Lý thuyết đồ thị và ứng dụng để giải toán sơ cấp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN NGOC HAI LÝ THUYET ĐO TH± VÀ ÚNG DUNG ĐE GIAI TỐN SƠ CAP LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC HÀ N®I, NĂM 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN NGOC HAI LÝ THUYET ĐO TH± VÀ ÚNG DUNG ĐE GIAI TỐN SƠ CAP LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60 46 40 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS TS ắNG HUY RUắN H NđI, NM 2014 Mnc lnc Ma đau Các khái ni¾m đ%nh lý ban 1.1 Các ví du ve đo th% 7 1.2 Đ%nh nghĩa đo th% 11 1.3 Bieu dien đo th% bang hình HQc 12 1.4 Mđt so dang o th% ắc biắt 13 1.5 Phương pháp đo th% 14 Đo th% m®t so tốn thơng 16 2.1 Bài tốn liên quan đen b¾c cna đo th% .16 2.1.1 B¾c cna đinh 16 2.1.2 Nua b¾c 16 2.1.3 M®t so tính chat 17 2.1.4 Úng dung 21 2.2 Bài tốn liên quan đen chu trình 28 2.2.1 Xích, Chu trình 28 2.2.2 Đưòng, Vòng .29 2.2.3 M®t so tính chat 29 2.2.4 Úng dung 31 2.3 Bài toán liên quan đen tính liên thơng 38 2.3.1 Đ%nh nghĩa .38 2.3.2 M®t so tính chat 39 2.3.3 Úng dung 43 2.4 Đo th% Euler - Đo th% Hamilton 50 2.4.1 Đưòng Euler đo th% Euler .50 2.4.2 Đưòng Hamilton đo th% Hamilton 55 2.4.3 Úng dung 63 2.5 Bài toán liên quan đen đo th% tô màu 70 2.5.1 Đ%nh nghĩa .70 2.5.2 Tính chat 71 2.5.3 Thu¾t tốn tìm sac so 74 2.5.4 Lóp đo th% có chu trình tam giác màu .75 2.5.5 Úng dung 77 2.6 Bài toán ve .84 2.6.1 Đ%nh nghĩa .85 2.6.2 Đ¾c điem cna bui 85 2.6.3 Úng dung 88 Lài ket 91 Tài li¾u tham khao 93 Ma đau Lý thuyet đo th% (lý thuyet graph) l mđt ngnh toỏn HQc hiắn ai, mđt lnh vnc tre cna tốn HQc m¾c dù nhung van đe cna lý thuyet đo th% có tù vài trăm năm trưóc Nhung ý tưong ban ve lý thuyet đo th% đưoc đưa vào năm 1736 boi nhà tốn HQ c Thuy Sĩ Leonhard Euler vói toán női tieng ve cau o thành Kăonigsberg Nhung cụng trỡnh nghiờn cỳu ve lý thuyet đo th% gan lien vói nhung tên tuői nhà tốn HQc lón Euler, Hamilton, Cuon sách giáo khoa au tiờn ve lý thuyet o th% oc Kăonig viet xuat ban tai Leipzig năm 1936 Mãi 22 năm sau, cuon sách giáo khoa thú hai ve đo th% mói đưoc địi boi nhà tốn hQc Berge viet in tai Paris Va lai, đ¾c trưng rat “gan gũi” vói thnc te cna mình, lý thuyet đo th% ngày khang đ%nh đưoc v% trí quan TRQNG vi¾c áp dung đe giai tốn cu®c song Nó có nhieu úng dung quan TRQNG nhieu ngành khoa HQ c, kĩ thu¾t hi¾n đai: v¾t lý, hóa HQc, sinh HQc, tin HQ c, Ngày nay, lý thuyet đo th% tro thành m®t công cu không the thieu đưoc phai giai quyet nhung van đe có tính chat phai xem xét ca tőng the Đưoc sn hưóng dan t¾n tâm, sn chi bao t¾n tình nhung giang tâm huyet cna NGND.GS.TS ắng Huy Ruắn Tỏc gia xin úng gúp mđt phan nho tìm hieu cna ban thân ve lý thuyet đo th% qua lu¾n văn: “Lý thuyet đo th% úng dung đe giai tốn sơ cap” Lu¾n văn gom phan mo đau, ket lu¾n, tài li¾u tham khao chương Chương Các khái ni¾m đ%nh lý ban Chương trình bày m®t so tốn dan en khỏi niắm o th%, mđt so khỏi niắm đ%nh lý hay dùng lý thuyet đo th% Các lý thuyet đưoc GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n tích lũy cuon sách “Lý thuyet đo th% úng dung” bao gom: - Khái ni¾m ve lý thuyet đo th% - Các cách bieu dien đo th% - Mđt so dang o th% ắc biắt Chng Đo th% m®t so tốn phő thơng Chương trình bày m®t so úng dung cna lý thuyet đo th% đe giai quyet dang toán: Các tốn liên quan đen b¾c cna đo th% Các tốn liên quan đen chu trình Các tốn liên quan đen đo th% liên thơng Các toán úng dung đo th% Euler đo th% Hamilton Các toán úng dung đo th% tơ màu Các tốn úng dung Tác gia xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen NGND.GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n, ngưịi Thay t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tác gia suot trình HQc t¾p hồn thành lu¾n văn Kính chúc thay manh khoe, hanh phúc đe the h¾ HQc trị chúng đưoc HQc hoi nhieu nua tù tam gương cna thay Tác gia xin chân thành cam ơn Ban giám hi¾u, Phịng đào tao Sau đai HQ c, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, thay giáo, cô giáo ban cna seminar “Phương pháp Toán sơ cap” Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - ĐHQGHN giúp đõ góp ý cho lu¾n văn đưoc hồn chinh Do trỡnh đ cũn han che, chac chan luắn văn khơng tránh khoi thieu sót Tác gia mong nh¾n đưoc nhieu đóng góp tù ban ĐQc đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin trân TRQNG cam ơn HQc viên Nguyen NGQc Hai Chương Các khái ni¾m đ%nh lý ban 1.1 Các ví dn ve đo th% Ví dn 1.1.1 M®t đồn khách du l%ch đen Hà N®i muon thăm danh lam thang canh cua Hà N®i Sơ đo danh lam thang canh h¾ thong giao thơng Hà N®i cho phép tù đ%a điem sang đ%a điem khác đưac cho theo sơ đo hình 1.1 Trong điem bieu th% nơi khách can đen, đoan thang bieu th% đưàng có the đưac Ban giao cho Công ty du l%ch H Nđi lắp hnh trỡnh cho khỏch cú the tái thăm MQI đ%a điem, mői đ%a điem qua khơng q m®t lan chs theo đưàng có sơ đo Thêm vào đưàng bat đau tù A ket thúc K Hình 1.1 Theo sơ đo đen C E, moi điem chi có hai đưịng Vì the hành trình thoa mãn u cau tốn phai đen bang m®t đưịng bang đưịng cịn lai Do vắy mđt oan hnh trỡnh en C phai I → C → B ho¾c B → C → I Tương tn hành trình qua E phai B → E → F ho¾c F → E → B Nhưng hành trình, moi đ%a điem chi qua khơng q m®t lan nên m®t đoan cna hành trình phai I → C → B → E → F ho¾c ngưoc lai F → E → B → C → I (hình 1.2) Do đưịng bat đau tù A nên m®t đoan đau cna hành trình A → I → C→B→E→F Hình 1.2 Đoan cịn lai chi có the F → M → H → D → K V¾y hành trình phai tìm là: A → I → C → B → E → F → M → H → D → K Tù lịi giai suy rang hành trình thoa mãn nhat Ví dn 1.1.2 M®t manh giay đưac xé làm phan nhó Đen lưat thú hai ta lai xé m®t vài manh giay nhó, mői lan m®t manh giay nhó đưac xé làm phan nhó Tiep tnc l¾p lai q trình Chúng minh rang, sau k (vái k so nguyên dương) lan xé ta thu đưac so manh giay m®t so lé Ta bieu th% moi manh giay m®t dau cham cham trịn Sn ki¾n moi manh giay sau moi lan xé đưoc thành ba manh, mơ ta hình 1.3, dau cham trịn đen bieu th% manh giay ban đau khơng cịn nua dau cham trịn trang bieu th% manh giay nh¾n đưoc Hình 1.3 giúp ta thay rang sau moi lan xé đưoc thêm hai manh giay (3 manh giay mói thay cho manh giay cũ) m®t ví du cho lan xé • Lưot thú nhat xé manh ban đau: đưoc manh giay nho Hình 1.3 • Lưot thú hai xé manh: đưoc manh giay nho • Lưot thú ba xé manh: đưoc 15 manh giay nho • Lưot thú tư xé manh: đưoc 17 manh giay nho Có đưoc 17 dau cham trịn trang, tương ỳng 17 manh giay oc nhắn Khi mđt manh giay b% xé thành manh giay nho hơn, ta thay rang moi manh giay mat ta đưoc thêm manh giay mói Cú v¾y, sau k lan xé, mat l manh giay, ta đưoc so manh giay se là: 2l + V¾y so manh giay m®t so le Ví dn 1.1.3 Có the có m®t nhóm ngưài mà mői ngưài quen vái hai ngưài khác nhóm hay khơng ? Hình 1.4 Bieu th% moi m®t ngưịi m®t điem cịn neu hai ngưịi quen ta noi hai điem tương úng lai, neu khơng quen giua hai điem khơng đưoc noi Xét m®t ngũ giác thơng thưịng hình 1.4 Rõ ràng moi đinh ngũ giác đưoc noi vói hai đinh khác Vì the có the có ngưịi mà moi ngưịi quen vói hai ngưịi khác so ngưịi cịn lai Trong tốn có the thay so boi m®t so tn nhiên n > tuỳ ý Lúc tương úng thay ngũ giác boi đa giác n canh Tuy nhiên ta có the thu suy nghĩ xem có hay khơng m®t nhóm ngưịi mà moi ngưịi quen vói ngưịi cịn lai nhóm ? Ví dn 1.1.4 Hãy phân nhóm HQc t¾p cho láp HQc cho nhung ngưài m®t nhóm ban thân vái CHQN đinh cna sơ đo can l¾p nhung em HQ c sinh lóp Trong sơ đo bieu dien, ta noi nhung c¾p hai em HQc sinh thõn bang mđt oan thang (hoắc mđt oan cong) Bang cỏch nh vắy, ta se cú mđt s o gom đinh (các em HQ c sinh) canh (các đưòng noi hai em chi hai em thân nhau) Nhung mơ hình quy ve t¾p đinh canh noi đinh nhung đo th% Ví dn 1.1.5 Bay cau thành Kăonigsberg nm 1736 (theo [1]) Thnh Kăonigsberg cna nưóc Đúc (bây giị thành Kaliningrad cna liên bang Nga) có dịng sơng Pregel chay qua, giua sơng có cù lao Kneiphof cau Hình 1.5a Hình 1.5 Tù xuat hi¾n cau, ngưịi dân o đ¾t van đe: “Li¾u có cách qua đưac ca bay cau qua mői cau m®t lan đưac khơng ?” Ta chuyen toán ve dang đo th% bang cách lay điem khơng có điem thang hàng tương úng vói đưịng thang cho Moi cắp iem oc noi bang mđt oan thang màu xanh chi đưòng thang tương úng vói chúng chéo Các c¾p điem cịn lai đưoc noi bang m®t đoan thang tơ màu đo Ta đưoc m®t đo th% G đay đn gom đinh canh đưoc tô bang hai màu: xanh, đo; theo đ%nh lý 2.5.4, đo th% G có tam giác màu Theo đieu ki¾n đau ba đưịng thang bat kỳ đeu có hai đưịng thang chéo nhau, nên tam giác tùy ý có đinh điem cHQN đeu có nhat m®t canh màu xanh nên tam giác màu phai tam giác màu xanh Ba đưịng thang tương úng vói đinh cna tam giác xanh se chéo đơi m®t Bài tốn 2.5.5 (xem [6]) Cho n điem m¾t phang cho khụng cú ba iem no thang hng Mđt so cắp điem đưoc noi bang đoan thang tô màu xanh ho¾c đo, cho hai điem bat kỳ đeu đưoc noi vói bang m®t đưịng gap khúc nhat gom đoan thang đưoc tô màu Chúng minh rang có the tơ not đoan thang cịn lai (có hai đau tai n điem cho) bang màu xanh ho¾c đo, đe bat kỳ tam giác (có đinh tai n điem cho) có so canh tô đo le Giai Coi moi điem cho đinh, canh đoan thang noi giua c¾p điem cna đo th% G Theo đieu ki¾n đau G liên thơng nên giua hai đinh đưoc noi bang m®t xích nhat canh cna đo th% đưoc tô bang hai màu Gia su x, y hai đinh không ke Ta bő sung đo th% G canh noi x vói y tơ màu cho canh sau: Ký hi¾u D(x, y) xích nhat noi giua x y Khi đó: - Canh (x, y) đưoc tơ màu xanh, neu D(x, y) có m®t so le canh xanh; - Canh (x, y) đưoc tô màu đo, neu D(x, y) có m®t so chan canh xanh; Rõ ràng cách tơ màu phù hop vói ca trưịng hop D(x, y) trùng vói (x, y), (canh (x, y) đưoc tơ màu tù trưóc) Xét chu trình tam giác bat kỳ (x, y, z, x) Ta se chi rang: có the cHQN thêm m®t đinh a, cho đưịng tơ màu trưóc D(x, a), D(y, a), D(z, a) khơng có đinh chung khác đinh a (a có the trùng vói x, y, z, chang han a trùng vói x Khi D(x, a) l mđt inh Thắt vắy, tự z i theo xích D(z, x) cho đen g¾p đưoc D(x, y) tai m®t đinh Đó đinh a (neu khơng g¾p đinh đưịng đi, se g¾p o đau mút x) Ký hi¾u p, q, r so canh tơ màu xanh cna xích D(x, a, y) D(y, a, z), D(z, a, x) Theo cách cHQN màu, so canh tơ màu xanh cna chu trình (x, y, z, x) bang so so le b® ba p, q, r Do moi canh tơ xanh cna D(a, x), D(a, y), D(a, x) đưoc tính hai lan, nên p + q + r m®t so chan Boi vắy cỏc so le bđ ba p, q, r so chan Do so canh xanh cna chu trình tam giác (x, y, z, x) chan Tù suy so canh đo cna chu trình phai le Bài tốn 2.5.6 Có thành pho, tù moi thành có đưịng hàng khơng đen m®t so thành khác Biet rang cú thành bat kỳ thành chi có thành có đưịng hàng khơng vói Chúng minh rang: a) Moi thành đưoc noi bang đưòng hàng khơng vói hai thành khác b) Tù moi thành bat kỳ có the theo đưịng hàng khơng qua thành cịn lai m®t lan quay ve thành ban đau Giai Bieu th% thành đinh A, B, C, D, E cna đo th% đinh G Giua hai thành có đưịng hàng khơng canh noi hai đinh tương úng đưoc tô màu đo, cịn neu khơng có đưịng hàng khơng tơ màu xanh V¾y G đo th% đay đn đinh có canh tơ bang màu: đo - xanh Lay ba thành bat kỳ, chang han A, B, C Vì có thành noi vói bang đưịng hàng khơng nên có m®t canh tơ màu đo, tương tn có canh tơ màu xanh Do G khơng có tam giác màu Như v¾y, canh có đau mút tai moi đinh cho phai có chi canh màu đo (vì neu tai đinh A có canh AB, AC, AD màu đo m®t canh BC, CD, DB có màu đo nên se có m®t tam giác có canh màu đo, trái gia thiet Suy ý a) đưoc chúng minh Hình 2.19 Đe chúng minh ý b), ta chúng minh rang đo th% G có m®t chu trình sơ cap (vói canh màu đo) qua tat ca đinh A, B, C, D, E Gia su tai A, có AB AE đưoc tơ màu đo, cịn AC AD đưoc tơ màu xanh Khi (hình 2.20a) CD phai màu đo (tam giác ACD) BE phai màu xanh (tam giác ABE) Hình 2.20 - Neu canh ED đưoc tơ màu đo canh EC đưoc tơ màu xanh (tam giác CDE), suy BC đưoc tô màu đo (tam giác BEC) ABCDEA chu trình can tìm (hình 2.20b) - Neu canh EC đưoc tơ màu xanh canh CE đưoc tơ màu đo (tam giác CDE) BD đo (tam giác BDE) ABDCEA chu trình can tìm (hình 2.20c) Neu tai A có hai canh AB AD đưoc tơ màu đo cịn canh AC AE đưoc tơ màu xanh canh CE phai màu đo BD màu xanh (hình 2.21a) Khi đó, neu canh ED màu đo canh CD màu xanh BC đo, ta có chu trình ABCEDA; cịn neu ED màu xanh CD màu đo, suy BE màu đo ta có chu trình ABECDA (hình 2.21b) Hình 2.21 Như v¾y, MQI trưịng hop ta đeu có chu trình có canh màu đo can tìm Ý b) đưoc chúng minh Tù tốn ta có ket qua: Cho đo th% G đay đu có đsnh canh đưac tơ m®t hai màu (xanh, đó) Neu G khơng có tam giác có canh màu G có the bieu dien đo th% dưái dang ngũ giác loi có canh màu (ho¾c xanh) đưàng chéo màu xanh (ho¾c đó) Bài tốn 2.5.7 Chúng to rang m®t nhóm ngưịi mà tat ca b® ngưịi bat kì nhóm quen tùng đơi có the cHQN ngưịi quen tùng đơi Giai Moi m®t ngưịi có the tng ỳng vúi mđt inh cna o th% Noi đinh cna đo th% tao nên đo th% đinh đay đn Tô màu xanh cho canh mà hai ngưòi tương úng quen nhau, màu đo cho canh mà hai ngưịi tương úng khơng quen Theo đieu ki¾n đo th% tơ mu cỏc canh nh vắy, se khụng cú mđt tam giác mà canh toàn màu đo Yêu cau đe can chúng minh to rang có m®t tú giác mà canh đưịng chéo đưoc tơ màu xanh Gia su đo th% có đinh A mà qua A có lón canh màu đo CHQN canh màu đo: AB, AC, AD, AE Khi ngưịi tương úng B, C, D, E phai quen tùng đơi (vì neu có ngưịi, chang han B, C khơng quen tam giác ABC có canh màu đo) Khi tú giác BCDE có canh đưịng chéo tơ màu xanh Trưịng hop đưoc giai Vì khơng the qua moi đinh cna đo th% có canh màu đo (boi neu có v¾y xét đo th% đinh vói canh tơ màu đo ta đưoc đo th % đinh mà b¾c moi đinh bang (là le) trái đ%nh lý 2.1.2) V¾y trưịng hop cịn lai phai xét là: đinh cna đo th%, có đinh có ™ canh đo qua Gia su đinh A Bo đinh A o đo th% đinh noi vói A Theo bang canh đo, m®t bo có đo th% đinh đ%nhmàu lý 2.5.4, tìm đưoc tamcanh giác,qua gia đinh su lànày tamtagiác BCD có“ canh màu Màu không the màu đo (theo gia thiet), v¾y màu xanh Vì AB, AC, AD canh màu xanh nên ABCD tú giác can tìm V¾y tốn đưoc giai Bài tốn 2.5.8 Trong h®i ngh% chun đe ve ngơn ngu cna quoc te có n ngưịi tham dn Biet rang ngưịi bat kỳ ln có m®t ngưịi mà có the nói chuy¾n trnc tiep vói moi m®t ngưịi bang m®t thú tieng Chúng to rang h®i ngh% ln có mđt ngũi cú the núi chuyắn trnc tiep vúi moi ngưịi cịn lai Giai Thiet l¾p đo th% tương úng đo th% n đinh, có canh đưoc tơ boi m®t hai màu (màu xanh cho hai ngưịi tương úng có the nói chuy¾n vói trnc tiep màu đo trưòng hop ngưoc lai) Theo đe đinh bat kỳ ln có nhat m®t đinh noi vói ba đinh cịn lai bang canh màu xanh Ta se chúng to rang đo th% có đinh mà MQI canh qua màu xanh Trưịng hop mà MQI canh đo th% đeu có màu xanh, tốn tam thưịng, đinh can tìm bat kỳ đinh đưoc Gia su có canh AB màu đo Xét thêm hai đinh C D khác Trong đinh có canh màu xanh qua chi C ho¾c D, có the gia su C Ta chúng to rang C đinh can tìm Th¾t v¾y, lay E đinh bat kỳ khác A, B, D Trong đinh A, B, C, E đinh có canh xanh qua phai C ho¾c E, v¾y bao giị canh CE màu xanh Bài toán đưoc giai Bài toán 2.5.9 (xem [7]) Trong thành có n ngưịi Hai ngưịi bat kỳ ho¾c ban thân cna nhau, ho¾c hai ngưịi khơng ưa Hơn nua, ngưịi bat kỳ ho¾c ngưịi thân tùng ụi mđt hoắc chi cú hai ngũi thõn Chỳng to rang neu khơng phai tat ca MQI ngưịi cna thành thân tùng đơi m®t có the tìm m®t ngưịi dân có so ban thân khơng so ngưịi khơng ưa Giai Moi ngưịi dân thành cho đ¾t tương úng vói m®t đinh đo th% Gia su canh đo th% màu xanh bieu th% hai ngưòi tương úng quen màu đo trưịng hop ngưoc lai Khi ta có đo th% đay đn n đinh, canh oc tụ bang mđt hai mu Theo ieu kiắn ra, đo th% này, m®t tam giác bat k phai cú canh xanh hoắc mđt canh xanh hai canh đo Ngoài đo th % phai có canh đo Xét canh đo AB Gia su so canh xanh qua A bang k n Neu k < ngưịi dân can tìm A n : Xét đinh C mà canh AB tô màu xanh Có k đinh C Ngưoc lai neu k “ v¾y Vói moi đinh C v¾y CB màu đo V¾y qua B có (k + 1) canh màu đo (vì BA canh màu đo) n nên ngưịi can tìm B Bài tốn đưoc giai Do k + > k “ 2.6 Bài tốn ve Ta xét đo th% dang đ¾c bi¾t: Đo th% vơ hưóng liên thơng khơng có chu trình; đo th% có hưóng liên thơng manh khơng có vịng 2.6.1 Đ%nh nghĩa M®t đo th% vơ hưóng liên thơng, khơng có chu trình có nhat hai đinh đưoc GQi m®t (hình 2.22a) Khái ni¾m quan TRQNG Cayley đe Đo th% huu han có hưóng G = (X; U ) m®t bui goc x1 ∈ X, neu có nhat hai đinh thoa mãn ba đieu ki¾n sau: 1) Moi đinh khác x1 điem cuoi cna m®t cung nhat 2) Đinh x1 khơng điem cuoi cna bat kỳ m®t cung 3) Đo th% G = (X; U ) khơng có vịng (hình 2.22b) Hình 2.22 2.6.2 Đ¾c điem cua bni Mđt so ket qua nhắn oc tự [5] nh sau: Đ%nh lý 2.6.1 Gia su H m®t đo th% vô hưáng vái n đsnh (n > 1) Đe ắc trng cho mđt cõy thỡ sỏu tớnh chat sau tương đương: (1) H liên thông chu trình (2) H khơng có chu trình có n − canh (3) H liên thơng có n − canh (4) H khơng có chu trình neu thêm m®t canh noi giua hai đsnh bat kì khơng ke đo th% nh¾n đưac H J có m®t chu trình (và chs m®t mà thơi) (5) H liên thơng bát m®t canh bat kì đo th% mat tính liên thơng (6) MQI c¾p đsnh cua H đeu đưac nói vái bang m®t xích chs m®t mà thơi Chúng minh Đ%nh lý đưoc chúng minh theo phương pháp vòng trịn Ký hi¾u so canh cna đo th% H bang m, so thành phan liên thông bang p (1) ⇒ (2): Theo tính chat (1): p = 1, v(H) = m − n + 1, nên m = n − (1) ⇒ (3): Theo tính chat (2): m = n − 1, v(H) = nên v(H) = m − n + p = n − + p = ⇒ p = Boi v¾y H liên thơng có n − canh (3) ⇒ (4): Theo tính chat (3): p = 1, m = n − nên v(H) = m − n + p = n − − n + = túc H khơng có chu trình; ngồi ra, neu thêm vào m®t canh noi giua hai đinh khơng ke nhau, đo th% H J nh¾n đưoc se có chu so: v(H J ) = m + − n + = n − + − n + = Nên đo th% H J có chu trình chi m®t mà thơi (4) ⇒ (5): Lay hai đinh bat kỳ x, y cna đo th% H Theo tính chat (4): neu thêm vào canh (x, y) đo th% mói nh¾n đưoc H J có chu trình, đieu chúng to giua x, y có xích noi vói nhau, túc H liên thơng Gia su bót m®t canh đó, chang han (u, v) mà đo th% nh¾n đưoc van liên thông Đieu chúng to đo th% H giua đinh u, v ngồi canh (u, v) cịn m®t xích nua noi giua chúng, túc H có nhat m®t chu trình qua u, v Ta tói mau thuan vói tính chat (4): đo th% H khơng có chu trình Boi v¾y, neu bót mđt canh tựy ý thỡ o th% nhắn oc tự H se không liên thông (5) ⇒ (6): Gia su H ton tai c¾p đinh đó, chang han x, y đưoc noi vói bang tù hai xích tro lên Khi đó, neu ta bo m®t canh thu®c m®t hai xích này, xích cịn lai van bao đam cho x, y liên thơng Như v¾y ta tói mâu thuan vói tính chat (5) Do đó, MQI c¾p đinh cna H đeu đưoc noi vói bang m®t xích chi m®t mà (6) ⇒ (1): Gia su H không liờn thụng Khi ú cú ớt nhat mđt cắp inh khơng có xích noi vói nhau, nên mâu thuan vói tính chat (6) Gia su H có chu trình Khi ú cú ớt nhat mđt cắp inh nam trờn chu trình đưoc noi vói bang nhat hai xích Như v¾y ta đen mâu thuan vói tính chat (6) Boi v¾t đo th% H có tính chat (1) Đ%nh lý đưoc chúng minh Q Đ%nh lý 2.6.2 M®t có nhat hai đsnh treo Chúng minh Gia su H chi có khơng q m®t đinh treo Ta tưong tưong có m®t khách b® hành theo đo th% đó, xuat phát tù m®t đinh tùy ý (trong trưịng hop đo th % khơng có đinh treo) hay tù đinh treo (trong trưịng hop đo th% có đinh treo): Neu hành khách tn cam khơng qua m®t canh hai lan, ú khụng the gắp mđt inh hai lan (do o th% H khơng có chu trình) M¾t khác, tói m®t đinh ngưịi ln ln có the bang m®t canh mói (vì moi đinh khác đinh xuat phát đeu có nhat hai canh) Như v¾y khách b® hành se khơng bao giị dùng lai Đó đieu khơng the xay ra, đo th% H có huu han đinh V¾y đo th% H khơng the có hai đinh treo Đ%nh lý đưoc chúng minh Q Đ%nh lý 2.6.3 MQI bni bó đ%nh hưáng canh đeu trá thành Chúng minh Gia su bui H = (X, U ) có goc x1 đo th% vơ hưóng G = (X, E) nh¾n đưoc tù bui H sau bo đ%nh hưóng cung 1) Đo th% G liên thơng: Do đieu ki¾n 1) moi đinh x ƒ= x1 đeu có đưịng tù x1 tói Th¾t v¾y, gia su x ƒ= x1 tù x1 khơng có đưịng tói x Neu x đinh bi¾t l¾p, khơng the đinh cuoi cna m®t cung đó, cịn neu x khơng phai đinh bi¾t l¾p, phai có đinh y điem xuat phát cna m®t đưịng tói x Nhưng tù x1 khơng có đưịng tói x nên y ƒ= x1; mà khơng điem cuoi cna bat kỳ cung Như v¾y, ta tói mau thuan vói đieu ki¾n 1) Do MQI đinh x ƒ= x1 , tù x1 đeu có đưịng tói nó, nên G MQI đinh x đeu có xích noi vói hai đinh x1 Boi v¾y G liên thơng 2) Đo th% G khơng có chu trình Th¾t v¾y, gia su G có chu trình, H dãy cung tương úng vói cỏc canh thuđc chu trỡnh ny se hoắc lắp thnh mđt vũng hoắc cú ớt nhat hai cung cú chung điem cuoi Như v¾y ta tói mau thuan vói đieu ki¾n 1) ho¾c đieu ki¾n 3) Nên đo th% G khơng có chu trình liên thơng Do G Đ%nh lý đưoc chúng minh Q 2.6.3 Úng dnng Bài toán 2.6.1 (xem [5]) Trong m®t cu®c thi đau bóng bàn, An Bình quy ưóc vói nhau: ngưịi thang cu®c ngưịi đau tiên thang ván ho¾c thang ván liên tiep Hãy xác đ%nh so kha có the xay Giai Dùng A đe ký hi¾u An thang, dùng B đe ký hi¾u Bình thang Dùng đe mơ ta tồn bđ hiắn trang cú kha nng xay Xõy dnng cây: Xuat phát tù điem S Ván đau tiên có hai kha năng: An thang ho¾c Bình thang Lay hai điem cho hai điem vói điem S khơng thang hàng; m®t hai điem ghi A, điem ghi B Noi S vói A bang m®t đoan thang hoắc mđt oan cong e bieu th% A thang Tương tn, đe bieu th% “B thang” ta noi S vúi Bbang mđt oan thang hoắc mđt oan cong Vỏn thú hai lai có kha năng: An thang ho¾c Bình thang, nên xuat phát tù A lay hai điem mói ghi ký hi¾u tương úng A, B tù A ke hai đoan thang ho¾c hai đoan cong tói hai điem mói thêm Đoi vói điem B cHQN thêm hai đinh mói ghi A B, roi tù B ke hai đoan thang hay hai đoan cong tói hai điem mói thêm Tiep theo thnc hiắn kộo di cỏc ng mđt cỏch tng tn, quy ưóc cna An Bình, nhung đưịng mà xuat hi¾n ho¾c đinh liên tiep ghi cựng bang mđt ký hiắu hoắc inh oc ghi bang cựng mđt ký hiắu eu khụng oc kộo dài Hình 2.23 Vì An Bình đau vói ván, ho¾c có ngưịi thang ván liên tiep ho¾c có ngưịi thang ván Do đó, nhung đưịng xuat phát tù S đeu khơng có q canh V¾y có 10 đinh ngQN, nên có 10 kha xay Bài tốn 2.6.2 (xem [5]) Có bon đ®i bóng đá A, B, C, D LQT vào vịng bán ket giai đ®i manh khu vnc Có may dn đốn xep hang sau: a Đ®i B vơ đ%ch, đ®i D nhì b Đ®i B nhì, đ®i C ba c Đ®i A nhì, đ®i C tư Biet rang moi dn đốn ve m®t đ®i Hãy cho biet ket qua xep hang cna đ®i Giai Ta ký hiắu: B1: B nhat B2: B nhì D2: Đ®i D nhì A2: Đ®i A nhì C3: Đ®i C ba C4: Đ®i C bon Đe biet ket qua xep hang cna đ®i ve sau: - Hai “nhánh” đau tiên úng vói dn đoán thú nhat - Tù moi nhánh lai re thành hai nhánh úng vói dn đốn thú hai - Tiep tuc re nhánh đoi vói dn đốn thú theo cách ta có cây: Hình 2.24 Ta cHQN m®t đưịng tù “goc” O đen “NGQn” canh khơng mang chu trùng Vì m®t đ®i khơng the xep hai hang khác khơng có chi so trùng (Vì hai đ®i khơng the đưoc xep hàng m®t hang), đong thịi thú tn xep hang cna cỏc thoa ieu kiắn au Đưịng tơ đ¾m nét vói dãy ký hi¾u B1 , C3 , A2 , D4 cho ta xep hang can tìm Bài tốn 2.6.3 Cho n điem m¾t phang có khoang cách giua điem đơi m®t khác Noi moi điem vói điem gan nhat Bang cách thu đưoc m®t đo th% G Chỳng minh rang G l mđt bui m bắc cna moi đinh khơng lón Giai Trưóc tiên, ta chúng to rang G khơng có chu trình Gia su ngưoc lai, G có m®t chu trình K Khơng mat tính tőng qt, gia su AB canh có đ® dài lón nhat tat ca canh cna K GQI C D lan lưot hai đinh ke vói A B so đinh thu®c K Hình 2.25 Ta có AB > AC AB > BD Theo cách noi đinh cna u cau tốn: moi đinh chi noi vói đinh gan nhat canh AB khơng the đưoc noi V¾y, đieu gia su sai Nghĩa G khơng có chu trình Hình 2.26 su đinh P có b¾cminh m(p)rang “ 6,các đinh đinh keđo vóith% P A1,có A2b¾c , A 3, A 4, A5, A6 đưoc bo Bây giò ta chúng cna đeu nho Gia trí m¾t phang theo chieu kim đong ho (hình 2.26), khơng mat tính tőng qt, ta có the gia su A1 điem gan P nhat Như v¾y, tam giác AiPAi+1 (i = 2, 3, 4, 5) ta có canh AiAi+1 canh lón nhat, P điem gan vói Ai nhat Trong tam giác A PA A PA canh A6A1 A1A2 canh dài nhat, A6P < A6A1 A1P < A6P (A1 gan P nhat), tương tn v¾y A2P < A2A1 A1P < A2P Do đó, ∠AiPAi+1 > 600 Ta có tőng góc quanh P lón 3600, đieu khơng the xay Bài tốn đưoc chúng minh Lài ket Dưói sn hưóng dan khoa HQ c cna NGND.GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n vói sn no lnc HQ c t¾p nghiêm túc nghiên cúu cna ban thân, ket qua cna lu¾n văn “Lý thuyet đo th% úng dung đe giai tốn sơ cap” đưoc trình bày theo h¾ thong sau đây: Trình bày lý thuyet ban cna Lý thuyet đo th% úng dung đe giai tốn sơ cap Sưu tam h¾ thong tốn nham khac sâu kien thúc lý thuyet M¾c dù tác gia het súc co gang thịi gian kha có han chac chan lu¾n văn cịn nhieu thieu sót Tác gia rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna q thay giáo ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin trân TRQNG cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Hồng Chúng: Graph giai tốn phő thông NXBGD 1992 [2] Đő ĐÉc Giáo: Hưáng dan giai t¾p tốn rài rac NXBGD 2009 [3] Vũ Đình Hòa: Đ%nh lý van đe ve Đo th% huu han NXBGD 2003 [4] Vũ Đình Hịa: M®t so kien thúc sá ve graph huu han NXBGD 2006 [5] Đ¾ng Huy Ru¾n: Lý thuyet đo th% úng dnng NXB Khoa HQc ky thu¾t 2004 [6] Đ¾ng Huy Ru¾n: Bay phương pháp giai tốn logic NXB Khoa HQc ky thu¾t 2002 [7] Hồng Chí Thành: Đo th% thu¾t tốn NXBGD 2007 [8] Nguyen Văn Thơng: Boi dưãng HQc sinh giói Tốn Tő hap - rài rac NXB ĐHQGHN 2012 [9] Nguyen Gia Đ%nh: Giáo trình Tốn rài rac NXB Đai HQc Hue 2003 [10] Diendantoanhoc.vn ... TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN NGOC HAI LÝ THUYET ĐO TH± VÀ ÚNG DUNG ĐE GIAI TỐN SƠ CAP LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60 46 40 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA... tre cna toỏn HQc mắc dự nhung van đe cna lý thuyet đo th% có tù vài trăm năm trưóc Nhung ý tưong ban ve lý thuyet đo th% đưoc đưa vào năm 1736 boi nhà toán HQ c Thuy Sĩ Leonhard Euler vói tốn... th%, mđt so khái ni¾m đ%nh lý hay dùng lý thuyet đo th% Các lý thuyet đưoc GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n tích lũy cuon sách ? ?Lý thuyet đo th% úng dung” bao gom: - Khái ni¾m ve lý thuyet đo th% - Các cách