Lý thuyết đồ thị và ứng dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT … BÁO CÁO SÁNG KIẾN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Tác giả: Trần Mạnh Sang Trình độ chuyên mơn: Cử nhân Tốn học Chức vụ: Giáo viên Tốn Nơi công tác: Trường THPT Nam Định, tháng năm 2017 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy Toán cho học sinh lớp chuyên Toán, học sinh đội tuyển thi Duyên hải Đồng Bắc Bộ, học sinh đội tuyển thi HSG quốc gia, học sinh đội tuyển dự thi kì thi chọn HSG QG dự thi quốc tế khu vực Thời gian áp dụng sáng kiến: Các năm học từ 2010 - 2011 đến 2016 – 2017 Tác giả: Họ tên: Năm sinh: 1987 Nơi thường trú: Phường Vị Xuyên, thành phố Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn học Chức vụ cơng tác: Giáo viên Tốn Nơi làm việc: Trường THPT Địa liên hệ: … Điện thoại: … Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Mã sáng kiến: SK38 I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: Mục tiêu giáo dục đào tạo người lao động tự chủ, động, sáng tạo có lực giải vấn đề thường gặp, góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công văn minh, đưa đất nước Việt Nam tiến nhanh đường phát triển hòa nhập với giới đầu kỉ XXI Đứng trước tình hình đó, Bộ Giáo dục Đào tạo, Sở Giáo dục Đào tạo nhà trường đề nhiều biện pháp tích cực Một biện pháp cải tiến chương trình dạy học, cải tiến phương pháp dạy thầy phương pháp học trò, phải có cách mạng thực phương pháp giáo dục, cách thức tổ chức kiểm tra chất lượng học sinh để hưởng ứng vận động Bộ trưởng Bộ GD - ĐT chống tiêu cực thi cử bệnh thành tích giáo dục Đối với mơn Tốn - Bộ mơn then chốt khoa học tự nhiên, khâu quan trọng trình cải tiến chương trình dạy học tiếp nhận giải vấn đề theo nhiều hướng khác nhau, cố gắng tìm đến chất nó, từ có mối liên hệ toán riêng lẻ với Trong chương trình mơn Tốn cấp THPT chun, vấn đề tổ hợp nói chung đồ thị nói riêng ln lĩnh vực quen thuộc khơng phần khó khăn với thầy trò Vấn đề xuất nhiều kì thi HSG quốc gia quốc tế, phần quan trọng việc phát bồi dưỡng học sinh có tư chất thực II Mô tả giải pháp: Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến Đây lĩnh vực tổ hợp, vấn đề khai thác sâu chưa xuất nhiều Trong vài năm gần đây, đề thi chọn HSG Quốc gia, HSG Quốc gia dự thi quốc tế thấy xuất toán ứng dụng đồ thị, tốn khó (thường khó đề thi) Các tốn có phát biểu dễ hiểu ngắn gọn để giải chúng lại khó khăn Một phần khó học sinh Việt Nam việc em tiếp xúc với dạng toán, dẫn đến cảm giác sợ gặp Vì tơi viết sáng kiến này, tổng kết kinh nghiệm, phần giúp em học sinh tháo gỡ khó khăn, nhìn nhận vấn đề đơn giản hơn, bên cạnh mong muốn tài liệu tham khảo giúp đỡ thầy cô phần nhỏ trình giảng dạy III Nội dung sáng kiến Định nghĩa mở đầu Định nghĩa Một graph (hay đồ thị) tập đỉnh cạnh nối số đỉnh với Kí hiệu G = ( V , E ) với V tập đỉnh E ⊂ V × V tập cạnh Ví dụ: Có 11 graph khác với tập đỉnh có phần tử Biểu diễn graph hình vẽ bên Định nghĩa Hai đỉnh gọi kề có cạnh nối đỉnh Kí hiệu cạnh nối đỉnh A, B ( AB ) , nói chung ( AB ) khác ( BA ) , ta coi cạnh ta có graph vơ hướng, coi chúng khác ta có graph có hướng Có thể tồn cạnh nối điểm với nó, cạnh gọi khuyên Có thể tồn nhiều cạnh nối điểm phân biệt, cạnh gọi cạnh kép Một graph đơn khơng có khun khơng có cạnh kép Các tốn ta gặp chủ yếu graph đơn Định nghĩa Một graph đầy đủ với n đỉnh, kí hiệu K n , graph mà đỉnh có cạnh nối chúng, có tất Cn2 cạnh K4 Ví dụ : K5 Định nghĩa Với U tập tập đỉnh, kí hiệu G ( U ) graph G, thu ta xóa tất đỉnh nằm U, giữ lại cạnh mà đầu mút thuộc U Các định nghĩa kết có giả thiết graph đơn vô hướng Bậc đỉnh Định nghĩa Kí hiệu d ( v ) deg ( v ) cho bậc đỉnh v, số cạnh mà v đầu mút Một khuyên tính lần cho đỉnh Một điểm gọi chẵn có bậc chẵn gọi lẻ có bậc lẻ Ví dụ: Graph bên có d ( v1 ) = 4, d ( v2 ) = 6, d ( v3 ) = 1, d ( v4 ) = 3, d ( v5 ) = Kết Trong graph có nhiều đỉnh ln có đỉnh có bậc Chứng minh Xét G ( V , E ) có n đỉnh, bậc đỉnh số tự nhiên nhỏ n, không tồn đỉnh mà bậc chúng tương ứng n − (Có đỉnh bậc n − có nghĩa nối với tất đỉnh khác nên khơng đỉnh bậc 0) Nếu khơng tồn đỉnh bậc bậc đỉnh nhận tất giá trị 0,1,2, , n − , mâu thuẫn với nhận xét Ta có điều chứng minh Kết Trong Graph vô hướng G tùy ý tổng bậc tất đỉnh gấp đôi số cạnh Graph Chứng minh: Trong graph tổng bậc đỉnh graph cạnh tính hai lần hai đỉnh Do tổng gấp đơi số cạnh graph Hệ 1: Trong Graph vô hướng G tùy ý số đỉnh bậc lẻ số chẵn Chứng minh: Theo định lý tổng bậc đỉnh số chẵn số đỉnh bậc lẻ số chẵn Hệ 2: Trong graph vô hướng G có số lẻ đỉnh ln có số lẻ đỉnh có bậc chẵn Chứng minh: Theo hệ số đỉnh bậc lẻ graph G số chẵn Do graph G có số lẻ đỉnh, nên số đỉnh bậc chẵn phải số lẻ Ví dụ: Trong bữa tiệc có 51 người Khi đó: Có người quen với chẵn người khác bữa tiệc; Có người có số người quen; Nếu người tính số người quen bữa tiệc tổng số số chẵn Đường đi, chu trình graph, graph liên thông Định nghĩa Đường graph dãy cạnh liên tiếp (hai cạnh liên tiếp chúng có chung đỉnh) Với đồ thị đơn, đường đi qua đỉnh v1 , v2 , , theo thứ tự ta kí hiệu ( v1 , v2 , , ) , đường đi qua cạnh e1 , e2 , , en theo thứ tự ta kí hiệu ( e1 , e2 , , en ) Ví dụ với graph bên, ta có đường ( v1 , v2 , v6 , v5 , v3 ) , đường kí hiệu ( e1 , e6 , e5 , e4 ) Độ dài đường số cạnh đường Ví dụ: Đường ví dụ có độ dài Khoảng cách đỉnh a b độ dài đường ngắn nối đỉnh này, kí hiệu d ( a, b ) Quy ước d ( a, a ) = Nếu khơng có đường nối a, b quy ước d ( a, b ) = ∞ Ví dụ: Ở graph ta có d ( v1 , v3 ) = 4, d ( v3 , v4 ) = Đường kính graph G khoảng cách lớn đỉnh graph, kí hiệu d ( G ) Nếu graph có điểm a, b mà d ( a, b ) = ∞ quy ước d ( G ) = ∞ Ví dụ: Graph có đường kính Định nghĩa Graph gọi liên thông với đỉnh ln tìm đường nối chúng Kết Với G ( V , E ) liên thơng E ≥ V − Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh n đồ thị Với n = 1,2 ta thấy điều cần chứng minh Giả sử tốn với graph N đỉnh, nghĩa có N − cạnh Xét G ( V , E ) có N + đỉnh liên thông, suy bậc đỉnh lớn Ta xét trường hợp Trường hợp 1: Bậc đỉnh lớn Ta có E = ∑ d ( A ) ≥ N , suy E ≥ N , có điều chứng minh A∈V Trường hợp : Giả sử có đỉnh A đồ thị có bậc 1, xét graph G ' = G − { A} (bỏ A cạnh mà A đầu mút) Dễ thấy G ' liên thơng có N đỉnh E −1 cạnh Theo giả thiết quy nạp với G' ta có E − ≥ N − ⇔ E ≥ ( N + 1) − , có điều chứng minh Kết Các đỉnh phân hoạch thành tập V1 ,V2 , ,Vr mà graph G ( Vi ) liên thông cạnh nối cặp điểm tập khác Chúng gọi thành phần liên thông G Định nghĩa Chu trình đồ thị đường đóng (điểm đầu điểm cuối trùng nhau) Độ dài chu trình số cạnh chu trình Định nghĩa Đường Ole đường qua tất cạnh, cạnh lần Ví dụ graph bên, đường 1, 2, 3, 4, 5, 6, đường Ole Đường qua đỉnh nhiều lần, cần ý điều để so sánh với đường Hamilton phần sau Định nghĩa 10 Đường Ole gọi chu trình Ole điểm đầu điểm cuối trùng Ví dụ graph bên có đường 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, chu trình Ole Kết Một graph có chu trình Ole tất đỉnh chẵn Chứng minh Chú ý rằng, đỉnh có cạnh vào có cạnh nên bậc ln chẵn Kết Graph liên thơng với tất đỉnh chẵn có chu trình Ole Chứng minh Bắt đầu từ đỉnh v1 khơng lặp lại cạnh ý điều kiện bậc đỉnh chẵn, đường kết thúc v1 , chu trình Nếu cạnh chưa qua, xét đỉnh v2 thuộc đường đầu mút cạnh chưa qua, xét đường v2 qua cạnh chưa sử dụng này, đường kết thúc v2 Liên hết đường đỉnh v2 , chưa chu trình tiếp tục q trình Ta có điều cần chứng minh Kết Nếu graph có đường Ole có nhiều đỉnh lẻ Chứng minh Tương tự kết Kết Một graph liên thơng có đỉnh lẻ chứa đường Ole Chứng minh Nối cạnh đỉnh lẻ, tất đỉnh chẵn Theo kết trên, graph có chu trình Ole Xét chu trình đỉnh lẻ lúc đầu, cạnh thêm qua sau Khi xóa cạnh thêm chu trình trở thành đường Ole Ta có điều chứng minh Cây Định nghĩa 11 Một rừng graph không thiết liên thông khơng có chu trình Định nghĩa 12 Một graph liên thơng khơng có chu trình Kết Một ln chứa đỉnh có bậc 1, đỉnh gọi Chứng minh Giả sử tất đỉnh có bậc khơng nhỏ Xét đường ( v1 , v2 , , ) ( n ≥ ) Nếu nối với đỉnh v1 , , vn−2 ta có chu trình, mâu thuẫn Nếu khơng phải nối với đỉnh khác vn+1 Tiếp tục trình graph có vơ hạn đỉnh, mâu thuẫn Hệ Từ kết suy graph có bậc đỉnh lớn có chu trình Kết 10 Một tạo thành từ graph liên thông cách bỏ số cạnh Thật vậy, ta tạo cách bỏ cạnh chu trình, làm với tất chu trình ta thu Kết 11 Một graph liên thông chứa V − cạnh Chứng minh Giả sử G liên thông, có n đỉnh có n − cạnh G có chu trình, chẳng hạn A1 A2 Ak A1 Nhận thấy loại bỏ cạnh A1 A2 đồ thị liên thông, nhiên lúc có n − cạnh, mâu thuẫn với E ≥ V − , G liên thông Ngược lại, có đỉnh bậc 1, bỏ đỉnh khỏi đồ thị, ta có mà số đỉnh số cạnh giảm Bằng quy nạp theo số đỉnh ta có điều chứng minh Kết 12 Nếu bỏ cạnh khơng liên thông Chứng minh Giả sử có n đỉnh, theo kết có n − cạnh Nếu bỏ cạnh n − cạnh Cũng theo kết khơng Việc bỏ cạnh khơng làm xuất chu trình nào, suy khơng liên thơng Kết 13 Nếu graph G khơng có chu trình, có n đỉnh n − cạnh Chứng minh Cần chứng minh G liên thông Phân hoạch G thành thành phần liên thơng, giả sử có k thành phần liên thông Ta tạo k − cạnh cách nối thành phần liên thông thứ với thứ (lấy đỉnh nối với đỉnh 2), làm đến thành phần liên thông thứ k Khi ta graph liên thơng khơng có chu trình (mỗi thành phần liên thơng khơng có chu trình cách nối khơng tạo chu trình), suy graph Theo kết trên, số cạnh n − , suy k = , nghĩa graph ban đầu liên thơng, ta có điều chứng minh Kết 14 Giữa đỉnh A, B có đường Chứng minh Do liên thông nên A, B có đường Giả sử đường nối A, B Ta thấy xảy trường hợp hình đây, có chu trình, mâu thuẫn Vậy giả sử sai, có điều chứng minh Nhận xét: Nếu ta nối đỉnh không kề thu chu trình Khi graph G có n đỉnh n cạnh có chu trình Kết mạnh đưa Erdos: Một graph có n đỉnh số cạnh ( n − 1) k tồn chu trình có độ dài k + 10 Bài Trong thi có 25 bạn nam số bạn nữ Biết với nhóm m bạn nam ( m ≥ 10 ) có m + bạn nữ mà bạn nữ quen bạn nam nhóm Chứng minh tồn bạn nữ quen với 16 bạn nam thi Bài Cho số nguyên dương n ≥ đồ thị đơn vơ hướng có n đỉnh thỏa mãn điều kiện: Với ≤ k ≤ n , số cạnh đồ thị k đỉnh G không vượt 2k − Chứng minh tơ màu tất cạnh, cạnh màu xanh đỏ mà không tồn chu trình mà cạnh tơ màu Bài (IMO Shortlist 2002, C7) Trong nhóm có 120 người, số người bạn Một nhóm gọi bốn yếu nhóm có người chứa cặp bạn Tìm giá trị lớn số bốn yếu Bài 10 Cho số nguyên n ≥ Trong không gian cho n điểm mà khơng có điểm thẳng hàng khơng có điểm đồng phẳng Tại điểm ghi số nguyên dương cho điểm ghi số n số ghi n số nguyên dương Gọi điểm ghi số i điểm i Nối tất cặp điểm ( p, q ) với p < q mũi tên từ p đến q Tô mũi tên màu xanh, đỏ Một cách tô màu gọi “tốt” tồn điểm j, k cho từ j đến k qua mũi tên xanh từ j đến k qua mũi tên đỏ Hỏi có tất cách tô màu “tốt” Bài 11 (Poland 2000) Cho số nguyên dương n ≥ Tìm số k nhỏ có tính chất: với tập k đơn vị bảng n × n tồn tập khác rỗng A cho dòng, cột có chẵn đơn vị A Bài 12 (Thụy Điển 2010) Một thành phố có 3n cơng dân Hai người thành phố có người bạn chung thành phố Chứng minh chọn nhóm có n người cho người số 2n người lại có người quen nhóm n người Bài 13 (Generalization of USAMO 2007) Xét graph liên thơng G với V đỉnh, đỉnh có bậc nhiều d Chứng minh G phân hoạch thành graph liên thông, graph có V −1 đỉnh d Bài 14 (Hefetz, Krivelevich, Stojakovic, Szabo) Xét số nguyên dương d graph G mà đỉnh có bậc d Maker Breaker chơi trò chơi với cạnh G Hai người lần lượt, bước chọn cạnh graph dời cạnh 40 này, Breaker người Trò chơi kết thúc tất cạnh chọn Maker thắng sau kết thúc trò chơi, với đỉnh anh chọn d    cạnh chứa đỉnh này, ngược lại anh thua Chứng minh 4 Maker có chiến thuật thắng Bài 15 Người ta muốn mời số em học sinh tới dự buổi gặp mặt, mà số em chưa quen với 56 em khác với cặp hai em chưa quen có em quen với hai em Hỏi số học sinh mời dự buổi gặp mặt nói 65 em hay khơng? Bài 16 (IMO 2015 Shortlist, C7) Trong công ty, số người quen biết Một nhóm người gọi khơng cân số người nhóm lẻ có người, xếp tất người nhóm quanh bàn tròn cho người cạnh quen Biết có nhiều 2015 nhóm khơng cân, chứng minh chia cơng ty thành 11 phòng mà khơng có người phòng quen Bài 17 (IMO Shortlist 2004, C3) Xét số nguyên n ≥ graph đầy đủ có n đỉnh Thực công việc sau: bước chọn chu trình có độ dài (nếu tồn tại), chọn cạnh tùy ý chu trình xóa cạnh Q trình dừng lại khơng chu trình Tìm số cạnh nhỏ bị xóa 41 Phần 2: Graph hai phần Định nghĩa Graph G = ( V , E ) gọi phần tập đỉnh phân hoạch thành tập khác rỗng A, B cho khơng có cạnh nối đỉnh tập Định lý Một graph hai phần khơng có chu trình lẻ Chứng minh Giả sử G ( V , E ) ,V = A ∪ B graph phần Nếu có chu trình độ dài chu trình phải chẵn Thật vậy, giả sử chu trình v1v2 vk v1 có cạnh nối đỉnh A với đỉnh B sau có cạnh nối đỉnh B với đỉnh A Giả sử G khơng có chu trình độ dài lẻ Ta giả sử G liên thơng, G khơng liên thơng hợp thành phần liên thông rời nhau, ta thực với thành phần liên thông ghép chúng lại Gọi A đỉnh G Xét tập X, Y tương ứng chứa đỉnh mà độ dài tới A chẵn, lẻ tương ứng Suy X, Y phân hoạch tập đỉnh V Ta chứng minh tập X, Y đỉnh độc lập Giả sử có đỉnh B C X nối với nhau, ta xét đường ngắn nối A, B sau nối B, C, cuối đường ngắn nối C, A (có thể đường có đỉnh lặp cạnh trùng ta loại bỏ đỉnh, cạnh đó) Khi có chu trình có độ dài lẻ, mâu thuẫn Tương tự với tập Y Vậy ta có điều chứng minh Một số toán áp dụng Bài (ShortlistIMO 1983 C1) Một đất nước có 1983 thành phố, cặp thành phố có đường nối chúng Mỗi đường thuộc quản lí 10 cơng ty Chứng minh tồn tour du lịch theo vòng khép kín qua lẻ đường mà đường thuộc quyền quản lí cơng ty Giải 42 Xét graph G có 1983 đỉnh ứng với 1983 thành phố, đỉnh nối với tơ cạnh 10 màu 1, 2, …, 10 ứng với 10 hãng hàng không Giả sử phản chứng khơng có tour du lịch theo vòng khép kín qua lẻ đường mà đường thuộc quyền quản lí cơng ty, nghĩa graph G khơng có chu trình lẻ xét đỉnh cạnh màu Suy xét đỉnh cạnh màu G phần Xét đỉnh cạnh tơ màu G graph phần, có phần có 1983  + = 992 đỉnh, đặt G1    Trong G1 xét cạnh tơ màu 2, graph phần, có phần có  992  = 496 đỉnh, đặt G2     496  = 248 đỉnh, graph G4 có Tiếp tục q trình có graph G3 có      248  = 124 đỉnh, graph G5 có nhất    124    = 62 đỉnh, graph G6 có  62   31    = 31 đỉnh, graph G7 có   + = 16 đỉnh, graph G8 có 2 2 16    = đỉnh, graph G9 có đỉnh, graph G10 có đỉnh Cần ý rằng, đỉnh G10 không nối với cạnh nối cạnh cạnh tơ màu màu i, trái với Gi −1 phần ta xét đỉnh Gi −1 cạnh tô màu i Bài (IMC 1999) Trong mặt phẳng tọa độ cho n đường thẳng song song với Ox (ta gọi dòng) n đường thẳng song song với Oy (ta gọi cột) Xét 2n giao điểm tạo đường thẳng Chứng minh tồn 2k ( ≤ k ≤ n ) điểm a1 , a2 , , a2 k 2n điểm thỏa mãn với i = 1,2, , k − : a2i −1 a2i thuộc dòng a2i a2i +1 thuộc cột Giải 43 Xét graph phần G = A ∪ B , với đỉnh A tương ứng dòng đỉnh B tương ứng cột Cặp điểm nối với có điểm xét giao dòng cột tương ứng Nếu cạnh có đầu mút điểm tương ứng với cạnh thuộc dòng cột tùy thuộc điểm chung thuộc A hay B Khi G có 2n đỉnh 2n cạnh suy tồn chu trình G Với grpah phần, chu trình ln có độ dài chẵn, suy tồn chu trình độ dài 2k G Ta có điều chứng minh Định lí Hall: Cho graph phần G = ( A ∪ B, E ) , Gọi G ghép đơi cạnh khơng có đầu mút chung Xét tập S ⊂ A , kí hiệu N ( S ) tập đỉnh (không thiết thuộc B) kề với đỉnh S Khi G có ghép đơi hồn hảo (bất kì đỉnh A đầu mút cạnh) N ( S ) ≥ S , ∀S ⊂ A Định lý phát biểu Philip Hall năm 1935, biết đến đầy đủ với chứng minh kết Marshall Hall (khơng có mối quan hệ họ hàng với Philip Hall) năm 1948, gọi định lý Đám cưới (Hall’s Marriage Theorem) Hệ định lý Hall Xét graph phần G = ( A ∪ B, E ) với A ≤ B thỏa mãn N ( S ) ≥ S − d , ∀S ⊂ A Khi ghép cặp A − d Thật vậy, từ graph G bổ sung thêm d đỉnh B mà đỉnh kề với tất đỉnh A Áp dụng định lý Hall ta có điều chứng minh Hệ định lý Hall Xét graph phần G = ( A ∪ B, E ) với A ≤ B thỏa mãn N ( S ) ≥ S , ∀S ⊂ A Khi ghép cặp phần tử A với phần tử B mà phần tử B ghép rời Hệ định lý Hall Xét graph phần G = ( A ∪ B, E ) thỏa mãn cạnh ab với a ∈ A, b ∈ B ta có d ( a ) ≥ d ( b ) Khi có ghép đơi hồn hảo Một số tốn áp dụng định lý Hall Bài Trong buổi hội, xét nhóm bạn gái số bạn trai chơi với bạn nhóm khơng số bạn gái nhóm 44 Chứng minh tổ chức nhảy mà bạn gái nhảy với bạn Giải Bài tốn áp dụng trực tiếp định lý Hall Bài Cho G graph phần với tất bậc k Chứng minh G có ghép đơi hồn hảo Giải Giả sử có graph G ( A ∪ B, E ) tập X ⊂ A bất kì, N ( X ) tập đỉnh kề với đỉnh X Số cạnh có đỉnh ngồi X đỉnh X k X Hơn đỉnh N ( X ) kề với nhiều k đỉnh X nên số cạnh xuất phát từ đỉnh X với đỉnh X không k N ( X ) Suy k X ≤ k N ( X ) ⇒ X ≤ N ( X ) Theo định lí Hall ta có điều chứng minh Bài Trong buổi hội có 10 bạn nam 10 bạn nữ Mỗi người có bạn khác giới Chứng minh ghép người thành 10 đơi nhảy mà người đôi quen Giải Bài toán áp dụng trực tiếp toán Một cách phát biểu khác: Cho bảng vng 10 × 10 , dòng cột có tơ đen Chứng minh chọn 10 ô tô đen mà ô dòng, khơng có cột Bài Một 52 quân (có 13 loại quân A, 2, 3, …, J, Q, K loại có chất cơ, rơ, tép, bích) chia thành 13 cọc, cọc có quân Chứng minh lấy từ cọc quân cho có đủ 13 loại quân 45 Giải Xây dựng graph phần G = ( A ∪ B, E ) với A tập đỉnh ứng với 13 cọc, B tập đỉnh ứng với 13 loại quân Một cạnh nối cọc tương ứng có loại qn tương ứng Cần chứng minh G có ghép đơi hồn hảo Xét cạnh nối u ∈ A với v ∈ B , cọc u chứa i quân loại v cạnh ghi số i ( i = 1,2,3,4 ) Xét X tập A N ( X ) tập đỉnh kề với đỉnh X Tổng số ghi cạnh nối từ X đến N ( X ) X Mỗi đỉnh N ( X ) nối với nhiều với đỉnh X nên với đỉnh N ( X ) tổng số ghi cạnh nối đỉnh với đỉnh X không vượt Suy tổng số ghi tất cạnh nối đỉnh N ( X ) với đỉnh X không vượt N ( X ) Suy X ≥ N ( X ) ⇒ X ≥ N ( X ) Theo định lí Hall ta có điều chứng minh Một tương tự kì thi chọn đội tuyển Việt Nam (VNTST) năm 2010: (VNTST 2010) Có n nước, nước có k đại diện ( n > k > 1) Người ta chia n.k người thành n nhóm, nhóm có k người cho khơng có người nhóm đến từ nước Chứng minh chọn n người đến từ nhóm khác đến từ nước khác Bài Cho M ma trận n × n gồm số tự nhiên cho tổng số dòng, cột m Chứng minh A biểu diễn dạng tổng m ma trận hoán vị M = P1 + P2 + + Pm Ở ma trận hốn vị ma trận n × n gồm số 0, mà dòng có số cột có số Tổng A+B hai ma trận kích thước m × n A B ma trận kích thước với phần tử vị trí tương ứng tổng hai phần tử tương ứng ma trận Giải 46 Xét graph G = ( A ∪ B, E ) với A tập đỉnh tương ứng với dòng G B tập đỉnh tương ứng với đỉnh G Hai đỉnh nối với dòng cột tương ứng giao số dương ta ghi số dương cho cạnh Ta chứng minh G ghép cặp hoàn hảo Xét tập X tập A N ( X ) tập đỉnh kề với đỉnh X Mỗi đỉnh X đầu mút số cạnh nối với đỉnh N ( X ) tổng tất số ghi cạnh m, suy tổng tất số ghi cạnh nối đỉnh X đỉnh N ( X ) m X Với đỉnh N ( X ) nối với nhiều m đỉnh X nên tổng tất số ghi cạnh nối đỉnh N ( X ) đỉnh X nhiều m N( X) Suy m N ( X ) ≥ m X ⇒ N ( X ) ≥ X hay G ghép cặp hoàn hảo Khi dòng ghép với cột mà giao đôi chúng số nguyên dương, giả sử k số nhỏ số Ta viết M thành tổng k ma trận hốn vị giống (tại giao điểm dòng cột chọn ghi số 1, vị trí lại ghi số 0) ma trận M’ Nếu M’ hốn vị ta có điều chứng minh, ngược lại tiếp tục trình với M’ tổng số dòng tổng số cột m − k Ta có điều chứng minh Bài Cho tập S = { 1,2,3, , kn} , giả sử có phân hoạch A1 , A2 , , An B1 , B2 , , Bn S, tập có k phần tử Chứng minh tồn tập T có n phần tử mà tất tập T ∩ Ai , T ∩ Bi ( i = 1,2, , n ) có phần tử Giải Xét graph phần G ( A ∪ B, E ) với A tập đỉnh tương ứng với n tập A1 , A2 , , An B tập đỉnh tương ứng với n tập B1 , B2 , , Bn Hai đỉnh nối với tập tương ứng có điểm chung Ghi số m cho cạnh tập tương ứng có m điểm chung 47 Ta chứng minh G ghép đơi hồn hảo Xét X tập A N ( X ) tập đỉnh kề với đỉnh X Mỗi đỉnh X đầu mút cạnh mà tổng số ghi cạnh k, suy tổng số ghi tất cạnh có đầu mút điểm thuộc X k X Mỗi đỉnh N ( X ) nối với số đỉnh X, tổng số ghi cạnh khơng vượt q k (vì đỉnh nối với đỉnh ngồi X) Suy tổng số ghi cạnh nối đỉnh N ( X ) đến đỉnh X không vượt k N ( X ) Suy k X ≤ k N ( X ) ⇒ X ≤ N ( X ) , hay G ghép đơi hồn hảo Khi ghép cặp A1 , A2 , , An B1 , B2 , , Bn để n cặp có giao khác rỗng, với cặp ta chọn phần tử thuộc giao bổ sung phần tử vào T, ta tập T thỏa mãn điều kiện Một số tập tham khảo Bài (Canada 2006) Trong bảng ô vuông m × n chứa số không âm, hàng (hoặc cột) chứa số dương Ngồi ra, hàng giao cột chứa số dương tổng số hàng tổng số cột Chứng minh m = n Bài (VN TST 2001) Một câu lạc có 42 người Giả sử với 31 người câu lạc ln tồn nam nữ chọn 31 người mà họ quen Chứng minh chọn 12 cặp rời nhau, cặp gồm nam nữ quen Bài toán sử dụng kết trên: Hệ định lý Hall Xét graph phần G = ( A ∪ B, E ) thỏa mãn N ( S ) ≥ S − d , ∀S ⊂ A Khi ghép cặp A − d Bài 10 (Romani TST 2005) Cho S tập n + số nguyên dương cho tập X có n + phần tử S tồn x ≠ y cho x | y Chứng minh tồn tập S’ S với S ' = { x1 , x2 , , xn+1} mà xi | xi +1 , ∀i = 1,2, , n 48 49 IV Hiệu sáng kiến mang lại Hiệu kinh tế (Giá trị làm lợi tính thành tiền): Sáng kiến tài liệu quý em học sinh thầy q trình học tập nghiện cứu toán tổ hợp Để tổng hợp sáng kiến trên, tác giả phải tìm hiểu nghiên cứu nhiều sách, với nhiều thời gian Ngoài thầy học sinh chun Tốn, tài liệu giúp ích nhiều cho thầy học sinh chuyên Tin nghiên cứu vấn đề tổ hợp (chủ yếu làm việc với đường đi) Hiệu mặt xã hội (Giá trị làm lợi khơng tính thành tiền): a Từ tốn ứng dụng đồ thị, từ tốn cũ, sáng tạo để toán với cách phát biểu thực tế hơn, dễ hiểu b Góp phần giảm bớt gánh nặng học tập cho em học sinh, cung cấp cho học sinh tài liệu học tập có hiệu quả, giúp em có tâm tốt trước kì thi HSG c Qua kiểm tra tự luận trả lời vấn đáp sau cung cấp cho học sinh nội dung sáng kiến, kết thu bước đầu sau: Lúc đầu em thấy khó khăn việc chứng minh kết lý thuyết đồ thị ứng dụng Một thời gian em học sinh xây dựng mơ hình cụ thể cho bài, biết cách sử dụng nội dung kiến thức tương ứng để giải tốn Một số tốn mức độ thi HSG gây khó khăn nhiều có số em học sinh giải V Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết Sáng kiến không chép, không vi phạm quyền Những tài liệu tham khảo trích dẫn cụ thể tên tài liệu, tác giả, nhà xuất bản, năm xuất trang trích dẫn Tơi xin chân thành cảm ơn! 50 Nam Định, ngày 20 tháng năm 2017 Đánh giá, xếp loại quan, đơn vị Tác giả sáng kiến CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Titu Andresscu, Zuming Feng, 102 combinatorial Problems from the Training of 51 the USA IMO Tearm, Birkhauser, 2002 [2] Titu Andresscu, Zuming Feng, Mathematical Olympiads Ptoblems and Solution from around the World, to 1995 from 2002 [3] Arthur Engel, Problem – Solving Strategies, Springer, 1999 [4] Lorszlus Lovorsz, Combinatorial problems and exercises, NORTH-HOLLAND New York • Amsterdam • Oxford, 1992, 55 – 62 [5] Po-Shen Loh, Graph theory: connectivity, 24 June 2010 [6] Po-Shen Loh, Graph Theory, 24 June 2008 [7] Vũ Đình Hòa, Định lí vấn đề đồ thị hữu hạn, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [8] N.C.G Vượng, Nhập môn lý thuyết đồ thị, 7/2011 [9] Adrian Tang , Graph Theory, November 4-18, 2008 [10] J A Bondy and U S R Murty, GRAPH THEORY WITH APPLICATIONS, NORTH-HOLLAND New York • Amsterdam • Oxford, 1982 [11] www.mathlinks.ro [12] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 52 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Nam Định Tôi: - Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Lý thuyết đồ thị ứng dụng - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy Toán cho học sinh lớp chuyên Toán, học sinh đội tuyển thi Duyên hải Đồng Bắc Bộ, học sinh đội tuyển thi HSG quốc gia, học sinh đội tuyển dự thi chọn HSG quốc gia dự thi quốc tế khu vực - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 10 năm 2010 - Mô tả chất sáng kiến: Hệ thống đầy đủ lý thuyết sử dụng áp dụng phần đồ thị (graph) tập áp dụng lý thuyết - Những thơng tin cần bảo mật có: Sáng kiến cơng bố rộng rãi để học sinh giáo viên có tài liệu nghiên cứu học tập - Những điều kiện cân thiết để áp dụng sáng kiến: Đối tượng học sinh cần có tảng kiến thức chuyên sâu, tiếp xúc với số vấn đề: Số học, tổ hợp chương trình chun Tốn - Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Đây tài liệu tương đối đầy đủ phần đồ thị Nếu học sinh tiếp nhận hết nêu sáng kiến tự tin giải tốn kì thi HSG, giáo viên học sinh sáng tạo toán sở sáng kiến nêu Bên cạnh đó, người đọc giảm nhẹ kiến thức lý thuyết để đưa toán suy luận cho đối tượng - Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có): Bước đầu với học sinh có sở lý thuyết chưa chuyên sâu gặp chút khó khăn, áp dụng khoảng tiết học người học dần có hứng thú với chuyên đề 53 Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng lần đầu (nếu có): Các học sinh chun Tốn trường THPT từ năm học 2010 – 2011 Tôi (chúng tôi) xin cam đoan thông tin đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Nam Định, ngày 20 tháng 05 năm 2017 Người nộp đơn (ký ghi rõ họ tên) 54 ... n Giải Xét mơ hình đồ thị toán Giả sử màu dùng 1, 2, 3, Xét đồ thị đầy đủ mà cạnh tô màu (ta gọi đồ thị đơn sắc) Nhận thấy tồn đồ thị vậy, cạnh tô màu đồ thị thỏa mãn Xét đồ thị G nhiều đỉnh thỏa... CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy Toán cho học sinh lớp chuyên Toán, học sinh đội tuyển thi Duyên hải Đồng Bắc Bộ, học sinh đội tuyển... cho cạnh đồ thị đầy đủ ( , bi , ci ) , i = 1,2,3 Tô màu cho cạnh đồ thị đầy đủ ( , bi+1 , ci + ) , i = 1,2,3 Tô màu cho cạnh đồ thị đầy đủ ( , bi + , ci + ) , i = 1,2,3 Ta có điều chứng minh