Luan van dạy học nêu và giải quyết vấn đề về lượng giác. doc

Chi tiết, đầy đủ

1 Mở đầu Lý chọn đề tài 1.1 Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (Khóa VIII 1997 ) đà đề ra: Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lèi trun thơ mét chiỊu, rÌn lun thµnh nÕp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học, bảo đảm điều kiện thêi gian tù häc, tù nghiªn cøu cho häc sinh, sinh viên đại học Trong Luật giáo dục Việt Nam, năm 2005, điều 28.2 đà viết: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; cần phải bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; cần phải đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Vì vậy, đổi phơng pháp dạy häc lµ lµm cho häc sinh häc tËp tÝch cùc, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Phải tiết học, học sinh đợc suy nghĩ, thảo luận hoạt động nhiều Đây tiêu chí, thớc đo đánh giá ®ỉi míi Thay cho lèi trun thơ mét chiỊu, thut trình giảng dạy, ngời giáo viên cần phải tổ chức cho học sinh đợc học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo (Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên giáo viên THPH chu kỳ 3) 1.2 Trong xà hội phát triển nhanh theo chế thị trờng, theo định hớng xà hội chủ nghĩa cạnh tranh gay gắt, phát sớm giải hợp lý vấn đề nảy sinh thực tiễn lực bảo đảm thành đạt sống Vì tập dợt cho học sinh biết phát giải vấn đề gặp phải học tập, sống cá nhân, gia đình cộng đồng ý nghĩa tầm phơng pháp dạy học mà phải đợc đặt nh mục tiêu giáo dục đào tạo Trong dạy học Phát (PH) giải vấn đề (GQVĐ), học sinh vừa nắm đợc tri thức mới, vừa nắm đợc phơng pháp chiếm lĩnh tri thức đó, phát triển t tích cực sáng tạo, đợc chuẩn bị lực thích ứng với đời sống xà hội; phát kịp thời giải hợp lý vấn đề nảy sinh (Tài liệu bồi dỡng giáo viên - tr 34) 1.3 Nhà toán học Mỹ G.Polya đà nói: Sự kÝch thÝch tèt nhÊt cho viƯc häc tËp lµ sù hứng thú mà tài liệu học tập gợi nên cho học sinh, phần thởng tốt cho hoạt động trí óc căng thẳng sảng khoái đạt đợc nhờ vào hoạt động nh Theo V.A.Cruchetxki, khái niệm t tích cực, t độc lập t sáng tạo có mối liên hệ mật thiết với nhau, mức độ t khác nhau, mức độ trớc tiền đề cho mức độ sau, ngợc lại mức độ sau thể hiƯn møc ®é tríc Nh vËy “t tÝch cùc” cấp độ tiền đề cho cấp độ t đồng thời có mối liên hệ qua lại với cấp độ khác, phát huy đợc tính tích cực học sinh hoạt động học tập việc quan trọng điều đợc tác giả: Phan Gia Đức - Phạm Văn Hoàn Rèn luyện công tác độc lập cho học sinh thông qua môn Toán đà đợc khẳng định cách đắn: Nếu hoạt động t tích cực cho học sinh vũ trang cho học sinh kiến thức kỹ xảo chắn Mâu thuẫn yêu cầu đào tạo ngời xây dựng xà hội công nghiệp hóa đại hóa với thực trạng lạc hậu phơng pháp dạy học Toán đà làm nảy sinh thúc đẩy vận động đổi phơng pháp dạy học Toán với định hớng đổi míi lµ tỉ chøc cho ngêi häc häc tËp hoạt động hoạt động, tự giác, tích cực, sáng tạo 1.4 Bộ môn lợng giác đời từ lâu, việc giảng dạy phần khó khăn giáo viên khó học sinh trình tiếp thu PH GQVĐ phơng pháp dạy học thích hợp với nhiều nội dung, đặc biệt sử dụng phơng pháp để dạy học giải tập lợng giác hình thành cho học sinh lực tự GQVĐ Vì lý trên, chọn đề tài nghiên cứu Luận văn là: Thực hành dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh thông qua dạy học giải tập lợng giác mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Luận văn xác định sở lý luận tính tích cực hoạt động học tập học sinh thông qua phơng pháp dạy học, PH GQVĐ Từ xây dựng biện pháp s phạm làm sáng rõ khả dạy học PH GQVĐ, nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh thông qua dạy học giải tập lợng giác NHIệM Vụ NGhIÊN CứU Để đạt đợc mục đích nghiên cứu hình thành nhiệm vơ sau: 3.1 HƯ thèng hãa c¬ së lý ln tính tích cực hóa hoạt động học sinh dạy học PH GQVĐ Phân tích chất hình thức tổ chức phơng pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh 3.2 Đề xuất định hớng làm sở xây dựng biện pháp dạy học 3.3 Xây dựng biện pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh thông qua dạy học giải tập lợng giác 3.4 Thực nghiệm s phạm kiểm tra tính khả thi phơng pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng đợc số biện pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh trình dạy học giải tập lợng giác, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán trờng phổ thông Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phơng pháp dạy học môn với tài liệu liên quan đến đề tài 5.2 Điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh THPT 5.3 Thực nghiệm s phạm: Tiến hành dạy thùc nghiƯm mét sè tiÕt ë trêng THPT ®Ĩ xÐt tính khả thi, hiệu đề tài Đóng góp luận văn 6.1 Về mặt lý luận Làm rõ đợc phơng pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh Đề định hớng biện pháp dạy học PH GQVĐ nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh 6.2 Về mặt thực tiễn Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán trờng THPT Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn có chơng: Chơng 1: Một số sở lý luận để xây dựng biện pháp dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh 1.1 Hoạt động 1.2 Hoạt động học tập 1.3 Tính tích cực hoá hoạt động học sinh 1.3.1 Tính tích cực 1.3.2 Một vài đặc điểm tính tích cực nhận thức học sinh 1.3.3 Phơng pháp dạy học phát huy đợc tính tích cực 1.3.3.1 Một phơng pháp dạy học cần thoả mÃn điều kiện tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh 1.3.3.2 Những dấu hiệu đặc trng phơng pháp dạy học tích cực 1.4 Dạy học Phát giải vấn đề 1.4.1 Cơ sở khoa học phơng pháp dạy học PH GQVĐ 1.4.1.1 Cơ sở triết học 1.4.1.2 Cơ sở tâm lý học 1.4.1.3 Cơ sở giáo dục học 1.4.2 Những khái niệm 1.4.2.1 Vấn đề 1.4.2.2 Tình gợi vấn đề 1.4.3 Dạy học PH GQVĐ 1.4.4 Bản chất dạy học PH GQVĐ 1.4.5 Những hình thức cấp độ dạy học PH GQVĐ 1.4.6 Quy trình dạy học PH GQVĐ 1.4.6.1 Nguyên tắc thiết lập quy trình dạy học PH GQVĐ 1.4.6.2 Cấu trúc quy trình dạy học PH GQVĐ 1.5 Kết luận chơng Chơng 2: Các biện pháp dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh 2.1 Các định hớng xây dựng biện pháp 2.2 Các biện pháp 2.2.1 Biện pháp 1: Tạo tình gợi vấn đề nhờ giải tập mà ngời học cha biết thuật giải 2.2.2 Biện pháp 2: Tạo tình gợi vấn đề nhờ lật ngợc vấn đề, xem xét tơng tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá 2.2.3 Biện pháp 3: Sử dụng phơng pháp suy luận, mò mẫn, dự đoán để tìm cách giải vấn đề 2.2.4 Biện pháp 4: Hình thành thói quen kiểm tra vận dụng kết vấn đề đợc giải 2.2.5 Biện pháp 5: Phát nguyên nhân sai lầm sửa chữa sai lầm lời giải 2.2.6 Biện pháp 6: Hình thành phơng pháp tự häc, tù nghiªn cøu cho häc sinh 2.3 KÕt luËn chơng Chơng 3: Thực nghiệm s phạm 3.1 Mục ®Ých thùc nghiƯm 3.2 Néi dung thùc nghiƯm 3.2.1 Líp thùc nghiƯm 3.2.2 TiÕn tr×nh thùc nghiƯm 3.2.3 Néi dung kết kiểm tra 3.3 Kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá hoạt động học tập học sinh ë líp häc 3.3.2 KÕt ln vỊ thùc nghiƯm s phạm Chơng Một số sở lý luận để xây dựng biện pháp dạy học Phát giải vấn đề nhằm tích cực hóa hoạt động học sinh 1.1 Hoạt động Hoạt động khái niệm tâm lý học đại Một hoạt động nhằm vào đối tợng định Hai hoạt động khác đợc phân biệt hai đối tợng khác Và đối tợng động thực hoạt động Về phía đối tợng: Động đợc thể thành nhu cầu Các nhu cầu đợc sinh từ đối tợng ban đầu trừu tợng, ngày phát triển rõ ràng, cụ thể đợc chốt lại hệ thống mục đích Mỗi mục đích lại phải thoả mÃn lot điều kiện (hay gọi phơng tiện) Mi quan hệ biện chứng mục đích điều kiện đợc coi nhiệm vụ Về phía chủ thể: Chủ thể dùng sức căng c bắp, thần kinh, lực, kinh nghiệm thực tiễn, để thỏa mÃn động gọi hoạt động Quá trình chiếm lĩnh tng mục đích gọi hành động Mỗi điều kiện để đạt mục đích, lại quy định cách thức hành động gọi thao tác Tác giả Nguyễn Tài Đức đà đánh giá mối quan hệ biện chứng hành động thao tác: Hành động trình thực hóa mục đích (tạo đợc sản phẩm), thao tác lại điều kiện quy định Nh khác mục đích điều kiện quy định khác hành động thao tác Nhng khác tơng đối, để đạt mục đích ta dùng phơng tiện khác Khi đó, hành động thay đổi mặt kỹ thuật tức cấu thao tác, ch không thay đổi chất (vẫn làm sản phẩm) Về mặt tâm lý, hành động sinh thao tác, nhng thao tác lại phần riêng lẻ hành động Sau đợc hình thành thao tác có khả tồn độc lập tham gia vào nhiều hành động Hoạt động có biểu bên hành vi Vì vậy, hai phạm trù h tr cho nhau; hoạt động bao gồm hành vi lẫn tâm lý ý thức (tức công vic tay chân nÃo) Sự phân tích giúp ta nhận đợc ý nghÜa quan träng sau: Thùc chÊt cđa ph¬ng thøc Giáo dục tổ chức hoạt động liên tục cho trẻ em theo chuỗi thao tác, cấu có tham gia động nhiệm vụ ngời Vì hành động sinh thao tác nên giáo dục ta huấn luyện gián tiếp thao tác thông qua hành động Giáo viên nên biết rõ đối tợng lúc mục đích cần đạt, lúc phơng tiện để đạt mục đích khác 1.2 Hoạt động học tập 1.2.1 Quá trình dạy học trình thống nhất, biện chứng hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, hoạt động học trung tâm a) Đối tợng hoạt động dạy nhân cách học sinh với hệ thống mục đích đợc xếp theo thứ tự: Thái độ, kỹ năng, kiến thức Để thực đợc chỉnh thể mục đích cần loạt điều kiện không thay ®ỉi theo cho phï hỵp nh: Néi dung thay đổi cho phải hớng vào học sinh; trình học tập đợc tổ chức cho phát huy đợc tính tích cực học sinh môi trờng phải đảm bảo có dụng ý s phạm; phơng tiện dạy học ngày đợc đại hóa; chủ thể (giáo viên) tiến hành hoạt động tơng ứng nh điều khiển trình xây dựng kiến thức, vận dụng kiến thức vào thực tế, ôn tập, kiểm tra, đánh giá b) Hoạt động học hoạt động ngời tuân theo cấu trúc tổng quát hoạt động nói chung bàn đến hot động học học sinh Học sinh tiến hành hoạt động nhằm lĩnh hội kinh nghiệm xà hội, đợc thể dới dạng tri thức, kỹ Theo tác giả Phạm Minh Hạc có hai cách học, có hai dạng hoạt động khác nhau: Cách thứ nhằm nắm lấy kinh nghiệm, kỹ xem nh mục đích trực tiếp; Cách thứ hai nhằm tiếp thu kinh nghiệm kỹ thực mục đích khác Thông thờng việc học học sinh đợc diễn theo hai cách, hoạt động học mà ta nói hoạt động có mục đích theo cách thứ Một số khía cạnh hoạt ®éng häc tËp: - VỊ cÊu tróc ho¹t ®éng: + Động cơ: Nắm lấy tri thức, kỹ năng, kỹ xảo hay tự hoàn thiện thân + Mục đích: Học sinh phải vợt khỏi giới hạn kiến thức đà có để đạt tới mà em cha có Vì nhiệm vụ học tập thờng đợc đề dới hình thức toán có vấn đề + Học sinh giải nhiệm vụ nhờ vào hành động học tập cụ thể nh: tách vấn đề từ nhiệm vụ; Vạch phơng hớng giải sở phân tích mối quan hệ tài liệu học tập; mô hình hóa, cụ thể hóa mi quan hệ đó; Kiểm tra tiến trình kết học tập + Các hành động đợc thực thao tác t đặc trng nh phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu, quy nạp, suy luận lôgíc, Tuy nhiên toàn trình không tự diễn mà đòi hỏi phải có điều kiện kích thích định giai đoạn: phát vấn đề; nhận thấy có mâu thuẫn, hình thành động cơ; tìm tòi khái quát hóa; +Về hình thức: Hoạt động học điển hình đợc diễn thời gian lớp, mà giáo viên thực vai trò đạo, hớng dẫn thời gian hoạt động độc lập lớp, làm tập nhà c) Hoạt động dạy hoạt động học có mối quan hệ khăng khít, chặt chẽ, trình tự bớc hoạt động học hoàn toàn thống với trình tự bớc 10 hoạt động dạy - giáo viên vạch nhiệm vụ, hành động học tập tới học sinh biện pháp thích hợp kích thích chúng học sinh tiếp nhận nhiệm vụ đó, thực hành động học tập đề ra; Nếu giáo viên kiểm tra hành động học sinh điều chỉnh hành động dạy dới ảnh hởng giáo viên, học sinh điều chỉnh hành động Sự thống trình dạy học đợc thể tơng ứng giai đoạn hoạt động thầy lẫn trò Sự thống tạo nên tợng hoàn chỉnh mà ta gọi trình dạy học Kết thống chỗ học sinh nắm kiến thức theo mức độ: - ý thức đợc vấn đề (vạch đợc nội dung, có biểu tợng chung kiện, nắm đợc trình hình thành phát triển kiện đó) - Nắm đợc vấn đề (vạch đợc chất bên tợng quan hệ chúng) - Sáng tỏ vấn đề (biết cách tìm lối thoát gặp khó khăn) Chỉ có kết hợp chặt chẽ tác động, điều khiển bên giáo viên tạo môi trờng học tập (hình thức tổ chức dạy học, phơng thức hành động, phơng tiện vật chất, thái độ tình cảm thầy, ) Với sc căng thẳng trí tuệ bên học sinh nhằm thích nghi với môi trờng đó, tạo nên sở cho việc học tập có kết 1.2.2 Hoạt động học toán học sinh hoạt ®éng nh»m lÜnh héi c¸c tri thøc, kh¸i niƯm, kü giải vấn đề toán học Nó bao gồm việc định hớng tìm tòi, lập kế hoạch thực hiện, thân hoạt động kiểm tra hiệu Vấn đề tâm lý chủ yếu hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết mong muốn hoàn thiện thân - hứng thú không đợc hình thành thân lĩnh héi sÏ diƠn thÊp h¬n nhiỊu so víi tiỊm sẵn có học sinh Động học toán đắn phù hợp phải gắn liền với nội dung toán học, nghĩa nắm vững khái niệm, định lý, hệ quy luật phát triển toán 66 a=b=c= 1 = = = a b c Để có số hạng BĐT Cauchy, ta phải tìm số cho: αa = αb = αc = 1 = = hay α = ⇒α= a b c 3 Trên sở đó, ta có lời giải Bài toán nh sau: T=a+b+c+ 1 4 1 1 + + = a + b + c + + + − (a + b + c) a b c 3 a b c     1 1 − (a + b + c) ≥ ≥ 6  a ÷ b ÷ c ÷     a b c ≥ 12 3 21 − = = 3 T= 3 ⇔a=b=c= 2 Hay GTNN T , đạt ®ỵc ⇔ A = B = A = Trong ví dụ trên, giáo viên đà thuyết trình lại trình mò mẫm, tìm kiếm lời giải toán Giáo viên biết đặt vào vị trí học sinh, hình dung bình luận sai lầm mà học sinh thờng mắc phải, biết xoay chuyển hớng suy nghĩ gặp khó khăn, đa lời giải 2.2.4 Biện pháp 4: Hình thành thói quen tự kiểm tra ứng dụng kết vấn đề đợc giải Một mục tiêu quan trọng môn Toán là: Góp phần hình thành phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí thói quen tự học thờng xuyên 67 Để thực mục tiêu Trong dạy học toán cần hình thành thói quen tự kiểm tra vận dụng kết vấn đề đợc giải Đây biện pháp hữu hiệu việc tích cực hoá hoạt động học sinh Ví dụ1: Chứng minh tam giác ABC không vuông ta có đẳng thức: tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC Giáo viên tạo tình cách tập nhỏ: Bài 1: Cho tam giác ABC đều, h·y so s¸nh: tanA + tanB + tanC víi tanA.tanB.tanC Bài 2: Cho tam giác ABC có A = 1200, B = 300, C = 300, h·y so s¸nh: tanA + tanB + tanC với tanA.tanB.tanC Dự đoán vấn đề: Cho tam giác ABC không vuông, chứng minh rằng: tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC Häc sinh tù giải vấn đề theo đờng biến đổi tổng thµnh tÝch: tan A + tan B + tan C = = sin( A + B) sin C sin C sin C + = + cos A.cos B cos C cos A.cos B cos C sin C cos C + sin C cos A cos B sin C (cos C + cos A cos B) = cos A cos B cos C cos A cos B cos C   sin C  cos C + (cos( A + B) + cos( A − B)) ÷   = cos A.cos B.cos C = sin C (2cos C − cos C + cos( A − B)) 2cos A cos BcosC = sin C (− cos( A + B) + cos( A − B )) cos A cos B cos C = sin A sin B sin C = tan A tan B tan C cos A cos B cos C Giáo viên kiểm tra lại trình biến đổi hỏi: Có cách đơn giản không? 68 Nếu thấy cần thiết gợi ý: “A + B = π - C, hai gãc b»ng giá trị tan chúng nh nào? Mấu chốt toán trả lời đợc câu hái trªn: tan(A + B) = tan(π - C) ⇔ tan A + tan B = − tan C − tan A tan B ⇔ tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC Giáo viên cho học sinh trình bày lại cách Kiểm tra hai cách giải, tự học sinh so sánh cách giải sau tối u có sở cho không toán dạng Yêu cầu học sinh tự đặt toán tơng tự, lúc học sinh dự đoán vấn ®Ò tiÕp theo nh sau: “Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC ta cã: cotA + cotB +cotC = cotAcotBcotC Học sinh tự giải vấn đề cách tơng tự, kết bác bỏ điều dự đoán pháp biểu lại vấn đề: Trong tam giác ABC ta cã: cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA =1” C¸c đẳng thức chứng minh tơng tự Chứng minh tam gi¸c ABC ta cã: 1) cot A B C A B C + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2) tan A B B C A C tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 Kiểm tra lại việc sử dụng giả thiết toán, phát biểu lại toán sau Cho A + B + C = n π , A, B, C ≠ π + kπ Chøng minh r»ng: tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC” VËn dơng kÕt qu¶ toán để làm toán sau: Cho tam giác ABC nhọn, hÃy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = tanAtanBtanC 69 Giáo viên tạo tình cách yêu cầu học sinh làm toán nhỏ: Bài 1: Cho tam giác ABC Tính P1 = tanAtanBtanC Bài 2: Cho tam giác ABC có A = 600, B=750, C = 450 TÝnh P2 = tanAtanBtanC Bài 3: Cho tam giác ABC có A = 300, B=750, C = 750 TÝnh P3 = tanAtanBtanC Nªu đặc điểm chung ba tam giác so sánh ba giá trị P1, P2, P3? Tùy mức độ thêi gian cho phÐp, cã thÓ xem tÝnh tan75 vấn đề nhỏ áp dụng kết đà biết Học sinh dễ dàng tính đợc P1 = 3 , P2= (2+ ) , P3 = + 12 , vµ P1 < P2 < P3 , đặc điểm chung ba tam giác tam giác nhọn Từ học sinh dự đoán vấn đề: Phải tam giác nhọn ABC ta ®Ịu cã: tanAtanBtanC ≥ 3 (= P1)? Giáo viên yêu cầu học sinh khai thác hết giả thiết, cho tam giác ABC nhọn nghĩa cho gì? Trớc hết học sinh phải phát tam giác ABC không vuông, nghĩa ta có đẳng thức tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC, vµ ABC nhọn nên tanA, tanB, tanC dơng Tùy đối tợng học sinh, cần thiết giáo viên gợi ý: Tìm giá trị nhỏ tích, mà tích tổng, số hạng tổng dơng gợi cho em sử dụng công thức nào? Học sinh tự giải quyÕt: tanA + tanB +tanC ≥ 3 tan A tan B tan C ⇔ tanAtanBtanC ≥ 3 tan A tan B tan C ⇔ tanAtanBtanC ≥ 3 Giáo viên kiểm tra lại trình giải toán Yêu cầu học sinh vận dụng làm tập: “Cho tam gi¸c ABC nhän, chøng 70 minh r»ng: tan8A + tan8B + tan8C ≥ 9tan2Atan2Btan2C” 2.2.5 BiƯn ph¸p 5: Phát sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm sửa chữa sai lầm trờng phổ thông, môn Toán có nhiều tình dạy học điển hình, nhng xem giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Bởi vậy, chất vấn đề cho học sinh đợc thử thách với toán dễ mắc sai lầm Con ngời phải biết học sai lầm thiếu sót (G Pôlia) Chỉ có hoạt động đợc giáo viên thờng xuyên định hớng khÝch lƯ nhng vÉn lu«n lu«n tù viƯc mò mẫm sai lầm đa tới độc lập mặt trí tuệ (J Piaget) A A Stoliar nhấn mạnh: Không đợc tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh J A Kômenxki khẳng định: Bất kỳ sai lầm làm cho học sinh nh giáo viên không ý tới sai lầm cách hớng dẫn học sinh tự nhận sửa chữa khắc phục sai lầm Cần phải tập cho học sinh phát chỗ sai lời giải, tìm nguyên nhân đề xuất cách giải Bởi vì, biết bị sai lầm lỗi kiến thức bản, học sinh thực thấm thía việc cần phải hiểu sâu sắc chất tri thức đà lĩnh hội quan trọng em thấy thực cần thiết phải tự kiểm tra lại bớc lập luận trình tìm tòi lời giải toán Để giúp học sinh có phơng pháp nhận biết lời giải sai, Lê Thống Nhất cho cần trang bị cho hä nh÷ng dÊu hiƯu quan träng sau: - KÕt lời giải toán mâu thuẫn với kết trờng hợp riêng - Trờng hợp riêng kết không thoả mÃn toán - Kết lời giải không chứa kết trờng hợp riêng 71 - Kết tìm đợc mâu thuẫn với thực tế - Kết không bình đẳng yếu tố bình đẳng giả thiết - Kết lời giải khác kết lời giải khác - Đơn vị đo hai vế đẳng thức khác Cuối phải nói thấy học sinh mắc sai lầm nói chung không nên bác bỏ sai lầm mà cố g¾ng dÉn d¾t khÝch lƯ häc sinh tù nhËn thøc đợc sai lầm Tiến hành nh hợp lý muốn tích cực phải có hứng thú, mà hứng thú thờng mang màu sắc xúc cảm * Sai lầm việc biến đổi biểu thức lợng giác: Ví dụ 1: với x (0; ) , rót gän: A = + cos x + − cos x Häc sinh thêng gi¶i nh sau: A = 2cos x + 2sin x = cos x + sin x = 2(cos x + sin x) = 2sin( x + ) Giáo viên tạo tình cách hỏi học sinh: Em hÃy nhận xét lời giải hay sai?, Nếu sai, sai chỗ nào? Giáo viên phân tích sai lầm: Sai lầm mang dấu ấn sai lầm biến đổi đại số a2 = a Từ yêu cầu học sinh giải lại toán Lời giải là: A = 2cos2 x + 2sin x = 2( cos x + sin x ) Nhng víi x ∈ (0; π ) nªn sinx ≥ Ta cã hai trêng hỵp: π Trêng hỵp 1: x ∈ (0; ] cosx nên: A= (cosx + sinx) = 2sin ( x + π ) 72 Trờng hợp 2: x ( ; ) cosx < nªn: A= π (cosx - sinx) = 2sin ( x − ) * Sai lầm việc giải phơng trình lợng giác: Khi giải phơng trình, học sinh thờng gặp phải sai lầm liên quan tới việc lấy nghiệm, kết hợp nghiệm sử dụng phép biến đổi không tơng đơng Ví dụ 2: Giải phơng trình: sinx + cosx = + cos 2x + sin 2x (1) Ta gỈp nhiỊu häc sinh lËp ln nh sau: TËp xác định (1) là: + cosx + sin2x ≥ ⇔ 2+2( cos x + sin x ) ≥ 2 ⇔ 2+2 π cos(2 x − ) ≥ ⇔ x R Khi vế phải không âm mà vế phải vế trái nên vế trái không âm Vì hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc phơng trình tơng đơng: (sinx + cosx)2 = + cos2x + sin2x π  π    2(cos( x − ) = 1 + cos(2x − )      π   π  1 + cos(2 x − ) = 1 + cos(2x − )    với x R Vậy nghiệm phơng trình (1) với x R Đây lập luận sai, sai lầm sử dụng phép biến đổi không tơng đơng 73 Cách lập luận học sinh xét tập nghiệm phơng trình, nhng giải phơng trình lại tìm tập nghiệm Do sau tìm đợc giá trị cần phải đối chiếu xem x có thuộc tập nghiệm hay không, tức phải lần lợt kiểm tra giá trị, điều nói chung không khả thi sin x + cos x ≥  ⇔ Lời giải đúng: Ta có (1) (sin x + cos x) = + cos x + sin x  π 2π   π + k 2π 2cos( x − ) ≥ − + k 2π ≤ ⇔ ⇔ ∀x ∈ R ∀x ∈ R   ⇔− π 2π + k 2π ≤ x ≤ + k 2π , k ∈ z 3 VÝ dơ 3: T×m m để phơng trình sau có nghiệm: f(x) = + tan x + m(tan x + cot x) − = sin x (5) NhiÒu häc sinh lËp luËn nh sau: Ta cã (5) ⇔ 3(tan x + ) + m(tan x + cot x) − = sin x ⇔ 3(tan x + + cot x ) + m(tan x + cot x ) − = ⇔ 3(tan x + cot x ) + m(tan x + cot x ) + = §Ỉt tanx + cotx = t ⇒ tan x + cot x = t − Khi ®ã ta cã: 3(t2-2) + mt + = ⇔ 3t2 + mt – = (5’) Ph¬ng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm, phơng trình (5) có a.c=-12 < nên phơng trình (5) có hai nghiệm phân biệt Do phơng trình (5) có nghiệm 74 Học sinh đà mắc phải sai lầm lập luận chỗ đà không quan tâm đến điều kiện t cho phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm Lời giải cần bổ sung Điều kiện t là: t Phơng trình (5) có nghiệm phơng trình (5) có nghiệm thoả mÃn t Phơng trình (5) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 Mặt khác, t t = nên phơng trình (5) đồng thời có hai nghiệm t1, t2 thoả mÃn t t ≥ Do ®ã (5) cã nghiƯm (5’) có nghiệm đoạn [ 2;2] nghiệm khoảng ( 2;2) f (2)f (2) ≤ (8 − 2m)(8 + 2m) ≤ m Học sinh tìm điều kiện để phơng trình (5) có nghiệm thoả mÃn t ≥ theo c¸ch kh¸c VÝ dơ : X¸c định m để phơng trình: (m-1) sin2 x+2(3m+2) sin x - = (4) có nghiệm Giải: Đặt t = sin x Khi đó, phơng trình đà cho trở thành (m-1)t2+2(3m+2) t- = (5) Phơng trình (4) cã nghiÖm (5) cã nghiÖm ∆'(5) = (3m -2)2 +4 (m-1) ≥ 19  m≤ 9m2 +16m ≥   m ≥ 75 VËy víi m ≤ 19 hc m ≥ phơng trình đà cho có nghiệm Việc giáo viên yêu cầu tìm chỗ sai lời giải toán đà tạo tình nêu vấn đề, nói chung thuật giải để phát sai lầm Tình gợi nhu cầu nhận thức lẽ thân học sinh muốn tìm sai lầm lời giải, chấp nhận lời giải sai Nó gây cho ngời học niềm tin có khả huy động tri thức kỹ có thân họ hiểu rõ lời giải có sai lầm liên quan đến tri thức đà học Sau phát thấy sai lầm, học sinh đứng trớc nhiệm vụ nhận thức: Tìm nguyên nhân sửa chữa sai lầm Đó tình nêu vấn đề Bởi học sinh cha có sẵn câu trả lời thuật giải để có câu trả lời, học sinh có nhu cầu giải vấn đề, họ không chấp nhận để nguyên nhân sai lầm mà không sửa chữa, tìm nguyên nhân sửa chữa sai lầm liên quan tới tri thức sẵn có họ, vợt yêu cầu, học sinh thấy tÝch cùc suy nghÜ vËn dơng tri thøc ®· häc giải đợc vấn đề Lời giải sai lầm chỗ: Học sinh không ý thức đợc điều kiện t nên đà phát biểu toán thành: "Xác định m để phơng trình (m-1)t2+2(3m+2)t- = có nghiệm" dẫn đến kết sai Việc giải sai lầm liên quan tới tri thức sẵn có học sinh em đà biết tập giá trị hàm số sin Với này, đặt t = sinx, ®ã ®iỊu kiƯn cđa t lµ -1 ≤ t ≤ Yêu cầu toán đợc chuyển thành: " Xác định m để phơng trình (m-1)t2 + 2(3m+2) t - = 0" cã nghiƯm tho¶ m·n -1 ≤ t ≤ 1" * Sai lÇm giải toán lợng giác tam giác: Một số sai lầm giải toán lợng giác tam giác không 76 biện luận hết khả không để ý điều kiện gãc mét tam gi¸c tan A sin A = Ví dụ : Định dạng ABC, biết rằng: (*) tan B sin B Häc sinh lËp luËn nh sau: Dễ dàng nhận thấy để tanA tanB xác định tam giác vuông A hc B Ta cã: (*) tan A sin B = tan B sin A sin A sin B Sin B = sin A cos A cos B sin B sin A = sin B cos B = sin A cos A cos B cos B sin 2B = sin 2A 2B = 2A A = B ∆ABC c©n C Giáo viên yêu cầu học sinh xem lại lời giải lời giải đà có chỗ sai Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh chỗ cho rằng: sin B = sin A B = A Đến giáo viên hỏi học sinh: Tại sin2B = sin2A 2B = 2A?” DƠ dµng thư thÊy 2B = π 2A sin 2B = sin( 2A) Mà sin( π − 2A) = sin 2A , suy sin 2B = sin 2A Từ chỗ phân tích sai lầm yêu cầu học sinh làm lại từ bớc sin2B = sin2A Và đà đa lời giải ®óng nh sau: Ta cã: (*) tan Asin B = tan Bsin A sin A sin B Sin B = sin A cos A cos B 77 sin B sin A = sin Bcos B = sin A cos A cos B cos B sin 2B = sin 2A sin2A – sin2B = 2cos(A + B) sin (A – B) =  cos( A + B ) = ⇔ sin( A − B ) = Vì A + B (0; ) A B ∈ (−π ;π ) nªn A + B = ⇔C= π hc A – B = π A = B Tam giác vuông C cân C 2.2.6 Biện pháp 6: Hình thành phơng pháp tự học, tự nghiên cứu cho học sinh * Tù häc lµ mét biĨu hiƯn cao cđa hứng thú Trong năm gần đây, khối lợng tri thức khoa học tăng lên cách nhanh chóng Theo thống kê nhà khoa học, năm lại tăng lên gấp đôi, dòng thông tin tăng lên nh vũ bÃo dẫn đến chỗ khoảng cách tri thức khoa học nhân loại phận tri thức đợc lĩnh hội nhà trờng năm lại tăng lên Mà thời gian học tập nhà trờng có hạn, phơng pháp tự học có ý nghĩa đặc biệt thiết thực Tuy nhiên để tự học có hiệu cần có hớng dẫn giáo viên Tự học không hiểu học với sách, thầy bên cạnh; Mà có thầy bên cạnh, trò phát huy nội lực cố gắng học tù häc Tù häc tån t¹i cïng víi “häc” nh hình với bóng Để việc tự học bớt mò mẫm, mÊt thêi gian vµ cã hƯ thèng cịng nh chiỊu sâu, giáo viên phải rèn luyện cho học sinh có đợc phẩm chất trí tuệ nh tính linh hoạt, tính phê phán, tính độc lập, tính sáng tạo Ví dụ 1: Giải phơng trình: Sin2x + sin23x = cos2x + cos24x (1) 78 Bài toán vấn đề cần giải quyết, học sinh sẵn sàng bớc vào giải có khả giải đợc Phơng trình đà cho hiển nhiên cha có thuật giải, cha có dạng quen thuộc, cha gặp phơng trình chứa lũy thừa bậc chẵn giá trị lợng giác nên học sinh biến đổi: Phơng tr×nh (1) ⇔ − cos 2x − cos 6x + cos 4x + cos 8x + = + 2 2 ⇔ cos8x + cos6x+cos4x + cos2x = (2) Häc sinh cã thÓ biÓn đổi phơng trình (2) phơng trình bậc chứa cosx nhng sau gặp khó khăn Do phải nghĩ đến phơng án đa phơng trình tích số (theo mạch phân tích logíc) cách nhóm số hạng sử dụng công thức cộng (2) ⇔ 2cos7x.cosx + 2cos3x.cosx = ⇔ cosx(cos7x+cos3x) = ⇔ cosx.cos5x.cos2x =  cos x = ⇔  cos x =   cos5 x = Khi lấy nghiệm phơng trình b¶n cosx = cã häc sinh sÏ cho nghiƯm: x = x= π π + kπ , cã häc sinh khác lại cho nghiệm x = + k , 2 + k Đây vấn đề cần làm sáng tỏ, yêu cầu học sinh giải thích ba nghiệm theo công thức khác lại mà không đợc dùng đờng tròn lợng giác Bài tập tơng tự: Giải phơng tr×nh sau: sin24x + sin23x = sin22x + sin2x sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x 79 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = π sin24x - cos26x = sin(10,5 π +10x), x ∈ (0, ) VÝ dụ 2: Giải phơng trình: sin x + sin x = Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại bất đẳng thức Bunhia- Copsky áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copsky để tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: A= cos3x + − cos x Với cách tạo tình gợi vấn đề nh giáo viên, học sinh liên hệ bất đẳng thức Bunhia-Copsky để áp dụng giải phơng trình phơng pháp đánh giá A = cos3x + − cos x Dấu đẳng thức xẩy tơng đơng với cos3x = ⇔ x = k 2π Tõ dễ dàng nhận thấy: vế trái vÕ ph¶i ≤ VT = cos3 x = Do phơng trình VP = sin x = (*) Yêu cầu học sinh tìm nghiệm phơng trình tơng tự giải phơng trình sau: 1) sin x + − sin x = 2(1 + cos 2 x) 2) sin x + − sin x = 3) sinx + cosx = 2(1-sin72x) VÝ dơ 3: A, B, C lµ gãc cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: Sin2B + sin2C – 2sinBsinCcosA = sin2A Ta cã thÓ chøng minh Sin2B + sin2C - sin2A – 2sinBsinCcosA = X = Để chứng minh X = giáo viên tạo tình cách đặt câu hỏi: Nhắc lại công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức cộng?, Mối quan hệ góc A, B, C?, Mối quan hệ hàm số 80 lợng giác hai góc bù nhau? Với “tri thøc cị” võa “t¸i hiƯn”, c¸c em dƠ kh¸m phá tri thức toán cần chứng minh Häc sinh cã thĨ lµm nh sau: Ta cã: X= − cos2 B − cos2C + - sin2A – 2sinBsinCcosA 2 = 1- sin2A - (cos2B + cos2C) – 2sinBsinCcosA = cos2A – cos(B + C)cos(B – C) – 2sinBsinCcosA = cosA(cosA - 2sinBsinC) – cos(B + C)cos(B – C) = cos(B + C)[ cos(B + C) + 2sinBsinC] – cos(B + C)cos(B – C) = cos(B + C)[cosBcosC + sinBsinC] – cos(B + C)cos(B – C) = cos(B + C)cos(B – C) – cos(B + C)cos(B C) = (đpcm.) Ngoài cách giải có hai cách giải khác: Cách 1: XuÊt ph¸t tõ sin(B + C) = sinA ⇒ sinBcosC + sinCcosB = sinA Bình phơng hai vế biến ®ỉi ta suy ®pcm C¸ch 2: Xt ph¸t tõ cos(B + C) = -sinA ⇒ cosBcosC = sinBsinC – cosA Bình phơng hai vế biến đổi ta suy đpcm Ví dụ 4: A, B, C ba gãc cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: Cos2B + Cos2C + cosBcosCcosA = sin2A Hoàn toàn tơng tự nh vÝ dơ c¸c em tù chøng minh * Phơng pháp tự nghiên cứu khoa học phơng pháp giáo viên tổ chức, hớng dẫn để học sinh tự đạt đến hiểu biết Tất nhiên hiểu biết học sinh không thiết ngời; học sinh nói chung sáng tạo, phát minh lại chân lý, kiến thức mà khoa học đà biết mà Nhng điều quan trọng không việc tìm hiểu biết mới, tìm chân lý mới, mà trình tìm tòi, sáng tạo, trình hớng dẫn học sinh vào phòng thí nghiệm t sáng tạo Vì trình tự nghiên cứu, học sinh tự tìm tòi, sáng tạo nên ... giải vấn đề - Gây niềm tin khả năng: Nếu tình có vấn đề vấn đề hấp dẫn, nhng học sinh cảm thấy vợt xa so với khả họ không sẵn sàng giải vấn đề Tình gợi vấn đề phải chứa đựng phơng hớng giải vấn. .. nhận thức dẫn đến chỗ giải vấn đề, nhiệm vụ đặt cho ngời Vì tâm lý học, dạy học phải dựa vào nguyên tắc Tính có vấn đề cao, tức vấn đề t 1.4.1.3 Cơ sở giáo dục học Dạy học PH GQVĐ phù hợp với... gợi vấn đề: Đa học sinh vào tình gợi vấn đề Phân tích tình Dự đoán vấn đề nảy sinh đạt mục đích xác minh tính đắn Bớc 2: Giải vấn đề: Phân tích mối quan hệ dự kiện, điều kiện vấn đề cần tìm Đề