rèn luyện kỹ năng giải toán tô hợp, xác suất

rèn luyện kỹ năng giải toán tô hợp, xác suất .doc

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Hiện nay vấn đề đổi mới nội dung và chương trình SGK đang được

thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn Quốc nhằm đáp ứng mục tiêu:

“Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ laođộng có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động vàsáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội”

(Văn kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII của Đảng cộng sản Việt Nam).

Nghị quyết số 40/2000/QH10, ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốchội khoá X về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định: “Đảmbảo sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục; tăngcường tính liên thông giữa giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáodục đại học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc dân để tạo sựcân đối về nguồn nhân lực, ”

1.2 Trong sự phát triển của Toán học thì: “Động lực phát triển của

Toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan Một là nguồn bênngoài do việc cần thiết phải dùng các phương tiện toán học để giải những bàitoán nằm ngoài phạm vi của Toán học, các bài toán của khoa học khác, của kĩthuật, kinh tế, ; chính đây là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử Nguồn thứ hai lànguồn bên trong do việc cần thiết phải hệ thống hoá các sự kiện toán học đãđược khám phá, giải thích các mối quan hệ giữa chúng với nhau, hợp nhấtchúng lại bằng các quan niệm khái quát thành lí luận, phát triển lí luận đó theocác quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểm của nó đã dẫn tớichỗ tách toán học thành một khoa học” [22, tr 17]

Tuy vậy “Khó có thể phát biểu một dấu hiệu phân biệt Toán học lí thuyếtvới Toán học ứng dụng một cách tường minh và rạch ròi, bởi vì mọi ngành Toánhọc, xét cho cùng, đều được xây dựng và phát triển nhằm giải quyết những vấn

đề nào đó của cuộc sống thực, tức là nhằm mục đích ứng dụng trực tiếp hay giántiếp Trong lịch sử phát triển của toán học, có rất nhiều công trình nghiên cứuhoặc thành tựu lúc đầu được coi là thuần tuý lí thuyết, về sau hoá ra lại là nhữngcông cụ đầy hiệu lực trong các ngành Toán học ứng dụng” [31, tr 232].

` 1.3 Trong nhà trường phổ thông việc tăng cường làm rõ mạnh Toán

ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thựctiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống Bởi vì: “Xã hộiđòi hỏi người có học vấn hiện đại không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ cáctri thức dưới dạng có sẵn, đã lĩnh hội ở trường phổ thông mà còn phải có nănglực chiếm lĩnh, sử dụng các tri thức mới một cách độc lập; khả năng đánh giácác sự kiện, hiện tượng mới, các tư tưởng một cách thông minh, sáng suốt khigặp trong cuộc sống, trong lao động và trong quan hệ với mọi người” [50, tr.5]

1.4 Xác suất thống kê là một ngành của toán học, nghiên cứu về các

hiện tượng ngẫu nhiên mang tính quy luật Do đó ngành toán học này rất cầnthiết với đời sống con người, nhằm khám phá ra các quy luật của tự nhiên và xãhội Mặt khác, các vấn đề thuộc phương pháp và kĩ thuật tính toán về Lí thuyết tổhợp và Xác suất áp dụng rất nhiều trong khi giải quyết những bài toán thực tiễnphức tạp của đời sống Sau này, khi học sinh bước vào học các ngành nghề có sửdụng những phương tiện và kĩ thuật của Toán học ứng dụng, học sinh sẽ cònphải học tập và nghiên cứu thấu đáo về cơ sở lí thuyết của các ngành toán họcđó

1.5 Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình giải tích THPT là

chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu,khái niệm mới Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựngnhững khó khăn nhất định Hơn nữa, người GV tốt nghiệp ĐHSP khi đã từng

được học Xác suất thống kê, nhưng có thể nhiều năm sau tốt nghiệp khôngdùng đến, bởi vậy trong họ chỉ giữ lại một vài ấn tượng mơ hồ về Xác suấtthống kê Trong khi đó những chủ đề khác, chẳng hạn như hàm số, phươngtrình, bất phương trình, giới hạn, không rơi vào trường hợp như vậy.

Về Lí thuyết Xác suất, sẽ được đưa vào dạy trên toàn Quốc vào nămhọc 2007-2008 trong chương trình Toán lớp 11 Nó cũng đã từng được dạy thíđiểm vào một số năm của thập niên 90 cho học sinh chuyên ban lớp 12 vàchương trình thí điểm phân ban hiện tại (Trong khi đó, ở nhiều nước trên thếgiới, Xác suất đã được dạy từ cấp THCS) Trong các kì thi mang tính chấtquyết định thì cho đến thời điểm hiện tại cũng chưa có những bài toán về Xácsuất Ít ra thì phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất Điều nàytrong một chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ

1.6 Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán Tổ hợp luôn là một dạng

toán khó đối với học sinh Chẳng hạn, học sinh thường lúng túng không biết khinào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp Khi bắt tay vào giảng dạy Xác suất,nhiều giáo viên chưa hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần này Trong khi đókhông nhiều GV ý thức được sự cần thiết phải dạy Tổ hợp và Xác suất ở chươngtrình phổ thông Dường như đối với họ sự tuân thủ chương trình của bộ đề ra làvấn đề quan trọng, còn vì sao chương trình phải có phần này thì họ không quantâm lắm Để dạy, học Tổ hợp và Xác suất có hiệu quả, đòi hỏi người GV phải đề

ra được những biện pháp hợp lí về cách thức lựa chọn nội dung và phương pháp

Trong lần thí điểm chuyên ban trước đây ở Việt Nam, cũng như trongnhiều công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục trên thế giới, đã xuất hiệnnhững phương án đưa Xác suất vào trường phổ thông Tuy nhiên giữa cácnghiên cứu còn có sự sai khác nhất định, điều này nói lên rằng: Dạy những gì về

Tổ hợp và Xác suất, dạy để làm gì và dạy như thế nào? là những câu hỏi đã và

đang được nhiều người quan tâm Tuy nhiên chưa có một phương án duy nhất tốiưu.

Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: “Nghiên cứu một số vấn đề về mục đích, nội dung và phương pháp dạy học chủ đề

Tổ hợp và Xác suất trong môn Toán trường THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp và Xác suất đượctrình bày trong một số SGK (những năm trước đây và hiện tại); đồng thời nghiêncứu chủ đề này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phương pháp dạy học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Làm sáng tỏ vai trò của Xác suất thống kê với tư cách là khoa học

và môn học

3.2 Phân tích cách trình bày của một số sách giáo khoa về phần Tổ hợp

và Xác suất và đưa ra những bình luận cần thiết

3.3 Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh

trong quá trình học chủ đề Tổ hợp và Xác suất

3.4 Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy

học chủ đề Tổ hợp và Xác suất

3.5 Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả

của những đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Trên tinh thần tôn trọng nội dung SGK, nếu thực hiện sự điều chỉnh một cách hợp lí về mặt nội dung và nếu đề ra những phương án phù hợp về việc lựa chọn phương pháp dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất thì sẽ nâng

cao được hiệu quả dạy học chủ đề này

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận

Điều tra, quan sát

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

6 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Phương pháp nghiên cứu

Chương 1 Một số vấn đề về lí luận và thực tiễn của việc đưa chủ đề

Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán trường phổ thông

1.1 Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết xác suất (với tư

cách là khoa học)

1.2 Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất

vào môn Toán trường phổ thông

1.3 Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình Toán phổ thông ở

một số nước trên thế giới

1.4 Tổ hợp và Xác suất trong chưong trình Toán phổ thông của Việt

Nam hiện tại và những năm vừa qua

1.5 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất 1.6 Kết luận Chương 1

Chương 2 Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ

đề Tổ hợp và Xác suất.

2.1 Nghiên cứu về mục đích dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác xuất

2.2 Một số vấn đề về nội dung và phương pháp dạy, học chủ đề Tổ hợp

và Xác suất

2.3 Kết luận Chương 2.

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

CỦAVIỆC ĐƯA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÀO MÔN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG.

1.1.Sơ lược về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết Xác suất (với tư cách là khoa học).

Ta biết rằng: “Giới tự nhiên, xã hội loài người và tư duy con người cònrất nhiều điều bí ẩn mà con người, hoặc là hoàn toàn chưa biết gì, hoặc là chỉmới biết đến mức độ nào đó Thuộc vào loại “chỉ mới biết đến một mức độnào đó” là các hiện tượng ngẫu nhiên đã được nghiên cứu Đó là những hiệntượng xảy ra mà con người không thể dự báo chính xác được do không nắmhết được các quy luật tác động lên các hiện tượng đó Như vậy ẩn đằng sau cái

“ngẫu nhiên” là cái “tất nhiên” mà con người chưa nhận thức hết được Cùngvới sự phát triển của khoa học, có cái “ngẫu nhiên” trở thành “tất nhiên”” [56,

tr 109]

1.1.1 Đặc điểm cơ bản của Lí thuyết xác suất.

Trong mối liên hệ biện chứng với thực tiễn Thống kê toán và Lí thuyếtxác suất đã nảy sinh và phát triển không ngừng Đặc biệt là vào năm 1933

A.N.Kolmogorov đã đưa ra một hệ tiên đề để xây dựng Lí thuyết xác suấtthành một khoa học chính xác và trừu tượng Với đối tượng nghiên cứu là cácquy luật thống kê - một trong hai loại quy luật của hiện thực khách quan: quyluật động lực và quy luật thống kê.

Chúng ta hiểu: “Quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trên đám đôngcác biến cố ngẫu nhiên cùng loại (những biến cố được xét đối với cùng mộtphép thử nào đó) Nói cách khác quy luật thống kê là quy luật xuất hiện trongkết quả của việc lặp lại một số lần đủ lớn cùng một phép thử ngẫu nhiên nào

đó Có thể gọi quy luật thống kê là quy luật mà trong đó cái tất yếu hiện ratrong mối quan hệ chặt chẽ với cái ngẫu nhiên” [31, tr 239]

Ví dụ 1: Gọi T là phép thử: “Gieo 10 lần một đồng xu đồng chất và đối

xứng” Nhiều đợt thực hiện k lần phép thử T (với k đủ lớn), người ta thấy xuấthiện quy luật: “Gọi xi là số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i trong k lần (đủlớn) thực hiện phép thử T (i = 1,2, ,k), thì mỗi xi riêng lẻ ngẫu nhiên mà có,nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k phép thử T, ta đều thấy: Trung bình

là bằng hằng số 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể”

Ta thấy quy luật trên là quy luật thống kê dạng đơn giản Có thể phân

tích thêm về quy luật đó như sau: Khi thực hiện k phép thử T (với k đủ lớn),

gọi Ai là hiện tượng: “số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i thực hiện phép thử

T bằng xi”, chúng ta có Ai, với i = 1,2, ,k, là biến cố ngẫu nhiên (ứng vớiphép thử T) Do đó, ở đây chúng ta có một số đông các biến cố ngẫu nhiêncùng loại là Q = (A1, A2, .Ak) Trên Q nảy sinh hiện tượng tất yếu là:

yếu) xuất hiện trên đám đông các biến cố cùng loại Trên thực tế kết quả tạolập kết quả trung bình tất yếu này là như sau:

Số lần xuất hiện mặt sấp trong kết quả của mỗi lần riêng lẻ thực hiện phépthử T nói chung là khác 5 Tuy nhiên ở lần này thực hiện phép thử T, số lần xuấthiện mặt sấp bé hơn 5, ở lần thứ khác, số lần xuất hiện mặt sấp là lớn hơn 5; Do

đó, tính trung bình, số lần xuất hiện mặt sấp trong những lần khác nhau thực hiệnphép thử T là bù trừ nhau, và bằng 5 Bởi vậy có thể nói: cái tất yếu là “kết quảtrung bình tất yếu” xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại

Quy luật động lực là quy luật phản ánh mối liên hệ nhân quả đơn trị, và

có thể diễn đạt dưới hình thức sau đây: “Nếu một tổ hợp các điều kiện cơ bản

S nào đó được thực hiện, thì biến cố A chắc chắn sẽ xảy ra” [22, tr 9] Đóchính là quy luật vận động hay tương tác của một hoặc một số ít đối tượnghay quá trình được xét độc lập với cái ngẫu nhiên

Tuy nhiên, “Quy luật động lực và quy luật thống kê đều biểu thị nhữngmối liên hệ tất yếu Nhưng giữa chúng có một sự khác biệt cơ bản, thể hiện ở

“cách đối sử” của mỗi loại quy luật đối với cấu trúc bên trong của cái tất yếuđược phản ánh trong nội các quy luật đó Các quy luật thống kê phản ánh cáitất yếu trong cấu trúc của nó, ghi nhận cái tất yếu như là “kết quả trung bìnhtất yếu” xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại Do đótrong các quy luật thống kê, tất yếu được hiện ra trong mối liên hệ biện chứngvới ngẫu nhiên: “tất yếu xây cho mình con đường xuyên qua đám đông cácbiến cố ngẫu nhiên, còn ngẫu nhiên bổ sung cho tất yếu là hình thức thể hiệncủa tất yếu” [22, tr 15] Còn quy luật động lực phản ánh cái tất yếu trong “sựđơn giản hoá”, sự bỏ qua cấu trúc bên trong của cái tất yếu

Như đã nói, động lực phát triển của Toán học có hai nguồn cơ bản tồntại khách quan Hai hướng phát triển của Toán học ứng với hai nguồn đó đượcgọi là hướng ứng dụng và hướng lí thuyết Đồng thời trong sự phát triển của

Toán học theo hai hướng trên, hai khía cạnh của Toán học cũng đã được hìnhthành: Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng.

“Toán học ứng dụng là một khía cạnh của toán học ra đời trong nhữngứng dụng của nó, có thể quan niệm rằng đó là khoa học về phương pháp giảitối ưu, mà về thực tiễn là chấp nhận được, những bài toán Toán học nảy sinh

từ bên ngoài Toán học Và Toán học lí thuyết là một khía cạnh của Toán học

ra đời trong sự phát triển của Toán học theo hướng lí thuyết” [22, tr 18] Tuynhiên, “về nhiều mặt thì Toán học ứng dụng phức tạp hơn Toán học lí thuyết,bởi vì bên cạnh việc có trình độ lí luận sâu sắc, còn cần phải có trình độ hiểurộng lớn, có óc nhạy bén về ứng dụng, phải nắm được không những cách tưduy suy diễn mà cả cách tư duy hợp lí nữa ” [22, tr 18]

Nhắc lại rằng, việc tách Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng chỉmang tính chất tương đối Theo cách hiểu hiện nay, phổ biến ở các trường đạihọc trong và ngoài nước, toán học ứng dụng bao gồm các môn giải tích số,xác suất - thống kê, lí thuyết điều khiển, lí thuyết hệ thống, lí thuyết thuậttoán, lí thuyết tối ưu, “Mỗi môn nêu trên nghiên cứu một khía cạnh củanhững quan hệ số lượng và hình dạng theo phương pháp, công cụ chung củaToán học, nhưng trên một mức độ nào đó Có thể nói rằng môn này thể hiệnnhững phương pháp và kĩ thuật, công cụ tính toán hiện đại nhất để phân tích thựctại Đối với nhà trường phổ thông, thuật ngữ Toán học ứng dụng được hiểu làmột số yếu tố của phương pháp số, lí thuyết tối ưu và Thống kê - Xác suất.” [31,

tr 232]

Lí thuyết xác suất hiện đại, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề,

sử dụng phương pháp toán học để nghiên cứu các mô hình toán học của cácquy luật thống kê Bởi vậy có thể nói, Lí thuyết xác suất hiện đại là một ngànhcủa Toán học lí thuyết có phương pháp nghiên cứu là phương pháp của Toánhọc lí thuyết “Tuy nhiên, cần chú ý rằng quá trình phát triển của Lí thuyết xác

suất đã bao hàm hai hướng phát triển của Toán học - hướng ứng dụng và hướng

lí thuyết Do đó ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học

đa diện, bao gồm cả chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng” [31, tr 241]

1.1.2 Vai trò của Lí thuyết xác suất (với tư cách là khoa học)

Nhờ có trình độ trừu tượng cao và có đối tượng nghiên cứu là các quyluật thống kê - những quy luật phổ biến trong hiện thực khách quan - Xác suấtthống kê đã thâm nhập vào mọi hoạt động thực tiễn của con người “Tư duy líluận - Xác suất xâm nhập một cách có hệ thống vào tất cả các lĩnh vực hoạtđộng Phong cách tư duy vốn có của Lí thuyết xác suất và các kết quả của nó

là cần thiết cho người nghiên cứu và cho kĩ sư, cho nhà kinh tế, cho nhà y học,cho nhà ngôn ngữ học và cho người tổ chức nền sản xuất: Cách tiếp cận thống

kê đối với những hiện tượng tự nhiên, đối với những vấn đề kĩ thuật và kinh tế

là cần thiết cho tất cả các chuyên gia” [31, tr 247]

Tuy nhiên, ngay cả giữa thế kỉ 20 vẫn có khi các nhà toán học còn phải bảo

vệ Lí thuyết xác suất trước các buộc tội về tính phi khoa học của nó trong một sốứng dụng Chẳng hạn, “trong thời kì những năm 30 - 40 của thế kỉ 20 tại Liên Xô

là giai đoạn tấn công vào di truyền học, một ngành mà nhiều quy luật của nó dựatrên Lí thuyết xác suất, trong nhiều tờ báo và các ấn phẩm giả khoa học đã xuấthiện những khẩu hiệu như “khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên” và “thiên nhiênkhông chơi trò gieo xúc xắc” Nhà bác học Nga A.N.Khinshin, người đã phátminh nhiều kết quả xác suất trong Lí thuyết xác suất đã nói về khẩu hiệu thứ nhấtnhư sau “Vâng điều đó đúng - Khoa học là kẻ thù của ngẫu nhiên, nhưng ta phảinghiên cứu kẻ thù, và chính Lí thuyết xác suất làm việc đó”[39, tr 15]

Ví dụ 2: Luật Măng đen trong di truyền học

Giả sử một dấu hiệu nào đó của cơ thể sống (chẳng hạn hoa trắng hayhồng) được xác định bởi một cặp gen: Gen trội A và gen lặn a Cây có cặp gen

aa có hoa mầu trắng, còn cây có cặp gen AA, Aa, aA có hoa mầu hồng Nếu

một trong bố mẹ có cặp gen aa, còn cây kia có cặp gen AA thì các con ở thế

hệ thứ nhất nhận một gen từ bố và một gen từ mẹ sẽ có cặp gen aA Sang thế

hệ thứ 2 mỗi cá thể sẽ nhận được một cách ngẫu nhiên một gen a hoặc A từ bố

mẹ Tất cả có 4 khả năng aa, aA, Aa, AA; tính lặn chỉ xuất hiện trong cá thể

có cặp gen aa, còn các cá thể khác có tính trội Xác suất xảy ra cặp aa bằng 14

; các cặp còn lại xuất hiện với xác suất

4

3.Nếu số cá thể trong thế hệ thứ 2 lớn, thì từ đó suy ra rằng tỉ số giữa tầnsuất của các cá thể với tính lặn và cá thể với tính trội là 1: 3 Đó là luât Măngđen, được kiểm chứng trong rất nhiều thực nghiệm Trong thí dụ này xác suấtcũng xuất hiện như trong các trò chơi cờ bạc Vì vậy có thể nói rằng thiênnhiên đôi khi cũng “chơi trò gieo xúc xắc”

Lí thuyết xác suất, “sau khi sinh ra như là một ngành khoa học “ứngdụng” đặc biệt, có liên quan đến sự hiểu biết trò chơi đánh bạc, sau khi trải quathời kì phát triển của các phương pháp thống kê “ngây thơ”, sau khi thu nhận được

cơ sở toán học vững chắc và ngôn ngữ của lí thuyết Metric các hàm, Lí thuyết xácsuất ở dạng hiện đại đã trở thành một ngành toán học đa diện bao gồm cả chiềusâu lí luận, lẫn nội dung ứng dụng” [22, tr 26] Cho đến nay, nó đã trở thành mộtkhoa học có trình độ lí luận sâu sắc và phạm vi ứng dụng rất rộng rãi Lí thuyếtxác suất đã trở thành công cụ đắc lực để nhận thức và cải tạo thế giới

1.2 Bàn về vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán chương trình phổ thông.

Những yếu tố về Tổ hợp tạo điều kiện đưa một số yếu tố của Thống kê

và Xác suất vào nhà trường phổ thông Do đó khi nói đến vai trò và ý nghĩa củaThống kê và Xác suất thì trong đó bao hàm cả vai trò và ý nghĩa của Tổ hợp

1.2.1 Vai trò của Tổ hợp và Xác suất trong hoạt động thực tiễn của loài người.

Trong cuốn Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2, tác giả

X.M.NIKOLXKI nói đến khái niệm Giải tích tổ hợp “là ngành toán họcnghiên cứu những vấn đề khác nhau liên quan đến việc sắp xếp các bộ phậnkhác nhau của một tập hợp đã cho, thường là tập hữu hạn” Một dạng của cácbài toán Tổ hợp là bài toán chọn, thuộc lớp bài toán chọn này khá đặc trưngđối với nhiều mặt hoạt động của con người

Chẳng hạn, giả sử trong một chuyến bay trong vũ trụ, ta cần thực hiện nloại công việc nào đó (chẳng hạn sửa chữa các công việc khác nhau, quan sátthiên văn, các thí nghiệm sinh học và vật lí ) Để thực hiện chuyến bayngười ta chon m ứng viên đã qua các tập luyện cần thiết Mỗi ứng viên có thểthực hiện một số trong các công việc đòi hỏi Nhưng số thành viên tham giachuyến bay được giới hạn rất ngặt Vì vậy phát sinh câu hỏi: có thể chọn tốithiểu bao nhiêu người trong m ứng viên để nhóm đó có thể thực hiện tất cảcác nhiệm vụ đặt ra?Bài toán này là một trong những trường hợp riêng của bàitoán tổ hợp về cực trị – bài toán phủ

“Thống kê toán và Lí thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết cácngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kĩ thuật, vào quản lí kinh tế và

tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người laođộng: kĩ sư, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân, ” [22, tr 29] V.I Lenin

đã đánh giá cao giá trị của thống kê, Người đã dạy rằng: “Thống kê kinh tế - xãhội là một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội”

Từ những năm 50 của thế kỉ XX, nhiều nhà Toán học và Giáo dục học trênthế giới đã nhận thấy sự cần thiết phải cho học sinh học một số yếu tố của Líthuyết xác suất Nhiều hội nghị Quốc tế về Toán học và Giáo dục học đều có sinhhoạt thảo luận vấn đề đó trong tiêu chuẩn về dạy học, chẳng hạn như các hội nghị:

- Năm 1969 ở Lyon (Pháp)

- Năm 1972 ở Exeter (Anh)

- Năm 1976 ở Karlsrrube (Cộng hoà liên bang Đức)

- Năm 1980 ở Berlby (Mỹ)

- Năm 1982 ở Seffin ( Anh)

Năm 1993, UNESCO đã tổng kết phong trào cải cách giáo dục Toánhọc trên thế giới và nêu rõ rằng xác suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sauđây để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở phổ thông (trong phạm vi quốctế): tập hợp, số, biến thiên, quan hệ và hàm số, đo đạc, không gian và quan hệkhông gian, phép chứng minh, cấu trúc, xác suất

Trong việc tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở trường phổ thông một vấn đề có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc, “là một yêu cầu có tínhnguyên tắc, nhằm phản được tinh thần và xu thế phát triển của Toán, mà mộttrong những phương hướng chủ yếu của nó là Toán ứng dụng Đặc biệt tronggiai đoạn hiện nay, do nhu cầu của quá trình tự động hoá trong sản xuất,những ngành liên quan tới 3 hướng: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là nhữngyếu tố phát triển mạnh nhất của toán học hiện đại” [1, tr 18]

-Lí thuyết xác suất là một trong những môn của Toán học ứng dụng, sauđây là một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất:

- Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử, phươngpháp động lực học là bất lực mà phải sử dụng phương pháp Thống kê - Xác suất

- Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học Và hiệnnay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương phápThống kê xác suất

- Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và điềukhiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn

1.2.2 Vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán chương trình phổ thông (với tư cách là môn học).

Việc tăng cường và làm làm rõ mạch ứng dụng toán học được coi làmột trong những quan điểm chỉ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy họcmôn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn như: Một số yếu tố về thống kê mô

tả, Lí thuyết tổ hợp, Xác suất, “Các vấn đề về phương pháp và kĩ thuậttính toán, lí thuyết tối ưu, tổ hợp, xác suất được đưa vào một cách tường minhhay ẩn tàng là nhằm mục đích giới thiệu mặt “tính toán” của Toán học hiệnđại khi áp dụng giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của cuộc sốngthực vốn đã khác xa những vấn đề thực tiễn của các giai đoạn trước, các giaiđoạn mà các nhà toán học xây dựng và phát triển lí thuyết về phương trình, vềhàm số, về phép tính vi phân và tích phân” [31, tr 246]

Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới làtăng cường thực hành ứng dụng cho học sinh Vì vậy đa số các nước trên thếgiới đã có sự thống nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức cónhiều ứng dụng như Thống kê toán và Lí thuyết xác suất Nội dung dạy học

đó thường bao gồm những vấn đề:

- Các yếu tố của Thống kê mô tả

- Một số yếu tố của Giải tích tổ hợp; và một số yếu tố của Lí thuyết xác suấtTheo Nguyễn Bá Kim thì: “Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại cónhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho họcsinh Bởi vậy, ngay từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, những kếtquả nghiên cứu của các nhà toán học và sư phạm trên thế giới đã khẳng địnhmột số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vàohọc vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của cáclĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông” [31, tr 248]

TSKH Vũ Đình Hoà khẳng định: “Sự chuyển hướng xây dựng Toánhọc hiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp được mở ra ở cuối thế kỉ XIX.Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyếttính toán với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán tronghình học tổ hợp , ” Các bài toán tổ hợp “là một bộ phận quan trọng của toánhọc có nội dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩthuật cũng như trong đời sống hàng ngày của chúng ta” Và “Ngày nay, trongcác kì thi quốc gia và quốc tế thường không vắng bóng các bài toán tổ hợp,nhất là trong các kì thi học sinh giỏi Toán Thông thường đây là các bài toánkhó không chỉ đối với học sinh Việt nam mà cả với học sinh quốc tế nóichung.” [24, tr 3].

Từ trước những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu củaB.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà sư phạm và toán học Xô Viết khác

đã thu được những kết quả đáng chú ý sau đây:

- Đã khẳng định được sự cần thiết của việc đưa các yếu tố của Thống kêtoán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trường phổ thông

- Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trường phổthông là: “Phát triển có hệ thống ở học sinh những tư tưởng về sự tồn tại trong

tự nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiênnhiên của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt Đó chính là nhữngquy luật thống kê.”

- Việc hình thành cho học sinh một hệ thống nguyên vẹn những tri thứcthống kê - xác suất phải được phối hợp thực hiện trong những giờ học của cácmôn học khác [22, tr 37] Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất làgóp phần tạo lập được trong tư tưởng của học sinh một bức tranh gần đúng củathế giới hiện thực, để tận dụng khả năng của Lí thuyết xác suất trong sự nghiệpgiáo dục và đào tạo thế hệ trẻ, từ đó góp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinh bước

vào cuộc sống lao động và học tập sau này Việc dạy học Xác suất phải tạo điềukiện cho học sinh vượt ra ngoài khuôn khổ của quyết định luận cơ học, hìnhthành cho các em những tư tưởng về biến cố ngẫu nhiên và xác suất, về mốiquan hệ biện chứng giữa tất nhiên và ngẫu nhiên; chẳng hạn: “Khi một hiệntượng xảy ra một cách ngẫu nhiên thì ta có thể coi đó là tín hiệu của một haynhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa biết đến, hoặc mới biết nửa vời Chonên người ta thường nói “cái tất nhiên bộc lộ ra bên ngoài cái ngẫu nhiên”” [54,

tr 109]

1.3 Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình môn Toán phổ thông ở một số nước trên thế giới.

Trong Hội nghị Quốc tế lần thứ nhất về dạy Toán, tiến hành từ ngày 24

đến ngày 30 tháng 8 năm 1969 tại Liông (Pháp), các bản Báo cáo và Thảo luận

đã nói lên các quan điểm cải cách môn Toán ở trường phổ thông theo xu

hướng: cố gắng thiết lập mối quan hệ hợp lý giữa cái "cổ điển" và cái "hiện đại", trình bày các kiến thức có tính chất cổ truyền dưới ánh sáng của những quan điểm Toán học hiện đại, qua việc tích luỹ sự kiện mà đưa dần học sinh tới khái niệm tổng quát Trong các quan điểm theo xu hướng này, có quan điểm liên hệ

việc dạy Toán với thực tiễn Tiêu biểu theo xu hướng này là Chương trình vàsách SGK Toán của trường phổ thông Liên Xô và các nước Xã hội chủ nghĩakhác Hội nghị lần thứ hai được tiến hành từ ngày 29 tháng 8 đến ngày 2 tháng

9 năm 1972 tại thành phố Écxôto (Anh) và lần thứ ba từ ngày 16 đến ngày 21tháng 8 năm 1976 tại thành phố Caclơrue (Tây Đức) Nhìn chung, xu thế cơbản của việc cải cách môn Toán ở trường phổ thông trên thế giới là như đã nêu

trên, trong đó đặc biệt quan tâm đến quan điểm: Tăng cường mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn [25, tr 278]

Từ năm 1960 trở đi ở nhiều nước trên thế giới, một số yếu tố của Thống

kê toán và Lí thuyết xác suất đã chính thức được đưa vào môn Toán củatrường phổ thông, trong chương trình bắt buộc hay tự chọn

“Năm 1973, khi tổng kết phong trào cải cách giáo dục trên thế giớiUNESCO Pari đã nêu rõ rằng Thống kê và Xác suất là một trong 9 quan điểmchủ chốt để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở trường phổ thông trongphạm vi quốc tế Đặc biệt có ý nghĩa trong International Encylopedia tion

1985 có nêu ra những luận điểm để bảo vệ cho khẳng định trên” [31, tr 248]

Cụ thể ở một số nước:

Ở Nhật Bản: Trong chương trình phổ thông các yếu tố của Thống kê toán

và Lí thuyết xác suất đã được rải ra từ lớp 3 của bậc tiểu học đến các lớp cuốicủa bậc cao trung Bậc cao trung gồm 3 năm học, học sinh được học về Xác suất

và Thống kê toán ở năm thứ hai trong giáo trình Toán học II Chủ đề Xác suất vàThống kê toán bao gồm những nội dung sau đây: Giải tích tổ hợp, xác suất củacác biến cố sơ cấp, tính độc lập của các biến cố, các định lí cộng và nhân xácsuất, đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất, phân phối nhị thức và phânphối chuẩn, phương pháp mẫu, vận dụng Thống kê toán và Lí thuyết xác suấtvào nghiên cứu các hiện tượng và các quá trình trong các giáo trình kĩ thuật

Ở Cộng hoà Pháp: Bậc cao trung bao gồm 3 năm học Trong năm đầuhọc sinh học chương trình chung Đến năm thứ hai hoặc năm thứ 3 thì học sinhhọc theo phân ban với 3 hướng lớn: Cao trung phổ thông, cao trung công nghệ,cao trung nghề nghiệp Về nội dung Tổ hợp và Xác xuất học sinh được học ởlớp kết thúc (tức năm thứ 3 cao trung - tương đương với lớp 12 của Việt Nam):

- Xắp xếp các dữ kiện; tổ hợp; bản số của toán Đề các của các tập hợphữu hạn; bản số của tập A (tập hợp của các tập hợp gồm p phần tử của tập hợp

A); chỉnh hợp và hoán vị; kí hiệu n!; tổ hợp Cp; hệ thức n n C pC n p n ;

Ở Liên Xô (trước đây): ở các lớp cuối của trường phổ thông trung học,các yếu tố của Giải tích tổ hợp và Lí thuyết xác suất được đưa vào dưới dạnggiáo trình tự chọn Nội dung dạy học bao gồm các vấn đề sau: Các yếu tố củaGiải tích tổ hợp; các biến cố ngẫu nhiên và các phép toán; xác suất của biến

cố ngẫu nhiên; các phép toán về xác suất; dãy các phép thử độc lập Becnuli;các đại lượng ngẫu nhiên và các số đặc trưng của chúng; luật số lớn

Một vấn đề đã được quan tâm trong chương trình và sách giáo khoa ởmột số nước trên thế giới là rất coi trọng sự liên hệ Toán học với thực tiễn.Đối với nhiều chủ đề quan trọng được trình bày trong sách SGK, việc có mặtcủa các bài toán có nội dung thực tiễn đã đóng một vai trò chủ đạo và xuyên

suốt quá trình dạy học như là những phương tiện để truyền thụ tri thức cũng như thực hành và luyện tập các chủ đề này Nghĩa là, các bài toán có nội dung thực tiễn thể hiện được mục đích kép (vừa lĩnh hội tốt kiến thức, rèn luyện

được kỹ năng vừa rèn luyện được thói quen ứng dụng Toán học vào thực tiễn)

1.4 Tổ hợp và Xác suất trong chương trình môn Toán phổ thông của Việt Nam hiện tại và những năm vừa qua

Do xu thế hội nhập trên thế giới hiện nay Hoà chung với xu thế đổimới tiến bộ trên thế giới trong lĩnh vực chương trình SGK phổ thông cũng làmột trong những yêu cầu cần thiết Từ những thập niên cuối của thế kỉ XX,

nhiều quốc gia đã chuẩn bị và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáodục phổ thông mà trọng điểm là cải cách chương trình và SGK phổ thông.Chương trình của các nước đều hướng tới mục tiêu nâng cao chất lượng giáodục, trực tiếp góp phần cải thiện chất lượng nguồn nhân lực, nâng cao chấtlượng sống của con người; khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳnggây mất hứng thú và niềm tin đối với việc học tập của học sinh;

Cùng với trào lưu đó, chương trình giáo dục, SGK phổ thông của ViệtNam luôn được cải cách, chỉnh lí Quá trình cải cách được tiến hành qua nhiềulần, do đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, phương pháp trình bày

1.4.1 Sơ lược về nội dung Tổ hợp và Xác suất trong chương trình Toán phổ thông.

Đã nói đến cải cách và chỉnh lí thì tất nhiên sẽ có sự thay đổi về nộidung, chương trình Chúng ta nhìn lại nội dung chủ dề Tổ hợp và Xác suấttrong chương trình Toán phổ thông từ khi nền Giáo dục Việt Nam có chươngtrình phân ban thí điểm

Bộ SGK dành cho cấp phổ thông trung học phân ban thí điểm đầu tiêncủa nhóm tác giả: Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Trần Văn Hạo (1996) Ởđây, nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất được trình bày trong chương cuốisách Giải tích 12, bao gồm:

§2 Các tính chất của Xác suất

§3 Xác suất có điều kiện

§4 Liên hệ với một số bài toán về thống kê

Tồn tại song song với bộ sách trên là hai bộ sách cho học sinh phổthông trung học không phân ban, trong hai bộ sách này học sinh không phânban không được học phần Xác suất mà chỉ được học phần Tổ hợp:

Một là, sách của nhóm tác giả: Ngô Thúc Lanh, Vũ Tuấn, Ngô XuânSơn (1999), nội dung phần Tổ hợp được giới thiệu ở chương V, Giải tích 12:

§1 Chỉnh hợp - Hoán vị - Tổ hợp

§2 Công thức nhị thức Niutơn

Hai là, sách của nhóm tác giả: Phan Đức Chính - Ngô Hữu Dũng - HànLiên Hải, Giải tích 12, chương IV: Một số yếu tố về Tổ hợp

§1 Phương pháp quy nạp toán học (1,5 tiết)

§2 Bài toán chọn và quy tắc nhân (0,5 tiết)

§3 Hoán vị (1,5 tiết)

§4 Chỉnh hợp (2 tiết)

§5 Tổ hợp (1 tiết)

§6 Khai triển Niutơn (1 tiết)

Đến năm 2000, các bộ sách được hợp nhất, trên toàn quốc chỉ dùng chung một

bộ sách, Bộ Giáo dục bỏ chương trình phân ban Lúc này học sinh phổ thông lạikhông được học về Xác suất, mà chỉ được học phần Tổ hợp, gồm các kiến thức sau:

§1.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

§2.Công thức nhị thức Niutơn

Trong lần phân ban thí điểm hiện nay, tồn tại hai bộ sách của hai nhómtácgiả, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vào chương trình Đại số vàGiải tích 11, dạy học cho tất cả học sinh của các ban, tuy nhiên mức độ yêucầu của

các ban là khác nhau:

- Bộ sách của nhóm tác giả do Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) gồm các bài sau:

§1 Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)

§2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (4 tiết)

§3 Công thức nhị thức Niutơn (1 tiết)

§4 Biến cố và xác suất của biến cố (3 tiết)

§5 Các quy tắc tính xác suất (3 tiết)

§6 Xác suất có điều kiện (2 tiết)

§7 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết)

§8 Kỳ vọng, phương sai (1 tiết)

- Bộ sách của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), có các bài sau:

§1 Quy tắc đếm (2 tiết)

§2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (4 tiết)

§3 Xác suất của biến cố (4 tiết)

§4 Xác suất có điều kiện (3 tiết)

§5 Biến ngẫu nhiên (2 tiết)

§6 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên (3 tiết)

Hiện tại trên toàn Quốc học sinh được học chung một bộ sách theochương trình cải cách giáo dục, nội dung Tổ hợp và Xác suất được đưa vàochương trình Đại số và Giải tích lớp 11, về lượng kiến thức là như nhau đốivới tất cả các ban nhưng khác nhau về mức độ yêu cầu Bao gồm:

§1 Hai quy tắc đếm cơ bản

1.4.2 Một số điểm khác nhau trong nội dung kiến thức chủ đề Tổ hợp và Xác suất qua những lần chỉnh lí

1.4.2.1 Về nội dung Tổ hợp

Nội dung kiến thức Tổ hợp đưa vào chương trình Toán phổ thông quacác năm tương đối ổn định, chủ yếu gồm các vấn đề: Khái niệm Hoán vị, Tổhợp, Chỉnh hợp; công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp; khai triểnnhị thức Niutơn Hiển nhiên đã có sự cải cách, chỉnh lí thì ắt có sự khác nhau.Chẳng hạn:

- Cuốn sách năm 1999 của Phan Đức Chính, có thêm các nội dung:Phương pháp quy nạp Toán học; Bài toán chọn và quy tắc nhân; Tam giácPascal

- Sách giáo khoa thí điểm (1996) có thêm kiến thức: Bộ sắp thứ tựgồm n phần tử; quy tắc của phép đếm (quy tắc nhân); tam giác Pascal

- Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và sách giáo khoa thí điểmhiện tại, phần Tổ hợp giới thiệu hai quy tắc: nhân và cộng của phép đếm

Đó là sự khác nhau về lượng kiến thức, bên cạnh đó còn có sự khác nhau

về cách trình bày, thứ tự các kiến thức Điều này cũng dễ hiểu vì mỗi nhómtác giả có một quan điểm về phương pháp không giống nhau Tuy nhiên, cùngmột nội dung kiến thức mà các sách lại có sự khác nhau về định nghĩa, cáchchứng minh thì chúng ta cũng cần phải bình luận để có thể đưa ra một cáchhiểu thống nhất Sau đây là những điểm khác nhau đó:

Với khái niệm Hoán vị, trong sách của Ngô Thúc Lanh (1999) thì Hoán

vị được định nghĩa thông qua định nghĩa Chỉnh hợp (trước đó đã trình bày

khái niệm Chỉnh hợp): “Một chỉnh hợp chập n của n phần tử được gọi là một hoán vị của n phần tử ấy”, định nghĩa này không nêu lên n thuộc tập nào và

định nghĩa kiểu như vậy thì đặc điểm của hoán vị không được thấy rõ ở chỗ:Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự

nhất định Còn nhóm tác giả Phan Đức Chính (1999), thì khái niệm Hoán vị

được định nghĩa đầu tiên: “Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần

tử đó được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần”, ở đây cũng không nói được n thuộc tập nào Sách phân ban thí điểm (1996) thì định nghĩa: “Cho tập hợp A gồm n phần tử, n  1 Một hoán vị của

n phần tử của A là một bộ - n sắp thứ tự của các phần tử này, mỗi phần tử có mặt đúng một lần”, định nghĩa này tương đối chặt chẽ tuy nhiên có sử dụng

khái niệm “bộ - n sắp thứ tự” đã được định nghĩa ngay bài đầu của chương

Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, định nghĩa Hoán vị: “Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó”, định nghĩa này không nêu lên được sự khác

nhau của các phần tử trong tập hợp A Trong sách phân ban thí điểm lần nàythì học sinh có thể nắm khái niệm một cách dễ dàng nhờ sử dụng ngôn từ dễ

hiểu: “Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đó” (Trần Văn Hạo (tổng chủ biên));

“Cho tập hợp A có n phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A” (Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên)

2002), tuy nhiên trong hai định nghĩa này n cũng không được chỉ rõ thuộc tậpnào Nếu như vậy thì n = 0 thì có hoán vị không? một hoán vị theo định nghĩa

đó là một cách xếp thứ tự mà n = 0 tức là không có phần tử nào dẫn đếnkhông có sự sắp thứ tự

Khái niệm Chỉnh hợp cũng có nhiều điều cần bình luận: Sách của Ngô

Thúc Lanh (1999) định nghĩa: “Cho một tập hợp gồm n phần tử Mỗi tập con sắp thứ tự (tức là có kể đến thứ tự kế tiếp của các phần tử) gồm k ( 0  k 

n) trong n phần tử đã cho gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó”.

Trong định nghĩa này điều kiện ( 0  k  n), tức là k có thể nhận giá trị 0dẫn đến một tập hợp không có phần tử nào và tập không có một phần tử nào

thì có sự “sắp thứ tự” không? rõ ràng k = 0 là vô nghĩa Ta so sánh với sáchcủa Phan Đức Chính cũng trong thời điểm đó, Chỉnh hợp được định nghĩa:

“Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 < k  n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho”; sau định nghĩa có nêu lên dấu hiệu nhận

biết hai chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau là:

2) (n-k+1) (1) vàA n k= (nn!k)! (2); với công thức (1) đúng với mọi 1  k

 n, còn công thức (2) với k = n thì dẫn đến A  n k 0n!!, nếu không có sự quyước 0! = 1 thì với k = 1 công thức (2) không có nghĩa Điều này thể hiện

ở sách của Ngô Thúc Lanh (1999), trong cả chương Tổ hợp không thấy có sựquy ước 0! = 1 vậy mà đưa ra công thức (2), cũng trong sách này tác giả lạidùng khái niệm chỉnh hợp để định nghĩa hoán vị Ta nhận thấy rằng khái niệmhoán vị là trường hợp riêng của khái niệm chỉnh hợp khi k = n, với quy ước 0!

= 1 thì công thức tính số hoán vị cũng được suy ra từ công thức tính số chỉnhhợp; tuy nhiên việc lấy khái niệm này để định nghĩa khái niệm kia không phải

là cách tối ưu trong khi đó vẫn có thể định nghĩa nó một cách độc lập

Nếu như định nghĩa chỉnh hợp với điều kiện 1  k  n thì với k = 0 thì0

n

A không thuộc vào định nghĩa, nhưng trong sách Đại số và Giải tích 11 của

Đoàn Quỳnh (2002) (tổng chủ biên) có sự quy ước A n0 = 1 nhằm mục đích

gì? theo như sách viết thì “người ta quy ước A n0 = 1 Khi đó công thức (2) đúng cho cả k = 0 Vậy công thức (2) đúng với 0  k  n”, công thức (2)

đúng với k = 0 mang ý nghĩa gì? phải chăng sự rút ra kết luận như vậy đểnhằm mục đích khi đưa ra công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử

thông qua công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử

!

k

k n A k n

C  (3), thếnhưng cũng trong cuốn sách này định nghĩa tổ hợp với 1  k  n: “Cho một tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A” và sau đó đưa ra

công thức

!

k

k n A k n

C  với 1  k  n, với k = 0 thì lại có sự quy ước C n0  1.Nếu như ta hiểu một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần

tử của tập n phần tử đó thì trong một tập hợp A gồm n phần tử, tập  là tậpkhông có phần tử nào cũng là tập con của tập A do đó nó cũng là một tổ hợpvới k = 0 suy ra C n0  1 không phải là sự quy ước do đó k = 0 nên đưa vào

định nghĩa tổ hợp Vậy phải định nghĩa tổ hợp với 0  k  n như sau: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (0  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Khi đã định nghĩa như

vậy thì k = 0 là thuộc vào định nghĩa nên không cần phải chú thích như ởtrong sách của Trần Văn Hạo (2002) nữa

Sự chứng minh công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử, tức tính

C  (3) hay C n k k (n n!k)! (4); và

nhận thấy rằng công thức (4) vẫn đúng cho cả k = 0, để công thức (3) đúngcho k = 0 thì đến đây nên quy ước A n0 = 1.

Tóm lại mỗi nhóm tác giả có một quan điểm riêng khi viết sách giáokhoa, thế nhưng nếu không có sự thống nhất sẽ gây cho người dạy lúng túng

và người học thì không có sự hiểu rõ ràng

Hiện nay, trong chương trình cải cách giáo dục lần này học sinh trên cảnước được học thống nhất một bộ sách theo chương trình phân ban Nội dung

về Tổ hợp không thay đổi về lượng kiến thức, nhưng nội dung kiến thức có sựthay đổi Những điểm không thống nhất trong chương trình trước đây bây giờđược trình bày theo một quan điểm: Chỉnh hợp chập k của một tập hợp có nphần tử và tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử đều được định nghĩavới 1 k n  , còn khi k 0đều có sự quy ước 0! 1 , 0 1An  và 0 1 Cn  nhằm

mục đích để cho các công thức An k (n k n! )!

 , Cn k n k k  !( n! )!

 đúng với

0 k n  Tuy nhiên, sự quy ước 0 1Cn  có cơ sở để giải thích đó là: coi  là

tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử Cách khắc phục này có phải là phương ántối ưu?

1.4.2.2 Về nội dung Xác suất

Xác suất trước đây chỉ học sinh phân ban mới được học, với kiến thứctương đối đơn giản và lượng kiến thức cũng ít hơn so với nội dung xác suấtđược đưa vào chương trình thí điểm lần này Không chỉ có sự khác nhau trongkhi cải cách mà ngay trong cùng thời điểm hai bộ sách cũng có sự khác nhau,

ta chỉ bàn đến sự khác nhau về nội dung kiến thức Cụ thể là sự trình bàykhông thống nhất giữa các khái niệm và công thức về xác suất điều kiện, haibiến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất; lấy khái niệm này để định nghĩa kháiniệm kia, công thức này rút ra từ công thức kia và ngược lại

Trong sách Giải tích 12 (1996) Xác suất có điều kiện được định nghĩa

trước: “Trong không gian mẫu E, cho hai biến cố A và B, với P(A) > 0 Xác suất có điều kiện của B khi A đã xảy ra là một số kí hiệu bởi P(B/A) và xác

)(

)/(

A P

B A P A B

P   (1)”; sau đó đưa ra công thức nhân xác suất suy ra từ công thức (1): “Ta viết công thức nhân xác suất dưới dạng

)

/ ( ).

( )

P   (2) gọi là công thức nhân xác suất” Ở đây ta

thấy sự luẩn quẩn, nếu biết P(B/A) và P(A) thì tính được

)

/ ( ).

( )

P   Tuy nhiên, nếu lấy (1) là định nghĩa xác suấtđiều kiện mà lại lấy (1) để tính P(AB) thì sẽ rơi vào luẩn quẩn Xác suấtđiều kiện khác với xác suất không điều kiện ở chỗ xác suất của biến cố B vớiđiều kiện A là xác suất của B được tính trong điều kiện biến cố A đã xảy ra.Như vậy ngoài hệ điều kiện cấu thành phép thử còn bổ sung thêm điều kiện A

Do đó không gian mẫu bị thu hẹp và biến cố B cũng bị thu hẹp Như vậy tađịnh nghĩa xác suất điều kiện bằng ý nghĩa thực tế của nó rồi công nhận côngthức (1)

Với khái niệm hai biến cố độc lập, SGK thí điểm phân ban năm 2002

của nhóm tác giả Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) thì định nghĩa: “Hai biến cố

A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P(AB) = P(A).P(B) (3)” Thực ra

công thức (3) được suy ra từ công thức (2) khi hai biến cố A và B độc lập vớinhau Theo Đào Hữu Hồ (2001), định nghĩa hai biến cố độc lập theo định tính:

“Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này hay không đều không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố kia”; còn định nghĩa theo định lượng thì: “Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu: P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B).” Từ đó ta thấy rằng định nghĩa hai biến

cố độc lập bằng công thức (3) không có tính trực quan và là điều vô nghĩa,

mặc dù trong SGK giáo viên của Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) có viết: “Mặc

dù, định nghĩa như vậy không có tính trực quan, nhưng lại rất tiện lợi để việc

mở rộng khái niệm độc lập cho nhiều biến cố” Nhưng ý nghĩa thống kê của

khái niệm độc lập có thể được làm sáng tỏ nhờ tính ổn định của tần suất:

Giả sử trong N phép thử, các biến cố A, B và AB tương ứng xảy ratrong NA > 0, NB > 0 và NAB trường hợp Thế thì khi N đủ lớn ta có các đẳng

Ta biết công thức nhân xác suất được suy ra từ công thức tính xác suất cóđiều kiện và từ đó có thể mở rộng công thức nhân Tuy nhiên, trong sách Đại số

và Giải tích 11 (2002) tác giả Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), sách giáo khoa thíđiểm ban khoa học tự nhiên thì lại đưa ra quy tắc nhân xác suất chỉ trong trường

hợp hai biến cố độc lập: “Cho hai biến cố A và B độc lập với nhau Khi đó P(AB) = P(A).P(B)” đây là quy tắc nhân xác suất Phải chăng với dụng ý giảm

nhẹ kiến thức với học sinh phổ thông nên chỉ xét với hai biến cố độc lập

Chính vì sự không thống nhất giữa các sách trong việc trình bày cáckhái niệm: Xác suất có điều kiện; quy tắc nhân xác suất; sự độc lập giữa haibiến cố, dẫn đến định nghĩa các khái niệm không giống nhau và có phần luẩnquẩn Thứ tự đúng sẽ theo như trình tự trong sách Giải tích 12 (1996): Xác

suất có điều kiện được định nghĩa trước phải mang tính trực quan và có ýnghĩa thực tế dễ hiểu, và đưa ra công thức tính xác suất có điều kiện (1); từcông thức tính xác suất có điều kiện ta suy ra công thức nhân xác suất; Sự độclập của hai biến cố có thể định nghĩa đầu tiên bằng định tính, còn định nghĩabằng định lượng phải đưa ra sau.

Kiến thức về Xác suất trong sách Đại số và Giải tích 11 hiện tại được trìnhbày giảm nhẹ hơn chương trình cũ Các tác giả không đưa ra phần Xác suất cóđiều kiện, có lẽ để khắc phục sự định nghĩa luẩn quẩn giữa quy tắc nhân và côngthức tính xác suất có điều kiện; trong các công thức tính xác suất, công thức cộngchỉ xét trong trường hợp các biến cố xung khắc từng đôi một, công thức nhân xácsuất chỉ xét trong trường hợp các biến cố độc lập từng đôi một; khi định nghĩa haibiến cố xung khắc và định nghĩa hai biến cố độc lập đều bằng cách mô tả trựcquan

1.5 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất 

Với toán Tổ hợp đã được đưa vào chương trình Toán phổ thông từ lâu

và nội dung tương đối ổn định, nhưng đây là dạng Toán mà học sinh cảm thấykhó và rất hay mắc sai lầm Còn với nội dung về Xác suất thì lại hoàn toànmới mẻ Ngay cả đối với giáo viên khi dạy phần này cũng không hào hứng.Bởi vì các suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học

1.5.1 Sai lầm trong việc nắm ngữ nghĩa và cú pháp

Theo A.A.Stôliar thì, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú phápcủa ngôn ngữ Toán học Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệmđược định nghĩa

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trong Toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu

và cái được kí hiệu, cái biễu diễn và cái được biễu diễn Nếu xem xét phươngdiện những cái kí hiệu, những cái biễu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và

những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương diện

cú pháp Nếu xem xét những cái được kí hiệu, những cái được biễu diễn, tức

là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biễu diễn thì đó làphương diện ngữ nghĩa” [33, tr 54]

Nhiều thuật ngữ và kí hiệu toán học đã được mọi người thừa nhận và sửdụng thống nhất Nhưng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà Toánhọc hoặc một số quốc gia có thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khácnhau ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ hoặccùng một kí hiệu ứng với những khái niệm khác nhau Chẳng hạn: Với cùngkhái niệm số tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Cn k hoặc

Ví dụ 3: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng

để chỉ số đối tượng ấy nên học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là k

Cn ”, hoặc “Chỉnh hợp chập k của n là A k

n ”, trong khi đó nói đúng phải là

“ Số Tổ hợp chập k của n là Cn k ”, hoặc“Số Chỉnh hợp chập k của n là A k

n ”,

Ví dụ 4: Với ngôn ngữ của Toán học cổ điển, trong lí thuyết tổ hợp

người ta hay sử dụng cụm từ “n phần tử” Với cách nói này, ta cần hiểu: hoặc

n phần tử là khác nhau (chẳng hạn xét n điểm trong không gian hay mặt

phẳng), hoặc trong đó có một phần tử “bằng nhau” (chẳng hạn: xem 13 chữ

số, trong đó 5 chữ số 1, 3 chữ số 2, 2 chữ số 2 1 chữ số 4, 2 chữ số 5) Nhưng

ta lại cần nhớ rằng trong lí thuyết tập hợp, nói rằng một tập hợp gồm n phần

tử đó là phải khác nhau Khi liệt kê danh sách các phần tử của một tập hợp thìmỗi phần tử được nêu lên đúng một lần Chẳng hạn với bài toán:

Viết tập hợp các chữ số có mặt trong có mặt trong số 124325223441 thìtập hợp đó là A = {1, 2, 3, 4, 5 } ( gồm 5 phần tử khác nhau)

Nhưng theo quan điểm của Lí thuyết tổ hợp, thì số trên thì số trên gồm

Thông thường học sinh hiểu theo lí thuyết tập hợp và giải như sau:Gọi số thoã mãn là a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9

Do đó lời giải đúng sẽ là:

Nếu như coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết {1, 1, 1, 2,

3, 4, 5, 6} và số a a a a a a a a có 8! cách viết 2 3 4 5 6 7 8 9

Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hoán vị như nhau

Vậy số a a a a a a a a a có 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.8! 53760

3!  cách viết

Ví dụ 5: Với những bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “có thể lập được

bao nhiêu số gồm k chữ số khác nhau”, với cụm từ này thì dụng ý của tác giả

viết sách là số gồm k chữ số a a1 2 ak thì các ai (i 1,k ) phải khác nhau từngđôi một Tuy nhiên, có không ít người đọc, học sinh vẫn hiểu như sau: các sốgồm k chữ số là khác nhau, tức là a a1 2 ak b b1 2 bk

Các bài toán Tổ hợp trong các đề thi Đại học ta vẫn thường gặp, chẳnghạn như:

Trường Đại học An ninh năm 1997: Từ 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thểlập được bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Trường đại học Ngoại ngữ - Tin học, khối D - 2000: Hỏi từ 9 chữ số 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 5 chừ số khác nhausao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 1

Phải chăng để tránh trường hợp học sinh hiểu sai dụng ý của tác giả,trong các bài tập hay các đề thi nên ghi rõ Chẳng hạn: Với các chữ số 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5

Ví dụ 6: Không phân biệt được A và A, biến cố A và tập con A củakhông gian mẫu các kết quả thuận lợi cho A Chẳng hạn bài toán sau:

Gieo hai con súc sắc cân đối

a) Mô tả không gian mẫu

b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúcxắc nhỏ hơn hoặc bằng 7” Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A, tính P(A)

Họ sinh sẽ giải như sau:

a) Không gian mẫu là   a b a b N; / ,  *,1 a 6,1 b 6 , khônggian mẫu có 36 phần tử

b) Các kết quả thuận lợi cho A là:

Lời giải trên đã mắc sai lầm ở chỗ học sinh đã đồng nhất biến cố A với

tập A mô tả biến cố A do không nắm vững bản chất các khái niệm, học sinh

có cách nhìn rất hình thức Tuy nhiên kết quả vẫn đúng

Ví dụ 7: Sau khi biết

k n

n!

Ck! n k !



 (1), học sinh có thể chứng minhđược công thức n k k

n n

C  C (2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1) Tuynhiên, ít học sinh có thể chứng minh được (2) bằng cách lần lại nghĩa ban đầucủa k

Cn là số tập con có n - k phần tử của tập X Nếu tách ra từ X một tập con

có k phần tử thì còn lại phần bù có n - k phần tử và ngược lại Như vậy nếumột tập X (gồm n phần tử) có bao nhiêu tập con gồm k (k n) phần tử thì sẽ

có bấy nhiêu tập con gồm n k phần tử

Trong toán học nắm vững được ngôn ngữ các kí hiệu toán học cũng cónghĩa là nắm vững được những đặc trưng của tư duy toán học

1.5.2 Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc để vận dụng vào giải Toán.

Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới màkhi vận dụng vào giải Toán học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm

Ví dụ 8: Hai quy tắc đếm cơ bản của Đại số tổ hợp là quy tắc cộng và

quy tắc nhân, trong khi vận dụng vào giải Toán học sinh vẫn thường nhầm.Chẳng hạn bài toán sau:

Trong một lớp học có 20 nam và 23 nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn

2 học sinh: một bạn nam và một bạn nữ đi dự lễ kỉ niệm mừng Quốc khánh.Hỏi giáo viên đó có bao nhiêu cách chọn?

Sai lầm phổ biến học sinh thường mắc phải khi giải bài này là dùng quytắc cộng, cho rằng có 20 + 23 = 43 (cách chọn) Thực ra ở đây phải dùng quytắc nhân là có 20.23 = 460 (cách chọn)

Ví dụ 9: Với hai khái niệm Chỉnh hợp và Tổ hợp, học sinh thường gặp

khó khăn khi phân biệt hai khái niệm này nên dẫn đến sai lầm khi vận dụngvào giải các bài tập

Với bài toán: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi Người tachọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặpnhảy

Đa số học sinh sẽ giải như sau:

Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập

3 của 10, nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là 3A 10 8.9.10 720 cách

Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ có thứ tự là 3 4.5.6 120A 6  cáchVậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là 3A A 10 6 3 720.120 86400

Cách giải này học sinh mắc phải sai lầm: Tại sao lại sắp thứ tự cả 3 bạnnam và 3 bạn nữ Giả sử có 3 bạn nam theo thứ tự là A, B, C ghép nhảy với 3bạn nữ theo thứ tự là a, b, c tức là ta có cặp nhảy (A, a), (B, b), (C, c) Nếu lấythứ tự khác của 3 bạn nam là A, C, B và thứ tự khác của 3 bạn nữ là a, c, b thìghép 3 cặp nhảy là (A, a), (C, c), (B, b) vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước Sai

lầm dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế vì có những cách ghép 3 cặp nhảyđược tính nhiều lần.

Giả sử 3 bạn nam là A, B, C và 3 bạn nữ là a, b ,c thì cứ mỗi cách ghép

3 cặp nhảy chẳng qua là một hoán vị của 3 nữ mà thôi (Tất nhiên có thể coi làmột hoán vị của 3 bạn nam thì kết quả vẫn thế) Vậy số cách ghép 3 cặp nhảycho 6 bạn này là 3!

Suy luận hợp lí: “là suy luận có bao hàm những khái niệm hoặc nhữngkhẳng định không được xác định một cách thật chính xác và đơn trị (nhữngkhái niệm hợp lí hoặc những khẳng định hợp lí), nhưng nếu áp dụng nó với độ

chính xác thích hợp (trong hoàn cảnh mà nó được áp dụng vào), thì vẫn cókhả năng dẫn đến kết quả chấp nhận được” [22, tr 22].

Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh)

là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiên đề(các tiên đề) là đúng thì kết luận ra cũng đúng Các quy tắc suy diễn nói đến ởđây là quy tắc suy diễn của Logic hình thức “Suy luận chứng minh là suyluận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát” [44, tr 5]

Nhà sư phạm Xôviết V V Firsov đã chỉ rõ rằng: “Việc dạy học một sốyếu tố của lí thuyết xác suất ở tường phổ thông (của Liên Xô trước đây) gặp phảinhững khó khăn ngầm, mà trong cuộc thử người ta không chú ý giải quyết chúng”

và “Bản chất của những khó khăn này ít liên quan đến trình độ giáo trình Do

đó, những thay đổi về khối lượng và nội dung của tài liệu học tập (thuộc phần líthuyết) sẽ không khắc phục được những khó khăn này Những khó khăn này cóđặc tính phương pháp luận và bản chất của chúng liên quan đến vấn đề địnhhướng ứng dụng của giáo trình Lí thuyết xác suất ở trường phổ thông ở trườngphổ thông, điều kiện chủ yếu và cần thiết để đạt được mục đích dạy học” [22, tr.43]

Ngay trong khi học định nghĩa thống kê của xác suất học sinh đã phải tiếp thu

“sự hợp lí”: Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần

suất của A càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê Như vậy tần suất được xem là giá trị gần đúng của xác suất.

Ví dụ 10: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận

diễn dịch nên có học sinh giải thích như sau: Khi biết rằng “Xác suất để bạn Hbắn trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” có nghĩa là cứ

10 lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bảnkhông đổi của trường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia

Cách giải thích trên là hoàn toàn sai, để khắc phục sự sai lầm đó chúngtôi sẽ giải quyết ở chương 2 của Luận văn.

Khi giải các bài toán Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải

sử dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày

và chứng minh các kết quả đã thu được Như đã nói kĩ năng này là hoàn toànmới đối với học sinh, vì thế học sinh không tránh khỏi những khó khăn nhấtđịnh ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 11: Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần Tính xác

suất sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10, nếu số 5 xuấthiện trong lần gieo thứ nhất

Giải bài toán này ta phải làm theo các bước sau:

Bước 1: Không gian mẫu là:   i j; /1 , i j6

Ký hiệu A : “Số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất”

B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10”

Trong lời giải trên có sự kết hợp cả của suy luận diễn dịch và suy luận

có lí, ta không bắt học sinh phải chỉ ra rõ ràng bước nào là bước suy luận diễndịch, bước nào là bước suy luận có lí Nhưng trong quá trình giải toán Xácsuất học sinh phải hiểu được các bước cần làm, rèn luyện cho học sinh làm

được những bước như vậy là góp phần rèn luyện kĩ năng làm toán Xác suấtđồng thời góp phần phát triển tư duy cho học sinh.

Một sai lầm liên quan đến suy luận trong toán Tổ hợp qua ví dụ sau:

Ví dụ 12: Cho hai người Việt Nam, bốn người Pháp và năm người

Nhật xếp thành một hàng Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi người đứngcạnh có ít nhất một người cùng quốc tịch

Một học sinh giải như sau: Do cứ mỗi người thì đứng cạnh phải có ítnhất một người cùng quốc tịch nên:

Bốn người Pháp tách thành hai nhóm (mỗi nhóm hai người đứng cạnhnhau, kí hiệu là B, C )

Năm người Nhật tách thành hai nhóm (một nhóm hai và một nhóm bangười đứng cạnh nhau, kí hiệu lần lượt là D, E)

Hai người Việt Nam luôn đứng cạnh nhau (kí hiệu là A)

Mỗi cách sắp xếp A, B, C, D, E thành một dãy là một hoán vị của 5 vịtrí suy ra có 5! cách sắp xếp A, B, C, D, E thành một dãy

Mặt khác: Đưa hai người Việt Nam vào nhóm A có 2! cách

Đưa hai người Pháp vào B có 2

4

A cách;

Đưa hai người Pháp vào C có 2! cách;

Đưa hai người Nhật vào D có 2

5

A cách;

Đưa ba người Nhật vào E có 3! cách;

Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn bài ra là 5! 2! 2

hoán vị của 5 phần tử A, B, C, D, E), mà cách (2) cũng là một hoán vị của 4người Pháp trong cách 1.

Do đó bài toán được giải đúng như sau: Để tránh "bẫy" của bài toán, tanhận xét thấy: nếu có B và C hoặc D và E đổi chỗ cho nhau khi đứng cạnh nhau

sẽ tạo ra cách sắp xếp lại Vậy không để lặp lại ta tìm cách xếp A, B, C, D, Ethành một dãy mà B luôn đứng trước C; D luôn đứng trước E khi đứng cạnhnhau

Trước hết ta xếp B, C, D, E thành một dãy theo quy tắc trên: Có 9 cáchsắp xếp BCDE (1); BDCE (2); BECE (3); BDEC (4); DBCE (5); DBEC (6);DEBC (7); EBCD (8); EBDC (9)

Ứng với cách xếp (1) có 5 vị trí đưa A vào, trong trường hợp BCDAEcòn có thêm một cách nữa BCEAD, như vậy ứng với cách xếp (1) cho ta 6cách xếp A, B, C, D, E Tương tự như vậy với cách (4) và (7) Ứng mỗi cáchcòn lại ta có 5 cách đưa A vào tạo thành một dãy Vậy tổng số cách xếp A, B,

5

A cách đưa hai người Nhật vào D 3! cách đưa hai người Nhật vào E Vậy có: 48 2! 2

Theo Đại Bách khoa toàn thư Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức

được chân lý bằng xét đoán trực tiếp không có sự biện giải bằng chứng minh [37, tr.35]

Trực giác toán học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế tồntại nhiều dạng khác nhau Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngột chưa nhậnthức được, có thể là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp không phải bằng suyluận của lý trí" (Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tr 1369), là sự "thấy trựctiếp" các khái niệm hoặc sự kiện trong các tình huống toán học (được hiểu theonghĩa rộng bao gồm cả Toán học hình thức lẫn những tình huống thực tiễn mangđặc trưng toán học) Ở mức độ cao, trực giác toán học cho khả năng định hướngnghiên cứu trong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán được kếtquả nghiên cứu và đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng,trực giác toán học là là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức logic cácyếu tố của toán học, và trong quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn.

Nếu các yếu tố của Đại số và Hình học có được chỗ dựa là trực giác số

và trực giác không gian tương ứng của học sinh, thì đối với các yếu tố của Líthuyết xác suất cơ sở tương tự là không có Chính điều này dẫn đến nhữngkhó khăn ở học sinh khi học các yếu tố của Lí thuyết xác suất

Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiện trong nghiên cứucác tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả những tìnhhuống trong các mô hình toán học – xác suất, lẫn những tình huống thực tiễnmang đặc trưng xác suất)

Ví dụ 13: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng Hãy tìm xác suất của

các biến cố ngẫu nhiên sau đây:

Biến cố A1: Không có mặt sấp nào xuất hiện

Biến cố A2: Có một mặt sấp xuất hiện

Biến cố A3: Có hai mặt sấp xuất hiện

Biến cố A4: Có ba măt sấp xuất hiện

Một học sinh giải như sau: