài đưịng giua giao l® xét giao l® thú gan m®t giao l® ban đau nhat 15 Dùng phan chúng Tìm đưoc nhà tốn HQc A khơng nói đưoc vói ngưịi khác bang m®t thú tieng , layB HQ, ton tai C so cịn lai khơng nói đưoc vói B thú tieng 16 Ton tai đinh A b¾c chan, khơng nho 46 Xét B ke vói A, ke vói khơng 44 đinh ke A, 44.46 > 1989 17 Xét x, y có so tr¾n thang x thang y, x se thua k ngưòi thua y 18 GQI A, B, C, D, , E ke vói M bat kỳ Tơ xanh MA, MB, MC, , ME , tơ đo AB , đoan đưịng gap khúc B, C, , Etơ xanh Làm tiep vói m¾t sát phan tơ M¾t đưoc xét có canh đưoc tơ, canh thú tơ tùy ý, neu có canh đưoc tơ tơ màu khác 19 Đáp so 33 Xét dan trưịng hop 6; 7; 8; đinh 20 Tơ màu lai so đoan thang vói đau mút trái màu giam nhat 1, sau m®t so huu han bưóc xong 21 Vì so đinh b¾c le luụn l mđt so chan Boi vắy o th% 67 inh phai cú ớt nhat mđt inh bắc chan, nên 67 trưịng đai HQc phai có nhat m®t trưịng có đưịng giao thơng noi vói m®t so chan trưịng 22 Xây dnng đo th% mơ ta quan h¾ roi áp dung trnc tiep đ%nh lý 1.2 cna chương I 23 Xây dnng đo th% mơ ta quan h¾ roi áp dung trnc tiep đ%nh lý 1.2 cna chương I 24 Đe giai toán ta chúng minh khang đ%nh tőng quát: Khang đ%nh 1: Neu đo th% có m canh, n đinh b¾c cna moi đinh khơng nho a, n ≤ 2m a Do tőng b¾c cna tat ca đinh đeu bang 2m, nên có bat thúc na ≤ 2m ⇒ n ≤ a2m Xây dnng đo th% mô ta quan h¾: Đinh: Lay điem m¾t phang ho¾c khơng gian tương úng vói đai bieu dn h®i ngh% Canh: Hai điem x, y đưoc noi thang bang m®t canh chi hai đai bieu tương úng vói x, y bat tay Khi so canh cna đo th% bang so lan đai bieu bat tay nhau(57), b¾c cna moi đinh bang so lan mà đai bieu tương úng vói đinh bat tay (≥ 4) Áp dung công thúc (1) suy ra: n < 114 = 28.5 Vắy hđi ngh% cú toi đa 28 đai bieu 25 Xây dnng đo th% Đinh: Lay điem m¾t phang hay khơng gian tương úng vói so ngưịi cna nhóm Canh: Trong đo th% G đinh x, y đưoc noi bang canh chi hai ngưịi quen Bài tốn đưoc phát bieu dưói dang đo th% sau: "Ton tai hay khơng m®t đo th% có đinh mà đinh đeu b¾c le" Tra lịi: Khơng (theo đ%nh lý 1.2 cna chương I) 26.27 Dùng đ%nh lý 1.3 chương I 28 Dùng đ%nh lý 1.4 chương I 29 Xây dnng đo th% tương úng roi áp dung ket qua cna lý thuyet đo th%: a Dùng đ%nh lý 1.2 cna chương I; b Dùng đ%nh lý 1.3 cna chương I; c Dùng đ%nh lý 1.4 chương I 30 Xây dnng đo th% Đinh: Lay điem m¾t phang ho¾c khơng gian tương úng vói đai bieu Canh: Hai đinh x, y đưoc noi bang m®t canh chi hai đai bieu tương úng bat tay Vì có 15 ngưịi nên đo th% có 15 đinh đó, theo đai bieu đem bat tay có đinh b¾c 4, đinh b¾c 5, đinh b¾c o th% cú so inh bắc le l mđt so le, nên mâu thuan vói đ%nh lý 1.2 chương I V¾y có the ket lu¾n đai bieu ay đem nham 31 Dùng đ%nh lý 1.10 chương I 32 Dùng đ%nh lý 1.11 chương I 33 Dùng đ%nh lý 1.9 chương I 34 Dùng đ%nh lý 1.10 chương I 35 Ta có the giai quyet tốn dưói dang tőng quát bang cách phát bieu chúng minh khang đ%nh sau: Khang đ%nh 6: Trong đo th% G(X, E) vói nhat kn + đinh, moi đinh có b¾c không nho (k − 1)n + ton tai đo th% đay đn gom k + đinh Chúng minh: Khang đ%nh đưoc chúng minh quy nap theo k Vói k = 1, khang đ%nh hien nhiên Vói k = có the làm ch¾t gia thiet: Neu đo th% 2n + đinh, mà moi đinh có b¾c khơng nho n, có đo th% đinh đay đn Th¾t v¾y, xét đinh x tùy ý, cịn y m®t đinh ke vói x Gia su khơng ton tai đinh mà vói x, y tao thành chu trình đinh túc đo th% đay đn gom đinh, v¾y tőng so đinh ke vói x, y khơng nho 2n, so đinh khác vói x y chi 2n − V¾y phai có nhat đinh z đưoc tính lan Lúc x, y, z tao thành đo th% đay đn đinh Gia su khang đ%nh vói k, can chúng minh tính đan cna khang đ%nh đoi vói k + Theo gia thiet đo th% G gom (k + 1)n + đinh, so đinh ke vói x tùy ý không nho kn + 1, nên so đinh cna G khơng ke vói x se khơng vưot q n Boi v¾y moi đinh y ke vói x, ke vói nhieu nhat n đinh khơng ke vói x Do đinh y phai ke vói nhat kn + − n = (k − 1)n + đinh ke vói x Xét đo th% G1 gom đinh ke vói x Đo th% G1 có nhat kn + đinh mà moi đinh cna ke vói nhat (k − 1)n + đinh thu®c đo th% G1, nên theo gia thiet qui nap, G1 có đo th% đay đn G2 gom k + đinh Vì đinh x ke vói tùng đinh thu®c G2, nên đinh x ket hop vói cỏc inh thuđc G2 lắp thnh o th% ay n gom k + đinh đo th% G Khang đ%nh đưoc chúng minh Áp dung khang đ%nh đe giai t¾p Đinh: Lay đinh m¾t phang hay khơng gian tương úng vói so em thi đau bóng bàn Canh: Các đinh x, y đưoc noi bang m®t canh chi em thi đau vói Ta đưoc đo th% G gom 16 đinh, b¾c cna moi đinh bang 11 Xét k = 3; n = So đinh cna đo th% (thoa mãn)≥ k.n + = 3.5 + = 16 (đinh) b¾c cna moi đinh (thoa mãn) ≥ (k − 1)n + = 2.5 + = 11 V¾y ton tai đo th% đay đn gom k + = + = (đinh), nên theo suy ton tai nhóm em, mà moi em đeu đau vói em cịn lai Nh¾n xét: Qua khang đ%nh t¾p ta thay neu thay đoi tưong (các em) quan h¾ (thi đau) bang đoi tưong quan h¾ khác có tính chat đoi xúng, ho¾c thay đői giá tr% cna k n ta se thay đưoc mđt lúp bi toỏn khỏc 36.37 Vắn dung o th% tơ màu 38 Câu tra lịi " Có the" Ta có the xep HQ ngoi vào bàn: bàn thú nhat 33 ngưòi, bàn thú hai xep 33 ngưòi, bàn thú ba xep 34 ngưịi Có the xay trưịng hop: Nhung ngưịi ngoi bàn khơng he quen moi ngưòi ngoi o bàn quen tat ca nhung ngưòi o bàn Như v¾y moi ngưịi quen 66 ho¾c 67 ngưịi khác, đong thịi bat kỳ ngưịi phịng có ngưịi ngoi bàn nên HQ khơng quen Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày thu đưoc - M®t so ket qua ban ve lý thuyet đo th%, b¾c, xích, chu trình, đưịng vịng, đo th% liên thơng, đo th% tơ màu, t¾p őn đ%nh ngoài, nhân cna đo th% - Phân dang đưa đưoc m®t so khang đ%nh can thiet đe áp dung giai t¾p tốn vói b¾c trung HQc phő thơng Tác gia đ¾c bi¾t nhan manh úng dung đo th% tơ màu, boi phương pháp úng dung rat hi¾u qua đe giai tốn phő thơng khơng mau mnc - M®t so tốn liên quan đáp án, hưóng dan giai Vì thịi gian kien thúc cịn han che nên lu¾n văn chac chan khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia rat mong nh¾n đưoc sn quan tâm, chi bao cna thay đóng góp ý kien cna các ban đong nghi¾p đe ban lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác gia xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Đ¾ng Huy Ru¾n, 2000, Lý thuyet đo th% úng dnng, NXB khoa HQc kĩ thu¾t [2] Đ¾ng Huy Ru¾n, 2002, Bay phương pháp giai tốn logic, NXB khoa HQc kĩ thu¾t [3] Vũ Đình Hịa, 2008, Giáo trình lý thuyet đo th%, NXB đai HQc sư pham [4] Hoàng Tuy, 1964, Đo th% huu han úng dnng v¾n trù HQc, NXB khoa HQc [5] Hoàng Chúng,1992,Gragh giai tốn phő thơng, NXB giáo duc [6] Đ¾ng Huy Ru¾n (chn biên), 2011,Các chuyên đe CHQN LQc tù Olympic toán HQc trung HQc ph thụng [7] Mđt so luắn Thac sĩ ve tốn logic úng dung thu®c chun ngành "Phương pháp toán sơ cap" ... 2.3 Bài toán liên quan đen đo th% màu .35 2.4 Bài tốn có liên quan đen b¾c canh cna đo th% .47 2.5 Bài toán liên quan đen đưòng 51 2.6 Bài toán liên quan đen đo th% liên thông. .. o Bài toán cho tro thành toán đo th% sau: " Cho đo th% đay đn có hưóng vói đinh, chúng minh rang đo th% có the tìm đưoc đưịng qua tat ca đinh qua moi đinh m®t lan" Áp dung đ%nh lý Re’dei cna lý. .. cú quan hắ t2 IV Dang 4.1 Bài toán Bài toán 1: Chúng minh rang ngưịi tùy ý, mà ba ngưịi bat kỳ đeu có ngưịi quen nhau, ln tìm đưoc ngưịi đeu quen (tùng c¾p quen nhau) Bài tốn 2: Chúng minh rang