Luận văn đã nghiên cứu về sáu phương pháp phổ biến nhất để giải các bài toán phổ thông. Mỗi phương pháp đều trình bày tóm tắt cơ sở lý thuyết và vận dụng các phương pháp đó vào giải một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số : 60460113 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Hà Nội - 2015 Mở đầu Tốn phổ thơng nhiều số lượng, cịn phong phú chủng loại Mỗi chủng loại đòi hỏi phương pháp giải thích hợp Bởi có nhiều phương pháp giải tốn phổ thơng Với khối lượng có hạn, luận văn xin phép trình bày sáu phương pháp thường dùng Luận văn gồm phần mở đầu sáu chương: Chương I trình bày phương pháp quy nạp, Chương II trình bày phương pháp phản chứng, Chương III trình bày phương pháp suy luận trực tiếp, Chương IV trình bày phương pháp đồ thị, Chương V trình bày phương pháp bảng, Chương V I trình bày phương pháp sơ đồ Mỗi phương pháp có phần tóm tắt sở lý thuyết phần vận dụng phương pháp để giải tập Chương Phương pháp quy nạp 1.1 Nguyên lý quy nạp Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ mà S(n) xác định) b) Từ tính đắn S(n) đến n = t (hoặc giá trị n (k0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ k0 ), ta cần chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, khiØS(n) với n ≥ k0 1.2 Phương pháp chứng minh quy nạp Giả sử khẳng định S(n) xác định với n ≥ t0 Để chứng minh S(n) ∀n ≥ t0 quy nạp ta cần thực theo hai bước sau: 1.2.1 Cơ sở quy nạp Thực bước tức ta thử xem đắn S(n) với n = t0 nghĩa xét S(t0 ) có hay khơng? 1.2.2 Quy nạp Giả sử khẳng định S(n) đến n = t (hoặc n (t0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ t0 ) Trên sở giả thiết ta chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, tức S(t + 1) Nếu ba bước thỏa mãn, theo nguyên lý quy nạp S(n) với ∀n ≥ t0 Chương Phương pháp quy nạp 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải số tốn Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng: Nếu túi có số tiền ngun (nghìn) khơng 8000đ, ln ln mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Lời giải: Ta giải toán phương pháp quy nạp 1) Cơ sở quy nạp Nếu túi có số tiền nhất, tức 8000đ, ta mua vé sổ số loại 5000đ vé sổ số loại 3000đ Khi × 5000đ + × 3000đ = 8000đ ta tiêu hết số tiền có túi 2) Quy nạp Giả sử với k(k ≥ 8000) nghìn đồng ta tiêu hết cách mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Nếu có thêm 1000đ ta mua cách sau đây: a) Nếu vé sổ số mua có ba vé loại 3000đ, ta trả lại ba vé loại 3000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 5000đ Khi × 3000đ + 1000đ = × 5000đ b) Nếu vé sổ số mua có khơng q hai vé loại 3000đ, phải có vé loại 5000đ Bởi túi khơng 8000đ, mà tiêu hết Khi đem trả lại vé loại 5000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 3000đ, ta có × 5000đ + 1000đ = × 3000đ Như trường hợp từ kết tiêu k nghìn suy cách tiêu nghìn thứ k + 1, nên tốn giải xong Chương Phương pháp chứng minh phản chứng 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Nội dung phương pháp phản chứng Để chứng minh khẳng định p ⇒ q phương pháp phản chứng ta giả sử q sai, tức q mệnh đề Nếu từ thu điều vơ lý (vl) điều chứng tỏ giả sử ta sai, tức q 2.3 Trình bày lời giải phương pháp phản chứng Bài toán: Chứng minh p ⇒ q Lời giải: Giả sử ngược lại, q sai, tức q Mà q ⇒ · · · ⇒ vl Vậy giả sử ta sai, tức q 2.4 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 Cho f (x) = ax2 + bx + c Giả sử |a| + |b| + |c| > 17 (2.1) ∃x ∈ [0; 1], |f (x)| > (2.2) Chứng minh Lời giải: Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử (2.3) sai, tức ∀x ∈ [0; 1], |f (x)| ≤ (2.3) Chương Phương pháp chứng minh phản chứng Chọn x = 0; 21 ; 1, từ (2.4) ta |c| ≤ và: |a + b + c| ≤ b a + +c ≤1 Suy |a| + |b| + |c| ≤ 17 Đó điều vô lý (trái với (2.2)) Vậy giả sử ta sai, tức (2.3) Chương Phương pháp suy luận trực tiếp 3.1 Các ví dụ vận dụng phương pháp suy luận trực tiếp Ví dụ 3.1.1 Điều mâu thuẫn đâu? Trong tòa nhà có cặp vợ chồng nhỏ chưa lập gia đình Ban điều tra dân số yêu cầu báo cáo số người sống tòa nhà, đại diện anh thợ thích đùa báo cáo sau: Sống tòa nhà bố mẹ nhiều Mỗi trai có chị hay em gái Số trai nhiều số gái Mỗi cặp vợ chồng có Người ta khơng thể chấp nhận báo cáo (dù đùa vui) có mâu thuẫn Hãy điều mâu thuẫn báo cáo trên? Lời giải: Vì gia đình có con, trai có chị gái hay em gái, nên tất gia đình có gái Suy số gái số gia đình Mặt khác, số trai nhiều số gái, nên tổng số nhiều hai lần số gia đình, hay nhiều số bố mẹ, điều cho ta thấy mâu thuẫn báo cáo anh thợ thích đùa câu "bố mẹ nhiều cái" với câu Chương Phương pháp đồ thị 4.1 Phương pháp đồ thị 4.1.1 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ 4.1.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án tốn D 4.2 Một số ví dụ Ví dụ 4.2.1 Trong thi đấu bóng bàn An Bình quy ước với nhau: Người thắng người thắng ba ván thắng hai ván liên tiếp Hãy xác định số khả xảy ra? Lời giải: Dùng A để kí hiệu An thắng, B để kí hiệu Bình thắng Dùng để mơ tả tồn trạng có khả xảy Xây dựng cây: Xuất phát từ điểm S Ván có hai khả xảy ra: An thắng Bình thắng, nên lấy hai điểm cho hai điểm với S không thẳng hàng Một hai điểm ghi A, điểm ghi B Nối S với A đoạn thẳng đoạn cong biểu thị A thắng Tương tự, để biểu thị B thắng nối S với B đoạn thẳng đoạn cong Ván thứ hai lại có hai khả năng: An thắng Bình thắng, nên xuất phát từ A lấy hai điểm ghi kí hiệu tương ứng A, B từ A kẻ hai đoạn thẳng hai đoạn cong tới hai điểm thêm Đối với điểm B chọn thêm hai đỉnh ghi A B , từ B kẻ hai đoạn thẳng hay hai đoạn cong tới hai điểm thêm Tiếp theo thực kéo dài đường cách tương tự, quy ước An Bình đường mà xuất hai đỉnh liên tiếp ghi Chương Phương pháp đồ thị kí hiệu có ba đỉnh ghi kí hiệu không kéo dài A A A A A B B S B B B B A B A B A A B Hình 4.1 Vì An Bình đấu với năm ván, có người thắng hai ván liên tiếp có người thắng ba ván Do đường xuất phát từ S khơng có q năm cạnh (Hình 4.1) Cây có 10 đỉnh nên có 10 khả xảy Chương Phương pháp bảng 5.1 Giới thiệu phương pháp bảng 5.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 5.2.1 Trong buổi học nữ công ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba hoa: cúc, đào, hồng Bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc "Thế khơng có làm loại hoa trùng với tên mình" Hãy xác định tên hoa mà bạn làm? Lời giải: Bài tốn có hai tệp đối tượng Tệp thứ gồm bạn làm hoa, tệp thứ hai gồm bơng hoa làm Ta giải phương pháp bảng sau Lập bảng Bảng cần lập gồm hàng cột Hàng đầu, từ cột thứ hai ghi tên hoa làm viết tắt chữ đầu, cột tận bên trái từ hàng hai ghi tên bạn tham gia làm hoa viết tắt chữ đầu viết hoa Điền mã số quan hệ vào vị trí bảng a) Căn vào giả thiết: Mỗi bạn khơng làm hoa trùng với tên mình, mà điền mã "k" vào nằm đường chéo Chương Phương pháp bảng hoa Nguoi C d c k h k k D H k Bảng 5.1 b) Căn vào câu "Bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc" suy bạn Cúc làm hoa hồng, mà ghi mã "k" vào ô nằm hàng Cúc, cột hồng Loại bỏ vị trí khơng thỏa mãn quan hệ để nhận lời giải Trong bảng cột cuối vị trí bị gạch bỏ, nên vị trí cịn lại vị trí thứ hai phải thỏa mãn quan hệ người làm hoa hoa làm Do bạn Đào làm hoa hồng Vì hàng Đào có vị trí thỏa mãn quan hệ nên tồn hàng bị loại khỏi diện xét Bởi cột Cúc cịn vị trí cuối diện xét Bởi phải thỏa mãn quan hệ người làm hoa hoa làm, nên bạn Hồng làm hoa cúc Từ suy người cịn lại bạn Cúc phải làm hoa đào Vậy Bạn Cúc làm hoa đào, Bạn Đào làm hoa hồng, Bạn Hồng làm hoa cúc 10 Chương Phương pháp sơ đồ 6.1 Các bước thực phương pháp sơ đồ 6.1.1 Thiết lập sơ đồ 6.1.2 Dựa vào cấu trúc sơ đồ mô tả quan hệ điều kiện cho toán mà suy đáp án 6.2 Một số ví dụ Ví dụ 6.2.1 Trong buổi học nữ cơng ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba hoa: Cúc, đào, hồng Bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc "Thế khơng có làm loại hoa trùng với tên mình" Hãy xác định tên hoa mà bạn làm? Bài toán trình bày phương pháp bảng Dưới trình bày q trình giải tốn phương pháp sơ đồ Lời giải: Lập sơ đồ Trong toán có hai nhóm đối tượng: • Nhóm gồm ba bạn Cúc, Đào, Hồng kí hiệu ba điểm C, D, H • Nhóm gồm ba bơng hoa cúc, đào, hồng kí hiệu ba điểm c, d, h Mối quan hệ hai nhóm đối tượng kí hiệu bằng: • Nét đứt quan hệ chúng sai • Nét liền quan hệ chúng 11 Chương Phương pháp sơ đồ c C D d H h Hình 6.1: Theo giả thiết bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc suy Cúc không làm hoa hồng, nên C − h nối nét đứt Theo giả thiết "chẳng có làm loại hoa trùng tên với mình" suy C − c, D − d, H − h nối nét đứt Ta thấy C − c, C − h nối nét đứt suy C − d nối nét liền C − h, H − h nối nét đứt, D − h H − c nối nét liền Kết luận: Bạn Cúc làm hoa đào Bạn Đào làm hoa hồng Bạn Hồng làm hoa cúc 12 Kết luận Luận văn nghiên cứu sáu phương pháp phổ biến để giải tốn phổ thơng Mỗi phương pháp trình bày tóm tắt sở lý thuyết vận dụng phương pháp vào giải số tốn chương trình trung học phổ thơng Khi biên soạn luận văn, tác giả cố gắng bám sát vào dạng đề thi học sinh giỏi Hy vọng luận văn tập tài liệu tham khảo có ích cho học sinh giáo viên trường trung học phổ thông 13 ... bày phương pháp đồ thị, Chương V trình bày phương pháp bảng, Chương V I trình bày phương pháp sơ đồ Mỗi phương pháp có phần tóm tắt sở lý thuyết phần vận dụng phương pháp để giải tập Chương Phương. .. liền Kết luận: Bạn Cúc làm hoa đào Bạn Đào làm hoa hồng Bạn Hồng làm hoa cúc 12 Kết luận Luận văn nghiên cứu sáu phương pháp phổ biến để giải tốn phổ thơng Mỗi phương pháp trình bày tóm tắt sở... bày sáu phương pháp thường dùng Luận văn gồm phần mở đầu sáu chương: Chương I trình bày phương pháp quy nạp, Chương II trình bày phương pháp phản chứng, Chương III trình bày phương pháp suy luận