Lý thuyết đồ thị và ứng dụng để giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN NGỌC HẢI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN NGỌC HẢI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG HUY RUẬN HÀ NỘI, NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Các khái niệm định lý 1.1 Các ví dụ đồ thị 1.2 Định nghĩa đồ thị 11 1.3 Biểu diễn đồ thị hình học 12 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt 13 1.5 Phương pháp đồ thị 14 Đồ thị số tốn phổ thơng 2.1 2.2 2.3 2.4 16 Bài toán liên quan đến bậc đồ thị 16 2.1.1 Bậc đỉnh 16 2.1.2 Nửa bậc 16 2.1.3 Một số tính chất 17 2.1.4 Ứng dụng 21 Bài toán liên quan đến chu trình 28 2.2.1 Xích, Chu trình 28 2.2.2 Đường, Vòng 29 2.2.3 Một số tính chất 29 2.2.4 Ứng dụng 31 Bài toán liên quan đến tính liên thơng 38 2.3.1 Định nghĩa 38 2.3.2 Một số tính chất 39 2.3.3 Ứng dụng 43 Đồ thị Euler - Đồ thị Hamilton 50 2.4.1 Đường Euler đồ thị Euler 50 2.4.2 Đường Hamilton đồ thị Hamilton 55 2.4.3 Ứng dụng 63 Bài toán liên quan đến đồ thị tô màu 70 2.5.1 Định nghĩa 70 2.5.2 Tính chất 71 2.5.3 Thuật tốn tìm sắc số 74 2.5.4 Lớp đồ thị có chu trình tam giác màu 75 2.5.5 Ứng dụng 77 Bài toán 84 2.6.1 Định nghĩa 85 2.6.2 Đặc điểm bụi 85 2.6.3 Ứng dụng 88 Lời kết 91 Tài liệu tham khảo 93 2.5 2.6 Mở đầu Lý thuyết đồ thị (lý thuyết graph) ngành toán học đại, lĩnh vực trẻ toán học vấn đề lý thuyết đồ thị có từ vài trăm năm trước Những ý tưởng lý thuyết đồ thị đưa vào năm 1736 nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler với toán tiếng cầu thnh ph Kăonigsberg Nhng cụng trỡnh nghiờn cu v lý thuyết đồ thị gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Euler, Hamilton, Cuốn sách giáo khoa lý thuyết đồ thị Kăonig vit v xut bn ti Leipzig nm 1936 Mói 22 năm sau, sách giáo khoa thứ hai đồ thị đời nhà toán học Berge viết in Paris Vả lại, đặc trưng “gần gũi” với thực tế mình, lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải tốn sống Nó có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều ngành khoa học, kĩ thuật đại: vật lý, hóa học, sinh học, tin học, Ngày nay, lý thuyết đồ thị trở thành công cụ thiếu phải giải vấn đề có tính chất phải xem xét tổng thể Được hướng dẫn tận tâm, bảo tận tình giảng tâm huyết NGND.GS.TS Đặng Huy Ruận Tác giả xin đóng góp phần nhỏ tìm hiểu thân lý thuyết đồ thị qua luận văn: “Lý thuyết đồ thị ứng dụng để giải toán sơ cấp” Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Các khái niệm định lý Chương trình bày số tốn dẫn đến khái niệm đồ thị, số khái niệm định lý hay dùng lý thuyết đồ thị Các lý thuyết GS.TS Đặng Huy Ruận tích lũy sách “Lý thuyết đồ thị ứng dụng” bao gồm: - Khái niệm lý thuyết đồ thị - Các cách biểu diễn đồ thị - Một số dạng đồ thị đặc biệt Chương Đồ thị số tốn phổ thơng Chương trình bày số ứng dụng lý thuyết đồ thị để giải dạng toán: Các toán liên quan đến bậc đồ thị Các tốn liên quan đến chu trình Các tốn liên quan đến đồ thị liên thơng Các toán ứng dụng đồ thị Euler đồ thị Hamilton Các tốn ứng dụng đồ thị tơ màu Các toán ứng dụng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến NGND.GS.TS Đặng Huy Ruận, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hồn thành luận văn Kính chúc thầy mạnh khoẻ, hạnh phúc để hệ học trò chúng học hỏi nhiều từ gương thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, thầy giáo, cô giáo bạn seminar “Phương pháp Toán sơ cấp” Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN giúp đỡ góp ý cho luận văn hồn chỉnh Do trình độ hạn chế, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều đóng góp từ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn Học viên Nguyễn Ngọc Hải Chương Các khái niệm định lý 1.1 Các ví dụ đồ thị Ví dụ 1.1.1 Một đồn khách du lịch đến Hà Nội muốn thăm danh lam thắng cảnh Hà Nội Sơ đồ danh lam thắng cảnh hệ thống giao thông Hà Nội cho phép từ địa điểm sang địa điểm khác cho theo sơ đồ hình 1.1 Trong điểm biểu thị nơi khách cần đến, đoạn thẳng biểu thị đường Bạn giao cho Công ty du lịch Hà Nội lập hành trình cho khách tới thăm địa điểm, địa điểm qua không lần theo đường có sơ đồ Thêm vào đường A kết thúc K Hình 1.1 Theo sơ đồ đến C E, điểm có hai đường Vì hành trình thoả mãn yêu cầu toán phải đến đường đường lại Do đoạn hành trình đến C phải I → C → B B → C → I Tương tự hành trình qua E phải B → E → F F → E → B Nhưng hành trình, địa điểm qua không lần nên đoạn hành trình phải I → C → B → E → F ngược lại F → E → B → C → I (hình 1.2) Do đường A nên đoạn đầu hành trình A → I → C → B → E → F Hình 1.2 Đoạn lại F → M → H → D → K Vậy hành trình phải tìm là: A → I → C → B → E → F → M → H → D → K Từ lời giải suy hành trình thoả mãn Ví dụ 1.1.2 Một mảnh giấy xé làm phần nhỏ Đến lượt thứ hai ta lại xé vài mảnh giấy nhỏ, lần mảnh giấy nhỏ xé làm phần nhỏ Tiếp tục lặp lại q trình Chứng minh rằng, sau k (với k số nguyên dương) lần xé ta thu số mảnh giấy số lẻ Ta biểu thị mảnh giấy dấu chấm chấm tròn Sự kiện mảnh giấy sau lần xé thành ba mảnh, mơ tả hình 1.3, dấu chấm tròn đen biểu thị mảnh giấy ban đầu khơng dấu chấm tròn trắng biểu thị mảnh giấy nhận Hình 1.3 giúp ta thấy sau lần xé thêm hai mảnh giấy (3 mảnh giấy thay cho mảnh giấy cũ) ví dụ cho lần xé • Lượt thứ xé mảnh ban đầu: mảnh giấy nhỏ Hình 1.3 • Lượt thứ hai xé mảnh: mảnh giấy nhỏ • Lượt thứ ba xé mảnh: 15 mảnh giấy nhỏ • Lượt thứ tư xé mảnh: 17 mảnh giấy nhỏ Có 17 dấu chấm tròn trắng, tương ứng 17 mảnh giấy nhận Khi mảnh giấy bị xé thành mảnh giấy nhỏ hơn, ta thấy mảnh giấy ta thêm mảnh giấy Cứ vậy, sau k lần xé, l mảnh giấy, ta số mảnh giấy là: 2l + Vậy số mảnh giấy số lẻ Ví dụ 1.1.3 Có thể có nhóm người mà người quen với hai người khác nhóm hay khơng ? Hình 1.4 Biểu thị người điểm hai người quen ta nối hai điểm tương ứng lại, không quen hai điểm khơng nối Xét ngũ giác thơng thường hình 1.4 Rõ ràng đỉnh ngũ giác nối với hai đỉnh khác Vì có người mà người quen với hai người khác số người lại Trong tốn thay số số tự nhiên n > tuỳ ý Lúc tương ứng thay ngũ giác đa giác n cạnh Tuy nhiên ta thử suy nghĩ xem có hay khơng nhóm người mà người quen với người lại nhóm ? Ví dụ 1.1.4 Hãy phân nhóm học tập cho lớp học cho người nhóm bạn thân với Chọn đỉnh sơ đồ cần lập em học sinh lớp Trong sơ đồ biểu diễn, ta nối cặp hai em học sinh thân đoạn thẳng (hoặc đoạn cong) Bằng cách vậy, ta có sơ đồ gồm đỉnh (các em học sinh) cạnh (các đường nối hai em hai em thân nhau) Những mơ hình quy tập đỉnh cạnh nối đỉnh đồ thị Ví dụ 1.1.5 Bẩy cõy cu thnh ph Kă onigsberg nm 1736 (theo [1]) Thnh ph Kăonigsberg ca nc c (bõy gi l thành phố Kaliningrad liên bang Nga) có dòng sơng Pregel chảy qua, sơng có cù lao Kneiphof cầu Hình 1.5a Hình 1.5 Từ xuất cầu, người dân đặt vấn đề: “Liệu có cách qua bẩy cầu qua cầu lần không ?” 10 Ta chuyển toán dạng đồ thị cách lấy điểm khơng có điểm thẳng hàng tương ứng với đường thẳng cho Mỗi cặp điểm nối đoạn thẳng màu xanh đường thẳng tương ứng với chúng chéo Các cặp điểm lại nối đoạn thẳng tô màu đỏ Ta đồ thị G đầy đủ gồm đỉnh cạnh tô hai màu: xanh, đỏ; theo định lý 2.5.4, đồ thị G có tam giác màu Theo điều kiện đầu ba đường thẳng có hai đường thẳng chéo nhau, nên tam giác tùy ý có đỉnh điểm chọn có cạnh màu xanh nên tam giác màu phải tam giác màu xanh Ba đường thẳng tương ứng với đỉnh tam giác xanh chéo đơi Bài tốn 2.5.5 (xem [6]) Cho n điểm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Một số cặp điểm nối đoạn thẳng tô màu xanh đỏ, cho hai điểm nối với đường gấp khúc gồm đoạn thẳng tơ màu Chứng minh tơ nốt đoạn thẳng lại (có hai đầu n điểm cho) màu xanh đỏ, để tam giác (có đỉnh n điểm cho) có số cạnh tơ đỏ lẻ Giải Coi điểm cho đỉnh, cạnh đoạn thẳng nối cặp điểm đồ thị G Theo điều kiện đầu G liên thông nên hai đỉnh nối xích cạnh đồ thị tô hai màu Giả sử x, y hai đỉnh không kề Ta bổ sung đồ thị G cạnh nối x với y tô màu cho cạnh sau: Ký hiệu D(x, y) xích nối x y Khi đó: - Cạnh (x, y) tơ màu xanh, D(x, y) có số lẻ cạnh xanh; - Cạnh (x, y) tơ màu đỏ, D(x, y) có số chẵn cạnh xanh; Rõ ràng cách tô màu phù hợp với trường hợp D(x, y) trùng với (x, y), (cạnh (x, y) tô màu từ trước) 79 Xét chu trình tam giác (x, y, z, x) Ta rằng: chọn thêm đỉnh a, cho đường tơ màu trước D(x, a), D(y, a), D(z, a) khơng có đỉnh chung khác đỉnh a (a trùng với x, y, z, chẳng hạn a trùng với x Khi D(x, a) đỉnh Thật vậy, từ z theo xích D(z, x) gặp D(x, y) đỉnh Đó đỉnh a (nếu khơng gặp đỉnh đường đi, gặp đầu mút x) Ký hiệu p, q, r số cạnh tô màu xanh xích D(x, a, y) D(y, a, z), D(z, a, x) Theo cách chọn màu, số cạnh tô màu xanh chu trình (x, y, z, x) số số lẻ ba p, q, r Do cạnh tô xanh D(a, x), D(a, y), D(a, x) tính hai lần, nên p + q + r số chẵn Bởi số lẻ ba p, q, r số chẵn Do số cạnh xanh chu trình tam giác (x, y, z, x) chẵn Từ suy số cạnh đỏ chu trình phải lẻ Bài tốn 2.5.6 Có thành phố, từ thành phố có đường hàng không đến số thành phố khác Biết thành phố thành phố có thành phố có đường hàng không với Chứng minh rằng: a) Mỗi thành phố nối đường hàng không với hai thành phố khác b) Từ thành phố theo đường hàng khơng qua thành phố lại lần quay thành phố ban đầu Giải Biểu thị thành phố đỉnh A, B, C, D, E đồ thị đỉnh G Giữa hai thành phố có đường hàng khơng cạnh nối hai đỉnh tương ứng tơ màu đỏ, khơng có đường hàng khơng tơ màu xanh Vậy G đồ thị đầy đủ đỉnh có cạnh tơ màu: đỏ - xanh Lấy ba thành phố bất kỳ, chẳng hạn A, B, C Vì có thành phố nối với đường hàng khơng nên có cạnh tơ màu đỏ, tương tự có cạnh tơ màu xanh Do G khơng có tam giác màu Như vậy, cạnh có đầu mút đỉnh cho phải có cạnh màu đỏ (vì đỉnh A có cạnh AB, AC, AD màu đỏ 80 cạnh BC, CD, DB có màu đỏ nên có tam giác có cạnh màu đỏ, trái giả thiết Suy ý a) chứng minh Hình 2.19 Để chứng minh ý b), ta chứng minh đồ thị G có chu trình sơ cấp (với cạnh màu đỏ) qua tất đỉnh A, B, C, D, E Giả sử A, có AB AE tơ màu đỏ, AC AD tơ màu xanh Khi (hình 2.20a) CD phải màu đỏ (tam giác ACD) BE phải màu xanh (tam giác ABE) Hình 2.20 - Nếu cạnh ED tơ màu đỏ cạnh EC tô màu xanh (tam giác CDE), suy BC tô màu đỏ (tam giác BEC) ABCDEA chu trình cần tìm (hình 2.20b) - Nếu cạnh EC tơ màu xanh cạnh CE tô màu đỏ (tam giác CDE) BD đỏ (tam giác BDE) ABDCEA chu trình cần tìm (hình 2.20c) Nếu A có hai cạnh AB AD tơ màu đỏ cạnh AC AE tơ màu xanh cạnh CE phải màu đỏ BD màu xanh (hình 2.21a) 81 Khi đó, cạnh ED màu đỏ cạnh CD màu xanh BC đỏ, ta có chu trình ABCEDA; ED màu xanh CD màu đỏ, suy BE màu đỏ ta có chu trình ABECDA (hình 2.21b) Hình 2.21 Như vậy, trường hợp ta có chu trình có cạnh màu đỏ cần tìm Ý b) chứng minh Từ tốn ta có kết quả: Cho đồ thị G đầy đủ có đỉnh cạnh tô hai màu (xanh, đỏ) Nếu G khơng có tam giác có cạnh màu G biểu diễn đồ thị dạng ngũ giác lồi có cạnh màu đỏ (hoặc xanh) đường chéo màu xanh (hoặc đỏ) Bài toán 2.5.7 Chứng tỏ nhóm người mà tất người nhóm quen đơi chọn người quen đơi Giải Mỗi người đặt tương ứng với đỉnh đồ thị Nối đỉnh đồ thị tạo nên đồ thị đỉnh đầy đủ Tô màu xanh cho cạnh mà hai người tương ứng quen nhau, màu đỏ cho cạnh mà hai người tương ứng không quen Theo điều kiện đồ thị tơ màu cạnh vậy, khơng có tam giác mà cạnh toàn màu đỏ Yêu cầu đề cần chứng minh tỏ có tứ giác mà cạnh đường chéo tô màu xanh Giả sử đồ thị có đỉnh A mà qua A có lớn cạnh màu đỏ Chọn cạnh màu đỏ: AB, AC, AD, AE Khi người tương ứng 82 B, C, D, E phải quen đơi (vì có người, chẳng hạn B, C khơng quen tam giác ABC có cạnh màu đỏ) Khi tứ giác BCDE có cạnh đường chéo tô màu xanh Trường hợp giải Vì khơng thể qua đỉnh đồ thị có cạnh màu đỏ (bởi có xét đồ thị đỉnh với cạnh tô màu đỏ ta đồ thị đỉnh mà bậc đỉnh (là lẻ) trái định lý 2.1.2) Vậy trường hợp lại phải xét là: đỉnh đồ thị, có đỉnh có cạnh đỏ qua Giả sử đỉnh A Bỏ đỉnh A đồ thị đỉnh nối với A cạnh màu đỏ, bỏ cạnh qua đỉnh ta có đồ thị đỉnh Theo định lý 2.5.4, tìm tam giác, giả sử tam giác BCD có cạnh màu Màu khơng thể màu đỏ (theo giả thiết), màu xanh Vì AB, AC, AD cạnh màu xanh nên ABCD tứ giác cần tìm Vậy tốn giải Bài toán 2.5.8 Trong hội nghị chuyên đề ngơn ngữ quốc tế có n người tham dự Biết người ln có người mà nói chuyện trực tiếp với người thứ tiếng Chứng tỏ hội nghị ln có người nói chuyện trực tiếp với người lại Giải Thiết lập đồ thị tương ứng đồ thị n đỉnh, có cạnh tô hai màu (màu xanh cho hai người tương ứng nói chuyện với trực tiếp màu đỏ trường hợp ngược lại) Theo đề đỉnh ln có đỉnh nối với ba đỉnh lại cạnh màu xanh Ta chứng tỏ đồ thị có đỉnh mà cạnh qua màu xanh Trường hợp mà cạnh đồ thị có màu xanh, tốn tầm thường, đỉnh cần tìm đỉnh Giả sử có cạnh AB màu đỏ Xét thêm hai đỉnh C D khác Trong đỉnh có cạnh màu xanh qua C D, giả sử C Ta chứng 83 tỏ C đỉnh cần tìm Thật vậy, lấy E đỉnh khác A, B, D Trong đỉnh A, B, C, E đỉnh có cạnh xanh qua phải C E, cạnh CE màu xanh Bài toán giải Bài tốn 2.5.9 (xem [7]) Trong thành phố có n người Hai người bạn thân nhau, hai người không ưa Hơn nữa, người người thân đơi có hai người thân Chứng tỏ tất người thành phố thân đôi tìm người dân có số bạn thân khơng số người khơng ưa Giải Mỗi người dân thành phố cho đặt tương ứng với đỉnh đồ thị Giả sử cạnh đồ thị màu xanh biểu thị hai người tương ứng quen màu đỏ trường hợp ngược lại Khi ta có đồ thị đầy đủ n đỉnh, cạnh tô hai màu Theo điều kiện ra, đồ thị này, tam giác phải có cạnh xanh cạnh xanh hai cạnh đỏ Ngoài đồ thị phải có cạnh đỏ Xét cạnh đỏ AB Giả sử số cạnh xanh qua A k n Nếu k < người dân cần tìm A n Ngược lại k : Xét đỉnh C mà cạnh AB tơ màu xanh Có k đỉnh C Với đỉnh C CB màu đỏ Vậy qua B có (k + 1) cạnh màu đỏ (vì BA cạnh màu đỏ) n Do k + > k nên người cần tìm B Bài toán giải 2.6 Bài toán Ta xét đồ thị dạng đặc biệt: Đồ thị vơ hướng liên thơng khơng có chu trình; đồ thị có hướng liên thơng mạnh khơng có vòng 84 2.6.1 Định nghĩa Một đồ thị vơ hướng liên thơng, khơng có chu trình có hai đỉnh gọi (hình 2.22a) Khái niệm quan trọng Cayley đề Đồ thị hữu hạn có hướng G = (X; U ) bụi gốc x1 ∈ X, có hai đỉnh thỏa mãn ba điều kiện sau: 1) Mỗi đỉnh khác x1 điểm cuối cung 2) Đỉnh x1 không điểm cuối cung 3) Đồ thị G = (X; U ) khơng có vòng (hình 2.22b) Hình 2.22 2.6.2 Đặc điểm bụi Một số kết nhận từ [5] sau: Định lý 2.6.1 Giả sử H đồ thị vô hướng với n đỉnh (n > 1) Để đặc trưng cho sáu tính chất sau tương đương: (1) H liên thơng khơng có chu trình (2) H khơng có chu trình có n − cạnh (3) H liên thơng có n − cạnh (4) H khơng có chu trình thêm cạnh nối hai đỉnh khơng kề đồ thị nhận H có chu trình (và mà thơi) (5) H liên thơng bớt cạnh đồ thị tính liên thơng (6) Mọi cặp đỉnh H nói với xích mà thơi 85 Chứng minh Định lý chứng minh theo phương pháp vòng tròn Ký hiệu số cạnh đồ thị H m, số thành phần liên thông p (1) ⇒ (2): Theo tính chất (1): p = 1, v(H) = m − n + 1, nên m = n − (1) ⇒ (3): Theo tính chất (2): m = n − 1, v(H) = nên v(H) = m − n + p = n − + p = ⇒ p = Bởi H liên thông có n − cạnh (3) ⇒ (4): Theo tính chất (3): p = 1, m = n − nên v(H) = m − n + p = n − − n + = tức H khơng có chu trình; ngồi ra, thêm vào cạnh nối hai đỉnh khơng kề nhau, đồ thị H nhận có chu số: v(H ) = m + − n + = n − + − n + = Nên đồ thị H có chu trình mà (4) ⇒ (5): Lấy hai đỉnh x, y đồ thị H Theo tính chất (4): thêm vào cạnh (x, y) đồ thị nhận H có chu trình, điều chứng tỏ x, y có xích nối với nhau, tức H liên thông Giả sử bớt cạnh đó, chẳng hạn (u, v) mà đồ thị nhận liên thông Điều chứng tỏ đồ thị H đỉnh u, v cạnh (u, v) xích nối chúng, tức H có chu trình qua u, v Ta tới mẫu thuẫn với tính chất (4): đồ thị H khơng có chu trình Bởi vậy, bớt cạnh tùy ý đồ thị nhận từ H không liên thông (5) ⇒ (6): Giả sử H tồn cặp đỉnh đó, chẳng hạn x, y nối với từ hai xích trở lên Khi đó, ta bỏ cạnh thuộc hai xích này, xích lại bảo đảm cho x, y liên thông Như ta tới mâu thuẫn với tính chất (5) Do đó, cặp đỉnh H nối với xích mà thơi 86 (6) ⇒ (1): Giả sử H khơng liên thơng Khi có cặp đỉnh khơng có xích nối với nhau, nên mâu thuẫn với tính chất (6) Giả sử H có chu trình Khi có cặp đỉnh nằm chu trình nối với hai xích Như ta đến mâu thuẫn với tính chất (6) Bởi vật đồ thị H có tính chất (1) Định lý chứng minh Định lý 2.6.2 Một có hai đỉnh treo Chứng minh Giả sử H có khơng q đỉnh treo Ta tưởng tượng có khách hành theo đồ thị đó, xuất phát từ đỉnh tùy ý (trong trường hợp đồ thị khơng có đỉnh treo) hay từ đỉnh treo (trong trường hợp đồ thị có đỉnh treo): Nếu hành khách tự cấm khơng qua cạnh hai lần, khơng thể gặp đỉnh hai lần (do đồ thị H khơng có chu trình) Mặt khác, tới đỉnh người ln ln cạnh (vì đỉnh khác đỉnh xuất phát có hai cạnh) Như khách hành không dừng lại Đó điều khơng thể xảy ra, đồ thị H có hữu hạn đỉnh Vậy đồ thị H khơng thể có hai đỉnh treo Định lý chứng minh Định lý 2.6.3 Mọi bụi bỏ định hướng cạnh trở thành Chứng minh Giả sử bụi H = (X, U ) có gốc x1 đồ thị vô hướng G = (X, E) nhận từ bụi H sau bỏ định hướng cung 1) Đồ thị G liên thông: Do điều kiện 1) đỉnh x = x1 có đường từ x1 tới Thật vậy, giả sử x = x1 từ x1 khơng có đường tới x Nếu x đỉnh biệt lập, khơng thể đỉnh cuối cung đó, x khơng phải đỉnh biệt lập, phải có đỉnh y điểm xuất phát đường tới x Nhưng từ x1 khơng có đường tới x nên y = x1 ; mà 87 khơng điểm cuối cung Như vậy, ta tới mẫu thuẫn với điều kiện 1) Do đỉnh x = x1 , từ x1 có đường tới nó, nên G đỉnh x có xích nối với hai đỉnh x1 Bởi G liên thông 2) Đồ thị G khơng có chu trình Thật vậy, giả sử G có chu trình, H dãy cung tương ứng với cạnh thuộc chu trình lập thành vòng có hai cung có chung điểm cuối Như ta tới mẫu thuẫn với điều kiện 1) điều kiện 3) Nên đồ thị G khơng có chu trình liên thơng Do G Định lý chứng minh 2.6.3 Ứng dụng Bài toán 2.6.1 (xem [5]) Trong thi đấu bóng bàn, An Bình quy ước với nhau: người thắng người thắng ván thắng ván liên tiếp Hãy xác định số khả xảy Giải Dùng A để ký hiệu An thắng, dùng B để ký hiệu Bình thắng Dùng để mơ tả tồn trạng có khả xảy Xây dựng cây: Xuất phát từ điểm S Ván có hai khả năng: An thắng Bình thắng Lấy hai điểm cho hai điểm với điểm S không thẳng hàng; hai điểm ghi A, điểm ghi B Nối S với A đoạn thẳng đoạn cong để biểu thị “A thắng” Tương tự, để biểu thị “B thắng” ta nối S với Bbằng đoạn thẳng đoạn cong Ván thứ hai lại có khả năng: An thắng Bình thắng, nên xuất phát từ A lấy hai điểm ghi ký hiệu tương ứng A, B từ A kẻ hai đoạn thẳng hai đoạn cong tới hai điểm thêm Đối với điểm B chọn thêm hai đỉnh ghi A B, từ B kẻ hai đoạn thẳng hay hai đoạn cong tới hai điểm thêm Tiếp theo thực kéo dài đương cách tương tự, quy ước An Bình, đường mà xuất đỉnh liên tiếp 88 ghi ký hiệu đỉnh ghi ký hiệu khơng kéo dài Hình 2.23 Vì An Bình đấu với ván, có người thắng ván liên tiếp có người thắng ván Do đó, đường xuất phát từ S khơng có cạnh Vậy có 10 đỉnh ngọn, nên có 10 khả xảy Bài tốn 2.6.2 (xem [5]) Có bốn đội bóng đá A, B, C, D lọt vào vòng bán kết giải đội mạnh khu vực Có dự đốn xếp hạng sau: a Đội B vơ địch, đội D nhì b Đội B nhì, đội C ba c Đội A nhì, đội C tư Biết dự đoán đội Hãy cho biết kết xếp hạng đội Giải Ta ký hiệu: B1 : Đội B B2 : Đội B nhì D2 : Đội D nhì A2 : Đội A nhì C3 : Đội C ba 89 C4 : Đội C bốn Để biết kết xếp hạng đội vẽ sau: - Hai “nhánh” ứng với dự đoán thứ - Từ nhánh lại rẽ thành hai nhánh ứng với dự đoán thứ hai - Tiếp tục rẽ nhánh dự đoán thứ theo cách ta có cây: Hình 2.24 Ta chọn đường từ “gốc” O đến “ngọn” cạnh khơng mang chữ trùng Vì đội xếp hai hạng khác số trùng (Vì hai đội khơng thể xếp hàng hạng), đồng thời thứ tự xếp hạng đội thỏa mãn điều kiện đầu Đường tô đậm nét với dãy ký hiệu B1 , C3 , A2 , D4 cho ta xếp hạng cần tìm Bài tốn 2.6.3 Cho n điểm mặt phẳng có khoảng cách điểm đơi khác Nối điểm với điểm gần Bằng cách thu đồ thị G Chứng minh G bụi mà bậc đỉnh không lớn Giải Trước tiên, ta chứng tỏ G khơng có chu trình Giả sử ngược lại, G có chu trình K Khơng tính tổng qt, giả sử AB cạnh có độ dài lớn tất cạnh K Gọi C D hai đỉnh kề với A B số đỉnh thuộc K 90 Hình 2.25 Ta có AB > AC AB > BD Theo cách nối đỉnh yêu cầu toán: đỉnh nối với đỉnh gần cạnh AB khơng thể nối Vậy, điều giả sử sai Nghĩa G khơng có chu trình Hình 2.26 Bây ta chứng minh đỉnh đồ thị có bậc nhỏ Giả sử đỉnh P có bậc m(p) 6, đỉnh kề với P A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 bố trí mặt phẳng theo chiều kim đồng hồ (hình 2.26), khơng tính tổng qt, ta giả sử A1 điểm gần P Như vậy, tam giác Ai P Ai+1 (i = 2, 3, 4, 5) ta có cạnh Ai Ai+1 cạnh lớn nhất, P điểm gần với Ai Trong tam giác A6 P A1 A1 P A2 cạnh A6 A1 A1 A2 cạnh dài nhất, A6 P < A6 A1 A1 P < A6 P (A1 gần P nhất), tương tự A2 P < A2 A1 A1 P < A2 P Do đó, ∠Ai P Ai+1 > 600 Ta có tổng góc quanh P lớn 3600 , điều xảy Bài toán chứng minh 91 Lời kết Dưới hướng dẫn khoa học NGND.GS.TS Đặng Huy Ruận với nỗ lực học tập nghiêm túc nghiên cứu thân, kết luận văn “Lý thuyết đồ thị ứng dụng để giải tốn sơ cấp” trình bày theo hệ thống sau đây: Trình bày lý thuyết Lý thuyết đồ thị ứng dụng để giải toán sơ cấp Sưu tầm hệ thống toán nhằm khắc sâu kiến thức lý thuyết Mặc dù tác giả cố gắng thời gian khả có hạn chắn luận văn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! 92 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Chúng: Graph giải tốn phổ thơng NXBGD 1992 [2] Đỗ Đức Giáo: Hướng dẫn giải tập toán rời rạc NXBGD 2009 [3] Vũ Đình Hòa: Định lý vấn đề Đồ thị hữu hạn NXBGD 2003 [4] Vũ Đình Hòa: Một số kiến thức sở graph hữu hạn NXBGD 2006 [5] Đặng Huy Ruận: Lý thuyết đồ thị ứng dụng NXB Khoa học kỹ thuật 2004 [6] Đặng Huy Ruận: Bảy phương pháp giải toán logic NXB Khoa học kỹ thuật 2002 [7] Hoàng Chí Thành: Đồ thị thuật tốn NXBGD 2007 [8] Nguyễn Văn Thơng: Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn Tổ hợp - rời rạc NXB ĐHQGHN 2012 [9] Nguyễn Gia Định: Giáo trình Tốn rời rạc NXB Đại học Huế 2003 [10] Diendantoanhoc.vn 93 ... đồ thị, số khái niệm định lý hay dùng lý thuyết đồ thị Các lý thuyết GS.TS Đặng Huy Ruận tích lũy sách Lý thuyết đồ thị ứng dụng bao gồm: - Khái niệm lý thuyết đồ thị - Các cách biểu diễn đồ. .. , X2 , E) Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) phẳng, có dạng biểu diễn hình học trải mặt phẳng đó, mà cạnh đồ thị cắt đỉnh Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hữu hạn,... con, đồ thị G2 (X, H) gọi đồ thị phận đồ thị G(X, E) Đồ thị G (X, V ) gọi đồ thị bù đồ thị G(X, E) Đồ thị có hướng G(X, E) gọi đồ thị đối xứng, ∀ x, y ∈ X : (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E Trong đồ thị đối