TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT NỬA VÀNH VÀ NỬA MÔĐUN (bao gồm file latex)

Nội dung tiểu luận gồm 3 chương: CHƯƠNG I: Một số kiến thức liên quan. Khái niệm nữa vành, nửa modun, đồng cấu nữa moodun , tính chất nữa modun giản ước được CHƯƠNG II:Tích Tenxơ của môđun. Cách xây dựng Tích Tenxơ và một số tính chất cıa Tench Tenxơ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC

——————o0o——————

TIỂU LUẬN

LÝ THUYẾT NỬA VÀNH VÀ NỬA MÔĐUN

Đề tài:

TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN

Chuyên Ngành: Đại số và Lý thuyết số

PGS.TSKH.Nguyễn Xuân Tuyến Hoàng Thị Kiều My

Thành phố Huế, tháng 11 năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TSKH.Nguyễn Xuân Tuyến, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm,tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu,học tập môn Lý thuyết nửa vành và nửa môđun và nhất là trong quá trìnhhoàn thành tiểu luận này

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cám ơn về những giúp đỡ, chỉ bảo quý báucủa các anh chị học viên trong lớp Cao học 22, chuyên ngành Đại số-Lý thuyết

số trường Đại học Sư Phạm Huế đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trìnhhọc tập, cũng như trong quá trình viết và chỉnh sửa tiểu luận này Mặc dù đã

có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rấtmong nhận được những ý kiến đóng góp của các quý thầy cô và các bạn để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Mục lục

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 4

1.1 Nửa vành 4

1.2 Nửa môđun 5

1.3 Đồng cấu nửa môđun 5

1.4 Tính chất giản ước được 6

Chương 2 TÍCH TENXƠ CỦA NỬA MÔĐUN 7

2.1 Xây dựng tích Tenxơ 7

2.2 Tính chất 8

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 17

Bài 1 17

Bài 2 19

LỜI MỞ ĐẦU

Trên thế giới hiện nay, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu rực

rỡ Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào cáclĩnh vực khác của toán học hiện đại Do nhu cầu phát triển của toán học hiệnđại, vào những năm giữa thế kỷ hai mươi lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửamôđun trên nửa vành ra đời và đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giớiquan tâm nghiên cứu Dựa trên những thành tựu đạt được về lý thuyết môđun,nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang nửa môđun với những sự thayđổi thích hợp và khá tinh tế Tiểu luận của tôi dựa trên cuốn sách A theory ofsemirings and semimodules của PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến để trình bàynhững kiến thức cơ sở về lý thuyết xây dựng tích Tenxơ của nửa môđun và cáctính chất của nó

Nội dung tiểu luận gồm 3 chương :

Chương 1 : Một số kiến thức liên quan

Trong chương này tôi trình bày khái niệm : nửa vành, nửa môđun, đồng cấunửa môđun, tính chất nửa môđun giản ước được

Chương 2 : Tích Tenxơ của nửa môđun

Trong chương này tôi trình bày cách xây dựng Tích Tenxơ và một số tính chấtcủa Tích Tenxơ

Chương 3: Một số bài tập liên quan

Trong chương này tôi chủ yếu giải các bài tập ở trong giáo trình của thầyNguyễn Xuân Tuyến

Mệnh đề 1.1.1 Một tập Λ chứa hai phần tử 0 6= 1 cùng với hai phép toán (+)

và (.) là một nửa vành giao hoán nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây đượcthỏa mãn với mọi a, b, c, d, e ∈ Λ:

(1) a + 0 = 0 + a;

1.3 Đồng cấu nửa môđun

Định nghĩa 1.3.1 Cho A, B là Λ− nửa môđun trái Ánh xạ f : A → B gọi làđồng cấu nếu thỏa các điều kiện :

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Λ

f (rx) = rf (x), ∀x ∈ A, r ∈ Λ

Định nghĩa 1.3.2 Cho f : A → B gọi là Λ− đồng cấu nửa môđun

a) Nếu f thỏa mãn tính chất : ∀a1, a2 ∈ A : f (a1) = f (a2) ⇒ a1 = a2 thì fđược gọi là đơn cấu

b)f được gọi là toàn cấu nếu : ∀b ∈ B , ∃a ∈ A : f(a)=b.

c)f gọi là đẳng cấu nếu f vừa đơn cấu vừa toàn cấu

Định nghĩa 1.3.3 Cho A, B là hai Λ− nửa môđun Đặt HomΛ(A, B) =



f |f : A → B đồng cấu Lúc đó HomΛ(A, B) là một vị nhóm giao hoán cùngvới phép cộng :

(f + g)(x) = f (x) + g(x)(HomΛ(A, B), +) là vị nhóm các đồng cấu từ A vào B

Định nghĩa 1.3.4 Cho f : A → B là Λ− đồng cấu nửa môđun trái

a) f gọi là i-chính quy nếu f(A)=Im(f) b) f gọi là k-chính quy nếu : ∀a1, a2 ∈ A

sao cho f (a1) = f (a2) thì ∃k1, k2 ∈ Ker(f ) : a1 + k1 = a2 + k2

c) f gọi là chính quy nếu f vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy

d) f gọi là nửa đẳng cấu nếu f là toàn cấu và Ker(f)=0

Mệnh đề 1.3.1 Cho f : A → B là Λ− đồng cấu nửa môđun Khi đó f là đơncấu khi và chỉ khi f là k-chính quy và Ker(f)=0

1.4 Tính chất giản ước được

Định nghĩa 1.4.1 Một phần tử u của nửa vành có đơn vị Λ được gọi là giảnước được nếu u+b=u+c suy ra b=c trong Λ

N[A × B] được biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổng hữu hạn :

α = P

ni(ai, bi) với ni ∈ N, (ai, bi) ∈ A × B

Ta biểu thị U = N[A × B] ×N[A × B] là tích của vị nhóm cộng theo từngthành phần Giả sử W là tập con của U bao gồm tất cả các phần tử được biểudiễn dưới dạng :

((a + a0, b), (a, b) + (a0, b)), ((a, b) + (a0, b), (a + a0, b))

((a, b + b0), (a, b) + (a, b0)), ((a, b) + (a, b0), (a, b + b0))

s(a ⊗ b) = (sa) ⊗ b

Tương tự, nếu B là (Λ, Γ)− song nửa môđun thì A⊗ΛB là Γ− nửa môđun

phải với tích vô hướng được định nghĩa :

(a ⊗ b)s = a ⊗ (bs)

Mệnh đề 2.19: Cho Λ là nửa vành có đơn vị Nếu A là Λ− nửa môđun phải

và B là Λ− nửa môđun trái thì N− nửa môđun A⊗ΛB là giản ước được.Chứng minh:

Vậy A⊗ΛB là giản ước được

Định nghĩa 2.2.1 Cho Λlà nửa vành có đơn vị Nếu A là Λ− nửa môđun phải

và B là Λ− nửa môđun trái và Γ là N− nửa môđun thì ánh xạ θ : A × B → Γ

được gọi là Λ− cân bằng nếu và chỉ nếu :

∀a, a0 ∈ A, ∀b, b0 ∈ B, ∀r ∈ Λ ta có :

(1) θ(a + a0, b) = θ(a, b) + θ(a0, b)

(2) θ(a, b + b0) = θ(a, b) + θ(a, b0)

(αr)(n) = α(rn)

Nếu M là Λ− nửa môđun phải và ϕ : M → HomN(N, Γ) là Λ− đồng cầu, khi

đó ta có ánh xạ cân bằng :

θ : M × N → Γ(m, n) 7→ (ϕ(m))(n)

Ngược lại, nếu θ : M × N → Γlà toàn ánh cân bằng thì ta định nghĩa Λ− đồngcấu :

(1) Nếu Λ là nửa vành có đơn vị và M là Λ− nửa môđun trái thì ta có quan

hệ [≡](0) trên M được định nghĩa bởi :

m[≡](0)m0 ⇔ ∃m00 ∈ M : m + m00 = m0+ m00

Lớp tương đương của phần tử m đối với quan hệ này được kí hiệu : m[/](0)

(2) Nếu Λ là nửa môđun trái và ∼ là Λ− quan hệ tương đẳng trên M đượcđịnh nghĩa :

m ∼ m0 ⇔ ∃m00 ∈ M : m + m00 = m0+ m00

Khi đó M/ ∼ được gọi là Λ− nửa môđun trái giản ước được

Mệnh đề 2.20: Cho Λ là nửa vành có đơn vị, A là Λ− nửa môđun phải, B

là Λ− nửa môđun trái và Γ là N− nửa môđun Nếu θ : A × B → Γ là ánh xạ

Λ− cân bằng thì tồn tại duy nhất một N− đồng cấu ϕ : A⊗ΛB → Γ [/]{ 0}

thỏa điều kiện : ϕ(a ⊗ b) = θ(a, b) [/]{ 0} ∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Chứng minh: θ được mở rộng một cách suy nhất bởi N− đồng cấu θ∗ :

θ∗ : N(A × B) → Γ

thỏa : θ∗(α(a, b)) = θ(a, b), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.

Thật vậy, với mỗi γ ∈ N(A × B) ta có :

θ∗(γ) = X

(a,b)∈sup p(γ)

γ(a, b)θ(a, b)

với sup p(γ) là giá của γ nghĩa là γ(a, b) 6= 0 với (a, b) ∈ A × B

Cho ≡ là quan hệ tương đương được dùng trong định nghĩa A⊗ΛB, nghĩa là :

A⊗ΛB = N(A × B)/ ≡

Tương tự, cho U’ và W như trên và dùng ánh xạ :

ϕ : A⊗ΛB → Γ0 = Γ [/] {0}

α/ ≡7→ θ∗(α) [/] {0}

Ánh xạ này được định nghĩa tốt vì :

Nếu α ≡ β trong N(A × B) thì ∃ (γ, δ) ∈ U0 sao cho α + γ = β + δ

θ∗(α) [/] {0} = θ∗(β) [/] {0}

⇒ ϕ(α/ ≡) = ϕ(β/ ≡)

Ta chứng minh ϕ là N− đồng cấu :

Thật vậy, nếu α, β ∈ N(A × B) thì :

ϕ (α/ ≡ +β/ ≡) = ϕ [(α + β) / ≡]

= θ∗(α + β) [/] {0}

= θ∗(α) [/] {0} + θ∗(β) [/] {0}

= ϕ(α/ ≡) + ϕ(β/ ≡)

Giả sử α ∈ N(A × B) thỏa điều kiện : α = 0

Khi đó ∃ (γ, δ) ∈ U0 sao cho α + γ = β + δ

⇒ θ∗(α) + θ∗(γ) = θ∗(β) + θ∗(δ)

Vì θ∗(λ) = θ∗(δ) và Γ [/] {0} là giản ước được nên θ∗(α) = 0 [/] {0}

⇒ ϕ (0/ ≡) = 0 [/] {0}

Vậy ϕ là N− đồng cấu

Ta dễ dàng kiểm tra được tính duy nhất của ϕ

Vậy mệnh đề đã được chứng minh

Chú ý: Nếu A là Λ− nửa môđun phải, B là Λ− nửa môđun trái và Γ là N−

nửa môđun giản ước được, với mỗi ánh xạ Λ− cân bằng : θ : A × B → Γ thìtồn tại duy nhất N− đồng cấu ϕ :

ϕ : A⊗ΛB → Γ [/] {0}

a ⊗ b 7→ θ (a, b)

với ∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Mệnh đề 2.21: Cho Λ là nửa vành có đơn vị, A là Λ− nửa môđun phải, B

là Λ− nửa môđun trái và Γ là N− nửa môđun giản ước được Khi đó tồn tạiđẳng cấu chính tắc của Γ là N− môđun :

ρ : Hom (A⊗ΛB, Γ) → HomΛ(A, Hom(B, Γ))

Chứng minh:

Nếu ϕ là N− đồng cấu đi từ A⊗ΛB, Γ vào Λ, cho ϕ∗ là ánh xạ :

ϕ∗ : A → Hom(B, Γ)

a 7→ ϕ∗(a) : b 7→ ϕ (a ⊗ b)

Khi đó ϕ∗ là Λ− đồng cấu của Λ− nửa môđun phải

⇒ ϕ∗ ∈ HomΛ(A, Hom(B, Γ))

Cho ρ : Hom (A⊗ΛB, Γ) → HomΛ(A, Hom(B, Γ))

Vậy nếu ψ ∈ Hom (A, Hom (B, Γ)) thì tồn tại ϕ ∈ Hom (A⊗ΛB, Γ) sao cho

ρ (ϕ) = ϕ∗ = ψ nên ρ là toàn ánh Vậy ρ là N− đẳng cấu

Mệnh đề 2.22: Nếu M là Λ− nửa môđun trái thì Λ⊗ΛM là đẳng cấu vào

M [/] {0}

Bài 1.

Nếu A là Λ− nửa môđun trái giản ước được và f : A → B là Λ− đồng cấu,chứng minh rằng :

(i) f là i-chính quy ⇔ c(f) là i-chính quy

(ii) Nếu f là k-chính quy thì suy ra c(f) là k-chính quy

(iii) Nếu f là chính quy thì suy ra c(f) là chính quy

Vì B giản ước được nên c(B) cũng giản ước được, do đó y/ρ (∆ (B)) =

Suy ra ∃x1, x2 ∈ A sao cho : y + f (x1) = f (x2)

⇒ y/ρ (∆ (B)) + f (x1) /ρ (∆ (A)) = f (x2) /ρ (∆ (A))

y/ρ (∆ (B)) + f (x1) /ρ (∆ (A)) = f (x2) /ρ (∆ (A)).

⇒ y + f (x1) = f (x2) với x1, x2 ∈ A

⇒ f (A) ⊆ Im (f ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra Im (f ) = f (A) hay f là i-chính quy

(ii) Giả sử f là k-chính quy ta chứng minh : c(f) là k-chính quy

Thật vậy, vì f là k-chính quy nên ∃a1, a2 ∈ A : f (a1) = f (a2), lúc đó

a1/ρ (∆ (A)) + k1/ρ (∆ (A)) = a2/ρ (∆ (A)) + k2/ρ (∆ (A))

Vậy∃a1/ρ (∆ (A)) , a2/ρ (∆ (A)) ∈ c (A):f (a1) /ρ (∆ (B)) = f (a2) /ρ (∆ (B))

thì ∃k1/ρ (∆ (A)) , k2/ρ (∆ (A)) ∈ Ker(c (f )) sao cho : a1/ρ (∆ (A)) +

k1/ρ (∆ (A)) = a2/ρ (∆ (A)) + k2/ρ (∆ (A))

Vì thế c(f) là k-chính quy

(iii) Giả sử f là chính quy ta chứng minh c(f) là chính quy

Vì f là chính quy nên f vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy

Theo 2 câu (i) và (ii) ta vừa chứng minh ở trên thì ta suy ra được c(f) cũngvừa là i-chính quy vừa là k-chính quy

Vậy c(f) là chính quy

Từ (1) và (2) ta suy ra Im c(f ) = Ker c(g).Vậy dãy (**) là dãy khớp.

- Trình bày tương đối chi tiết về cách xây dựng Tích tenxơ của nửa mô đun vàcác tính chất của nó.

Trong khuôn khổ của một bài tiểu luận và hạn chế về mặt thời gian cũng nhưtrình độ nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Mặc dù bản thân

đã thật cố gắng song vẫn còn nhiều sai sót, rất mong nhận được những lời góp

ý quý báu của quý thầy cô và các bạn để bài tiểu luận được hoàn thiện hơn.Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn và các bạnhọc viên

Huế, ngày 02 tháng 11 năm 2014

Học viênHoàng Thị Kiều My

Tài liệu tham khảo

[1] GS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, Giáo trình A theory of semirings and modules, NXB Đại học Huế, 2010

semi-[2] GS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, GS.TS Lê văn Thuyết, Foundations ofModern Algebra, NXB Giáo Dục, Hà Nội, 2001