Luận văn thạc sĩ nguyên lý dirichlet trong các bài toán sơ cấp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC ĐÀO TH± KIM OANH NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TỐN SƠ CAP LU¼N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - 2011 ĐÀO TH± KIM OANH NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CAP Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cap Mã so: 60 46 40 LU¼N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS PHAN HUY KHAI Hà N®i - 2011 Mnc lnc M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Nguyên lý Dirichlet ban 1.2 Nguyên lý Dirichlet mo r®ng 1.3 Nguyờn lý Dirichlet mo rđng cho huu han 1.4 Ngun lý Dirichlet đoi vói t¾p vơ han phan tu 1.4.1 Tắp phan tu l mđt khoang trờn ũng thang 1.4.2 T¾p phan tu mien phang giói han boi m®t đưịng cong phang khép kín 1.4.3 T¾p phan tu khoi ba chieu giói han boi m¾t cong phang 10 Nguyên lý Dirichlet toán so HQC 12 2.1 Ngun lý Dirichlet tốn trùng l¾p .13 2.2 Nguyên lý Dirichlet toán chia het 15 2.3 Nguyên lý Dirichlet toán so HQc khác .23 Ngun lý Dirichlet tốn hình HQC to hap 29 3.1 Các toán ve khoang cách 29 3.2 Các tốn ve di¾n tích 33 3.3 Các tốn tơ màu 37 3.4 Ngun lý Dirichlet tốn hình HQc khác 43 Nguyên lý Dirichlet toán khác 47 4.1 Nguyên lý Dirichlet toán chúng minh bat thúc 47 4.2 Nguyên lý Dirichlet toán dãy so 53 4.3 Nguyên lý Dirichlet m®t so tốn 57 Ket lu¼n 59 Ti liẳu tham khao 60 LốI CAM N Luắn văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan, chi bao nhi¾t tình cna PGS.TS Phan Huy Khai Thay đ%nh hưóng, goi mo nhung ý tưong sâu sac hi¾u qua, t¾n tình chi bao giúp đõ tác gia ve MQI m¾t đe có the hồn thành lu¾n văn Tác gia xin bày to lịng kính TRQNG, biet ơn sâu sac tói Thay Cũng nhân d%p tác gia xin gui lịi cám ơn cna tói tồn b® thay khoa Tốn-Cơ-Tin HQc giang day, dìu dat, trang b% kien thúc suot trình HQc t¾p tai khoa Qua tác gia bày to lịng biet ơn tói gia đình ban bè thân thiet, nhung ngưịi dành sn quan tâm, đ®ng viên het mnc đe tác gia hồn thành tot ban lu¾n văn Hà n®i, ngày 10 tháng 11 năm 2011 HQ c viên Đào Th% Kim Oanh Me ĐAU Pháp L Dirichlet 1859) sau:thì Nguyên lýP phát bieu lan nđau tiên boibao nhàgiị tốn HQ c "Neu nhot nDirichlet + chúđưoc tho (1805 đưoc vào chuong cóngưịi − nhot tho b% nhot vào m®t chuong" Tőng quát neu nhot n tho vào k long mà phép chia nk đưoc m dư ton tai m®t long chúa m + tho tro lên Nguyên lý Dirichlet m®t dang cna phương pháp phan chúng, khang đ%nh sn ton tai hoắc khụng ton tai cna mđt sn kiắn no ú M¾c dù đơn gian nguyên lý Dirichlet đưoc áp dung nh mđt cụng cu het sỳc hiắu qua e giai nhieu tốn phúc tap so HQc, hình HQc tő hop nhieu toán khác cna tốn HQc Chính v¾y, tù rat lâu tai cu®c thi HQc sinh gioi tốn quoc gia quoc te, nguyên lý Dirichlet thưòng xuyên đưoc khai thác Tuy nhiên kien thúc ve phan lai không đưoc viet nhieu sách ban đoi vói hau het giáo viên, HQc sinh phő thơng van van đe mói me Vì v¾y tơi hy vQNG luắn se l mđt ti liắu tham khao nho giúp ích cho ban HQc sinh q trình HQc t¾p thay q trình giang day Lu¾n văn nham muc đích tìm hieu làm sáng to nhung áp dung cna nguyên lý Dirichlet nhung tốn sơ cap Lu¾n văn gom bon chương : Chương M®t so kien thúc chuan b% Chương Nguyên lý Dirichlet toán so HQc Chương Nguyên lý Dirichlet tốn hình HQc tő hop Chương Ngun lý Dirichlet tốn khác Q trình thnc hi¾n đe tài thòi gian nhieu han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót; rat mong thay cơ, anh ch% HQc viên đóng góp ý kien lưong thú Chương M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Nguyên lý Dirichlet ban Đ%nh lýthó Neu nhot vào n +cùng thóchuong đưac nhot vào n chuong bao già có b% nhot m®t 1.2 Nguyên lý Dirichlet ma r®ng Đ%nh lý Neu nhot n thó vào m long mà phép chia > k ton tai n m m®t long chúa nhat k + thó Chúng minh Ta de dàng chúng minh đưoc bang phan chúng Th¾t trái MQI long tho đeu chúa so tho nho k k+ contőng sov¾y thogia moi lai long Khi đó1suy su m.k Đieu vơ lý so cótho n tho V¾y gia thiet phan chúng sai, nguyên lý Dirichlet mo rđng oc chỳng minh Nhắn xột : Nguyên lý Dirichlet thnc chat m®t đ%nh lý ve t¾p hop Chúng ta có phát bieu khác cna ngun lý Dirichlet dưói dang t¾p hop huu han phan tu v mo rđng hn cho vụ han 1.3 Nguyờn lý Dirichlet ma rđng cho hEu han Cho A t¾p huu han phan tu Kí hi¾u |A| so lưong phan tu thu®c A Khi ta có đ%nh lý sau: Đ%nh lý ChotuA,B hai t¾p hapvái có so phan huu han mà A| ton > tai nhat phan tucua cua Atương mà tương vái tu cua B ƒ= ∅ | B neu úng m®t phan tu>tu Bk Đ| %nh lýmői 4.2phan Neu A,B Acác t¾p hap úng huu hancùng Am®t kphan Bđó cua m®t | phan tu cua A mà chúng tương úng cua B tonvà nhat k + 1tu so tncùng nhiên mői cua A tương úng vái m®t phan tu vái m®t phan tutaineu cua B phan Chúng minh k = hien nhiên | |moi phan | Đe chúng minh m¾nh đe gia su tu cna B chi tương úng vói nhieu nhat k phan tu cna A Khi |A| ≤| k|B| trái vói gia thiet |A| > k|B| Đ%nh lý (Nguyên lý Dirichlet cho t¼p hEu han) Cho han+ S Sƒ= vàk , SKhi , , t¾p saocho cho n1,là S +t¾p S2tuhuu + ,SS 3đó ton m®t tu x cua S Ssao x chung cua nk > + 1S1St¾p i =Stai 2, ,phan n phan i vái Đ%nh lý Đ%nh | | | | | lý |tương| đương | Nguyên ∈ lý Dirichlet (má r®ng) nguyên lý Dirichlet cho t¾p huu han tương đương Chúng minh Th¾t v¾y chúng minh thu¾n, gia su S có m phan tu x1, x2, , xn Xét t¾p X = (xi, Sj), i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n Hien nhiên X{= S1 + S2 + + Sn > k S = k.m | }| | Ta phân bo phan tu cna t¾p X vào m h®p 1, 2, , m sau : Neu | xi phan S∈Tù thìđó (xsuy ) đưoc i vói i= 1, 2,cna ,k m jt¾p = 1, ,+ n j i, S jra ton tai phanvào tu xh®p phan chung + Sikvói Khi theo ngun lýphân Dirichlet tai tu nhat m®t h®p i có nhat iton tu i = 1, 2, , n Kí hi¾u lai S = Hi iminh = 1,đao, 2, ,kímhi¾u , Sj n=phan H j làHji =vói MQI j = 1, 2, , n Ngưoc bo phan tuchúng j = 1, 2, , n vào m h®p Hi,i itu = 1, 2, 1, 2,, , m n Ta phân |Sjlý|S= Theo nguyên Dirichlet cho ton tai phan tu Hi chung cna Hienra nhiên vói MQI Shuu =>han m S1 + + Sjn t¾p >|k.m k S Suy + { | } { | | | | | | | | | ∈ } | k + t¾p Sj , túc ton tai h®p Hi chúa nhat k + phan tu 1.4 Ngun lý Dirichlet đoi vái t¾p vơ han phan tE Ngun lý Dirichlet đoi vói t¾p vơ han phan tu hay cịn GQI de nhó ngun lý Dirichlet vúi đ o oi vúi đ di, diắn tích, the tích có m®t ngun lý tương tn ngun lý Dirichlet oi vúi hop theo mđt ngha no Ta tam GQI nguyên lý nguyên lý Dirichlet oi vúi đ di, diắn tớch, the tớch Ta cú cỏc khỏi niắm sau: Khỏi niẳm Mđt hap m¾t phang GQI b% ch¾n ton tai m®t hình trịn chúa tồn b® điem cua hap ú Neu khụng ton tai mđt hỡnh trũn the t¾p hap GQI t¾p hap khụng b% chắn Khỏi niẳm Mđt iem P GQI điem biên cua t¾p hap A m¾t phang, neu MQI hình trịn tâm tai P có chúa nhung điem thu®c A ca nhung điem khơng thu®c A T¾p hap tat ca điem biên cua A GQI l biờn cua A Khỏi niẳm Mđt iem P GQI điem cua t¾p hap A m¾t phang ton tai hình trịn tâm P mà nam trQN A 1.4.1 Tắp phan tE l mđt khoang trờn ng thang Ta kớ hiắu d(I) l đ dài cna cna khoang I ⊂ R Đ%nh lý (Nguyên lý Dirichlet cho đoan thang) ⊂ A(i = 1, 2, A ,làn)trong d(A) < d(A ) + d(A )2+ + d(A Khi đósao có n)khoang 1n®i, nhat khoang so khoang có m®t điem chung Cho m®t khoang giái A , A , ., A n cho A i Chúng minh Th¾t v¾y, gia su khơng có c¾p nhung khoang cho Si=1 n có điem chung Khi đó, d( Ai) = d(A1) + d(A2) + + d(An) > d(A) M¾t khác, tù i ⊂ Sni= Ai) ≤ d(A) Các A(i = 1, 2, , khoang so bat thúc mâu thuan vói V¾ysuy nhat có A d( hai khoang có điem chung - Neu bcách < đoan AB có 1, m®t điem M nam bên ngồi tatcó đ® dàiaphát athì bên m®t so đoan = n) đưịng có tőng đ® dài làđoan b, đó: iB i(i M®t bieutrong khác de A nhó hơn: Trên thang cho AB ca đoan AiBi - Neu b > a đoan AB chúa tat ca đoan AiBi ton tai nhat hai đoan AiBi có điem chung - NeuTőng b < quát ka thì: bên đoan AB ton tai điem M khơng thu®c q k − đoan - Neu b > ka đoan AB chúa tat ca đoan AiBi có nhat k + đoan AiBi có điem chung Phát bieu trùu tưong cna phát bieu tőng quát sau: Đ%nh lý (Nguyên lý Dirichlet cho đoan thang ma r®ng) Cho A m®t khoang giái n®i, A1, A2, An nhung khoang cua A, k so tn nhiên thóa mãn k.d(A) < d(A1) + d(A2) + .+ d(An) Khi ton tai nhat k + khoang Ai (i = 1, 2, , n) có điem chung Trưịng hop k Ta = chúng vói đưoc minh o đ%nh Chúng minh minh toán minh bang phương pháp quy k, tachúng phai chúng cũnglý vói nap k + ChoGia A1,suA2đ%nh , ,líAđúng n khoang cna A thoa mãn (k + 1).d(A) < d(A1) + d(A2) + + d(An) (1.1) Vì A,ranên d(A (i = 1, 2,cna k, + n),2tùkhoang suyAra(i i i) Ta A se chi rang ton tai d(A) điem vói chung = 2, , n) i d(A11, )+ d(A 2) + + d(An) n.d(A) ≤ < d(A ) + d(A ) + + d(A ) < n.d(A) Theo (1.1) ta có (k + 1).d(A) n ⊂ Ta chúng Suyv¾y ra: kn +minh 1+ αi) thu®c m®t đoan π Do : (1) < αj − αi ≤ Vì hàm tan tăng khoang (−2π , 2π ) nên ta có: √ (1) ⇒ < tan(α − α ) ≤ tan = j i − tan αtan αj i + tan ααi j tan < ⇒ π ≤ √ yj − yi √ ⇒0 < + yjyi ≤ − −1xi + x1j ⇒ < + (1 + )(1 + ) xj xi − xj 0< ⇒ ≤ √ xixj + (1 + xi)(1 + xj) 0< ⇒ xi xi − xj + x i + xj + ≤ √ 2xixj túc ton tai hai so x, y thoa mãn yêu cau toán: x−y 0< ⇒ √ + x + y + 2xy ≤ V¾y ta có đieu phai chúng minh Bài toán 4.8 Chúng minh rang mői b® so 11 so thnc khác đoan [1, 1000] có the CHQN đưac hai so x y mà chúng thoa mãn bat thúc sau: Lòi giai: 0 i chia het cho n Ta có Sj − Si = ui+1 + ui+2 + + uj Rõ ràng ve phai cna thúc có nhat m®t so hang Mà uk ≥ 1,∀k = 1, n, suy S− j Si ≥ neu không đn phan tu cna dãy bao giị M¾t khác hi¾u ta có: S − Si < u1 + u2 + + un ≤ 2n − Do cuoi cùngj ta có: ≤ Sj − Si < u1 + u2 + + un ≤ 2n − Mà Sj − Si chia het cho n Đieu chi xay Sj Si = n ho¾c ui+1 + ui+2 + + uj = n Kha Si chia het cho n Ta có: Si Sn−1 = 2n un < Si ≤ ≤ i chia het cho n, suy Si = n ho¾c u1 + u2 + + ui chia het choMà n Snăng Kha Sk−và u1 − un cho phan dư chia cho n, vói k đó, ≤ k ≤ n Suy ra− Sk(u1 − un)|n ⇒ (u1 + u2 + + uk + un)|n Mà Suy u2 + u3 + + uk + un ≤ 2n − u1 < 2n u2 + u3 + + uk + un = n Tóm lai ln ln cHQN đưoc dãy mà tőng cna chúng bang n 4.3 Nguyên lý Dirichlet m®t so tốn Bài tốn 4.16 (Đe thi vô đ%ch Nam Tư, 1972) Đoi vái mői giá tr% n ∈ N , tìm so k lán nhat k N thoa mãn tính chat sau: Trong t¾p hap gom n phan tu có the CHQN k t¾p hap khác nhau, cho hai t¾p bat kì đeu có giao khác ∅ Lịi giai: ktuaphan 2n tua1 khác 2n 1các t¾p cont¾p cna Cophan đ%nh cna t¾p Xgia =suađã , ac2HQN , bang ,đưoc anlà xétcon t¾p X Suy = , M¾t , an,như nghĩa bang 2n 1a,1 So 2ai chúa t¾p hop v¾y sovà cácchi t¾p cna − X Ta chia caXtao t¾p cna X 2n lớcắp oc tao mđt cna v thnh phancon bù cna suy nó.thành Theo ngun Dirichlet cóV¾y ítboi nhat đãtat cHQN c¾p, chúng khơng giao k tù = 2nt¾p −t¾p Bài tốn 4.17 (Đe thi Olympic tốn−quoc te lan thú 20, 1978) M®t h®i ≥ tốn − HQc bao gom thành viên nưác Danh sách h®i viên gom 1978−ngưài đưac đánh so báo danh tù đen 1978 Chúng minh rang ton tai nhat m®t h®i viên có so báo danh gap đơi so báo danh cua m®t hđi viờn khỏc cựng nỏc, hoắc bang tng hai so báo danh cua hai h®i viên m®t nưác vái Lịi giai: Tù 329.6 < 1978 suy m®t nưóc (kí hi¾u A) có khơng 330 đai bieu h®i có the viet so báo danh a1 < a2 < < a330 < Chúng ta xét nhung hi¾u: xi − a330 − ai, i = 1, 329 Neu có m®t so xi trùng vói aj (so báo danh cna m®t đai bieu cna A) có a330 = + aj Bài tốn chúng minh xong m®t so:cịn x1vói ,B) x2,MQI ,có x329 Neu xi 5(kí =các ahi¾u i,giị, j, thì65.5 x< so báoviên, m®ttrong đai j i 66 thu®c nưóc lai Bây 329, ítdanh nhat có 5bieu nưóc se khơng ítsohơn thành mcna somđt bỏo danh cna HQ Cho cỏctaso lhiắu b1 < ybi2 = < vói bi = xn, i = 1, 66 Chúng laiđó xét b66< b66 bi,