Sáu phương pháp giải các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Hà Nội - 2015 Mục lục Mở đầu 1 Phương pháp quy nạp 1.1 Nguyên lý quy nạp 1.2 Phương pháp chứng minh quy nạp 1.2.1 Cơ sở quy nạp 1.2.2 Quy nạp 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải số toán 2 3 17 17 18 19 19 Phương pháp chứng minh phản chứng 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Nội dung phương pháp phản chứng 2.3 Trình bày lời giải phương pháp phản chứng 2.4 Một số ví dụ minh họa Phương pháp suy luận trực tiếp 28 3.1 Vài nét phương pháp suy luận trực tiếp 28 3.2 Các ví dụ vận dụng phương pháp suy luận trực tiếp 29 Phương pháp đồ thị 4.1 Một số khái niệm kết lí thuyết đồ thị 4.2 Phương pháp đồ thị 4.2.1 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ 4.2.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D 4.3 Một số ví dụ 35 35 36 37 37 37 Phương pháp bảng 53 5.1 Giới thiệu phương pháp bảng 53 i MỤC LỤC 5.2 Một số ví dụ minh họa 53 Phương pháp sơ đồ 6.1 Các bước thực phương pháp sơ đồ 6.1.1 Thiết lập sơ đồ 6.1.2 Dựa vào cấu trúc sơ đồ mô tả quan hệ điều kiện cho toán mà suy đáp án 6.2 Một số ví dụ Kết luận Tài liệu tham khảo ii 67 67 67 67 67 77 79 Mở đầu Toán phổ thông nhiều số lượng, phong phú chủng loại Mỗi chủng loại đòi hỏi phương pháp giải thích hợp Bởi có nhiều phương pháp giải toán phổ thông Với khối lượng có hạn, luận văn xin phép trình bày sáu phương pháp thường dùng Luận văn gồm phần mở đầu sáu chương: Chương I trình bày phương pháp quy nạp, Chương II trình bày phương pháp phản chứng, Chương III trình bày phương pháp suy luận trực tiếp, Chương IV trình bày phương pháp đồ thị, Chương V trình bày phương pháp bảng, Chương V I trình bày phương pháp sơ đồ Mỗi phương pháp có phần tóm tắt sở lý thuyết phần vận dụng phương pháp để giải tập Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo GS TS Đặng Huy Ruận Em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán - Cơ - Tin học, khoa Sau Đại học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Thầy, Cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho chúng em thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Đồng nghiệp trường Phổ Thông Hồng Đức - Hà Nội, người động viên giúp đỡ nhiều trình hoàn thành luận văn Luận văn khó tránh khỏi hạn chế sơ xuất Rất mong bảo Quý thầy cô Quý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có vai trò vô quan trọng toán học, khoa học sống Đối với nhiều toán chương trình toán phổ thông toán logic, tức toán không mẫu mực phương pháp quy nạp cho ta nhiều cách giải hữu hiệu Suy diễn trình từ "tính chất" tập thể suy tính chất cá thể, nên luôn đúng, trình ngược lại, tức trình quy nạp: từ "tính chất" số thể suy "tính chất" tập thể lúc đúng, mà trình thỏa mãn số điều kiện đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp 1.1 Nguyên lý quy nạp Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ mà S(n) xác định) b) Từ tính đắn S(n) đến n = t (hoặc giá trị n (k0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ k0 ), ta cần chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, khiØS(n) với n ≥ k0 1.2 Phương pháp chứng minh quy nạp Giả sử khẳng định S(n) xác định với n ≥ t0 Để chứng minh S(n) ∀n ≥ t0 quy nạp ta cần thực theo hai bước sau: Chương Phương pháp quy nạp 1.2.1 Cơ sở quy nạp Thực bước tức ta thử xem đắn S(n) với n = t0 nghĩa xét S(t0 ) có hay không? 1.2.2 Quy nạp Giả sử khẳng định S(n) đến n = t (hoặc n (t0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ t0 ) Trên sở giả thiết ta chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, tức S(t + 1) Nếu ba bước thỏa mãn, theo nguyên lý quy nạp S(n) với ∀n ≥ t0 Chú ý: Trong trình quy nạp không thực đầy đủ ba bước: Cơ sở quy nạp, giả thiết quy nạp chứng minh quy nạp, dẫn đến kết sai lầm, chẳng hạn: - Do bỏ bước sở quy nạp, ta đưa kết luận không đúng: Mọi số tự nhiên nhau! Bằng cách quy nạp sau: Giả sử số tự nhiên không vượt k + Khi ta có k =k+1 Thêm vào vế đẳng thức đơn vị ta có k+1=k+1+1=k+2 Cứ suy số tự nhiên không nhỏ k Kết hợp với giả thiết quy nạp: Mọi số tự nhiên không vượt k nhau, đến kết luận sai lầm: Tất số tự nhiên nhau! - Do bỏ qua khâu quy nạp nên nhà toán học Pháp P.Fermat (1601-1665) n cho số dạng 22 + số nguyên tố P.Fermat xét số đầu tiên: Với n = cho 22 + = 21 + = số nguyên tố n = cho 22 + = 22 + = số nguyên tố n = cho 22 + = 24 + = 17 số nguyên tố n = cho 22 + = 28 + = 257 số nguyên tố n = cho 22 + = 216 + = 65537 số nguyên tố Chương Phương pháp quy nạp Nhưng vào kỷ 18 Euler phát với n = khẳng định không đúng, vì: 22 + = 4294967297 = 641 × 6700417 hợp số 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải số toán Phương pháp quy nạp sử dụng tính toán, chứng minh suy luận nhiều dạng khác nhau, phần trình bày việc vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán logic, tức toán "không mẫu mực" Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng: Nếu túi có số tiền nguyên (nghìn) không 8000đ, luôn mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Lời giải: Ta giải toán phương pháp quy nạp 1) Cơ sở quy nạp Nếu túi có số tiền nhất, tức 8000đ, ta mua vé sổ số loại 5000đ vé sổ số loại 3000đ Khi × 5000đ + × 3000đ = 8000đ ta tiêu hết số tiền có túi 2) Quy nạp Giả sử với k(k ≥ 8000) nghìn đồng ta tiêu hết cách mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Nếu có thêm 1000đ ta mua cách sau đây: a) Nếu vé sổ số mua có ba vé loại 3000đ, ta trả lại ba vé loại 3000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 5000đ Khi × 3000đ + 1000đ = × 5000đ b) Nếu vé sổ số mua có không hai vé loại 3000đ, phải có vé loại 5000đ Bởi túi không 8000đ, mà tiêu hết Khi đem trả lại vé loại 5000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 3000đ, ta có × 5000đ + 1000đ = × 3000đ Như trường hợp từ kết tiêu k nghìn suy cách tiêu nghìn thứ k + 1, nên toán giải xong Chương Phương pháp quy nạp Ví dụ 1.2.2 Em An cầm tờ giấy lấy kéo cắt thành mảnh Sau nhặt mảnh giấy cắt lại cắt thành mảnh Và em An tiếp tục cắt giấy Sau hồi em An thu tất mẩu giấy cắt đếm 122 mảnh Liệu em An đếm hay sai? Lời giải: 1) Mỗi lần cắt mảnh giấy thành mảnh, tức tạo thêm mảnh giấy, nên công thức tính số mảnh giấy sau n bước thực mảnh giấy thành mảnh có dạng: S(n) = 6n + 2) Tính đắn công thức S(n) khẳng định quy nạp theo n 10 ) Cơ sở quy nạp Với n = 1, em An cắt mảnh giấy có tay thành mảnh, nên có S(1) = 6.1 + = + = 20 ) Quy nạp Giả sử sau k bước em An nhận số mảnh giấy S(k) = 6k + Sang bước k + em An lấy mảnh giấy nhận k bước trước cắt thành mảnh, tức em An lấy S(k) mảnh thay vào mảnh cắt nên S(k + 1) = S(k) − + = 6k + − + = 6k + = 6k + + = 6(k + 1) + Vậy số mảnh giấy em An nhận sau n bước cắt giấy S(n) 3) Do S(n) = 6n + ≡ (mod 6), 122 = 6.20 + ≡ (mod 6), nên em An đếm không Ví dụ 1.2.3 (Chứng minh tính chất quy nạp) Cho x + x1 , x = số nguyên Chứng minh với số nguyên dương n, số T (n, x) = xn + xn số nguyên Lời giải: Khẳng định chứng minh quy nạp 1) Cơ sở quy nạp Với n = có T (1, x) = x + x1 số nguyên, theo giả thiết 2) Quy nạp Giả sử khẳng định với số nguyên k(n ≥ k ≥ 1) nghĩa T (k, x) = xk + xk Chương Phương pháp quy nạp số nguyên Với n = k + số T (k + 1, x) = xk+1 + = x+ x xk+1 = xk + xk − xk−1 + xk−1 theo giả thiết quy nạp, số x + x1 , xk−1 + xk−1 xk + x1k nguyên, nên T (k + 1, x) số nguyên khẳng định với số nguyên dương n Ví dụ 1.2.4 Chứng minh số nguyên lớn viết dạng tích thừa số nguyên tố Lời giải: Ta chứng minh khẳng định quy nạp theo n Cơ sở quy nạp Với n = 2, ta có = 2, Với n = 3, ta có = 3, n = 4, ta có = × Vậy khẳng định với n = 2, 3, Quy nạp Giả sử với số nguyên n phân tích thành tích thừa số nguyên tố Ta chứng minh n + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Thật • Nếu n + số nguyên tố tích n + • Nếu n + hợp số n + = a.b với ≤ a, b < n Theo giả thiết quy nạp, a, b phân tích thành tích thừa số nguyên tố Suy ra, n + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Theo nguyên lý quy nạp, số nguyên n > phân tích thành tích thừa số nguyên tố Ví dụ 1.2.5 (Chứng minh tính chia hết quy nạp) Chứng minh với n n n số nguyên dương n số 23 + chia hết cho 3n+1 23 + 3n+1 số 23 + không chia hết cho 3n+2 n 23 + n+2 Lời giải: Bài toán giải quy nạp Kí hiệu 23 + = An 1) Cơ sở quy nạp Với n = ta có A1 = 23 + = 23 + = + = 9, nên A1 32 A1 33 Với n = ta có A2 = 23 + = 513, nên A2 33 A2 34 n Chương Phương pháp sơ đồ nghiệp họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư cắt tóc Họ sống thành phố nên có điều kiện gặp thường xuyên Nam Khương hay đến hiệu may nơi người thợ may làm việc Thiện Bình sống khu tập thể với người đưa thư Liên vừa đóng vai trò chủ hôn cho đám cưới Thiện lấy gái người thợ cắt tóc Nam với Thiện chủ nhật thường chơi cờ với người họa sĩ người thợ mộc Khương Bình tối thứ bảy hay đến chơi nhà người thợ cắt tóc Người đưa thư thích tự cắt tóc cho Bình Khương chưa cầm bút vẽ Hãy xác định nghề nghiệp người? Lời giải: Bài toán gồm có hai nhóm đối tượng: • Nhóm thứ gồm bạn: Nam, Thiện, Liêm, Khương Bình • Nhóm thứ hai gồm nghề: Họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư cắt tóc Lấy nhóm điểm ghi tên bạn có tên chữ đầu tên, nhóm đối diện ghi tên nghề mà họ làm kí hiệu sau: 1: họa sĩ, 2: thợ may, 3: thợ mộc, 4: đưa thư, 5: cắt tóc Điểm tên người điểm tên nghề nối nét liền, người làm nghề có tên nối, trường hợp ngược lại nối nét đứt 1) Xác định đường nét đứt Đầu tiên đưa vào điều kiện quan hệ cho để xác định đường nét đứt Sau dựa vào đường nét đứt để suy đường nét liền Cuối dựa vào để suy đáp án - Theo ta có Nam Khương hay đến hiệu may nơi người thợ may làm việc suy Nam Khương không làm thợ may, nên hai cặp điểm (Nam, thợ may) (Khương, thợ may) nối nét đứt - Thiện Bình sống tập thể với người đưa thư, chứng tỏ Thiện Bình không làm nghề đưa thư, nên cặp điểm (Thiện, đưa thư) (Bình, đưa thư) nối đoạn nét đứt - Liên vừa làm chủ hôn cho đám cưới Thiện lấy gái người cắt tóc Chứng tỏ Liên Thiện không làm nghề cắt tóc, nên cặp điểm (Liên, cắt tóc) (Thiện, cắt tóc) nối nét đứt - Nam với Thiện chủ nhật thường chơi cờ với người họa sĩ người thợ mộc, chứng tỏ Nam va Thiện không làm họa sĩ không làm thợ mộc Do cặp điểm (Nam, họa sĩ), (Nam, thợ mộc), (Thiện, họa sĩ), (Thiện, thợ mộc), nối nét đứt 75 [...]... mình Bình và Khương chưa bao giờ cầm bút vẽ Hãy xác định nghề nghiệp của mỗi người? Lời giải: Bài toán gồm có hai nhóm đối tượng: • Nhóm thứ nhất gồm các bạn: Nam, Thiện, Liêm, Khương và Bình • Nhóm thứ hai gồm các nghề: Họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư và cắt tóc Lấy một nhóm 5 điểm ghi tên 5 bạn có tên trên bằng các chữ cái đầu của tên, nhóm đối diện ghi tên 5 nghề mà họ làm kí hiệu như sau: 1: họa... nếu người đó làm đúng nghề có tên được nối, trường hợp ngược lại được nối bằng nét đứt 1) Xác định các đường nét đứt Đầu tiên đưa vào các điều kiện về quan hệ đã cho để xác định các đường nét đứt Sau đó dựa vào các đường nét đứt để suy ra các đường nét liền Cuối cùng dựa vào đó để suy ra đáp án - Theo bài ra ta có Nam và Khương hay cùng đến hiệu may nơi người thợ may làm việc suy ra Nam và Khương không...Chương 6 Phương pháp sơ đồ nghiệp là họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư và cắt tóc Họ sống trong cùng một thành phố nên có điều kiện gặp nhau thường xuyên Nam và Khương hay cùng đến hiệu may nơi người thợ may làm việc... Thiện và Bình sống cùng tập thể với người đưa thư, chứng tỏ Thiện và Bình không làm nghề đưa thư, nên các cặp điểm (Thiện, đưa thư) và (Bình, đưa thư) cũng được nối bằng đoạn nét đứt - Liên vừa làm chủ hôn cho đám cưới của Thiện lấy con gái người cắt tóc Chứng tỏ Liên và Thiện không làm nghề cắt tóc, nên các cặp điểm (Liên, cắt tóc) và (Thiện, cắt tóc) được nối bằng nét đứt - Nam với Thiện chủ nhật thường... (Liên, cắt tóc) và (Thiện, cắt tóc) được nối bằng nét đứt - Nam với Thiện chủ nhật thường đi chơi cờ với người họa sĩ và người thợ mộc, chứng tỏ Nam va Thiện không làm họa sĩ cũng không làm thợ mộc Do đó các cặp điểm (Nam, họa sĩ), (Nam, thợ mộc), (Thiện, họa sĩ), (Thiện, thợ mộc), đều được nối bằng nét đứt 75