tiểu luận lý thuyết độ đo và xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC Hướng dẫn: GS.TS Đặng Đức Trọng Đặng Vinh – Vũ Đức Thạch Sơn Nguyễn Bá Lâm – Nguyễn Thị Mai Phương –Lữ Quốc Hưng Sinh viên khóa 2012 CNTN Tiểu luận LƯU HÀNH NỘI BỘ TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT Chịu trách nhiệm nội dung VŨ ĐỨC THẠCH SƠN ĐẶNG VINH NGUYỄN BÁ LÂM LỮ QUỐC HƯNG NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG Biên tập ĐẶNG VINH VŨ ĐỨC THẠCH SƠN Sửa in ĐẶNG VINH LỮ QUỐC HƯNG Trình bày bìa ĐẶNG VINH Tháng 12 năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN TIN HỌC Hướng dẫn: GS.TS Đặng Đức Trọng Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thị Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Sinh viên khóa 2012 CNTN Tiểu luận LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO & XÁC SUẤT Tháng 12 năm 2013 LỜI CẢM ƠN Xin dành dòng tiểu luận để nói lời tri ân sâu sắc đến Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình truyền dạy kiến thức cho chúng em Đặc biệt, nhóm chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Đặng Đức Trọng, người trực tiếp hướng dẫn chúng em môn Lý thuyết Độ đo Xác suất, tạo nhiều điều kiện để nhóm chúng em hồn thành tiểu luận Mặc dù thời gian làm tiểu luận hai tháng nhóm cố gắng thể tinh thần đồn kết tuyệt vời Cơng việc phân công cụ thể tất thành viên làm tốt nhiệm vụ Với cương vị người tổng hợp biên tập, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thành viên nhóm làm việc cho đứa tinh thần chung xem đầu tay đời sinh viên Đặc biệt, phải kể đến cống hiến đầy nhiệt huyết thành viên Vũ Đức Thạch Sơn - người có kiến thức sâu rộng nhóm, góp cơng lớn làm cho nội dung tiểu luận thêm phần phong phú Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Trưởng nhóm biên soạn Đặng Vinh MỞ ĐẦU Có thể nói Lý thuyết Độ đo Xác suất môn học giao thoa nhiều phần kiến thức quan trọng Dựa lịch sử phát triển lý thuyết xác suất, mạch kiến thức môn học xếp theo thứ tự : Không gian đo - khơng gian xác suất; Tích phân Lebesgue; Biến số ngẫu nhiên; Các định lý giới hạn Do vậy, khối kiến thức khơng gói gọn xác suất thống kê, mà liên quan đến phần tảng chặt chẽ xây dựng nên lý thuyết xác suất, lý thuyết độ đo tích phân Lebesgue Điều có nghĩa sinh viên phải nắm kiến thức từ Một phương pháp hiệu giải tập Nắm yêu cầu đó, nhóm biên soạn thực Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất, dựa nội dung Giáo trình Lý thuyết độ đo xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng), mong muốn hỗ trợ phần cho việc học môn học thêm hiệu Với tôn trọng đặt lên hàng đầu, nhóm biên soạn ln trình bày Tiểu luận theo thứ tự với bố cục Giáo trình Bên cạnh đó, nhóm cố gắng đào sâu, tìm hiểu bổ sung thêm nhiều kiến thức hay, thơng tin mang tính lịch sử Tốn học nói chung, lý thuyết Xác suất nói riêng, nhằm đem lại hứng thú nghiên cứu môn học nặng lý thuyết có tính ứng dụng cao Lý thuyết Độ đo Xác suất Tiểu luận gồm hai phần Phần đầu trình bày tóm tắt lý thuyết Lý thuyết độ đo xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng) Trong định lý hay mệnh đề, nhóm biên soạn ln cố gắng tường minh hóa bước chứng minh hay tìm cách chứng minh có phần khác so với Giáo trình Tuy khơng cách chứng minh tối ưu hơn, hi vọng việc chia sẻ với đọc giả tư chủ quan nhóm giúp ích cho q trình học mơn học Phần thứ hai bao gồm lời giải chi tiết tập Giáo trình Lý thuyết độ đo xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng) Và thêm lời giải tập bổ sung mà nhóm sưu tầm, tuyển chọn biên soạn Phần cuối tiểu luận số đọc thêm Mặc dù kiểm tra nhiều lần cách độc lập thành viên khác nhóm biên soạn, nhiên với khả thời gian có hạn, chắn tài liệu số sai sót định Nhóm biên soạn ln cố gắng chỉnh sửa để tài liệu ngày hoàn thiện Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Nhóm biên soạn MỤC LỤC Lời cảm ơn Mở đầu Mục lục Phần A: Tóm tắt lý thuyết Chương I Không gian đo – không gian xác suất 1.1 Kí hiệu số thuật ngữ thường dùng 11 1.2 Không gian mẫu,biến cố 15 1.3 Xác suất biến cố 16 1.4 Không gian đo .17 1.5 Không gian xác suất .25 1.6 Một số kiến thức bổ sung .32 Chương II Tích phân Lebesgue 2.1 Hàm đo .49 2.2 Tích phân hàm dương 57 2.2 Tích phân hàm tổng quát .64 2.4 Tập có độ đo khơng .70 2.5 Độ đo Lebesgue 72 2.6 Tích phân hàm thơng dụng 77 2.7 Định lý Radon - Nikodym vấn đề khác 79 Chương III Biến số ngẫu nhiên 3.1 Biến số ngẫu nhiên 93 3.2 Các hàm mật độ xác suất thường dùng 97 3.3 Tham số đặc trưng biến số ngẫu nhiên .105 3.4 Mật độ xác suất hàm theo biến số ngẫu nhiên .125 3.5 Vector ngẫu nhiên .129 3.6 Một số kiến thức bổ sung 143 Chương IV Các định lý giới hạn 4.1 Bất đẳng thức Chebyshev luật số lớn dạng yếu 172 4.2 Định lý giới hạn trung tâm 175 4.3 Dạng mạnh luật số lớn 177 4.4 Một số bất đẳng thức khác 179 4.5 Một số kiến thức bổ sung 180 Phần B: Lời giải tập Chương I Không gian đo – không gian xác suất I Bài tập lý thuyết 221 II Bài tập ứng dụng 251 III Bài tập lý thuyết bổ sung 263 IV Bài tập ứng dụng bổ sung 270 Chương II Tích phân Lebesgue I Bài tập lý thuyết 293 II Bài tập ứng dụng 308 III Bài tập lý thuyết bổ sung 322 IV Bài tập ứng dụng bổ sung 336 Chương III: Biến số ngẫu nhiên I Bài tập lý thuyết 343 II Bài tập ứng dụng 352 III Bài tập lý thuyết bổ sung 374 IV Bài tập ứng dụng bổ sung 380 Chương IV: Các định lý giới hạn I Bài tập lý thuyết 402 II Bài tập ứng dụng 409 III Bài tập lý thuyết bổ sung 416 IV Bài tập ứng dụng bổ sung 423 Bài đọc thêm Bảng số thống kê 435 Hướng dẫn sử dụng chức máy tính bỏ túi .448 Một số thuật ngữ 450 Những câu chuyện thú vị xác suất .455 Tài liệu tham khảo Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất 446 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất 447 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH BỎ TÚI Chức thống kê 448 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất Tính xác suất định lý giới hạn trung tâm Lấy ví dụ cụ thể Bài tập 2b phần ứng dụng chương IV Ta có P 20 i=1 Để tính Φ Xi − 20 −5 √ ≤√ 20 20 −5 √ 20 =Φ −5 √ 20 0, 13178 ta thực sau với máy tính f x − 570ES Bước 1: Khởi động gói thống kê MODE > : STAT > AC Bước 2: Chuyển sang biểu thức tính xác suất Φ SHIFT > (STAT) > : Distr > : P( > -5 > ÷ > √ > 20 > ) > = Bước 3: Trở chế độ bình thường MODE > : COMP Với máy f x − 570ES PLUS bước có khác biệt : Distr 449 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất MỘT SỐ THUẬT NGỮ • A almost everywhere (a.e): hầu khắp nơi almost sure (a.s): hầu chắn approximate: xấp xỉ area: diện tích at most countable: q đếm average: trung bình • B bar graph: đồ thị dải Bayes’s fomular: công thức Bayes binomial distribution: phân phối nhị thức binomial theorem: định lý nhị thức bivariate data: liệu hai biến • C central confidence interval: khoảng tin cậy trung tâm central limit theorem: định lý giới hạn trung tâm characteristic function: hàm đặc trưng class interval: khoảng nhóm closed interval: khoảng đóng combination: tổ hợp confidence interval: khoảng tin cậy conditional probability: xác suất có điều kiện continuosly dfferentiable: khả vi liên tục correlation: tương quan (giữa hai biến) covariance: hiệp phương sai cumulative distribution function (c.d.f): hàm phân phối tích lũy cumulative frequency: tần số tích lũy 450 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất • D density: mật độ derivative: đạo hàm disjoint: (tập hợp) rời distribution: phân phối • E element: phần tử (của tập hợp) equality: (tập hợp) event: biến cố expectation: kì vọng experimental probability: xác suất thực nghiệm • F fair coin: đồng xu cân (xác suất mặt sấp ngửa 0,5) frequency: tần số frequency table: bảng thống kê tần số • G geometric distribution: phân phối hình học Geometric probability : xác suất hình học • H histogram: biểu đồ • I independent event: biến cố độc lập indentical independent distribution (i.i.d): họ biến số ngẫu nhiên độc lập integral: tích phân intersection of sets: phần giao hai tập hợp interval: khoảng 451 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất • L least squares: bình phương tối thiểu linear regression: (phương pháp) hồi quy tuyến tính • M marginal distribution: mật độ lề maximum value: giá trị lớn mean: giá trị xấp xỉ trung bình median: trung vị mode: yếu vị multinomial distribution: phân phối n-thức mutually exclusive: (biến cố) xung khắc • N n-factorial: n giai thừa nominal data: liệu đại diện (ví dụ gán “đúng” 1, “sai” 0) normal distribution: phân phối chuẩn notation: kí hiệu odds: tỉ lệ (tiền cược) ogive: tần số tích lũy liên tục ordinal data: liệu thứ tự outcome: kết • O of content zero: tích khơng of measure zero: có độ đo khơng (độ đo Lebesgue) open interval: khoảng mở • P Pascal’s triangle: tam giác Pascal permutation: hoán vị 452 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất population: tập hợp principle: nguyên lý, định luật probability: xác suất probability density function (p.d.f): hàm mật độ xác suất • Q Quartile: tứ phân vị • R random variable: biến ngẫu nhiên regression: hồi quy • S simple event: biến cố sơ cấp set: tập hợp subset: tập hợp standard deviation: độ lệch chuẩn standard normal distribution: phân phối Gauss (phân phối chuẩn với trung bình phương sai 1) statistic: thống kê • T theorem: định lý theoretical probability: lý thuyết xác suất • U union: phần hội (của tập hợp) universal set: tập hợp chứa tất phần tử • V variable: biến ngẫu nhiên variance: phương sai Venn diagram: giản đồ Venn volume: thể tích 453 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất • W weighted arithmetic mean (Weighted Average): phương pháp trọng số trung bình (tính trung bình với số liệu quan trọng lặp lại nhiều lần) • X • Y • Z 454 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất NHỮNG CÂU CHUYỆN THÚ VỊ VỀ XÁC SUẤT Lý thuyết di truyền Mendel xác suất lai giống đậu Mendel (1822 - 1884) Gregor Mendel (1822 - 1884) tu sĩ người Áo thích nghiên cứu sinh vật Ông trồng nhiều giống đậu khác vườn tu viện, ghi chép tỉ mẩn tính chất di truyền lai giống chúng Năm 1866 Mendel công bố báo tượng mà ông quan sát lý thuyết ơng để giải thích tượng Một quan sát màu sắc : lai đậu hạt vàng với đậu hạt xanh (thế hệ thứ nhất) lai (thế hệ thứ hai) đậu hạt vàng, tiếp tục cho lai đậu hạt vàng hệ thứ hai với nhau, đến hệ thứ ba xác suất đậu hạt xanh 1/4 Con số 1/4 Mendel thống kê thấy tỉ lệ đậu hạt xanh hệ thứ ba gần 1/4 Từ Mendel xây dựng lý thuyết di truyền để giải thích tượng : màu đậu xác định gen gen gồm có hai phần Thế hệ đầu tiên, đậu hạt vàng có gen chủng “YY” hạt xanh có gen ”yy” (tên gọi “Y” “y” tùy ý) Khi lai nhau, nửa gen ghép với nửa gen để tạo thành gen Các hệ thứ hai có gen “Yy”, màu hạt gen “Yy” vàng Đến hệ thứ ba, lai “Yy” với “Yy” có khả xảy : “YY” , “Yy” , “yY” , “yy” (“Yy” “yY” giống gen, viết để phân biệt phần “Y” đến từ thứ hay thứ hai lai với nhau) Về lý thuyết coi khả có xác suất xảy 455 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất Bởi xác suất để hệ thứ ba có gen “yy” (hạt màu xanh) 1/4 Trong nhiều năm sau cơng bố, cơng trình Mendel không nhà khoa học khác quan tâm đến, ngày Mendel coi ông tổ di truyền học Chiếc kim Buffon Buffon (1707 - 1788) Bá tước George - Louis de Buffon ( 1707 - 1788 ) nhà khoa học tự nhiên lớn, nghiên cứu thực vật, động vật, trái đất, lịch sử tự nhiên, v.v Thời trẻ ơng đặc biệt thích tốn học, vào năm 1733 có trình lên Viện Hàn lâm Pháp cơng trình nhan đề “Sur le jeu du franc-carreau” ( france-carreau trò chơi cá cược thịnh hành thời : người ta tung đồng tiền vào ô vuông cá cược xem vị trí nằm chỗ ) Trong cơng trình này, phép tốn vi tích phân Buffon đưa vào lý thuyết xác suất Buffon người nghĩ phương pháp sau để tính số π : lấy tờ giấy to kim Kẻ đường thẳng song song tờ giấy, cách khoảng cách chiều dài kim Tung kim cách ngẫu nhiên lên tờ giấy Có hai khả xảy : 1) kim nằm đè lên đường thẳng đường kẻ ; 2) kim nằm lọt vào hai đường thẳng Buffon tính rằng, kiện “ kim nằm đè lên đường thẳng “ có xác suất 1/π Như hai kiện “ nằm đè lên đường thẳng” “ nằm lọt vào hai đường thẳng” hợp thành không gian xác suất Bernoulli với p = 1/π Trong n lần tung kim, gọi số lần kim nằm đè lên đường thẳng số n lần tung bn Khi đó, theo luật số lớn, bn /n tiến tới p = 1/π n tiến tới vơ Bởi để tính xấp xỉ số π ta làm sau : tung kim thật nhiều lần , đếm số lần kim đè lên đường thẳng, 456 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suaát lấy số lần tung chia cho số Phương pháp tung kim Buffon tiền thân phương pháp Monte-Carlo toán học Bài toán Méré Gombaud (1607 - 1684) Hiệp sĩ Méré ( tên khai sinh Antoine Gombaud (1607 - 1684) nhà văn nhà triết học người Pháp ) nhân vật lịch sử nghiện đánh bạc Ông ta hay chơi xúc sắc, nhận thấy hai kiện sau : A = “ Tung xúc sắc lần, có lần lên 3”, B = “ Tung đơi xúc sắc 24 lần, có lần lên đơi 3”, B xảy A Tuy nhiên ông ta không giải thích Theo ơng ta đáng nhẽ hai kiện phải có khả xảy nhau, 24 = × De Méré hỏi bạn nhà tốn học triết học Blaise Pascal ( 1623 - 1662 ), vào năm 1654 Pascal lúc “ từ bỏ tốn”., có nhận lời suy nghĩ câu hỏi de Méré Sau Pascal viết thư trao đổi với Pierre de Fermat ( 159? - 1665 ), luật sư đồng thời nhà toán học vùng Toulouse ( Pháp ) Hai người phát minh lý thuyết xác suất cổ điển, giải toán de Méré Kết : P (A) = − P A = − (1 − 1/6)4 ≈ 0, 5177, P (B) = − P B = − − (1/6)2 24 ≈ 0, 4914 457 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất Blaise Pascal (1623 - 1662) Đơi mắt trở thành chìa khóa Đầu kỷ 21, có khách sạn mà khách khơng cần chìa khóa phòng, cần nhìn vào camera cửa phòng, phòng tự động mở cửa Sự tiện lợi dựa cơng nghệ nhận biết danh tính người qua mằng mắt (iris) Một điều thú vị là, kể hai người sinh đôi trông giống hệt nhau, đường nét màng mắt họ khác nhau, trình phát triển đường nét màng mắt thai nhi phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên (không di truyền) Từ năm 1930, bác sĩ mắt nói dùng màng mắt để nhận biết danh tính người John Daugman người làm cơng nghệ nhận biết danh tính màng mắt, từ cuối kỷ 20 Thuật tốn ơng tách từ ảnh mằng mắt mã với 266 đơn vị thơng tin coi ngẫu nhiên độc lập với (mỗi đơn vị biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1, với xác suất 50% - 50%, biến gần độc lập với nhau) Để tìm 266 đơn vị thơng tin độc lập (xuất phát từ 2048 đơn vị thông tin không độc lập với nhau) kiểm định độc lập chúng, Daugman làm thống kê so sánh 222 nghìn lần cặp ảnh màng mắt khác chủ (2 mắt cặp hai người khác nhau), 500 cặp ảnh mằng mắt chủ Một kết là, tỉ lệ đơn vị thông tin chệch mã mắt khác chủ tuân theo phân bố normal với kỳ vọng 45,6% (tức trung bình hai mắt khác chủ có 45,6% đơn vị thông tin chệch nhau) với độ lệch chuẩn 0,18%, khơng có cặp mắt khác chủ (trong thử nghiệm) có 37% đơn vị thông tin chệch Mặt khác, hai ảnh 458 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng Đại học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM Khoa Toán Tin học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất màng mắt khác chủ trung bình có 9% đơn vị thơng tin bị lệch q 31% đơn vị thơng tin Từ dẫn đến thuật toán phân biệt : coi hai mã bị lệch không 34% số đơn vị thơng tin, người, 34% coi hai người khác 459 _ Đặng Vinh - Vũ Đức Thạch Sơn - Nguyễn Bá Lâm - Nguyễn Thò Mai Phương - Lữ Quốc Hưng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng, Lý thuyết độ đo xác suất, Trung tâm Khoa học Toán học CMS, (2013) [2] Dương Minh Đức, Lý thuyết độ đo tích phân, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, (2006) [3] Dương Minh Đức, Giáo trình Tốn Giải tích 1, NXB Thống Kê, (2005) [4] Nguyễn Thành Long, Tài liệu Lý thuyết độ đo tích phân, Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh [5] Nguyễn Bích Huy, Tài liệu Giải tích sở Độ đo tích phân, Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, (2006) [6] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng, Nhập môn Hiện đại Xác suất Thống kê, NXB Đại học Sư phạm, (2010) [7] Đào Hữu Hồ, Hướng dẫn giải toán Xác suất Thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội , (2009) [8] Walter Rudin, Real and complex analysis, 3rd edition, McGraw - Hill, (1986) [9] Marek Capinski - Ekklehard Kopp, Measure, Integral and Probability, 2nd edition, Springer, (2003) [10] Tô Anh Dũng, Lý thuyết xác suất thống kê tốn, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, (2007) [11] Sheldon Ross, A First Course in Probability, 8th edition, Prentice Hall, (2009) [12] Đinh Văn Gắng, Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo Dục Việt Nam, (2010) [13] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2004) [14] Nguyễn Thành Cả, Xác suất Thống kê toán, NXB Kinh Tế Đại học Kinh Tế TP Hồ Chí Minh, (2011) 460 ... nặng lý thuyết có tính ứng dụng cao Lý thuyết Độ đo Xác suất Tiểu luận gồm hai phần Phần đầu trình bày tóm tắt lý thuyết Lý thuyết độ đo xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng) Trong định lý. .. pháp hiệu giải tập Nắm yêu cầu đó, nhóm biên soạn thực Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất, dựa nội dung Giáo trình Lý thuyết độ đo xác suất (Đinh Ngọc Thanh - Đặng Đức Trọng), mong muốn hỗ trợ... học Tiểu luận Lý thuyết Độ đo Xác suất 1.5 Không gian xác suất Nhắc lại không gian xác suất ba (Ω, M, P ), Ω tập không rỗng, M σ−đại số Ω, P độ đo