Rèn luyện kĩ năng giải toán tổ hợp, xác suất ở trường phổ thông cho học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LUYỆN VĂN THÀNH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Nghệ An, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LUYỆN VĂN THÀNH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Chiến Thắng 1 Lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn khoa học của Thầy giáo TS. Nguyễn Chiến Thắng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới Thầy - ngời đã trực tiếp tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành Luận văn. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán, trờng Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn. Tác giả xin gửi tới tất cả ngời thân, bạn bè, đồng nghiệp lòng biết ơn sâu sắc, những ngời đã cổ vũ động viên tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa. Tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc. Nghệ An, tháng 10 năm 2014. Tỏc gi 2 MỤC LỤC Lời cảm ơn……………………………………………… …………………1 Mục lục……………………………………………………… …………… 2 Bảng kí hiệu các chữ cái viết tắt …………………………… ………… 4 LUYỆN VĂN THÀNH 1 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 1 Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH 1 LUYỆN VĂN THÀNH 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 2 Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH 2 Bảng ký hiệu các chữ viết tắt THPT Trung học phổ thông PPDH Phương pháp dạy học GQVĐ Giải quyết vấn đề SGK Sách giáo khoa TN Thực nghiệm ĐC Đối chứng HS Học sinh GV Giáo viên 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Lý thuyết xác suất là ngành Toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng, tính toán Xác suất của một biến ngẫu nhiên. Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pa- xcan (1623-1662) và Phéc-ma (1601-1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pa-xcan. Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở thành một ngành Toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …Đại số Tổ hợp xuất hiện vào thế kỉ XVII. Trong một thời gian dài, nó nằm ngoài hướng phát triển chung và những ứng dụng của toán học. Sau khi máy tính điện tử ra đời và tiếp sau đó là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn. Ngày nay phương pháp Tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết Xác suất với vai trò là công cụ tính xác suất, trong thống kê, trong quy hoạch toán học, trong hình học hữu hạn, hình học tổ hợp, trong lý thuyết biểu diễn nhóm, lí thuyết các đại số không kết hợp, … 1.2. Chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trình giải tích bậc THPT là chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới. Vì vậy, việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng những khó khăn nhất định. Thế nhưng, việc dạy học Tổ hợp - Xác suất ở Việt Nam dường như lại bị coi nhẹ. Thực tế cho thấy nhiều giáo viên còn lúng túng trong thực hành giảng dạy, thậm chí có những quan điểm sai lầm về mục đích dạy học Tổ hợp - Xác suất. Dường như việc dạy học chỉ giới thiệu cho học sinh những kiến thức hình thức chứ không phải là giúp học làm chủ kiến thức này để có thể sử dụng chúng trong cuộc sống. 4 1.3. Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác. Để học tốt chủ đề Tổ hợp - Xác suất, người học không những phải lĩnh hội được một khối lượng kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, các tình huống cụ thể. Như vậy mới gọi là nắm vững và hiểu thấu đáo môn học. 1.4. Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập đa dạng, phong phú để rèn luyện kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh. Khi đó, học sinh hiểu biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. Không những vậy mà thông qua việc giải các bài tập toán còn giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo. Giúp học sinh hiểu biết hơn về lĩnh vực Tổ hợp - Xác suất là góp phần cho các em say mê môn toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung. Hiện nay chưa có công trình nào nghiên cứu một cách có hệ thống về việc rèn luyện kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này. Vì những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh” 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trình phổ thông và việc giải toán Tổ hợp - Xác suất, từ đó xây dựng một số biện 5 pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Tìm hiểu một số vấn đề về kĩ năng. 3.2. Làm rõ thêm nội dung chủ đề Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông và kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này. 3.3. Đề xuất ra các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh. 3.4. Thực nghiệm sư phạm để xem tính khả thi và hiệu quả của các phương pháp đề xuất. 4. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở phân tích nội dung, đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất, nếu xây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp thì có thể rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao kĩ năng giải toán và chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông. 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu, sách báo về triết học, tâm lí học và PPDH, định hướng đổi mới PPDH Toán và các SGK và SBT Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao hiện hành), các luận án, luận văn liên quan. 5.2. Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về việc dạy học Tổ hợp - Xác suất và việc rèn luyện kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này ở trường phổ thông hiện nay. 5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp. 6. Đóng góp luận văn 6.1. Về mặt lí luận: 6 Góp phần làm rõ thêm lí luận về kĩ năng giải toán khi dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất. 6.2.Về mặt thực tiễn: + Đề xuất được các phương pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh. + Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho các GV dạy toán ở trường THPT. 7. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 7 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề về kĩ năng giải toán 1.1.1. Kĩ năng “Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì” [1, tr.584]. Theo tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiến xác định. Nếu tạm thời tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”. Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin kiến thức thuần tuý và một phần là kĩ năng”. Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi người để đạt được mục đích. Kĩ năng còn có thể đặc trưng như một thói quen nhất định và cuối cùng kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp. “Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực tiễn các chứng minh đã nhận thấy được. Kĩ năng trong Toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần tuý, so với thông tin trơn”. [39, tr.99]. Trong thực tế dạy học ta thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, các định lí, quy tắc, không trở thành cơ sở của kĩ năng. Muốn hình thành được kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lí của nhà trường phổ thông là: ”Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”. 8 1.1.2. Kĩ năng giải toán “Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận và chứng minh)”[4, tr.12]. Để thực hiện tốt môn toán ở trường THPT, một trong những yêu cầu đặt ra là: “Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng. Chẳng hạn: tri thức và kĩ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức, kĩ năng chứng minh Toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm…”[18, tr.41]. Cần chú ý là tuỳ theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng khác nhau. 1.1.3. Phân loại kĩ năng trong môn toán: Có nhiều cách phân loại kĩ năng. Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bản thành 4 nhóm: a) Kĩ năng nhận thức: Kĩ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ năng nắm một khái niệm, định lý; kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, … b) Kĩ năng thực hành: Trong môn Toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế. c) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức. d) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá. [...]... Nhóm kĩ năng thực hành + Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải Toán + Kĩ năng tính toán + Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc, vẽ hình, chính xác, rõ ràng + Kĩ năng ước lượng đo đạc + Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn Nhóm kĩ năng về tư duy + Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán + Kĩ năng tổng hợp + Kĩ năng phân tích + Kĩ năng mô... - Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán - Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn khoa học khác - Kĩ năng vận dụng tri thức vào trong đời sống” [17, tr 19] Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán học trong nhà trường phổ thông Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kĩ năng. .. giải Toán, học sinh cần có nhóm kĩ năng chung sau: + Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán; + Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán; + Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải; + Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán; 18 + Kĩ năng thu nhận hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của người giải toán Ngoài ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ...9 Xét kĩ năng toán học trên 3 bình diện: Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống 1.1.4 Đặc điểm của kĩ năng giải toán Khái niệm kĩ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau: - Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức Bởi vì, cấu trúc của kĩ năng là: hiểu... những tri thức và rèn luyện kĩ năng, vì kĩ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động - Kĩ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: kiến thức, kĩ năng, phương pháp 1.1.5 Vai trò của kĩ năng giải toán Môn Toán được coi là một môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của nó trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trường phổ thông, vì vậy... Lời giải phải có cơ sở lý luận - Lời giải phải đầy đủ - Lời giải đơn giản nhất 15 d) Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán Trong dạy học giải Toán, kĩ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kĩ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các kĩ năng biến đổi bài toán là một thành phần không thể thiếu trong dạy học giải Toán Trong tác phẩm của G Pôlya ông đã đa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán. .. học sinh chỉ biết học thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập 1.1.6 Sự hình thành kĩ năng giải toán Sự hình thành kĩ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập Vì vậy, muốn hình thành kĩ năng cho học sinh, chủ yếu là kĩ năng học tập và kĩ năng giải toán, ... Trong giải Toán thì kĩ năng của học sinh chính là khả năng vận dụng sáng tạo, có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải các bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia thành ba cấp độ: biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể Trong giải. .. quát nội dung toán giảng dạy ở các nhà trường phổ thông trên thế giới Việc tăng cường và làm làm rõ mạch ứng dụng toán học được coi là một trong những quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn như: Một số yếu tố về thống kê mô tả, Lí thuyết tổ hợp, Xác suất, “Các vấn đề về phương pháp và kĩ thuật tính toán, lí thuyết tối ưu, tổ hợp, xác suất được đưa... B.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà sư phạm và toán học Xô Viết khác đã thu được những kết quả đáng chú ý sau đây: - Đã khẳng định được sự cần thiết của việc đưa các yếu tố của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trường phổ thông - Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trường phổ thông là: “Phát triển có hệ thống ở học sinh những tư tưởng về sự tồn tại trong tự nhiên những . 4 LUYỆN VĂN THÀNH 1 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 1 Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC SINH 1 LUYỆN VĂN THÀNH 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP- XÁC SUẤT 2 Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG CHO HỌC. luận về kĩ năng giải toán khi dạy học chủ đề Tổ hợp - Xác suất. 6.2.Về mặt thực tiễn: + Đề xuất được các phương pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông cho học sinh. . về kĩ năng. 3.2. Làm rõ thêm nội dung chủ đề Tổ hợp - Xác suất ở trường phổ thông và kĩ năng giải toán thuộc chủ đề này. 3.3. Đề xuất ra các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất