TIểu luận lý thuyết đồ thị: Đồ thị phẳng và ứng dụng

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 01 LỜI NÓI ĐẦU 02 BẢNG PHÂN CÔNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 03 CHƯƠNG II : ĐỒ THỊ PHẲNG 11 CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG 19 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 1 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng. Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bản điện phẳng được không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị. Chúng ta cũng có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không nếu dùng mô hình đồ thị mạng máy tính. Đồ thị với các trọng số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chia kênh cho các đài truyền hình… Như vậy đồ thị nói chung, đồ thị phẳng nói riêng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Qua quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề “Lý thuyết đồ thị”, nhóm chúng em chọn đề tài “Đồ thị phẳng và ứng dụng” để viết tiểu luận này. Tiểu luận gồm 3 chương: Chương 1: Đại cương về đồ thị. Chương 2: Đồ thị phẳng. Chương 3: Ứng dụng. Do thời gian có hạn và năng lực còn hạn chế, tiểu luận không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để tiểu luận hoàn thiện hơn. NHÓM

MỤC LỤC

Trang

BẢNG PHÂN CÔNG NGHIÊN CỨU

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng

Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau

Ví dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bản điện phẳng được không Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị Chúng ta cũng

có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không nếu dùng mô hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị với các trọng

số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chia kênh cho các đài truyền hình…

Như vậy đồ thị nói chung, đồ thị phẳng nói riêng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Qua quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề “Lý thuyết đồ thị”, nhóm chúng em chọn đề tài “Đồ thị phẳng và ứng dụng” để viết tiểu luận này Tiểu luận gồm 3 chương:

Chương 1: Đại cương về đồ thị.

Chương 2: Đồ thị phẳng.

Chương 3: Ứng dụng.

Do thời gian có hạn và năng lực còn hạn chế, tiểu luận không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy và các bạn để tiểu luận hoàn thiện hơn

CHƯƠNG I

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ1.1 SƠ LƯỢC LỊCH SỬ

Có thể nói lý thuyết đồ thị bắt đầu với tư cách là một ngành Toán học bằng

bài báo nổi tiếng của nhà toán học Euler năm 1736 về những cái cầu ở Konigsberg Nhưng mãi hơn 100 năm sau, tức là vào giữa thế kỷ 19, người ta

mới chú ý đến vấn đề về lý thuyết đồ thị, đặc biệt ở nước Anh

Có nhiều lí do dẫn đến sự hồi sinh của Lý thuyết đồ thị Trước hết đó là các nghiên cứu về mạng điện, các mô hình tinh thể và cấu trúc phân tử Sự phát triển của Logic hình thức dẫn đến việc nghiên cứu quan hệ hai ngôi dưới dạng đồ thị Nhiều bài toán đố vui nổi tiếng cũng được phát biểu dưới dạng đồ thị

Bài toán nổi tiếng nhất là Giả thiết bốn màu do DeMorgan đưa ra lần đầu

tiên năm 1850 Có thể nói không có bài toán đồ thị nào làm tốn nhiều giấy mực

và có nhiều đóng góp cho lý thuyết đồ thị như bài toán giả thiết bốn màu

Ngày nay Lý thuyết đồ thị đã phát triển thành ngành Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng Lý thuyết đồ thị là kiến

thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính…

1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TIÊU BIỂU

1.2.1 Bài toán về những cái cầu ở Konigsberg

Năm 1736 Euler, cha đẻ của lý thuyết đồ thị, đã giải được bài toán đố hóc búa nổi tiếng thời đó về những cái cầu ở Konigsberg Bài toán như sau: Trong thành phố Konigsberg có hai hòn đảo được nối với nhau và hai bờ sông bằng bảy chiếc cầu Bài toán đặt ra là tìm đường đi qua tất cả bảy cái cầu, mỗi cầu chỉ được qua một lần, sau đó quay về nơi xuất phát Euler đã chứng minh được rằng bài toán không có lời giải bằng ngôn ngữ đồ thị

1.2.2 Bài toán mạng điện

Năm 1847 Kirchoff xây dựng lý thuyết các vòng để giải các hệ phương trình tuyến tính tương thích cho phép tìm giá trị cường độ dòng điện trên mỗi dây dẫn

và trong mỗi mạch vòng của mạch điện Biểu diễn mạng điện bằng đồ thị ông đã chỉ ra rằng để giải hệ phương trình không nhất thiết phải xét riêng rẽ từng vòng của đồ thị mạng điện Thay vào đó ông đề xuất thuật toán hữu hiệu (sau này trở thành thuật toán chuẩn), mà theo đó chỉ cần giới hạn trong việc xét các vòng đơn

độc lập của đồ thị xác định bởi một trong số các cây khung của đồ thị.

1.2.3 Bài toán các đồng đẳng hóa học

Khi nghiên cứu những bài toán hóa hữu cơ năm 1857 Kelly đã phát minh một lớp đồ thị quan trọng gọi là cây Ông cố gắng tính số đồng đẳng no của Hydro cacbon CnH2n+2 với số nguyên tử cacbon cho trước là n Viêc nghiên cứu trên đã dẫn đến bài toán về cây: tìm số tất cả các cây với p đỉnh có các đỉnh là bậc 1 và 4 Muộn hơn, vào năm 1869 Jordan độc lập với Kelly cũng đã nghiên cứu các cây như là đối tượng toán học

1.2.4 Bài toán người du lịch

Một người du lịch muốn tham quan n thành phố 1, 2,…, n Xuất phát từ thành phố nào đó người du lịch đi qua tất cả các thành phố, mỗi thành phố chỉ qua đúng một lần, sau đó quay về nơi xuất phát Trò chơi này được Hamilton nghĩ ra năm 1859 Ông biểu diễn các thành phố và đường đi nối chúng với nhau bằng đa diện đều 20 đỉnh Một đường đi như vậy gọi là chu trình Hamilton Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát việc xác định sự tồn tại một đường đi như vậy (đường đi Hamilton) là bài toán khó và cho đến nay vẫn chưa có lời giải tổng quát

1.2.5 Bài toán bốn màu

Bài toán này xuất phát từ việc tô màu bản đồ Ta nói rằng bản đồ có thể tô bằng 4 màu nếu có thể tô màu các nước bằng 4 màu sao cho không có hai nước láng giềng chung biên giới được tô bởi cùng một màu

Giả thiết 4 màu được phát biểu: Mọi bản đồ phẳng (vẽ trên mặt phẳng) hoặc cầu (vẽ trên mặt cầu) có thể tô bằng 4 màu

Bài toán 4 màu lần đầu tiên được nhắc đến trong các bài giảng của nhà toán học Mobius năm 1840 Tuy nhiên bài toán chỉ trở thành nổi tiếng năm 1852 nhờ nhà toán học DeMorgan Ông này biết được bài toán qua một sinh viên là Franci Gutrie và đã viết thư gửi cho Hamilton nhờ giải hộ

Trong thời gian dài giả thiết 4 màu không được chứng minh cũng như phủ định và là một trong những bài toán nổi tiếng hóc búa trong lịch sử toán học

Năm 1879 nhà toán học nghiệp dư, luật sư Alfred Kempe đưa ra lời giải, nhưng đến năm 1890 Percy Heawood chỉ ra chỗ sai của chứng minh Heawood đồng thời cũng chứng minh được là chỉ cần 5 màu là có thể tô màu các bản đồ.Năm 1920 Filip Franklin chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước

n = 25

Năm 1926 Reynolds chứng minh giả thiết 4 màu với bản đồ có số nước

Năm 1977 Appel K và W Haken cùng J.Koch chứng minh giả thiết 4 màu

với sự trợ giúp của máy tính

Gần đây, năm 1987 Roberston, Sanders, Seymour và Thomas đã đưa ra

chứng minh khác ngắn gọn hơn

Các chứng minh trên đều sử dụng máy tính và đến nay vẫn chưa có chứng

minh bằng suy luận toán học thuần túy

1.3 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.3.1 Đồ thị vô hướng và đồ thị có hướng

Mỗi cạnh e∈E được liên kết với một cặp đỉnh (v, w) có thứ tự như hình sau:

Cho đồ thị có hướng G = (V, E) Nếu ta thay mỗi cung của đồ thị G bằng một

cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ thị lót của đồ thị có hướng G.

• Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E)

Nếu cạnh e ∈ E liên kết đỉnh v và w, ta nói e liên thuộc đỉnh v, w; đỉnh v và

w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v gọi là kề

• Cạnh song song: là các cạnh cùng liên kết với một cặp đỉnh.

• Khuyên: là cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau.

• Đỉnh cô lập: là đỉnh không kề với đỉnh khác.

• Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là

cỡ của đồ thị.

• Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn.

• Đồ thị đơn: là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song.

• Đồ thị vô hướng đủ: là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau.

δ(G)

Đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0.

Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1.

• Nửa bậc: Cho đồ thị có hướng G = (V, E)

+ Nửa bậc ra của đỉnh v∈V, kí hiệu dego(v) là số cung đi ra từ đỉnh v.

+ Nửa bậc vào của đỉnh v∈V, kí hiệu degi(v) là số cung đi vào đỉnh v.

• Bổ đề bắt tay (Hand Shaking Lemma).

Cho đồ thị G = (V, E) Khi đó:

E card

v) 2 ( )deg(

(ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì

)()

(deg)

(deg v v card E

V v

I V

Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.

• Đồ thị K n là đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh đều có duy nhất một cạnh liên kết)

Mọi đỉnh của đồ thị K có bậc là n-1 và K có n(n-1)/2 cạnh

• Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V1, V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V1 và một đỉnh thuộc V2, ký hiệu: G = ({V1, V2}, E)

• Đồ thị Km,nlà đồ thị lưỡng phân ({V1, V2}, E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2

có n đỉnh và mỗi đỉnh của V1 được nối với một đỉnh của V2 bằng một cạnh duy nhất

1.4 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ

1.4.1 Ma trận kề

a Đồ thị vô hướng

• Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v1,v2,…,vn Ma trận kề

của đồ thị G là ma trận vuông A = (aij)n×n , trong đó aij là số cạnh (khuyên) nối vivới vj Lưu ý rằng khi tính bậc của đỉnh mỗi khuyên được tính hai bậc Từ định nghĩa suy ra rằng ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn đối xứng qua đường chéo chính

Mệnh đề Cho đồ thị G = (V,E) với ma trận kề (aij) Khi đó

Định lý Cho đồ thị đơn G = (V,E) có n đỉnh, V = { v1,v2,…,vn} và ma trận kề của đồ thị G là ma trậnA = (aij)n×n Giả sử Ak = (cij)n×n, k ≥ 1.Khi đó cij, i ≠j, là số dây chiều dài k từ đỉnh vi đến đỉnh vj Đặc biệt phần tử trên ô [i,i], 1≤ i ≤ n, của

Mệnh đề Cho đồ thị có hướng G = (V,E) với ma trận kề (aij) Khi đó

Dego(vi) = & degi(vi) = ,∀vi∈V

Định lý Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = { v1,v2,…,vn} và ma trận

kề của đồ thị G là ma trậnA = (aij)n×n Giả sử Ak = (cij)n×n, k ≥ 1.Khi đó cij, i ≠j, là

số dây có hướng chiều dài k từ đỉnh vi đến đỉnh vj

Hệ quả Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = {v1,v2,…,vn} và ma trận

kề của đồ thị G là ma trận A = (aij)n×n Ký hiệu T = A + A2 +…+An-1 Khi đó đồ thị G liên thông mạnh khi và chỉ khi các phần tử ngoài đường chéo chính của ma trận T đều lớn hơn 0

1.4.2 Ma trận liên thuộc

a Đồ thị vô hướng

• Cho đồ thị đơn G=(V,E) có n đỉnh, V={v1,v2,…,vn} và m cạnh E={e1,e2,

…,em} Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trậnA = (aij)n×m thỏa mãn:

aij =1, nếu đỉnh vi liên thuộc cạnh ej

aij =0, nếu đỉnh vi không liên thuộc cạnh ej

Mệnh đề Cho đồ thị đơn G = (V,E) với ma trận liên thuộc (aij) Khi đó

Deg(vi) = ,∀vi∈V

b Đồ thị có hướng

• Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) có n đỉnh, V = { v1,v2,…,vn} và

m cung E = {e1,e2, …,em} Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (aij)n×mthỏa mãn:

aij =1, nếu đỉnh vi là đỉnh đầu của cung ej

aij = -1, nếu đỉnh vi là đỉnh cuối của cung ej

aij =0, nếu đỉnh vi không liên thuộc cung ej

Mệnh đề Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) với ma trận liên thuộc

Trong cách biểu diễn đồ thị bởi danh sách cạnh (cung) chúng ta sẽ lưu trữ tất

cả danh sách các cạnh (cung) của đồ thị vô hướng (có hướng) Một cạnh (cung) e=(x,y) của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e] Như vậy để lưu trữ

đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ Nhược điểm của cách biểu diễn này là

để xác định những đỉnh nào của đồ thị kề với một đỉnh cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danh sách tất cả các cạnh hoặc cung của

Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị chúng ta lưu trữ danh

sách các đỉnh kề với nó, mà ta sẽ ký hiệu là Ke(v) ={ u ∈V/ (v,u) ∈ E}

Khi đó vòng lặp thực hiện với mỗi một phần tử trong danh sách này theo thứ

tự các phần tử được sắp xếp trong nó sẽ được viết như sau:

Với mọi u ∈ Ke(v) do <công việc>.

1.5 ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU

• Đồ thị đẳng cấu Hai đồ thị G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) gọi là đẳng cấu với

nhau nếu tồn tại song ánh f : V1→ V2 và g : E1→ E2 thỏa mãn:

(i) G1 đẳng cấu với G2

(ii) Hai ma trận kề tương ứng bằng nhau sau khi thay đổi thứ tự các hàng

và cột nếu cần thiết

• Tính chất bất biến Một tính chất P gọi là bất biến nếu mọi cặp đồ thị đẳng cấu

G1 và G2 thỏa mãn G1 có tính chất P khi và chỉ khi G2 có tính chất P

Do đó để chứng minh hai đồ thị không đẳng cấu ta phải tìm ra tính chất bất biến nào đó mà một đồ thị có, còn đồ thị kia không có

Định lý Cho G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) là hai đồ thị đẳng cấu Khi đó:

(i) G1 và G2 có số cạnh và số đỉnh bằng nhau

(ii) Với mọi số k tự nhiên, số đỉnh bậc k của G1 và G2 bằng nhau

(iii) Với mọi số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k của G1 và G2 bằng nhau

• Đồ thị bù Xét đơn đồ thị G =(V,E) Đồ thị bù của G là đơn đồ thị = (V, ) với tập các cạnh được định nghĩa như sau:

= {(u,v) / u, v ∈V & (u,v) ∉E}

Mệnh đề Hai đơn đồ thị đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi các đồ thị bù của

chúng đẳng cấu với nhau

• Đồ thị đường Cho đồ thị G =(V,E) Đồ thị đường của G, ký hiệu L(G), là đồ

thị có các đỉnh tương ứng với các cạnh của G và hai đỉnh kề nhau trong L(G) nếu các cạnh tương ứng trong G kề nhau

Mệnh đề Cho hai đơn đồ thị G1 = (V1,E1) và G2 = (V2,E2) đẳng cấu với nhau Khi đó các đồ thị đường của chúng đẳng cấu với nhau

CHƯƠNG II

ĐỒ THỊ PHẲNG2.1 ĐỒ THỊ PHẲNG

• Đồ thị hình học phẳng Một đồ thị gọi là đồ thị hình học phẳng nếu nó được

biểu diễn trên mặt phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau

• Đồ thị phẳng Một đồ thị gọi là phẳng nếu nó đẳng cấu với đồ thị hình học

phẳng

Với một đồ thị hình học phẳng liên thông, mặt phẳng được chia làm các

miền con gọi là mặt Mỗi mặt được giới hạn bởi chu trình gọi là biên của mặt Số cạnh trên biên của mặt f được gọi là bậc của mặt, ký hiệu deg(f) Bậc nhỏ nhất gọi là đai của đồ thị.

• Mệnh đề Mọi chu trình của đồ thị phẳng có độ dài chẵn khi và chỉ khi mọi

• Định lý 2.2.1 (công thức Euler) Cho G là đồ thị liên thông phẳng có e cạnh, v

đỉnh và f mặt Khi đó ta có công thức Euler:

f = e – v + 2

• Định lý 2.2.2 (Bất đẳng thức cạnh-đỉnh) Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông

với e cạnh, v đỉnh và đai g (g≥3), không có đỉnh treo Khi đó ta có:

)2v(2g

• Hệ quả 2.2.2 Đồ thi K5 là đồ thị không phẳng

• Hệ quả 2.2.3 Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh (v≥3), không có đỉnh treo và không có chu trình có độ dài 3 Khi đó ta có:

e ≤ 2v – 4

• Hệ quả 2.2.4 Đồ thi K3,3 là đồ thị không phẳng

2.3 ĐỊNH LÝ KURATOWSKI

• Phép rút gọn nối tiếp Cho đồ thị G có đỉnh v bậc 2 với các cạnh (v,v1) và (v,v2) Nếu ta bỏ các cạnh (v,v1) và (v,v2) và thay bằng cạnh (v1,v2), thì ta nói rằng ta đã thực hiện phép rút gọn nối tiếp Đồ thị G’ thu được gọi là đồ thị rút gọn từ G.

• Đồ thị đồng phôi Hai đồ thị G1 và G2- gọi là đồng phôi nếu G1 và G2 có thể rút gọn thành những đồ thị đẳng cấu qua một số phép rút gọn nối tiếp

• Định lý (Kuratowski) Đồ thị G là đồ thị phẳng khi và chỉ khi G không chứa

đồ thị con đồng phôi với đồ thị K5 hoặc K3,3

2.4 NHÚNG ĐỒ THỊ

Trong nhiều trường hợp chúng ta muốn biểu diễn đồ thị trong không gian nào đó, chẳng hạn như mặt phẳng, mặt cầu, không gian Euclide ba chiều,…, trong đó các điểm của không gian biểu diễn đỉnh đồ thị và các đường cong không cắt nhau (trừ các đỉnh đồ thị) biểu diễn các cạnh đồ thị

• Đường cong Jordan Một đường cong Jordan trong mặt phẳng là đường cong

liên tục không tự cắt Đường cong Jordan với điểm đầu và cuối trùng nhau gọi là đường cong Jordan khép kín.Tương tự định nghĩa đường cong Jordan trong các mặt khác (mặt cầu, mặt xuyến, không gian Euclide ba chiều…)

• Định lý 2.4.1 Giả sử C là đường cong Jordan khép kín trong mặt phẳng và x

và y là 2 điểm khác nhau của C Khi đó mọi đường cong Jordan nối x và y hoặc nằm hoàn toàn bên trong C (trừ x và y), hoặc nằm hoàn toàn bên ngoài C (trừ x

và y), hoặc cắt C ở điểm khác x và y

• Đồ thị G gọi là nhúng được vào không gian đã cho nếu nó đẳng cấu với đồ thị biểu diễn trong không gian đó với các điểm của không gian biểu diễn đỉnh của đồ thị và các đường cong Jordan không cắt nhau (trừ các đỉnh đồ thị) biểu diễn các cạnh đồ thị Ví dụ: đồ thị phẳng là đồ thị nhúng được vào mặt phẳng

• Định lý 2.4.2 Một đồ thị nhúng được vào mặt phẳng khi và chỉ khi nó nhúng

được vào mặt cầu

• Định lý 2.4.3 Mọi đồ thị hữu hạn nhúng được vào không gian Euclide ba

chiều

2.5 TÔ MÀU ĐỒ THỊ

2.5.1 Tô màu đỉnh

Mỗi bản đồ có thể coi là một đồ thị phẳng Trong một bản đồ, ta coi hai miền

có chung nhau một đường biên là hai miền kề nhau (hai miền chỉ có chung nhau một điểm biên không được coi là kề nhau) Một bản đồ thường được tô màu, sao cho hai miền kề nhau được tô hai màu khác nhau Ta gọi một cách tô màu bản đồ như vậy là một cách tô màu đúng

Để đảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau,

chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau Tuy nhiên việc làm đó nói chung

là không hợp lý Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu

gần giống nhau Do vậy người ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô bản đồ

Một bài toán được đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu đúng một

bản đồ

Ví dụ 1: Bản đồ trong hình bên có 6 miền,

nhưng chỉ cần có 3 màu (vàng, đỏ, xanh) b c V d a

để tô đúng bản đồ này X e Đ X Đ

V f

Ví dụ 2: Bản đồ trong hình bên có 8 miền, A B C

chỉ cần ít nhất 4 màu thì tô được

D E F G

H

• Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị, trong đó mỗi

miền của bản đồ được biểu diễn bằng một đỉnh; có cạnh nối hai đỉnh, nếu các

miền được biểu diễn bằng hai đỉnh này là kề nhau Đồ thị nhận được bằng cách

này gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ đang xét.

Chẳng hạn đồ thị đối ngẫu của các bản đồ ở trên lần lượt là:

Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu phẳng

• Tô màu đỉnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó sao cho không

có hai đỉnh liền kề gán cùng một màu

fa

Nhận xét: Bài toán tô màu các miền của bản đồ là tương đương với bài toán tô

màu các đỉnh của đồ thị đối ngẫu sao cho không có hai đỉnh liền kề có cùng một màu, mà ta gọi là tô màu đúng các đỉnh của đồ thị

• Số màu ít nhất cần dùng để tô màu đúng đồ thị G được gọi là sắc số (số màu)

của đồ thị G và ký hiệu là χ(G)

Ví dụ:

b cVới đồ thị sau: a d e

f g

số màu ít nhất là 3 vì các đỉnh a,b,f kề nhau đôi một nên phải gán các màu khác nhau Trước hết ta tô đỉnh a màu đỏ (Đ), đỉnh b màu vàng (V) và đỉnh f màu xanh (X) Vì đỉnh d kề với b và f nên đỉnh d phải được tô màu Đ, khi đó đỉnh c màu X, đỉnh g màu V và cuối cùng đỉnh e màu Đ

lẻ khác nhau cùng nối u với v thì dễ thấy rằng G phải chứa ít nhất một chu trình

độ dài lẻ Điều mâu thuẫn này cho biết hai màu 0 và 1 tô đúng đồ thị G

Định lý 2.5.3 χ(G) ≤ ∆(G) + 1 với mọi đồ thị G, trong đó ∆(G) là bậc đỉnh lớn nhất của G ( đẳng thức xảy ra khi G = Kn hoặc G là chu trình độ dài lẻ)

Định lý 2.5.4 (Brooks) Cho G là đơn đồ thị n đỉnh liên thông khác Kn và không phải chu trình độ dài lẻ Khi đó χ(G) ≤ ∆(G)

2.5.2 Thuật toán tuần tự ưu tiên đỉnh bậc lớn nhất

Cho đồ thị G = (V,E) Thuật toán sau sẽ tô màu các đỉnh đồ thị với số màu k gần với sắc số χ(G)

(i) Lập danh sách các đỉnh đồ thị E’ := [v1,v2, ,vn] theo thứ tự bậc giảm dần deg(v ) ≥ deg(v ) ≥ ≥ deg(v )

Quy nạp theo số đường thẳng n.

Bước cơ sở: Nếu n = 1, thì hiển nhiên chỉ cần 2 màu để tô bản đồ có 2 nước.Bước quy nạp: Giả sử mọi bản đồ tạo bởi n–1 đường thẳng được tô bằng 2 màu

Xét bản đồ (đồ thị) G tạo bởi n đường thẳng Ký hiệu G’ là bản đồ thu từ G bằng cách bỏ bớt một đường thẳng bất kỳ d Ta tô màu G’ bằng 2 màu 1 và 2 Sau đó lại thêm đường thẳng d vào G’ để nhận được bản đồ G Bây giờ ta hoán chuyển màu (màu 1 thành màu 2 và ngược lại) các nước ở một phía của đường thẳng d Như vậy bản đồ G được tô bằng 2 màu

Định lý 2.5.5 Điều kiện cần và đủ để bản đồ có thể tô bằng 2 màu là mọi đỉnh

của đồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2

Chứng minh :

Các mặt của đồ thị phẳng tô được bằng 2 màu khi và chỉ khi các đỉnh của đồ thị đối ngẫu tô được bằng 2 màu, tức là, khi và chỉ khi mọi chu trình của đồ thị đối ngẫu đều có độ dài chẵn Và điều đó tương đương với việc mọi đỉnh của đồ thị ban đầu có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2

Định lý 2.5.6 (Định lý 5 màu của Kempe-Heawood):

Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số ≤ 5

Định lý 2.5.7 (Định lý 4 màu của Appel-Haken):

Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số ≤ 4

2.5.4 Bài toán tô màu cạnh

• Tô màu cạnh một đơn đồ thị là sự gán màu cho các cạnh của nó sao cho không

có hai cạnh kề được gán cùng một màu

Sắc số cạnh của đồ thị G , ký hiệu là χ’(G), là số màu tối thiểu cần thiết để tô màu cạnh đồ thị

Hiển nhiên với mọi đồ thị G ta có χ’(G) ≥∆(G)