Rèn luyện kĩ năng giải toán tổ hợp, xác suất ở trường phổ thông cho học sinh

Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở thành một ngành Toán họcquan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên,khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học,

LUYỆN VĂN THÀNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nghệ An, 2014

LUYỆN VĂN THÀNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Chiến Thắng

Lời cảm ơn

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn khoa học của Thầy giáo TS Nguyễn Chiến Thắng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới Thầy - ngời đã trực tiếp tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn.

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và Ph ơng pháp giảng dạy bộ môn Toán, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn Tác giả xin gửi tới tất cả ngời thân, bạn bè, đồng nghiệp lòng biết ơn sâu sắc, những ngời đã cổ vũ động viên tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cần đ ợc góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Nghệ An, tháng 10 năm 2014.

Tỏc giả

MỤC LỤC

Lời cảm ơn……… ………1

Mục lục……… ……… 2

Bảng kí hiệu các chữ cái viết tắt ……… ………… 4

LUYỆN VĂN THÀNH 1

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 1

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH 1

LUYỆN VĂN THÀNH 2

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 2

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH 2

Bảng ký hiệu các chữ viết tắt

THPT Trung học phổ thông

PPDH Phương pháp dạy học

GQVĐ Giải quyết vấn đề

SGK Sách giáo khoa

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết xác suất là ngành Toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật

chi phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ướclượng, tính toán Xác suất của một biến ngẫu nhiên Sự ra đời của lý thuyếtxác suất bắt đầu từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pa-xcan (1623-1662) và Phéc-ma (1601-1665) xung quanh cách giải đáp một sốvấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt

ra cho Pa-xcan Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở thành một ngành Toán họcquan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên,khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …Đại số Tổ hợp xuấthiện vào thế kỉ XVII Trong một thời gian dài, nó nằm ngoài hướng phát triểnchung và những ứng dụng của toán học Sau khi máy tính điện tử ra đời vàtiếp sau đó là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn Ngày nay phươngpháp Tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết Xác suất với vai trò là công

cụ tính xác suất, trong thống kê, trong quy hoạch toán học, trong hình học hữuhạn, hình học tổ hợp, trong lý thuyết biểu diễn nhóm, lí thuyết các đại sốkhông kết hợp, …

1.2 Chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trình giải tích bậc THPT là

chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu,khái niệm mới Vì vậy, việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựngnhững khó khăn nhất định Thế nhưng, việc dạy học Tổ hợp - Xác suất ở ViệtNam dường như lại bị coi nhẹ Thực tế cho thấy nhiều giáo viên còn lúngtúng trong thực hành giảng dạy, thậm chí có những quan điểm sai lầm về mụcđích dạy học Tổ hợp - Xác suất Dường như việc dạy học chỉ giới thiệu chohọc sinh những kiến thức hình thức chứ không phải là giúp học làm chủ kiếnthức này để có thể sử dụng chúng trong cuộc sống

1.3 Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí

tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộcsống, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bàitoán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgictrong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề mộtcách chính xác Để học tốt chủ đề Tổ hợp - Xác suất, người học không nhữngphải lĩnh hội được một khối lượng kiến thức nhất định, mà quan trọng hơnnhiều là phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, cáctình huống cụ thể Như vậy mới gọi là nắm vững và hiểu thấu đáo môn học

1.4 Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của

học sinh chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiềutình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập đa dạng, phong phú để rènluyện kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh Khi đó, học sinhhiểu biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau Không nhữngvậy mà thông qua việc giải các bài tập toán còn giúp học sinh hình thành thếgiới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo.Giúp học sinh hiểu biết hơn về lĩnh vực Tổ hợp - Xác suất là góp phần chocác em say mê môn toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung Hiệnnay chưa có công trình nào nghiên cứu một cách có hệ thống về việc rènluyện kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này

Vì những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là:

“Rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông

cho học sinh”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trìnhphổ thông và việc giải toán Tổ hợp - Xác suất, từ đó xây dựng một số biện

pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trườngphổ thông cho học sinh.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Tìm hiểu một số vấn đề về kĩ năng.

3.2 Làm rõ thêm nội dung chủ đề Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông và kĩ

năng giải toán thuộc chủ đề này

3.3 Đề xuất ra các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở

trường phổ thông cho học sinh

3.4 Thực nghiệm sư phạm để xem tính khả thi và hiệu quả của các phương

pháp đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở phân tích nội dung, đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất,nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể rèn luyện kĩnăng giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao kĩ

năng giải toán và chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách báo về triết học,

tâm lí học và PPDH, định hướng đổi mới PPDH Toán và các SGK và SBTĐại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao hiện hành), các luận án, luận vănliên quan

5.2 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về việc dạy học Tổ hợp - Xác suất

và việc rèn luyện kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này ở trường phổ thông hiệnnay

5.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra

tính khả thi của các biện pháp

6 Đóng góp luận văn

6.1 Về mặt lí luận:

Góp phần làm rõ thêm lí luận về kĩ năng giải toán khi dạy học chủ đề Tổ

hợp - Xác suất

6.2.Về mặt thực tiễn:

+ Đề xuất được các phương pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh

-+ Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho các GV dạy toán ở trường THPT

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất

ở trường phổ thông cho học sinh

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về kĩ năng giải toán

1.1.1 Kĩ năng

“Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn Trong

đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện mộtviệc gì” [1, tr.584]

Theo tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hànhđộng nào đó theo một mục đích trong những điều kiến xác định Nếu tạm thờitách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuộc phạm vi hànhđộng, thuộc khả năng “biết làm”

Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần làthông tin kiến thức thuần tuý và một phần là kĩ năng”

Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗingười để đạt được mục đích Kĩ năng còn có thể đặc trưng như một thói quennhất định và cuối cùng kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp

“Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực tiễn cácchứng minh đã nhận thấy được Kĩ năng trong Toán học quan trọng hơn nhiều

so với kiến thức thuần tuý, so với thông tin trơn” [39, tr.99]

Trong thực tế dạy học ta thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụngkiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vữngkiến thức các khái niệm, các định lí, quy tắc, không trở thành cơ sở của kĩnăng Muốn hình thành được kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho họcsinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững trithức, có kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực hiệnnguyên lí của nhà trường phổ thông là: ”Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợpvới lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”

1.1.2 Kĩ năng giải toán

“Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giảicác bài tập toán (bằng suy luận và chứng minh)”[4, tr.12]

Để thực hiện tốt môn toán ở trường THPT, một trong những yêu cầu đặt

ra là:

“Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt làtri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng Chẳng hạn: trithức và kĩ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức, kĩ năng chứngminh Toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm…”[18, tr.41]

Cần chú ý là tuỳ theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rènluyện kĩ năng khác nhau

1.1.3 Phân loại kĩ năng trong môn toán:

Có nhiều cách phân loại kĩ năng

Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bảnthành 4 nhóm:

a) Kĩ năng nhận thức:

Kĩ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩnăng nắm một khái niệm, định lý; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, …

b) Kĩ năng thực hành:

Trong môn Toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giảibài toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặctrong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

c) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức.

d) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá.

Xét kĩ năng toán học trên 3 bình diện: Kĩ năng vận dụng tri thức trongnội bộ môn Toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn họckhác, kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống.

1.1.4 Đặc điểm của kĩ năng giải toán

Khái niệm kĩ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiếnthức Bởi vì, cấu trúc của kĩ năng là: hiểu mục đích biết cách thức đi đến kếtquả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủcác thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồntại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động cùng với vai trò cơ sởcủa tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng Bởi vì: “Môn Toán làmôn học công cụ có đặc điểm và vị rí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụphát triển nhân cách ở trường phổ thông [18, tr 29] Vì vậy, cần hướng mạnhvào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kĩ năng, vì kĩ năng chỉ có thểđược hình thành và phát triển trong hoạt động

- Kĩ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm:kiến thức, kĩ năng, phương pháp

1.1.5 Vai trò của kĩ năng giải toán

Môn Toán được coi là một môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của

nó trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhàtrường phổ thông, vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rènluyện kĩ năng

Theo Nguyễn Cảnh Toàn, dạy toán là dạy kiến thức, kĩ năng, tư duy vàtính cách [35, tr 52] Trong đó kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trong, bởi vìnếu không có kĩ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đápứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Rèn luyện kĩ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệgiữa học với hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biếthọc thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạovào việc giải bài tập.

1.1.6 Sự hình thành kĩ năng giải toán

Sự hình thành kĩ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thốngphức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứađựng trong bài tập

Vì vậy, muốn hình thành kĩ năng cho học sinh, chủ yếu là kĩ năng họctập và kĩ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:

- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giảiquyết các đối tượng, các bài tập cùng loại

- Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập khái quát về kiến thức tươngứng

Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông,theo lý luận dạy học môn Toán cần chú ý:

“Trong khi dạy học môn Toán cần quan tâm rèn luyện cho học sinhnhững kĩ năng trên những bình diện khác nhau đó là:

- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán

- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn khoa học khác

- Kĩ năng vận dụng tri thức vào trong đời sống” [17, tr 19]

Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụquan trọng hàng đầu của bộ môn toán học trong nhà trường phổ thông

Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn

mà trước tiên là kĩ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau [9, tr 16]:1/ Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyênsuốt chương trình phổ thông Trong môn Toán có thể kể tới các kiến thức sau:

2/ Giúp học sinh phát triển các năng lực, cụ thể là:

- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán

- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng không gian

- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá

- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo3/ Coi trọng việc rèn luyện kĩ năng tính toán tất cả giờ học toán, gắn với việcrèn luyện các kĩ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị.4/Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính cẩnthận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp

1.1.7 Dạy học giải bài tập toán

a) Bài toán

Thuật ngữ "bài toán" được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số địnhnghĩa sau:

G Pôlia cho rằng: "Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách

có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng khôngthể đạt được ngay" [15, tr 169]

Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa : "Khái niệm bài toán hiểu là

một công việc hoàn thành được nhờ những phương pháp đã biết trong nhữngđiều kiện cho trước"

Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán như sau: "Bài toán làmột sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:

Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán)

Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)

Các điều kiện của hành động (mối quan hệ giữa cái đã có và cái phải tìm) Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể Bài toánkhông tồn tại độc lập với mọi "hệ quy chiếu"

b) Vai trò của việc giải bài tập toán

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn

Toán ở nhà trường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạtđộng toán học Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạtđộng như: nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc,phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung,những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học

Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung

và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể:

- Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khácnhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, kĩ năng ứng dụngtoán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn luyện các thao tác tư duy,hình thành các phẩm chất trí tuệ

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũngnhư những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là phương tiện để cài đặt nộidung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đãhọc ở phần lý thuyết

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạtđộng để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực

hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổchức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tíchcực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

c) Các chức năng của bài tập toán học

Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra

+) Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo những vấn đề về lýthuyết đã học Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt đểdẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định

lý, mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên, qua việc giải bàitập mà học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

+) Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn vềtính chất thực tiễn của toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bàitoán từ cuộc sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc Đồng thời, học sinhphải thể hiện một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạtđộng toán mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc

có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm,trung thực khiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong toán học và trongthực tiễn

+) Chức năng phát triển:

Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặcbiệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duykhoa học

+) Chức năng kiểm tra:

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khácnhau Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làmviệc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bàitập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũngnhư hiệu quả giảng dạy của giáo viên

Trong việc lựa chọn bài toán và hướng dẫn học sinh giải Toán, giáoviên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của bài toán

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huytác dụng giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng chohọc sinh làm nhiều bài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chứcnăng của bài tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải củabài tập toán

Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyênnhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

d) Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Trong dạy học giải Toán, kĩ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kĩnăng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các kĩ năng biến đổi bài toán là mộtthành phần không thể thiếu trong dạy học giải Toán Trong tác phẩm của

G Pôlya ông đã đa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán

i) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải

có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy, điều đầu tiên người giáo viên cần chú ýhướng dẫn học sinh giải Toán là khơi gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toáncủa các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tíchgiả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện.Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới

một hình thức khác được không? Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề Toán” ta

đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải

ii) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thểhiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơngiản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét cáctrường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kĩ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa.

Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?.

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?.

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một

bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em

có thể giải một phần của bài toán?.

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa?

Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?.

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được nhữnggợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kĩ năng tìm lời giải chocác bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiêntrì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vàohoạt động giải Toán của mình

iii) Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải, hãy kiểm tra lại từng bước Em đã

thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?.

iv) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải củabài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gìkhông, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vìvậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

-Tìm cách giải khác của bài toán: một bài toán thường có nhiềucách giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bàitoán nhiều khi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần l ưu ý để pháthuy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bàitoán Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho họcsinh trung bình và kém chán nản.

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho mộtbài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với họcsinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinhgiỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thểcho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để ápdụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

e) Các kĩ năng giải Toán

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống các hành động có mụcđích, do đó chủ thể giải toán cần phải: nắm vững các tri thức về hành động,thực hiện hành động theo các nhu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động

có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải Toán thì kĩ năng củahọc sinh chính là khả năng vận dụng sáng tạo, có mục đích những tri thức vàkinh nghiệm đã có vào giải các bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệthống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học

Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia thành ba cấp độ: biết làm,

thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.

Trong giải Toán, học sinh cần có nhóm kĩ năng chung sau:

+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán;

+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán;

+ Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải;

+ Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán;

+ Kĩ năng thu nhận hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của người giải toán.Ngoài ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:

+ Kĩ năng ước lượng đo đạc

+ Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn

Nhóm kĩ năng về tư duy.

+ Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán

+ Kĩ năng tổng hợp

+ Kĩ năng phân tích

+ Kĩ năng mô hình hoá

+ Kĩ năng sử dụng thông tin

1.2 Chủ đề Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông

1.2.1 Vai trò, ý nghĩa của Tổ hợp - Xác suất

a Về việc học Tổ hợp

Trong thực tế đôi khi ta gặp những bài toán có dạng sau:

- Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một bàn tròn?

- Huấn luận viên có bao nhiêu cách lập một danh sách đá luân lưu 5 người lấytrong 11 cầu thủ

- Có bao nhiêu cách chọn 3 đại biểu trong số 5 người được đề cử?

Những bài toán như thế được gọi là bài toán Tổ hợp Ngành Toán họcnghiên cứu cách giải các bài toán Tổ hợp được gọi là Đại số Tổ hợp

Đại số Tổ hợp xuất hiện vào thế kỉ XVII Trong một thời gian dài, nónằm ngoài hướng phát triển chung và những ứng dụng của toán học Songtình hình đã thay đổi hẳn, sau khi máy tính điện tử ra đời và tiếp theo đó

là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn Ngày nay các phươngpháp tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết các quá trình ngẫunhiên, trong thống kê, trong quy hoạch toán học, trong toán học tính toán,trong hình học hữu hạn, hình học tổ hợp, trong lí thuyết biểu diễn nhóm, líthuyết các đại số không kết hợp

Đại số Tổ hợp đã được đưa vào chương trình môn toán ở trường trunghọc phổ thông ở lớp 12 từ năm 1992-1993 Song vì số giờ dành cho môn nàyquá ít, nên học sinh chỉ mới được làm quen với một vài khái niệm cơ bản như:

tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, nhị thức Niu - tơn Nội dung ấy chưa tương xứngvới vai trò và vị trí của đại số tổ hợp trong khoa học và kĩ thuật hiện đại

b Về việc học Xác suất

Xã hội cung cấp một lượng thông tin phong phú, đa dạng, thường là chính

xác hay tương đối chính xác và được trình bày một cách khoa học hay không.Người ta có thể rút ra kết luận nào từ thông tin cung cấp? Câu trả lời liên quanđến phương pháp phân tích thông tin

Ngoài ra, trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hiệntượng không chắc chắn: kết quả bầu cử không đúng với dự kiến, dự báo thờitiết không đáng tin cậy, chỉ số suy thoái của thị trường chứng khoán, khả năngphát triển một lĩnh vực nào đó, những mô hình kinh tế không hiệu quả, vànhiều biểu hiện khác của tính không chắc chắn trong thế giới của chúng ta

Nghiên cứu phương pháp phân tích thông tin và tính không chắc chắnliên quan hai chủ đề: Dữ liệu và cơ hội Đó chính là nội dung nghiên cứu củaXác suất Chính vì thế mà ở nhiều nước các kiến nghị gần đây liên quan đếnvấn đề giảng dạy toán trong nhà trường đều có tính nhất trí cao đối với việc

gán cho xác suất một vị trí nỗi bật hơn so với chương trình của quá khứ NgayPISA cũng xem tính không chắc chắn là một trong bốn ý tưởng bao quát nộidung toán giảng dạy ở các nhà trường phổ thông trên thế giới.

Việc tăng cường và làm làm rõ mạch ứng dụng toán học được coi làmột trong những quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy họcmôn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn như: Một số yếu tố về thống kê mô

tả, Lí thuyết tổ hợp, Xác suất, “Các vấn đề về phương pháp và kĩ thuật tínhtoán, lí thuyết tối ưu, tổ hợp, xác suất được đưa vào một cách tường minh hay

ẩn tàng là nhằm mục đích giới thiệu mặt “tính toán” của Toán học hiện đạikhi áp dụng giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của cuộc sống thựcvốn đã khác xa những vấn đề thực tiễn của các giai đoạn trước, các giai đoạn

mà các nhà toán học xây dựng và phát triển lí thuyết về phương trình, về hàm

số, về phép tính vi phân và tích phân” [29, tr 246]

Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới làtăng cường thực hành ứng dụng cho học sinh Vì vậy đa số các nước trên thếgiới đã có sự thống nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức cónhiều ứng dụng như Thống kê toán và Lí thuyết xác suất Nội dung dạy học

đó thường bao gồm những vấn đề:

- Các yếu tố của Thống kê mô tả

- Một số yếu tố của Giải tích tổ hợp; và một số yếu tố của Lí thuyết xácsuất

Theo Nguyễn Bá Kim thì: “Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại cónhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho họcsinh Bởi vậy, ngay từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, những kếtquả nghiên cứu của các nhà toán học và sư phạm trên thế giới đã khẳng địnhmột số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào

học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của cáclĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông” [17, tr 248].

Vũ Đình Hoà khẳng định: “Sự chuyển hướng xây dựng Toán họchiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp được mở ra ở cuối thế kỉ XIX.Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyếttính toán với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toántrong hình học tổ hợp , ” Các bài toán Tổ hợp “là một bộ phận quantrọng của toán học có nội dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thựctiễn khoa học kĩ thuật cũng như trong đời sống hàng ngày của chúng ta”

Và “Ngày nay, trong các kì thi quốc gia và quốc tế thường không vắngbóng các bài toán tổ hợp, nhất là trong các kì thi học sinh giỏi Toán Thôngthường đây là các bài toán khó không chỉ đối với học sinh Việt Nam mà cảvới học sinh quốc tế nói chung.” [11, tr 3]

Từ trước những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu củaB.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà sư phạm và toán học Xô Viết khác

đã thu được những kết quả đáng chú ý sau đây:

- Đã khẳng định được sự cần thiết của việc đưa các yếu tố của Thống

kê toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trường phổ thông

- Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trường phổthông là: “Phát triển có hệ thống ở học sinh những tư tưởng về sự tồn tại trong

tự nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiênnhiên của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt Đó chính là nhữngquy luật thống kê.”

- Việc hình thành cho học sinh một hệ thống nguyên vẹn những tri thứcthống kê - xác suất phải được phối hợp thực hiện trong những giờ học của cácmôn học khác [15, tr 37] Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất làgóp phần tạo lập được trong tư tưởng của học sinh một bức tranh gần đúng của

thế giới hiện thực, để tận dụng khả năng của Lí thuyết xác suất trong sự nghiệpgiáo dục và đào tạo thế hệ trẻ, từ đó góp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinhbước vào cuộc sống lao động và học tập sau này Việc dạy học Xác suấtphải tạo điều kiện cho học sinh vượt ra ngoài khuôn khổ của quyết địnhluận cơ học, hình thành cho các em những tư tưởng về biến cố ngẫu nhiên

và xác suất, về mối quan hệ biện chứng giữa tất nhiên và ngẫu nhiên; chẳnghạn: “Khi một hiện tượng xảy ra một cách ngẫu nhiên thì ta có thể coi đó làtín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa biết đến,hoặc mới biết nửa vời Cho nên người ta thường nói “cái tất nhiên bộc lộ rabên ngoài cái ngẫu nhiên” [34, tr 109]

c Vai trò của chủ đề tổ hợp Xác suất

Nhờ có trình độ trừu tượng cao và có đối tượng nghiên cứu là các quyluật thống kê - những quy luật phổ biến trong hiện thực khách quan - Xác suấtthống kê đã thâm nhập vào mọi hoạt động thực tiễn của con người “Tư duy líluận - Xác suất xâm nhập một cách có hệ thống vào tất cả các lĩnh vực hoạtđộng Phong cách tư duy vốn có của Lí thuyết xác suất và các kết quả của nó

là cần thiết cho người nghiên cứu và cho kĩ sư, cho nhà kinh tế, cho nhà yhọc, cho nhà ngôn ngữ học và cho người tổ chức nền sản xuất: Cách tiếp cậnthống kê đối với những hiện tượng tự nhiên, đối với những vấn đề kĩ thuật vàkinh tế là cần thiết cho tất cả các chuyên gia” [17, tr 247]

Tuy nhiên, ngay cả giữa thế kỉ 20 vẫn có khi các nhà toán học còn phải bảo

vệ Lí thuyết xác suất trước các buộc tội về tính phi khoa học của nó trong một sốứng dụng Chẳng hạn, “trong thời kì những năm 30 - 40 của thế kỉ 20 tại Liên Xô

là giai đoạn tấn công vào di truyền học, một ngành mà nhiều quy luật của nó dựatrên Lí thuyết xác suất, trong nhiều tờ báo và các ấn phẩm giả khoa học đã xuấthiện những khẩu hiệu như “khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên” và “thiên nhiênkhông chơi trò gieo xúc xắc” Nhà bác học Nga A.N.Khinshin, người đã phát

minh nhiều kết quả xác suất trong Lí thuyết xác suất đã nói về khẩu hiệu thứ nhấtnhư sau “Vâng điều đó đúng - Khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên, nhưng ta phảinghiên cứu kẻ thù, và chính Lí thuyết xác suất làm việc đó”[40, tr 15].

Lí thuyết xác suất, “sau khi sinh ra như là một ngành khoa học “ứngdụng” đặc biệt, có liên quan đến sự hiểu biết trò chơi đánh bạc, sau khi trải quathời kì phát triển của các phương pháp thống kê “ngây thơ”, sau khi thu nhậnđược cơ sở toán học vững chắc và ngôn ngữ của lí thuyết Metric các hàm, Líthuyết xác suất ở dạng hiện đại đã trở thành một ngành toán học đa diện bao gồm

cả chiều sâu lí luận, lẫn nội dung ứng dụng” [35, tr 26] Cho đến nay, nó đã trởthành một khoa học có trình độ lí luận sâu sắc và phạm vi ứng dụng rất rộng rãi

Lí thuyết xác suất đã trở thành công cụ đắc lực để nhận thức và cải tạo thế giới

Vai trò của Tổ hợp và Xác suất trong hoạt động thực tiễn của loàingười Chẳng hạn, giả sử trong một chuyến bay trong vũ trụ, ta cần thực hiện

n loại công việc nào đó (chẳng hạn sửa chữa các công việc khác nhau, quansát thiên văn, các thí nghiệm sinh học và vật lí ) Để thực hiện chuyến bayngười ta chon m ứng viên đã qua các tập luyện cần thiết Mỗi ứng viên có thểthực hiện một số trong các công việc đòi hỏi Nhưng số thành viên tham giachuyến bay được giới hạn rất ngặt Vì vậy phát sinh câu hỏi: có thể chọn tốithiểu bao nhiêu người trong m ứng viên để nhóm đó có thể thực hiện tất cảcác nhiệm vụ đặt ra? Bài toán này là một trong những trường hợp riêng củabài toán tổ hợp về cực trị bài toán phủ

“Thống kê toán và Lí thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết cácngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kĩ thuật, vào quản lí kinh tế và

tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người laođộng: kĩ sư, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân, ” [35, tr 29] V.I Lenin

đã đánh giá cao giá trị của thống kê, Người đã dạy rằng: “Thống kê kinh tế - xãhội là một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội”

Năm 1993, UNESCO đã tổng kết phong trào cải cách giáo dục Toánhọc trên thế giới và nêu rõ rằng xác suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sauđây để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở phổ thông (trong phạm vi quốctế): tập hợp, số, biến thiên, quan hệ và hàm số, đo đạc, không gian và quan hệkhông gian, phép chứng minh, cấu trúc, xác suất.

Lí thuyết xác suất là một trong những môn của Toán học ứng dụng, sauđây là một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất:

- Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử, phươngpháp động lực học là bất lực mà phải sử dụng phương pháp Thống kê - Xác suất

- Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học Và hiệnnay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương phápThống kê xác suất

- Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và điều khiểnnền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn

1.2.2 Chuẩn kiến thức, kĩ năng Tổ hợp - Xác suất

Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thông: coitrọng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trìnhtinh giản, giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản vàthiết thực, tích hợp được nhiều mặt giáo dục Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩnăng tương ứng cần truyền thụ cho học sinh trong chương này như sau:

Về Tổ hợp: Học sinh được học về quy tắc nhân, quy tắc cộng; các kháiniệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; công thức nhị thức Niu-tơn và tam giác

Pa - xcan Các kĩ năng tương ứng với nội dung kiến thức trên cần đạt đượclà:

- Biết vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, các công thức tính số hoán

vị, số tổ hợp, số chỉnh hợp để giải các bài toán tổ hợp

- Biết tính bằng số các biểu thức có chứa tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

- Biết tính các hệ số của k x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

(ax b+ )n ; các hệ số của k l x y trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (ax by+ )n

và giải các bài toán có liên quan

- Trình bày rõ ràng mạch lạc các lập luận khi giải một bài toán tổ hợp

Về Xác suất: Học sinh được làm quen với phép thử, không gian mẫu,các biến cố liên quan với phép thử; các phép toán trên biến cố; định nghĩa cổđiển và định nghĩa thống kê của xác suất; các quy tắc cộng và nhân xác suấttrong trường hợp các biến cố độc lập; khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc vàbảng phân phối của chúng; các công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệchchuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc và ý nghĩa của chúng Kĩ năng tương ứngcần rèn luyện cho học sinh là:

- Biết vận dụng kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổđiển của xác suất

- Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một sốbài toán xác suất đơn giản

- Biết lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

- Biết tính các xác suất liên quan tới biến ngẫu nhiên rời rạc từ bảngphân bố của nó

- Biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫunhiên rời rạc

1.2.3 Các dạng toán Tổ hợp - Xác suất

Khi đứng trước một bài toán có bao giờ chúng ta tự hỏi “Bài toán nàythuộc kiểu gì?” Đây không hoàn toàn là một câu hỏi vô bổ mà ngược lại, nêucâu hỏi như vậy có thể có ích, bởi lẽ nếu trả lời được câu hỏi này ở một chừngmực nhất định có nghĩa là ta đã xếp được bài toán này vào một loại nào đó,đối chiếu bài toán với đoạn này đoạn kia đã từng được biết đến trong sách

giáo khoa hoặc trong quá trình giải toán, thì như vậy chúng ta đã tiến thêmmột bước, hãy nhớ lại phương pháp giải các bài toán kiểu đó mà ta đã nghiêncứu trước đây.

Điều này không chỉ đúng cho những bài toán giản đơn mà còn đúng vớiviệc giải mọi bài toán ở bất kỳ độ phức tạp nào Câu hỏi nói trên sẽ dẫn đếnmột câu hỏi tiếp theo “Có thể sử dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểunày?” Và những câu hỏi tương tự như thế cứ lần lượt xuất hiện cho đến khiđiều bí mật được hé mở

Việc phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theotừng kiểu, có thể giúp ích ta khi giải toán Một sự phân loại tốt phải chia các

bài toán thành những kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trước một

phương pháp giải.

a) Các dạng bài tập về chủ đề Tổ hợp

i) Bài toán đếm

Đây là các bài toán nhằm trả lời cho câu hỏi “ có bao nhiêu cấu hình thoả

mãn điều kiện đã nêu?” Phương pháp đếm thường dựa vào một số nguyên lý

cơ bản và một số kết quả đếm các cấu hình đơn giản Bài toán đếm được sửdụng trong việc tính toán xác suất và một số lĩnh vực khác

Đặc trưng của bài toán đếm: Bài toán được cho bằng lời, các vấn đề mà bài

toán nhắm đến là các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày Các đốitượng của bài toán là hữu hạn và rời rạc

Một số phương pháp và công cụ đếm:

- Nguyên lý bù trừ được giới thiệu để giải một số bài toán mà việc đếm trực

tiếp các kết quả là khó khăn

- Phương pháp quy về các bài toán đơn giản: phân hoạch thành những bàitoán nhỏ hơn bằng cách chia việc đếm thành từng lớp để áp dụng nguyên lý

cộng hoặc phân tích cấu hình đếm như là việc ghép một số cấu hình khác để

có phần tử chung thì A B∪ = +A B Tuy nhiên quy tắc cộng trong SGK

được trình bày dưới dạng mô tả: Giả sử một công việc có thể được thực hiệntheo phương án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và mcách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi

n + m (cách)

Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu nhưsau: Giả sử một công việc được thức hiện theo một trong k phương án A1, A2,

…, Ak Có n1 (cách) thực hiện phương án A1, có n2 (cách) thực hiện phương

án A2, … và có nk (cách) thực hiện phương án Ak Khi đó công việc có thểthực hiện bởi n1 + n2 + …+ nk (cách)

Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau:

Cho tập hợp hữu hạn A1, A2, …, An (n ≥ 2) với số phần tử theo thứ tự là |A1|, |

A2|, …, |An| Thế thì ta có

|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| = |A1| + |A2| + … + |An|

Ta chứng minh quy tắc cộng dựa vào phương pháp chứng minh quy nạp toánhọc

- Nếu n = 2, thì vì A1 ∩ A2 = Ø, nên theo định nghĩa phép cộng số tự nhiên,

Theo giả thiết quy nạp toán học, quy tắc cộng là đúng

Ví dụ 1 Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc Nhà

trường quyết định chọn một học sinh tiên trong lớp 11A hoặc lớp 12B Hỏinhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiêntiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?

Giải: Công việc: Chọn 1 học sinh đi dự trại hè

Công việc có thể thực hiện 1 trong hai phương án (quy tắc công) sau:

Phương án 1: Chọn 1 học sinh tiên tiến lớp 11A, có 31 (cách)

Phương án 2: Chọn 1 học sinh tiên tiến lớp 12B, có 22 (cách)

Theo quy tắc cộng, có cả thảy: 31 + 22 = 53 (cách)

- Đếm số cấu hình được xây dựng theo nhiều bước (quy tắc nhân)

Quy tắc nhân:

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A cóthể thực hiện theo n cách Với công đoạn B có thể thực hiện theo m cách Khi

đó công việc có thể thực hiện theo n.m (cách)

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2,…, Ak Công đoạn

A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,

…, công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách Khi đó công việc có thểthực hiện theo n1 n2 …nk (cách)

Ta có thể phát biểu quy tắc nhân dưới dạng sau:

| A x B| = = |A1| + |A2| + … + |Am| = m.k = |A| |B|

Vậy |A x B | = |A|.|B|

Bây giờ ta chứng minh trường hợp n tập hợp

- Với n = 2, ta thấy công thức là đúng

- Với giả thiết công thức là đúng khi n = k ( k ≥ 2) ta sẽ chứng minh nó đúngkhi n = k + 1, tức là

|A1 x A2 x … x Ak x Ak +1 | = |A1|.|A2| … |Ak|.|Ak +1|

Thật vậy, xét một phần tử bất kì (a1, a2, …, ak, ak +1) của tích Đề các A1 x A2 x

… x Ak x Ak +1 Đặt α = (a1, a2, …, ak) Hiển nhiên giữa tập hợp các bộ có

dạng (a1, a2, …, ak, ak +1) và tập hợp các bộ có dạng (α , ak+1) có một tương ứng

1-1 Vậy có bao nhiêu bộ (a1, a2, …, ak, ak +1) thì có bấy nhiêu cặp (α , ak+1).

Nếu ta kí hiệu tập hợp tất cả các α là A, thì có thể nói rằng tập hợp

A1 x A2 x … x Ak x Ak +1 có bao nhiêu phần tử thì tập hợp A x Ak+1 có bấynhiêu phần tử, tức là

|A1 x A2 x … x Ak x Ak +1 | = |A x Ak+1|

Theo chứng minh trên, ta có |A x Ak+1| = |A| | Ak+1|

Theo cách dựng thì A chính là tích Đề các A1 x A2 x … x Ak Áp dụng giảthiết quy nạp, ta có

|A| | Ak+1| = |A x Ak+1| =( |A1 x A2 x … x Ak|)(| Ak+1|)

= |A1|.|A2| … |Ak|.|Ak +1|

Vậy

|A1 x A2 x … x Ak x Ak +1 | = |A1|.|A2| … |Ak|.|Ak +1|

Theo nguyên lí quy nạp toán học, ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng ô tô, tàu hoả, tàu thuỷ hoặc máy

bay Từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng ô tô hoặc tàu thuỷ Muốn đi từ A đến

C, bắt buộc phải đi qua B Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C?

Công việc: Đi từ tỉnh A đến tỉnh C

Công việc thực hiện trải qua 2 công đoạn (quy tắc nhân):

Công đoạn 1: Đi từ tỉnh A đến tỉnh B, có 4 cách đi

Công đoạn 2: Đi từ tỉnh B đến tỉnh C, có 2 cách đi

Theo quy tắc nhân, có 4.2 = 8 cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C

- Đếm số cấu hình là hoán vị

Tính số hoán vị Pn (số hoán vị của tập hợp n phần tử)

Pn = n! = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

Ví dụ 40: 5! = 5.4.3.2.1 = 120, 3! = 3.2.1 = 6

Ví dụ 3: Một nhóm học sinh gồm có n nam và n nữ đứng thành hàng ngang.

Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẻ nhau

Giải: Có hai trường hợp (quy tắc cộng)

Trường hợp 1: Nam đứng đầu hàng, có

n.n.(n-1).(n-1)….2.2.1.1= n.(n-1)….2.1.n.(n-1)….2.1 = n!.n! = (n!)2 (cách)Trường hợp 2: Nữ đứng đầu, có (n!)2 (cách)

Theo quy tắc cộng có: (n!)2 + (n!)2 = 2.(n!)2 cách sắp xếp nam, nữ đứng xen

2 ).(

1 (

2 ).(

1 (

k n k n n

n n k

8 9 10

! 6

! 6 7 8 9 10

! 6

! 10 )!

! 2

! 2 3 4 5

! 2

! 5 )!

Ví dụ 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

trong đó không có chữ số nào lặp lại?

Giải: Các số tự nhiên thoả mãn bài toán có 5 trường hợp (quy tắc cộng) sau:Trường hợp 1: Số tự nhiên có 5 chữ số

Từ 5 chữ số đã cho có thể lập được 5! (số) Các số này cho tất cả các số có 5chữ số bao gồm cả những số bắt đầu bằng chữ số 0

16 ,

4

2 5

3 5 3

5 = A = =

2

4 5 1 2

!.

3

! 3 4 5

! 2

!.

3

! 5 )!

3 5 ( 3

! 5

Ví dụ 7 : Giải bóng đá vô địch quốc gia Anh có 20 đội bóng tham gia thi đấu.

Thể thức cuộc thi là thi đấu vòng tròn hai lượt đi và về tính điểm Hỏi phải tổchức bao nhiêu trận đấu?

Giải: Cách 1: Sử dụng tổ hợp

Ở mỗi vòng đấu, mỗi trận đấu là một cặp đấu không thứ tự (tổ hợp) giữahai đội bóng Như vậy, mỗi trận đấu là một tổ hợp chập 2 của 20 phần tử Sốtrận đấu (số tổ hợp) ở mỗi vòng đấu là: 2

Cách 2: Nếu học sinh chưa học tổ hợp có thể giải theo cách sau:

Ở mỗi vòng đấu, mỗi đội bóng sẽ đấu với 19 đội còn lại, mà có 20 đội bóngnên có 20.19 (trận đấu) Làm như vậy thì mỗi trận đấu được tính làm 2 lần (vìđội bóng A đấu với đội bóng B cũng giống như đội bóng B đấu với đội bóng

A chỉ là 1 trận) do đó thực sự chỉ có:

2

19 20

(trận) Giải đấu diễn ra hai vòng

nên số trận đấu của giải là:

2

19 20

.2 = 20.19 = 380 (trận)

- Đếm số cấu hình là hỗn hợp của nhiều cấu hình cơ bản

Khi phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đểgiải các bài toán, giáo viên cần chú ý cho học sinh các đối tượng đếm không

bị trùng lặp Học sinh cần được tiếp xúc với những bài toán dễ mắc sai lầm

Vì có thường xuyên tiếp xúc với sai lầm mới sửa chữa được sai lầm Quanđiểm này cũng phù hợp với quan điểm của J Piaget: “ Chỉ có sự hoạt độngđược giáo viên thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự

do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sựđộc lập về mặt trí tuệ” (dẫn theo GRENOBLE) Giáo viên phải biết đặt mìnhvào vị trí học sinh, hình dung và bình luận các sai lầm mà học sinh thườngmắc phải, biết xoay chuyển hướng suy nghĩ khi gặp khó khăn, chứ không phải

đột nhiên đưa ra lời giải đúng Thông qua sự quan tâm, theo dõi giáo viên sẽphân loại được sai lầm, tiên lường được những sai lầm khi nó bắt đầu xuấthiện Sai lầm hay gặp ở phần này là học sinh không phân biệt được quy tắcnhân, quy tắc cộng; chỉnh hợp và tổ hợp Giáo viên cần đặt ra các câu hỏi dựavào dấu hiệu đặc trưng

Ví dụ như: Công việc ở bài toán này là gì?

Công việc được thực hiện bởi bao nhiêu phương án? Là những phương án nào? Phương án có bao nhiêu cách chọn?

Công việc được thực hiện bởi mấy công đoạn? Đó là những công đoạn nào? Công đoạn này có bao nhiêu cách chọn?

Việc chọn này có thứ tự hay không thứ tự?

Ví dụ 8: Một ban chấp hành gồm 7 người, cần cử ra một ban thường vụ 4

người gồm: Bí thư, Phó bí thư và 2 Uỷ viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Phân tích:

Giáo viên đặt câu hỏi: Công việc là gì?

Câu trả lời mong đợi: Lập một ban thường vụ gồm 4 người trong đó có 1 bíthư, 1 phó bí thư và 2 uỷ viên

Giáo viên: Công việc được thực hiện bởi bao nhiêu phương án, bao nhiêucông đoạn?

Câu trả lời mong đợi: Công việc được thực hiện bởi 3 công đoạn (dấu hiệudùng quy tắc nhân)

Giáo viên: Đó là những công đoạn nào? Mỗi công đoạn có bao nhiêu cáchchọn

Câu trả lời mong đợi: Công đoạn 1: Chọn 1 bí thư, có 7 cách chọn (chọn 1người trong 7 người)

Công đoạn 2: Chọn phó bí thư, có 6 cách chọn (chọn 1 người trong 6 ngườicòn lại)

Công đoạn 3: Chọn 2 uỷ viên, có 2

Câu trả lời mong đợi: 2 (công đoạn)

Công đoạn 1: Chọn 2 người 1 làm bí thư , 1 làm phó bí thư, có 2

7

A cách (chọn

2 người trong 7 người, có quan tâm đến thứ tự nên dùng chỉnh hợp)

Công đoạn 2: Chọn 2 người làm uỷ viên, có 2

5

C cách (chọn 2 người trong 5người còn lại, không quan tâm thứ tự nên ta dùng tổ hợp)

Theo quy tắc nhân, ta có: 2 420

5

2

7 C =

ii) Bài toán liệt kê: bài toán này quan tâm đến tất cả cấu hình có thể có được.

Cụ thể là cần phải chỉ rõ những cấu hình tổ hợp đó là những cấu hình nào,cũng như việc sắp xếp và liệt kê các cấu hình theo thứ tự cần thiết Vì vậy, đểgiải bài toán này, thuật toán “ vét cạn” tất cả các cấu hình được sử dụng

Ví dụ 9: Gieo đồng thời 3 con xúc sắc Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra mà

tổng số chấm trên mặt xuất hiện của 3 con xúc sắc là 9?

Còn tập {3, 3, 3} có 1 (khả năng)

Vậy có cả thảy: 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 25 (khả năng)

iii) Bài toán tồn tại: ở bài toán này, việc “có hay không có” cấu hình còn là

điều nghi vấn Đây là một bài toán khó của Đại số tổ hợp, vì việc chỉ ra mộtcách xây dựng cấu hình, hoặc chứng minh rằng chúng không có là điều khôngđơn giản

iv) Bài toán tối ưu: là bài toán lựa chọn trong số các cấu hình tổ hợp chấp

nhận được cấu hình có giá trị sử dụng tốt nhất

v) Bài toán sử dụng công thức nhị thức Niu tơn

Tính hệ số trong khai triển nhị thức Niu- tơn

Ví dụ 10: Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200

Giải: (2x-3y)200

= (2x+(-3y))200

=C k x −k − x k =C k −k x −k − k y k =C k 200 −k − k x200 −k y k

200 200

200 200

99 99

1007 2015

1 (

) 2 2 ( )!

2 ( ) 1 )(

2 2 ( )!

2 ( 2

1 )!

1 ( )!

1 (

) 1 ( )!

2 ( )!

1 ( )!

2 ( )!

1 ( )!

1 (

)!

2 (

+ +

+ +

= +

+

+ +

+

= +

− +

=

+ −

n n

n n n n

n n n

n

n n n n

n n

n

n n

n

n C

n

n

n

= 1

2 2

2

1 )!

1 (

n

C n

1 1

2

1 2014

2

1 2014 2

1 ) (

2

x x

x x

Bằng quy nạp, ta có xn=( − 1 )n C2014n x0

Vậy, S = 2 2 ( 1 ) ( 1 2 ) 2014 0 2014

0 2014

0 20140

C x

x

n

n n n

n n

kC ta lấy đạo hàm 1 lần nhị thức Niu- tơn

Ví dụ 15: Tính tổng

n n n

C k

k( 1 ) ta lấy đạo hàm 2 lần nhị thức Niu- tơn

Ví dụ 16: Chứng minh hệ thức

2 3

1 2014

0

2014

2015

1

3

1 2

1

C C

k k

C

) 2 )(

1 ( ta lấy tích phân 2 lần

Ví dụ 18: Tính P=

2016 2015

2

5 4

2 4 3

2 3 2

2 2 1

2014 2014 3

2014 3 2

2014 2 1

2014 1 0

2014

+ +

− +

−

b) Các dạng bài tập chủ đề Xác suất

i) Đếm số phần tử của biến cố, không gian mẫu

Ví dụ 19: Gieo hai con xúc sắc cân đối đồng chất Mô tả không gian mẫu, tìm

số phần tử của không gian mẫu?