Lý thuyết đồ thị với các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———– NGUYỄN THỊ MINH THƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———– NGUYỄN THỊ MINH THƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời nói đầu Đại 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 cương đồ thị Định nghĩa đồ thị Một số dạng đồ thị đặc biệt Bậc đỉnh đồ thị 1.3.1 Bậc đỉnh 1.3.2 Nửa bậc 1.3.3 Một số tính chất Xích, chu trình, đường, vòng 1.4.1 Xích, chu trình 1.4.2 Đường, vòng 1.4.3 Một số tính chất Đồ thị liên thông 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Tính chất Số ổn định trong, số ổn định 1.6.1 Số ổn định 1.6.2 Số ổn định 1.6.3 Các thuật toán tìm số ổn định trong, số Nhân đồ thị ứng dụng vào trò chơi 1.7.1 Định nghĩa 1.7.2 Tính chất 1.7.3 Trò chơi Nim 1.7.4 Trò chơi bốc vật Cây bụi 1.8.1 Định nghĩa 1.8.2 Đặc điểm bụi ổn định 4 8 13 13 14 15 16 16 17 18 18 19 20 21 21 22 23 24 29 29 30 Một số toán đồ thị 2.1 Bài toán đường 2.1.1 Đường Euler - Chu trình Euler 2.1.2 Đường Hamilton - Chu trình Hamilton 2.2 Bài toán tô màu đồ thị 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Một số tính chất 2.2.3 Thuật toán tô màu đỉnh 33 33 33 40 43 43 43 53 Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông 3.1 Quy trình giải toán phương pháp đồ thị 3.1.1 Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ 3.1.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D 3.2 Bài toán đỉnh - cạnh đồ thị 3.3 Bài toán xích, chu trình, đường, vòng tính liên thông đồ thị 3.4 Bài toán tô màu đồ thị 3.5 Bài toán liên quan đến số ổn định trong, số ổn định 3.6 Bài toán liên quan đến đường 3.6.1 Bài toán tìm đường mê cung 3.6.2 Bài toán liên quan đến đường chu trình Euler 3.6.3 Bài toán liên quan đến đường chu trình Hamilton 3.7 Bài toán liên quan đến 54 54 54 Kết luận 89 Tài liệu tham khảo 90 54 55 58 63 74 76 76 80 82 84 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị ngành khoa học đời sớm Lý thuyết đồ thị giúp mô tả hình học giải nhiều toán thực tế phức tạp Khái niệm lý thuyết đồ thị nhiều nhà khoa học độc lập nghiên cứu có nhiều đóng góp lĩnh vực toán học ứng dụng Năm 2001, Bộ Giáo Dục Đào Tạo có quy định chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi thống toàn quốc, có chuyên đề lý thuyết đồ thị Như vậy, việc học chuyên đề Lý Thuyết Đồ Thị học sinh giỏi nhu cầu thực tế dạy học toán phổ thông Tuy nhiên, việc dạy học chuyên đề tồn số khó khăn lý khác Một lý mẻ, độc đáo khó chủ đề kiến thức Luận văn "Lý thuyết đồ thị với toán phổ thông" đưa đến sáng tạo cách nhìn nhận toán lập luận cách giải mắt lý thuyết đồ thị Ngoài phần mở đầu kết luận luận văn gồm chương: Chương Đại cương đồ thị Chương Một số toán đồ thị Chương Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình GS.TS Đặng Huy Ruận, tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện, dạy bảo dìu dắt tác giả năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân thời gian học tập làm luận văn Do khả nhận thức thân tác giả, luận văn nhiều hạn chế, thiếu sót Tác giả kính mong ý kiến bảo quý thầy cô đóng góp bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Chương Đại cương đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Tập hợp X = ∅ đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, đồng thời ký hiệu G(X, E) (hoặc G = (X, E) G(X)) Hình 1.1: Ví dụ mô hình đồ thị Các phần tử X gọi đỉnh Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng hay cung Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vô hướng, đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung họi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp Một cặp đỉnh nối với hai nhiều hai cạnh (hai nhiều hai cung hướng) Các cạnh (cung) gọi cạnh (cung) bội Một cung (hay cạnh) bắt đầu kết thúc đỉnh Cung (cạnh) loại gọi khuyên hay nút Cặp đỉnh x,y nối với cạnh (cung) a a gọi cạnh (cung) thuộc đỉnh x, đỉnh y Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u vào đỉnh v u gọi đỉnh đầu, v gọi đỉnh cuối cung b Cặp đỉnh x, y gọi hai đỉnh kề x = y hai đầu cạnh hay cung Đối với đỉnh x dùng D(x) để tập đỉnh, mà đỉnh nối với x cạnh; D+ (x) để tập đỉnh mà đỉnh từ x có cung tới; D− (x) để tập đỉnh mà đỉnh có cung tới x Hai cạnh (cung) a,b gọi kề nhau, nếu: i) Chúng khác ii) Chúng có đỉnh chung (nếu a, b cung, không phụ thuộc vào đỉnh chung đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung b) Ví dụ 1.1 Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G(X, E) với tập đỉnh X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 }, tập cạnh cung E = {x1 , x2 ; x2 , x3 ; x4 , x6 ; x5 , x6 ; x3 , x3 ; x1 , x6 ; x5 , x5 } = {a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 }, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 cạnh; b1 , b2 cung Hình 1.2 1.2 Một số dạng đồ thị đặc biệt Trong trường hợp không cần phân biệt cạnh cung ta quy ước dùng cạnh thay cho cung Đồ thị G = (X, E) khuyên cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Đồ thị G = (X, E) khuyên có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đồ thị G = (X, E) gọi vô hướng cạnh E không định hướng Đồ thị G = (X, E) gọi có hướng cạnh E có định hướng Hình 1.3 Đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh (một cung với chiều tùy ý) Hình 1.4: Đồ thị đầy đủ Đa đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) gọi đồ thị k-đầy đủ cặp đỉnh nối với k cạnh (k cung với chiều tùy ý) Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hai mảng tập đỉnh X phân thành hai tập rời X1 , X2 (X1 X2 = X X1 X2 = ∅) cạnh có đầu thuộc X1 đầu thuộc X2 Khi G = (X, E) ký hiệu G = (X1 , X2 , E) Hình 1.5: Đồ thị hai mảng Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) phẳng, có dạng biểu diễn hình học trải mặt phẳng đó, mà cạnh đồ thị cắt đỉnh Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi hữu hạn, số đỉnh hữu hạn, tức tập X có lực lượng hữu hạn Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi vô hạn, số đỉnh vô hạn Đồ thị (đa đồ thị) với số cạnh thuộc đỉnh hữu hạn gọi đồ thị (đa đồ thị) hữu hạn địa phương Một đồ thị hay đa đồ thị hữu hạn hữu hạn địa phương Cho Y ⊆ X, Y = ∅; H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y ) V = (X × X)/E Đồ thị G1 (Y, F ) gọi đồ thị con, G2 (X, H) đồ thị phận đồ thị G(X, E) Đồ thị G (X, V ) gọi đồ thị bù đồ thị G(X, E) Đồ thị có hướng G(X, E) gọi đồ thị đối xứng ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E Trong đồ thị đối xứng tùy ý, hai đỉnh kề luôn nối hai cung ngược chiều Để đơn giản, trường hợp người ta quy ước thay hai cung nói cạnh nối x y Đồ thị có hướng G(X, E) gọi đồ thị phản đối xứng ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ /E 1.3 1.3.1 Bậc đỉnh đồ thị Bậc đỉnh Giả sử G = (X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng hướng Số cạnh cung thuộc đỉnh x gọi bậc đỉnh x ký hiệu m(x) Đỉnh có bậc gọi đỉnh biệt lập Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Cạnh (cung) có đầu đỉnh treo gọi cạnh (cung) treo Hình 1.6 Ví dụ 1.2 Trong hình 1.6 ta có: m(1) = 2, m(2) = 2, m(3) = 3, m(4) = 3, m(5) = 3, m(6) = 1, m(7) = Đỉnh đỉnh treo, đỉnh đỉnh cô lập, g cạnh treo 1.3.2 Nửa bậc Giả sử G = (X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng Số cung vào đỉnh x gọi nửa bậc vào đỉnh x ký hiệu m (x) m− (x) Số cung khỏi đỉnh x gọi nửa bậc đỉnh x ký hiệu m (x) m+ (x) Ký hiệu tập cung vào đỉnh x E − (x), tập cung khỏi đỉnh x E + (x) Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Chúng, 1992, Graph giải toán phổ thông ,NXB Giáo Dục [2] Vũ Đình Hòa, 2008, Giáo trình lý thuyết đồ thị, NXB đại học sư phạm [3] Đặng Huy Ruận, 2000, Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB khoa học kĩ thuật [4] Đặng Huy Ruận, 2003, Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực [5] Đặng Huy Ruận, 2003, Trò chơi đồ thị, NXB khoa học kĩ thuật [6] Đặng Huy Ruận, 2002, Bảy phương pháp giải toán logic, NXB khoa học kĩ thuật [7] Vũ Dương Thụy (Chủ biên), 2001, 40 năm Olympic toán học quốc tế (1959-2000), NXB Giáo dục [8] Một số luận văn Thạc sĩ toán logic ứng dụng thuộc chuyên ngành "Phương pháp toán sơ cấp" 90 [...]... Graph và giải toán phổ thông ,NXB Giáo Dục [2] Vũ Đình Hòa, 2008, Giáo trình lý thuyết đồ thị, NXB đại học sư phạm [3] Đặng Huy Ruận, 2000, Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, NXB khoa học và kĩ thuật [4] Đặng Huy Ruận, 2003, Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực [5] Đặng Huy Ruận, 2003, Trò chơi và đồ thị, NXB khoa học và kĩ thuật [6] Đặng Huy Ruận, 2002, Bảy phương pháp giải các bài toán logic,... Đặng Huy Ruận, 2002, Bảy phương pháp giải các bài toán logic, NXB khoa học và kĩ thuật [7] Vũ Dương Thụy (Chủ biên), 2001, 40 năm Olympic toán học quốc tế (1959-2000), NXB Giáo dục [8] Một số luận văn Thạc sĩ về toán logic và ứng dụng thuộc chuyên ngành "Phương pháp toán sơ cấp" 90