rèn luyện kỹ năng giải toán tô hợp, xác suất

rèn luyện kỹ năng giải toán tô hợp, xác suất .doc

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Hiện nay vấn đề đổi mới nội dung và chương trình SGK đang được thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn Quốc nhằm đáp ứng mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội” (Văn kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII của Đảng cộng sản Việt Nam). Nghị quyết số 40/2000/QH10, ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốc hội khoá X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định: “Đảm bảo sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục; tăng cường tính liên thông giữa giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáo dục đại học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc dân để tạo sự cân đối về nguồn nhân lực, ” 1.2. Trong sự phát triển của Toán học thì: “Động lực phát triển của Toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan. Một là nguồn bên ngoài do việc cần thiết phải dùng các phương tiện toán học để giải những bài toán nằm ngoài phạm vi của Toán học, các bài toán của khoa học khác, của kĩ thuật, kinh tế, ; chính đây là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử. Nguồn thứ hai là nguồn bên trong do việc cần thiết phải hệ thống hoá các sự kiện toán học đã được khám phá, giải thích các mối quan hệ giữa chúng với nhau, hợp nhất chúng lại bằng các quan niệm khái quát thành lí luận, phát triển lí luận đó theo các quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểm của nó đã dẫn tới chỗ tách toán học thành một khoa học” [22, tr. 17] Tuy vậy “Khó có thể phát biểu một dấu hiệu phân biệt Toán học lí thuyết với Toán học ứng dụng một cách tường minh và rạch ròi, bởi vì mọi ngành Toán học, xét cho cùng, đều được xây dựng và phát triển nhằm giải quyết những vấn 1 đề nào đó của cuộc sống thực, tức là nhằm mục đích ứng dụng trực tiếp hay gián tiếp. Trong lịch sử phát triển của toán học, có rất nhiều công trình nghiên cứu hoặc thành tựu lúc đầu được coi là thuần tuý lí thuyết, về sau hoá ra lại là những công cụ đầy hiệu lực trong các ngành Toán học ứng dụng” [31, tr. 232]. ` 1.3. Trong nhà trường phổ thông việc tăng cường làm rõ mạnh Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống. Bởi vì: “Xã hội đòi hỏi người có học vấn hiện đại không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn, đã lĩnh hội ở trường phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các tri thức mới một cách độc lập; khả năng đánh giá các sự kiện, hiện tượng mới, các tư tưởng một cách thông minh, sáng suốt khi gặp trong cuộc sống, trong lao động và trong quan hệ với mọi người” [50, tr. 5]. 1.4. Xác suất thống kê là một ngành của toán học, nghiên cứu về các hiện tượng ngẫu nhiên mang tính quy luật. Do đó ngành toán học này rất cần thiết với đời sống con người, nhằm khám phá ra các quy luật của tự nhiên và xã hội. Mặt khác, các vấn đề thuộc phương pháp và kĩ thuật tính toán về Lí thuyết tổ hợp và Xác suất áp dụng rất nhiều trong khi giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của đời sống. Sau này, khi học sinh bước vào học các ngành nghề có sử dụng những phương tiện và kĩ thuật của Toán học ứng dụng, học sinh sẽ còn phải học tập và nghiên cứu thấu đáo về cơ sở lí thuyết của các ngành toán học đó. 1.5. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình giải tích THPT là chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới. Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng những khó khăn nhất định. Hơn nữa, người GV tốt nghiệp ĐHSP khi đã từng 2 được học Xác suất thống kê, nhưng có thể nhiều năm sau tốt nghiệp không dùng đến, bởi vậy trong họ chỉ giữ lại một vài ấn tượng mơ hồ về Xác suất thống kê. Trong khi đó những chủ đề khác, chẳng hạn như hàm số, phương trình, bất phương trình, giới hạn, không rơi vào trường hợp như vậy. Về Lí thuyết Xác suất, sẽ được đưa vào dạy trên toàn Quốc vào năm học 2007-2008 trong chương trình Toán lớp 11. Nó cũng đã từng được dạy thí điểm vào một số năm của thập niên 90 cho học sinh chuyên ban lớp 12 và chương trình thí điểm phân ban hiện tại (Trong khi đó, ở nhiều nước trên thế giới, Xác suất đã được dạy từ cấp THCS). Trong các kì thi mang tính chất quyết định thì cho đến thời điểm hiện tại cũng chưa có những bài toán về Xác suất. Ít ra thì phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất. Điều này trong một chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ. 1.6. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán Tổ hợp luôn là một dạng toán khó đối với học sinh. Chẳng hạn, học sinh thường lúng túng không biết khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp. Khi bắt tay vào giảng dạy Xác suất, nhiều giáo viên chưa hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần này. Trong khi đó không nhiều GV ý thức được sự cần thiết phải dạy Tổ hợp và Xác suất ở chương trình phổ thông. Dường như đối với họ sự tuân thủ chương trình của bộ đề ra là vấn đề quan trọng, còn vì sao chương trình phải có phần này thì họ không quan tâm lắm. Để dạy, học Tổ hợp và Xác suất có hiệu quả, đòi hỏi người GV phải đề ra được những biện pháp hợp lí về cách thức lựa chọn nội dung và phương pháp. Trong lần thí điểm chuyên ban trước đây ở Việt Nam, cũng như trong nhiều công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục trên thế giới, đã xuất hiện những phương án đưa Xác suất vào trường phổ thông. Tuy nhiên giữa các nghiên cứu còn có sự sai khác nhất định, điều này nói lên rằng: Dạy những gì về Tổ hợp và Xác suất, dạy để làm gì và dạy như thế nào? là những câu hỏi đã và 3 đang được nhiều người quan tâm. Tuy nhiên chưa có một phương án duy nhất tối ưu. Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Nghiên cứu một số vấn đề về mục đích, nội dung và phương pháp dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong môn Toán trường THPT” 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp và Xác suất được trình bày trong một số SGK (những năm trước đây và hiện tại); đồng thời nghiên cứu chủ đề này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phương pháp dạy học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Làm sáng tỏ vai trò của Xác suất thống kê với tư cách là khoa học và môn học. 3.2. Phân tích cách trình bày của một số sách giáo khoa về phần Tổ hợp và Xác suất và đưa ra những bình luận cần thiết. 3.3. Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình học chủ đề Tổ hợp và Xác suất. 3.4. Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất 3.5. Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của những đề xuất. 4. Giả thuyết khoa học Trên tinh thần tôn trọng nội dung SGK, nếu thực hiện sự điều chỉnh một cách hợp lí về mặt nội dung và nếu đề ra những phương án phù hợp về việc lựa chọn phương pháp dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất thì sẽ nâng cao được hiệu quả dạy học chủ đề này. 4 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận Điều tra, quan sát Phương pháp thực nghiệm sư phạm 6. Cấu trúc luận văn Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Giả thuyết khoa học 5. Phương pháp nghiên cứu Chương 1. Một số vấn đề về lí luận và thực tiễn của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán trường phổ thông. 1.1. Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết xác suất (với tư cách là khoa học). 1.2. Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán trường phổ thông. 1.3. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình Toán phổ thông ở một số nước trên thế giới. 1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chưong trình Toán phổ thông của Việt Nam hiện tại và những năm vừa qua. 1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất. 1.6. Kết luận Chương 1. Chương 2. Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ đề Tổ hợp và Xác suất. 2.1. Nghiên cứu về mục đích dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác xuất 5 2.2. Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ đề Tổ hợp và Xác suất. 2.3. Kết luận Chương 2. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦAVIỆC ĐƯA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÀO MÔN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG. 1.1.Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết Xác suất (với tư cách là khoa học). Ta biết rằng: “Giới tự nhiên, xã hội loài người và tư duy con người còn rất nhiều điều bí ẩn mà con người, hoặc là hoàn toàn chưa biết gì, hoặc là chỉ mới biết đến mức độ nào đó. Thuộc vào loại “chỉ mới biết đến một mức độ nào đó” là các hiện tượng ngẫu nhiên đã được nghiên cứu. Đó là những hiện tượng xảy ra mà con người không thể dự báo chính xác được do không nắm hết được các quy luật tác động lên các hiện tượng đó. Như vậy ẩn đằng sau cái “ngẫu nhiên” là cái “tất nhiên” mà con người chưa nhận thức hết được. Cùng với sự phát triển của khoa học, có cái “ngẫu nhiên” trở thành “tất nhiên”” [56, tr. 109]. 1.1.1. Đặc điểm cơ bản của Lí thuyết xác suất. 6 Trong mối liên hệ biện chứng với thực tiễn. Thống kê toán và Lí thuyết xác suất đã nảy sinh và phát triển không ngừng. Đặc biệt là vào năm 1933 A.N.Kolmogorov đã đưa ra một hệ tiên đề để xây dựng Lí thuyết xác suất thành một khoa học chính xác và trừu tượng. Với đối tượng nghiên cứu là các quy luật thống kê - một trong hai loại quy luật của hiện thực khách quan: quy luật động lực và quy luật thống kê. Chúng ta hiểu: “Quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại (những biến cố được xét đối với cùng một phép thử nào đó). Nói cách khác quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trong kết quả của việc lặp lại một số lần đủ lớn cùng một phép thử ngẫu nhiên nào đó. Có thể gọi quy luật thống kê là quy luật mà trong đó cái tất yếu hiện ra trong mối quan hệ chặt chẽ với cái ngẫu nhiên” [31, tr. 239]. Ví dụ 1: Gọi T là phép thử: “Gieo 10 lần một đồng xu đồng chất và đối xứng”. Nhiều đợt thực hiện k lần phép thử T (với k đủ lớn), người ta thấy xuất hiện quy luật: “Gọi x i là số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i trong k lần (đủ lớn) thực hiện phép thử T (i = 1,2, ,k), thì mỗi x i riêng lẻ ngẫu nhiên mà có, nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k phép thử T, ta đều thấy: Trung bình cộng ∑ = = k i i x k x 1 1 là bằng hằng số 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể”. Ta thấy quy luật trên là quy luật thống kê dạng đơn giản. Có thể phân tích thêm về quy luật đó như sau: Khi thực hiện k phép thử T (với k đủ lớn), gọi A i là hiện tượng: “số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i thực hiện phép thử T bằng x i ”, chúng ta có A i , với i = 1,2, ,k, là biến cố ngẫu nhiên (ứng với phép thử T). Do đó, ở đây chúng ta có một số đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại là Q = (A 1 , A 2 , A k ). Trên Q nảy sinh hiện tượng tất yếu là: 7 ∑ = = k i i x k x 1 1 luôn luôn bằng 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể (trong hầu hết các đợt thực hiện k phép thử T). Như vậy, quy luật thống kê nói trên đã phản ánh về kết quả trung bình mang tính tất yếu (gọi tắt là kết quả trung bình tất yếu) xuất hiện trên đám đông các biến cố cùng loại. Trên thực tế kết quả tạo lập kết quả trung bình tất yếu này là như sau: Số lần xuất hiện mặt sấp trong kết quả của mỗi lần riêng lẻ thực hiện phép thử T nói chung là khác 5. Tuy nhiên ở lần này thực hiện phép thử T, số lần xuất hiện mặt sấp bé hơn 5, ở lần thứ khác, số lần xuất hiện mặt sấp là lớn hơn 5; Do đó, tính trung bình, số lần xuất hiện mặt sấp trong những lần khác nhau thực hiện phép thử T là bù trừ nhau, và bằng 5. Bởi vậy có thể nói: cái tất yếu là “kết quả trung bình tất yếu” xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại. Quy luật động lực là quy luật phản ánh mối liên hệ nhân quả đơn trị, và có thể diễn đạt dưới hình thức sau đây: “Nếu một tổ hợp các điều kiện cơ bản S nào đó được thực hiện, thì biến cố A chắc chắn sẽ xảy ra” [22, tr. 9]. Đó chính là quy luật vận động hay tương tác của một hoặc một số ít đối tượng hay quá trình được xét độc lập với cái ngẫu nhiên. Tuy nhiên, “Quy luật động lực và quy luật thống kê đều biểu thị những mối liên hệ tất yếu. Nhưng giữa chúng có một sự khác biệt cơ bản, thể hiện ở “cách đối sử” của mỗi loại quy luật đối với cấu trúc bên trong của cái tất yếu được phản ánh trong nội các quy luật đó. Các quy luật thống kê phản ánh cái tất yếu trong cấu trúc của nó, ghi nhận cái tất yếu như là “kết quả trung bình tất yếu” xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại. Do đó trong các quy luật thống kê, tất yếu được hiện ra trong mối liên hệ biện chứng với ngẫu nhiên: “tất yếu xây cho mình con đường xuyên qua đám đông các biến cố ngẫu nhiên, còn ngẫu nhiên bổ sung cho tất yếu là hình thức thể hiện 8 của tất yếu” [22, tr. 15]. Còn quy luật động lực phản ánh cái tất yếu trong “sự đơn giản hoá”, sự bỏ qua cấu trúc bên trong của cái tất yếu. Như đã nói, động lực phát triển của Toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại khách quan. Hai hướng phát triển của Toán học ứng với hai nguồn đó được gọi là hướng ứng dụng và hướng lí thuyết. Đồng thời trong sự phát triển của Toán học theo hai hướng trên, hai khía cạnh của Toán học cũng đã được hình thành: Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng. “Toán học ứng dụng là một khía cạnh của toán học ra đời trong những ứng dụng của nó, có thể quan niệm rằng đó là khoa học về phương pháp giải tối ưu, mà về thực tiễn là chấp nhận được, những bài toán Toán học nảy sinh từ bên ngoài Toán học. Và Toán học lí thuyết là một khía cạnh của Toán học ra đời trong sự phát triển của Toán học theo hướng lí thuyết” [22, tr. 18]. Tuy nhiên, “về nhiều mặt thì Toán học ứng dụng phức tạp hơn Toán học lí thuyết, bởi vì bên cạnh việc có trình độ lí luận sâu sắc, còn cần phải có trình độ hiểu rộng lớn, có óc nhạy bén về ứng dụng, phải nắm được không những cách tư duy suy diễn mà cả cách tư duy hợp lí nữa . . .” [22, tr. 18] Nhắc lại rằng, việc tách Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng chỉ mang tính chất tương đối. Theo cách hiểu hiện nay, phổ biến ở các trường đại học trong và ngoài nước, toán học ứng dụng bao gồm các môn giải tích số, xác suất - thống kê, lí thuyết điều khiển, lí thuyết hệ thống, lí thuyết thuật toán, lí thuyết tối ưu, . . . “Mỗi môn nêu trên nghiên cứu một khía cạnh của những quan hệ số lượng và hình dạng theo phương pháp, công cụ chung của Toán học, nhưng trên một mức độ nào đó. Có thể nói rằng môn này thể hiện những phương pháp và kĩ thuật, công cụ tính toán hiện đại nhất để phân tích thực tại. Đối với nhà trường phổ thông, thuật ngữ Toán học ứng dụng được hiểu là một số yếu tố của phương pháp số, lí thuyết tối ưu và Thống kê - Xác suất.” [31, tr. 232]. 9 Lí thuyết xác suất hiện đại, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề, sử dụng phương pháp toán học để nghiên cứu các mô hình toán học của các quy luật thống kê. Bởi vậy có thể nói, Lí thuyết xác suất hiện đại là một ngành của Toán học lí thuyết có phương pháp nghiên cứu là phương pháp của Toán học lí thuyết. “Tuy nhiên, cần chú ý rằng quá trình phát triển của Lí thuyết xác suất đã bao hàm hai hướng phát triển của Toán học - hướng ứng dụng và hướng lí thuyết. Do đó ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học đa diện, bao gồm cả chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng” [31, tr. 241]. 1.1.2. Vai trò của Lí thuyết xác suất (với tư cách là khoa học) Nhờ có trình độ trừu tượng cao và có đối tượng nghiên cứu là các quy luật thống kê - những quy luật phổ biến trong hiện thực khách quan - Xác suất thống kê đã thâm nhập vào mọi hoạt động thực tiễn của con người. “Tư duy lí luận - Xác suất xâm nhập một cách có hệ thống vào tất cả các lĩnh vực hoạt động. Phong cách tư duy vốn có của Lí thuyết xác suất và các kết quả của nó là cần thiết cho người nghiên cứu và cho kĩ sư, cho nhà kinh tế, cho nhà y học, cho nhà ngôn ngữ học và cho người tổ chức nền sản xuất: Cách tiếp cận thống kê đối với những hiện tượng tự nhiên, đối với những vấn đề kĩ thuật và kinh tế là cần thiết cho tất cả các chuyên gia” [31, tr. 247]. Tuy nhiên, ngay cả giữa thế kỉ 20 vẫn có khi các nhà toán học còn phải bảo vệ Lí thuyết xác suất trước các buộc tội về tính phi khoa học của nó trong một số ứng dụng. Chẳng hạn, “trong thời kì những năm 30 - 40 của thế kỉ 20 tại Liên Xô là giai đoạn tấn công vào di truyền học, một ngành mà nhiều quy luật của nó dựa trên Lí thuyết xác suất, trong nhiều tờ báo và các ấn phẩm giả khoa học đã xuất hiện những khẩu hiệu như “khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên” và “thiên nhiên không chơi trò gieo xúc xắc”. Nhà bác học Nga A.N.Khinshin, người đã phát minh nhiều kết quả xác suất trong Lí thuyết xác suất đã nói về khẩu hiệu thứ nhất 10 [...]... học về Xác suất và Thống kê toán ở năm thứ hai trong giáo trình Toán học II Chủ đề Xác suất và Thống kê toán bao gồm những nội dung sau đây: Giải tích tổ hợp, xác suất của các biến cố sơ cấp, tính độc lập của các biến cố, các định lí cộng và nhân xác suất, đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất, phân phối nhị thức và phân phối chuẩn, phương pháp mẫu, vận dụng Thống kê toán và Lí thuyết xác suất vào... và Xác suất vào môn Toán chương trình phổ thông (với tư cách là môn học) Việc tăng cường và làm làm rõ mạch ứng dụng toán học được coi là một trong những quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn như: Một số yếu tố về thống kê mô tả, Lí thuyết tổ hợp, Xác suất, “Các vấn đề về phương pháp và kĩ thuật tính toán, lí thuyết tối ưu, tổ hợp, xác suất. .. các bài toán có nội dung thực tiễn đã đóng một vai trò chủ đạo và xuyên suốt quá trình dạy học như là những phương tiện để truyền thụ tri thức cũng như thực hành và luyện tập các chủ đề này Nghĩa là, các bài toán có nội dung thực tiễn thể hiện được mục đích kép (vừa lĩnh hội tốt kiến thức, rèn luyện được kỹ năng vừa rèn luyện được thói quen ứng dụng Toán học vào thực tiễn) 1.4 Tổ hợp và Xác suất trong... (1996) Ở đây, nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất được trình bày trong chương cuối sách Giải tích 12, bao gồm: Phần A: Đại số tổ hợp §1 Bộ sắp thứ tự gồm n phần tử §2 Quy tắc cơ bản của phép đếm §3 Hoán vị - Chỉnh hợp §4 Tổ hợp §5 Nhị thức Niutơn Phần B: Xác suất §1 Khái niệm Xác suất 20 §2 Các tính chất của Xác suất §3 Xác suất có điều kiện §4 Liên hệ với một số bài toán về thống kê Tồn tại song song với... thức nhân xác suất suy ra từ công thức (1): “Ta viết công thức nhân xác suất dưới dạng P( A ∩ B) = P( A).P( B / A) (2) gọi là công thức nhân xác suất Ở đây ta thấy sự luẩn quẩn, nếu biết P(B/A) và P(A) thì tính được P( A ∩ B) = P( A).P( B / A) Tuy nhiên, nếu lấy (1) là định nghĩa xác suất điều kiện mà lại lấy (1) để tính P(A ∩ B) thì sẽ rơi vào luẩn quẩn Xác suất điều kiện khác với xác suất không... của biến cố (3 tiết) §5 Các quy tắc tính xác suất (3 tiết) §6 Xác suất có điều kiện (2 tiết) §7 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết) §8 Kỳ vọng, phương sai (1 tiết) - Bộ sách của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), có các bài sau: §1 Quy tắc đếm (2 tiết) §2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (4 tiết) §3 Xác suất của biến cố (4 tiết) §4 Xác suất có điều kiện (3 tiết) §5 Biến ngẫu nhiên... dụng của Lí thuyết xác suất: - Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử, phương pháp động lực học là bất lực mà phải sử dụng phương pháp Thống kê - Xác suất 14 - Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học Và hiện nay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương pháp Thống kê xác suất - Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác suất trong việc tổ... cấp; xác suất của một biến cố được định nghĩa bằng tổng của các xác suất của các biến cố sơ cấp; trường hợp các biến cố sơ cấp đồng khả năng; hai biến cố xung khắc; hợp và giao của hai biến cố; xác suất có điều kiện; sự độc lập của hai biến cố; lược đồ Becnuli; phân phối nhị thức Ở Liên Xô (trước đây): ở các lớp cuối của trường phổ thông trung học, các yếu tố của Giải tích tổ hợp và Lí thuyết xác suất. .. công thức về xác suất điều kiện, hai biến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất; lấy khái niệm này để định nghĩa khái niệm kia, công thức này rút ra từ công thức kia và ngược lại Trong sách Giải tích 12 (1996) Xác suất có điều kiện được định nghĩa trước: “Trong không gian mẫu E, cho hai biến cố A và B, với P(A) > 0 Xác suất có điều kiện của B khi A đã xảy ra là một số kí hiệu bởi P(B/A) và xác định bởi... dung dạy học, và lựa chọn những tri thức có nhiều ứng dụng như Thống kê toán và Lí thuyết xác suất Nội dung dạy học đó thường bao gồm những vấn đề: - Các yếu tố của Thống kê mô tả - Một số yếu tố của Giải tích tổ hợp; và một số yếu tố của Lí thuyết xác suất Theo Nguyễn Bá Kim thì: “Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh . Xác suất và Thống kê toán ở năm thứ hai trong giáo trình Toán học II. Chủ đề Xác suất và Thống kê toán bao gồm những nội dung sau đây: Giải tích tổ hợp,. Niutơn Phần B: Xác suất §1. Khái niệm Xác suất 19 §2. Các tính chất của Xác suất §3. Xác suất có điều kiện §4. Liên hệ với một số bài toán về thống kê Tồn