Vì vậy, từ kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán tôi hệ thống lại và đưa ra hướn
Trang 1Tác giả: Nguyễn Thị Thu
7.1.1 Hệ thống kiến thức sử dụng trong sáng kiến 4
Trang 2Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Dạng 1: Mô tả không gian mẫu, xác định biến cố của phép thử 41
2.1 Một số bài toán tìm xác suất dựa vào việc mô tả không gian mẫu và biến cố.
42
10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
Trang 3Tác giả: Nguyễn Thị Thu
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG
1 Lời giới thiệu:
Các bài toán về tổ hợp - xác suất, nhị thức Newton là một nội dung cơ bản trong nhà trường phổ thông Nó thường xuất hiện trong các kỳ kiểm tra, các kỳ thi học kỳ, thi HSG và thi THPT QG Đây là nội dung có sự liên hệ thực tiễn cao, nhiều bài toán gắn với đời sống thực tế Nhìn chung, không có một phương pháp chung nào để giải các bài toán về tổ hợp - xác suất cụ thể mà chỉ có một số phương pháp thường dùng để giải cũng như để xây dựng bài toán Tài liệu tham khảo đầy đủ về dạng bài tập này không nhiều, và còn nằm rải rác ở nhiều tài liệu khác nhau và chưa hệ thống thành phương pháp giải Vì vậy, mà không ít học sinh cảm thấy lúng túng trước một bài tập về tổ hợp - xác suất Hàng năm trong đề thi học sinh giỏi cấp THPT, thi THPT QG có xuất hiện các bài toán liên quan đến tổ hợp xác suất, có nhưng bài toán gây không ít khó khăn cho thí sinh Thậm chí, nhiều thí sinh phải bỏ hẳn câu này
Vì vậy, từ kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu
Toán tôi hệ thống lại và đưa ra hướng giải quyết thông qua chuyên đề: “Định
hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp – Xác suất thi HSG và THPTQG” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh nắm bắt được cách giải
dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của trường THPT Đồng Đậu
2 Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG
3 Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thu
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu
- Số điện thoại: 0983973826 E_mail: Nguyenthugvtoan@gmail.com
4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Thu
Trang 4Tác giả: Nguyễn Thị Thu
7.1 Nội dung sáng kiến:
7.1.1 Hệ thống các kiến thức sử dụng trong SKKN
7.1.1.1 Hai quy tắc đếm:
7.1.1.1.2 Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong 2
phương án A và B Có n cách thực hiện theo phương án A, m cách thực hiện theo phương án B Khi đó công việc có thể thực hiện theo m+n cách
Tổng quát: Giả sự một công việc có thể thực hiện theo 1 trong k phương án
Khi đó số cách thực hiện công việc là : (n1 + + +n2 n k) cách.
7.1.1.1.3 Quy tắc nhân: Giải sử một công việc được hoàn thành bởi hai công
đoạn liên tiếp Ở công đoạn 1 có m cách thực hiện Ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn 1 có n cách thực hiện công đoạn 2 Khi đó có m.n cách hoàn thành công việc
Tổng quát: Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k công đoạn
1 , 2 , , k
A A A , liên tiếp nhau Trong đó:
+ Công đoạn A1 có n1 cách thực hiện
+ Công đoạn A2 có n2 cách thực hiện
+ Công đoạn A3 có n3 cách thực hiện
………
+ Công đoạn A k có n k cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n n n n1 2 3 k) cách
Chú ý: Sự khác biệt căn bẳn của hai quy tắc cộng và nhân ở chỗ: Quy tắc cộng
là công việc chỉ có một công đoạn, quy tắc nhân là công việc cần thực hiện từ 2 công đoạn liên tiếp trở lên.
7.1.1.2 Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp:
7.1.1.2.1 Hoán vị:
Trang 5Tác giả: Nguyễn Thị Thu
• Định nghĩa: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phẩn tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
• Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là P n = =n! n n( − 1 2.1)
7.1.1.2.2 Chỉnh hợp:
• Định nghĩa: Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập A và
sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho
n C
k n k
=
−
Chú ý: - Dấu hiệu nhận biết đặc trưng của Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp:
+) Hoán vị dùng khi: có bao nhiêu phần tử mang tất cả đi sắp xếp +) Chỉnh hợp dùng khi: Mang ít hơn số phần tử đang có đi sắp xếp.
+) Tổ hợp dùng khi: Mang ít hơn số phần tử đang có đi, nhưng không có
sắp xếp.
- Nhiều bài toán cần vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản kết hợp với 3 quy
tắc hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp.
7.1.1.3 Phép thử và biến cố - xác suất của biến cố
7.1.1.3.1 Phép thử: Là một thí nghiệm hay một hành động mà ta không đoán
trước được kết quả của nó mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó
-Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu Kí hiệu là Ω
- Số các kết quả có thể của phép thử kí hiệu là n( )Ω
7.1.1.3.2 Biến cố là một tập con của không gian mẫu
- Biến cố không thể chính là tập rỗng
Trang 6Tác giả: Nguyễn Thị Thu
- Biến cố chắc chắn là không gian mẫu
7.1.1.4 Các phép toán trên các biến cố:
+ Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A
+Hợp của hai biến cố A và B kí hiệu là A B∪
+Giao của hai biên cố A và B kí hiệu là A B∩ = A B.
+ Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A B∩ = ∅
Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc với nhau, nhưng điều ngược lại thì
không đúng
7.1.1.5.Tính chất của xác suất:
+P( )∅ = 0; P( )Ω = 1
+0 ≤P A( ) ≤ ∀ 1, A
+Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P A B( ∪ ) =P A( )+P B( )
+)Nếu A và B không xung khắc nhau thì P A B( ∪ ) =P A( )+P B( )−P A B( ∩ )
+P A( ) = − 1 P A( )
7.1.1.6 Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.
+) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự xảy ra của biến cố này không ảnh hướng đến xác suất xảy ra của biến cố kia
+) A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P A B( . ) =P A P B( ) ( ).
7.1.2 Các dạng bài tập
7.1.2.1 Các dạng bài tập về tổ hợp.
Dạng 1 Sắp xếp các chữ số
Chú ý: Trường hợp có chữ số 0 và trường hợp không có chữ số 0.
Vận dụng linh hoạt các quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Có nhiều bài toán cần phải kết hợp các quy tắc trên
Dạng toán 1.1 Đếm các số tự nhiên với các điều kiện đơn giản
Bài 1 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số sao cho:
a/ Các chữ số đều khác nhau;
Trang 7Tác giả: Nguyễn Thị Thu
b/ Chữ số đầu tiên là số 3;
c/ Các chữ số khác nhau và không tận cùng là 4.
HD: Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số abcde ta thực hiện 5 động tác liên tiếp
là chon a, b, c, d, e từ các chữ số bài toán cho
a/ Vì 5 chữ số đều khác nhau nên mỗi số tự nhiên có 5 chữ số tạo thành từ bộ 7 chữ số chính là một chỉnh hợp chập 5 của 7 Vậy có 5
7
b/ Do chữ số đầu là 3, nên ta chỉ thực hiện 4 động tác liên tiếp là chọn b, c, d, e
từ các chữ số bài cho
Theo quy tắc nhân có 7 4 = 2401
c/ Do các chữ số là khác nhau và không tận cùng là 4 nên e có 6 cách chọn và ta chon 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại nên có 4
TH1: e là 0 Khi đó ta chọn 4 số từ bộ 6 số sắp vào 4 vị trí ứng với a, b, c, d Nên
có 4
6
TH2: e khác 0 Như vậy e có 3 cách chọn ( 2,4,6) Sau đó chọn a, có 5 cách
Ta chọn 3 chữ số từ bộ 5 chữ số còn lại sắp vào 3 vị trí b, c, d nên có 3
5
A Vậy có 3.5 3
HD: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số abcd
Do nó gồm các chữ số khác nhau và không chia hết cho 10 nên d khác 0 Vậy d
Bài 4 Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9 Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số
tự nhiên đôi một khác nhau và
Trang 8Tác giả: Nguyễn Thị Thu
5
A cách chọn a và b Nên có 2
5
A (số)
Bài 5 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số
khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên.
HD: Gọi số tự nhiên có 6 chữ số là abcdef Theo giả thiết số tự nhiên có 6 chữ
số khác nhau, lẻ và nhỏ hơn 600000 nên a chỉ có thể thuộc bộ { 1, 2, 3, 4, 5}, còn f chỉ có thể thuộc tập {1;3;5;7;9}
Th1: f thuộc {1, 3, 5}, khi đó f có 3 cách chọn, a có 4 cách chọn, có 4
8
A cách chọn b, c, d, e
Bài 6 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và ≤ 46800
Giải: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là abcde Theo giả thiết a ∈{1; 2;3; 4}
Th1 Nếu a ∈{1; 2;3} , vậy có 3 cách chọn a, khi đó chọn b, c, d, e có 4
9
A cách Khi đó có 3 4
9
A (số)Th2: Nếu a là 4 Khi đó b ∈{0;1; 2;3;5;6} Nếu b ∈{0;1; 2;3;5}, thì b có 5 cách chọn,
Trang 9Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Nếu b là 6 thì c ∈{0;1; 2;3;5;7} tức c có 6 cách chọn, thì tương ứng có 2
7
A cách chọn d, e Vậy có 6 2
Bài 5 Với các chữ số 1,2, …,9 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau và không lớn hơn 789
Đ/s: Xét 2 trường hợp a thuộc tập {1,2,3,4,5,6} và trường hợp a bằng 7
Bài 6 Có bao nhiêu số tự nhiên có thể lập được từ các chữ số 2, 4, 6,8 nêu
a/ số đó nằm từ 200 đến 600
b/ số đó gồm 3 chữ số khác nhau
c/ số đó gồm 3 chữ số.
Đ/s: a/ 32; b/ A 3 ; c/ 4 3
Trang 10Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 7 Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 7 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số
Bài 8 Từ các chữ số 1, 2, ,9 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác
nhau, trong đó có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa.
Bài 11 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
HD: Xét 2 trường hợp chữ cuối cùng là 0 và chữ số cuối cùng là 5 4 3
Bài 12 Từ các chữ số 1, 2, 3 , 7 Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số
khác nhau sao cho 2 chứ số đầu là số lẻ, hai chữ số sau là số chắn.
Đ/s: 4.3.2.3
Bài 13 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
các chữ số khác nhau biết số đó lớn hơn 3000.
Trang 11Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Đ/s: Có 2 trường hợp: Số có 4 chữ số khác nhau và số có 5 chữ số khác nhau
Đ/s: Áp dung quy tắc nhân có 9 5
Dạng toán 1.2 Đếm các số tự nhiên có điều kiện liên quan đến tổng các chữ số.
*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:
+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8
+dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chia hết cho 3
+dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4
+dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5
+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3
+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9
+dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0
+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở
Trang 12Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Th3 bộ {1;1;1;0; ;0} , khi đó a 1 = 1, ta chọn 2 vị trí trong 2007 vị trí còn lại để sắp
Bài 2 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1,
2, 3, 4, 5 mà số đó không chia hết cho 3.
Giải: Trước tiên ta tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ bộ số bài
toán cho, sau đó ta tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3
là 63 Đây là số lẻ Suy ra nếu số này có tổng các chữ số là số chẵn thì số còn lại
có tổng các chữ số là số lẻ Mà mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số bù với
Giải: Vì với bộ 10 số tự nhiên có 5 số chẵn và 5 số lẻ nên Số tự nhiên đó phải
gồm 4 số chẵn và 4 số lẻ biểu diễn qua 8 ô
TH1: có chứa số 0
Trang 13Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 5 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ
số đôi một khác nhau mà tổng của ba chữ số đó bằng 10.
Giải: Ta có 10=1+3+6=1+4+5=2+3+5, từ các chữ số 1,2,3,4,5,6.
Vây để có được số có 3 chữ số đôi một khác nhau mà tổng của chúng bằng 10 thì ta phải lập từ bộ {1;3;6}; {1;3;5}; {2;3;5}
Vậy số các chữ số lập được là: 3.3!=18
Bài 6 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3
chữ số khác nhau không chia hết cho 9.
Giải: Để một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9 từ các chữ số
0,1,2,3,4,5 thì tổng của ba chữ số đó phải bằng 9 Như vậy ta có các bộ số sau: {0,4,5}; {1,3,5}; {2;3;4}
Vậy có 2.2+2.3!=16
Bài 7 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số và chia hết cho 9.
Giải: Các số gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 là: 100008;100017; 100026;
100035; ;999999
Trong đó các số lẻ là: 100017;10035; ;999999 Lập thành cấp số cộng với có số hạng đầu u1 = 100017 , công sai d = 18 , số hạng cuối u n = 999999
d
Vậy có 50000 số lẻ và chia hết cho 9
Bài 8 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là lẻ.
Giải: Trước hết ta có 9.10 4 số khác nhau gồm 5 chữ số
Gọi số có 5 chữ số là a a a a a 1 2 3 4 5 , xét số b b b b b 1 2 3 4 5sao cho b i = − 9 a ,i 1,5 i = được gọi là số “bù” của số a a a a a 1 2 3 4 5 Khi đó tổng các chữ số của hai số này là 45
Trang 14Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Đây là số lẻ Suy ra nếu số này có tổng các chữ số là số chẵn thì số còn lại có tổng các chữ số là số lẻ Mà mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số bù với nó Vậy số các số có tổng chẵn bằng số các số có tổng lẻ Vậy số các số có tổng lẻ là 45000
Cách 2: Số các số có 4 chữ số a a a a1 2 3 4 là 9.103 số
Với mỗi số có 4 chữ số a a a a1 2 3 4 ta lập được 5 số có 5 chữ số a a a a a1 2 3 4 5 mà tổng các chữ số là một số chẵn
Vậy có tất cả: 9.103.5 = 45.103 số
Dạng toán1.3: Đếm các số tự nhiên có điều kiện phải có mặt chữ số nào đó.
Bài 1 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi
một khác nhau sao cho nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Giải: Do số tự nhiên nhất thiết phải có mặt chữ số 5 nên ta chọn 1 vị trí trong 4
vị trí để sắp số 5 Có 4 cách chọn Sau đó ta chon 3 chữ số trong 5 chữ số sắp vào 3 vị trí có 3
Giải: Vì bộ có chứa chữ số 0 nên ta chia ra 2 TH
Th1: Số 5 ở vị trí đầu tiên Khi đó ta chọn 5 chữ số trong 7 chữ số sắp vào 5 vị trí có 5
d/ Có mặt cả chữ số 1 và 0; e/ Có mặt cả chữ số 1 và 2.
Trang 15Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 6 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1,
2, , 7 trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Trang 16Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Có 6 cách chọn chữ số sắp vào vị trí đầu tiên, sau đó có 5 cách chọn vị trí sắp chữ số 4, còn lại chọn 4 chữ số từ 6 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại có 4
6
A Vậy có 4
Bài 7 Với các chữ số 0,1,2 , 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Giải: tương tự Số các số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt
chữ số 5 là: 4 3 5 4 ( 5 4)
6 5.4 5 7 6 6 5
A + A = A −A − A −A
Bài 8 Từ các chữ số 1,2, ,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó phải có mặt chữ số 2 và 7.
Giải: Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là: 5
Suy ra có 2 3
5 5
A A
Dạng toán1.4 Đếm các số tự nhiên với điều kiện có chữ số lặp lại
Bài 1 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số mà
chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Giải: Giả sử số có 8 chữ số được viết vào 8 ô như hình
TH1 Nếu 1 ở ô đầu tiên
Khi đó ta cần chọn 2 vị trí trong 7 vị trí còn lại để sắp chữ số 1 có 2
7
C cách
Sau đó sắp 5 chữ số còn lại vào 5 vị trí có 5! Cách
Trang 17Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Giải: Giải sử số có 8 chữ số được sắp vào 8 ô như hình
Th1 Chữ số 9 ở ô đầu tiên Khi đó cần chọn 2 vị trí nữa để sắp chữ số 9 nên có
Trang 18Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Trang 19Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Th2 Số lặp lại 3 lần không phải là số 0
Khi đó ta chọn 3 vị trí trong 9 vị trí đế sắp chữ số lặp lại
Bài 7 Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2
lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần các chữ số khác có mặt không quá 1 lần
Giải: giải sử số có 9 chữ số được sắp vào 9 ô như hình
Th1: Ô đầu tiên chứa chữ số 2 Khi đó ta có 8 cách chọn 1 vị trí sắp chữ số 2 còn lại
Sau đó ta có 3
7
C cách chọn 3 ô để sắp chữ số 3 Chọn 4 chữ số từ 8 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại có 4
8
A
Trang 20Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 9 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiên 3
lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần
Bài 10 Từ các chữ số 0,2,4,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số mà
trong đó chữ số 9 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần
Đ/s: Tương tự 2 3
7 5! 4 .4! 7
Dạng 1.5 Đếm các số tự nhiên với điều kiện các chữ số đứng cạnh nhau.
Bài 1 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
khác nhau mà 2 chữ số 3 và 5 không đứng cạnh nhau.
Giải: Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là 6!
Ta tìm các số có 6 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 3 và 5 đứng cạnh nhau là: 2.5!
Suy ra số các số có 6 chữ số khác nhau mà 2 chữ số 3 và 5 không đứng cạnh nhau là 6! 2.5! 480 − =
Bài 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có mặt đồng thời hai
chữ số 1 và 2 và 2 số đó không đứng cạnh nhau.
Giải: Giả sử số có 7 chữ số được viết vào 7 ô của hình sau
Trang 21Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Trước tiên ta tìm số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số
1 và 2
(Cách 1 Ta 2 ô để sắp 2 chữ số 1 và 2 trong 7 ô thì có 2
7
A cách Sau đó chọn 5 chữ số từ 8 chữ số còn lại sắp vào 5 vị trí còn lại nên có 5
8
A theo quy tắc nhân
có 2 5
7 8
A A , trong đó gồm cả những số có 7 chữ số nhưng chữ số 0 ở ô đầu tiên.
Ta tìm số các số có 7 chữ số mà chữ số 0 ở vị trí ô đầu tiên Khi đó chọn 2 ô trong 7 ô để sắp 2 chữ số 1 và 2 có 2
6
A Chọn 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại sắp vào 4 ô còn lại nên có 4
7
A theo quy tắc nhân có 2 4
Cách 2 TH1: Số 1 hoặc 2 ở vị trí đầu tiên Nên có 2 cách chọn.
Sau đó chọn 1 vị trí sắp chữ số còn lại nên có 6 cách.
Chọn 5 chữ số còn lại từ 8 chữ số còn lại sắp vào 5 ô còn lại nên có 5
8
A Theo quy tắc nhân có 2.6 5
8
A TH2 Ô đầu tiên không phải là 2 chữ số 1 và 2 nên có 7 cách chọn.
Chọn 2 ô trong 6 ô còn lại sắp 2 chữ số 1 và 2 nên có 2
6
A Sau đó chọn 4 chữ số trong 7 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại nên có 4
Trang 22Tác giả: Nguyễn Thị Thu
HD: 1,2,3 đứng cạnh nhau ta coi là 1 chữ số a hình thức Như vậy ta cần lập ra
số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số a, 4,5,6,7,8,9,0 Trong đó nhất thiết phải
Có 6 cách chọn chữ số sắp cho vị trí đầu tiên, sau đó chọn 1 vị trí để sắp chữ số
Bài 4 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
khác nhau Trong đó có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.
Đ/s: Tương tự Có 480 số
Bài 5 Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số
còn lại là 2,4,6,8 mà 5 chữ số 1 đứng liền nhau.
Giải: 5 chữ số 1 đứng liền nhau được coi như 1 số.
Như vậy số có 9 chữ số được coi như số có 5 chữ số 1,2,4,6,8 Vậy số các số có
9 chữ số như yêu cầu bài toán là 5!
Nếu e=1, khi đó có 5! Số có 6 chữ số khác nhau có hàng đơn vị bằng 1
Tương tự cũng có 5! Số có 6 chữ số khác nhau có hàng đơn vị là 2,3,4,5,6.Vậy tổng tất cả các chữ số hàng đơn vị của các số có 6 chữ số là:
Trang 23Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 2 Xét dãy có 7 chữ số là các số tự nhiên từ 0 đến 9 thỏa mãn các đk sau:
Chữ số thứ 3 là số chẵn, Chữ số cuối cùng là số không chia hết cho 5, ba chữ số thứ 2,4,6 đôi một khác nhau.
Giải: Giả sử dãy 7 chữ số là a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 Theo giả thiết a3 ∈{0; 2; 4;6;8} ,
a/ Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.
b/ Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.
Giải: Gọi số có 6 chữ số là a a a a a a1 2 3 4 5 6
Để có được số tự nhiên có 6 chữ số lẻ khác nhau ta làm như sau:
Chọn a6 có 3 cách chọn, sau đó chọn a1 có 4 cách chọn, 4 chữ số còn lại mang sắp vào 4 vị trí còn lại nên có 4! Cách Vậy có 3.4.4! (số)
Vậy có 5! 2.4.4! 312 + =
Cách 2 Số các số có 6 chữ số( kể cả trường hợp số 0 ở vị trí đầu tiên ) là: 6!
Số các số có 6 chữ số mà số 0 ở vị trí đầu tiên có 5!
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là 6! 5! 5.5! 600 − = =
Theo phần a/ Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là
số lẻ là: 288
Trang 24Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau là số chẵn từ các chữ số bài cho là: 288=312
600-Bài 4 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau xếp theo thứ tự tăng
dần.
Giải: Gọi số tự nhiên có 7 chữ số là a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 , theo giả thiết
Bài 5 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn
Ta tìm tổng của các số có 3 chữ số khác nhau có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên
Mỗi chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 đứng ở các vị trí hàng đơn vị, chục trong các số có
Trang 25Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài toán có 3 trường hợp:
TH1: Số tự nhiên có chứa 1 chữ số 3 còn lại là số 0 Vì số này có thể có từ 1 chữ
số đến n chữ số nên có 1
n
C số tự nhiên như thế ( số có 1 chữ số hay số có n chữ
số đều có 1 số)
TH2: Số tự nhiên có chứa 1 chứ số 1, 1 chữ số 2 còn lại là số 0 Khi đó bắt buộc
số tự nhiên thỏa mãn có tổng bằng 3 lập từ các chữ số trên phải có từ 2 chữ số trở lên Từc n 2 ≥
Trang 26Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Vậy theo quy tắc cộng có 1
Bài 9 Cho tập hợp A={1, 2,3 , 2013, 2014} và n là số nguyên dương Gọi B là một
tập con của A gồm n phần tử mà B chứa 3 số tự nhiên liên tiếp Tìm n biết có tất cả
4066362660 tập B như vậy.
Giải: Để tồn tại tập B như vậy thì n>2.
Do tập A có 2012 bộ số gồm 3 số tự nhiên liên tiếp là (1,2,3); (2,3,4); ;
(2012,2013,2014)
Để tìm được số tập con của A thỏa mãn yêu cầu bài toán ta cần thực hiện 2 bướcBước 1: chọn 1 bộ số gồm 3 chữ số tự nhiên liên tiếp từ 2012 bộ số trên Có 2012 cách chọn
Bước 2 Chọn n-3 số trong 2014-3=2011 số còn lại có 3
Bài 2(ĐH-B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và
3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ
3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Trang 27Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 3 Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác
cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập?
Giải: Để thảnh lập một đội công tác ta tiến hàng các bước sau:
Bước 1: chọn 1 tổ trưởng có 1
3
C cáchBước 2: Chọn 1 tổ phó có 1
Bài 4 Một đội tuyển học sinh giỏi có 18 em, trong đó có 7 em học sinh lớp 12, 6
em học sinh lớp 11 và 5 em học sinh lớp 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 em học sinh đi dự trai hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn
Bài 5.(2.2 SBT) Gieo đồng thời ba con xúc xắc Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy
ra mà tổng số chấm xuất hiện trên 3 mặt của con xúc xắc là 9
Giải: Giải sử a, b, c là số chấm con xúc xắc xuất hiện ở các lần gieo 1,2,3.
Th3 a b c, , thuộc {3,3,3} , khi đó chỉ có 1 khả năng xảy ra
Vậy số khả năng thỏa mãn đề bài là: 12+6+1=19
Bài tập tự giải:
Bài 1 Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ Giáo viên chọn 4
học sinh đi trực thư viện Có bao nhiêu cách chọn nếu:
Trang 28Tác giả: Nguyễn Thị Thu
a/ Chọn bất kỳ; b/ trong 4 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ, c/ có ít nhất 1 học sinh nữ
Bài 2 Một nhóm có 15 nữ và 10 nam Có bao nhiêu cách thành lập một hội gồm
6 người sao cho số nam ít hơn số nữ
= Vì các cách ghép này không phân biệt thứ
tự nên mỗi cách ghép này được tính lặp 6! lần Vậy thực có 6
12!
2 6!
Bài 4 Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C Hỏi : a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?
b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ?
c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe
buýt không đi quá một lần?
HD: Đ/s: a/ 4.3=12; b/ 4.3.3.4=144; c/ 4.3.2.3=72
Bài 5 Một hộp đựng 7 quả cầu màu đỏ, 3 quả cầu màu xanh Lấy ngẫu nhiên từ
trong hộp ra 3 qua
a/ Có bao nhiêu cách lấy như vậy
b/ Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có 2 qua cầu màu đỏ
c/ Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu màu đỏ
d/ Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có ít nhất một quả cầu màu đỏ
HD: a/ Lấy 3 quả cầu trong hộp 10 quả có số cách lấy là: 3