TIỂU LUẬN HỌC PHẦN LÝ THUYẾT NHÓM: TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT (bao gồm full file latex)

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ KIỀU MY NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TIỂU LUẬN HỌC PHẦN LÝ THUYẾT NHÓM Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Lớp : K22 Cán hướng dẫn: PGS TS PHAN VĂN THIỆN Huế, Tháng Năm 2015 NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Định lý Cho z ∈ ZL(V ), điều kiện sau tương đương : (1) z giao hoán với phép đồng dạng (2) z cố định không gian 1-chiều V (3) ∃λ ∈ F cho : z(v) = λv ∀v ∈ V (4) z ∈ Z(GL(V )) Chứng minh (1) ⇒ (2) : Cho U không gian 1-chiều Khi có phép đồng dạng t cho : U = (t − 1)V Theo giả thiết, z giao hoán với t nên ta có : U = (t − 1)V = (z −1 tz − 1)V = (tz − 1)V = z((t − 1)V ) = z(U ) (2) ⇒ (3) : Cho {v1 , v2 , , } sở V Theo giả thiết, z cố định không gian chiều F vi (i = (1, n)) nên : z(vi ) = λi vi với λi ∈ F Ta chứng minh λ1 = λ2 = = λn Với i = j, z cố định không gian chiều F (vi + vj ) Do đó, ∃λ ∈ F cho z(vi + vj ) = z(vi ) + z(vj ) z ánh xạ tuyến tính ⇔ λ(vi + vj ) = λi (vi ) + λj (vj ) ⇔ (λ − λi )(vi ) + (λ − λj )(vj ) = Vì vi vj độc lập tuyến tính nên λ − λi = λ − λj = ⇔ λ = λi = λj (3) ⇒ (4) :Giả sử z có dạng z(v) = λv với ∀v ∈ V , λ ∈ F Với f ∈ GL(V ) ta có : (zf )(v) = f (z(v)) = f (λv) = λf (v) = z(f (v)) = (f z)(v) Do z giao hoán với f ∈ GL(V ) Ta có tâm GL(V ) : Z(GL(V )) = CGL(V ) (GL(V )) = {z ∈ GL(V )/zf = f z ∀f ∈ GL(V )} Vậy z ∈ Z(GL(V )) (4) ⇒ (1) : Vì z ∈ Z(GL(V )) nên zf = f z Vậy z giao hoán với phép đồng dạng Hệ Tâm Z GL(V) bao gồm ánh xạ tuyến tính v → λv (λ ∈ F ∗ ) Z đẳng cấu đến F ∗ trùng với tâm SL(V) Hệ Tâm SL(V) Z(GL(V )) ∩ SL(V ) đẳng cấu đến nhóm cyclic hữu hạn bao gồm tất nghiệm thứ n F (n = dimV ) Định lý Nhóm chuẩn tắc GL(V ) chứa nhóm tuyến tính đặc biệt SL(V ) chứa tâm GL(V ), ngoại trừ dimV = trường sở F chứa nhiều phần tử Ngược lại, với nhóm GL(V ) chứa SL(V ) chứa tâm GL(V ) nhóm chuẩn tắc GL(V ) Chứng minh (⇐) Rõ ràng với nhóm tâm chuẩn tắc (⇒) Tương tự nhóm chứa SL(V ) ta kí hiệu SL(V ) GL(V ) nhóm nhân GL(V )/SL(V ) nhóm abel đẳng cấu với nhóm nhân F ∗ (§1, ví dụ 2) Vì nhóm nhóm abel F ∗ chuẩn tắc, nhóm mà chứa SL(V ) chuẩn tắc GL(V ) định lí tương ứng ( 4.13 (ii)) Để khảo sát nhóm chứa F ∗ toán mà phụ thuộc vào tính chất đặc trưng trường sở F phức tạp trường hợp tổng quát Tuy nhiên trường F hữu hạn nhóm F ∗ cyclic nhóm tìm cách sử dụng hệ (5.6) Ta chứng minh phần đầu định lí dạng tổng quát 4 Mệnh đề Cho H nhóm GL(V ) Giả sử H không chứa tâm GL(V ) H chuẩn tắc hóa SL(V ) Khi H chứa SL(V ), trừ |F | ≤ dimV = Chứng minh a) Giả sử dim V ≥ Vì H chứa phần tử h ∈ / Z(GL(V )) theo Định lí 1, có phép đồng dạng t mà không giao hoán với h Cho g hoán tử t h : g = t−1 h−1 th = (t−1 h−1 t)h = (h−t )h = t−1 (h−1 th) = t−1 th Ta có g = t không giao hoán với h Theo giả thiết, SL(V) chuẩn tắc h, g = (h−t )h ∈ H Mặt khác, t−1 th phép đồng dạng nên g = t−1 th tích phép đồng dạng g ∈ SL(V ) Hơn nữa, g cố định phần tử không gian số đối chiều ≤ 2, định nghĩa : Ker(t−1 − 1) ∩ Ker(th − 1) Đặt U =Ker(t−1 − 1), W=Ker(th − 1) Vì codimU ≤ nên dimW = codimU ≤ 2, dimW = = Nếu dimW = 1, g phép đồng dạng Nếu f phép đồng dạng bất kì, f liên hiệp vào g theo (9.6), nghĩa ∃x ∈ SL(V ) cho f = g x Vì g ∈ H H chuẩn tắc SL(V ) nên f ∈ H Vì phép đồng dạng nằm H, theo (9.5) ta có SL(V ) ⊂ H Giả sử dimW = Trong trường hợp ta có siêu phẳng P ⊃ W (vì dimV ≥ 3) Như g(P ) ⊂ P + W , g bất biến, g không phép đồng dạng, ∃u ∈ P cho g(u) = u Chọn phần tử v ∈ V \P Khi có phép đồng dạng s mà cố định phần tử P chuyển v vào v + u Thiết lập g = g −1 s−1 gs Ta chứng minh trước, g ∈ H ∩ SL (V ) Rõ ràng sg phép đồng dạng Cố định phần tử g (p) = p chuyển g (v) vào g (v) + g (u) Nếu v ∈ U = Ker (g − 1) suy sg = s Do đó, g = s−g s phép đồng dạng Mặt khác, ta chọn v ∈ U U chứa P g |p không phép đồng dạng Do đó, theo Định lí 1, ta chọn phần tử u ∈ P cho g (u) u độc lập tuyến tính Với lựa chọn u, phép đồng dạng s định nghĩa sai khác sg , g = s−g s phép đồng dạng H ∩ SL (V ) Vì ta quy trường hợp dimW = trường hợp chứng minh trước g phép đồng dạng b) Giả sử dimV = Khi ta có h ∈ H v ∈ V cho v h (v) sở V Với sở {v, h (v)}, phần tử h biểu diễn ma trận :     (a = 0) α β Ta xem H nhóm ma trận nhóm GL (2, F ) tính toán hoán tử h ma trận thích hợp khác để nhắc lại đối số tương tự trường hợp (a) Phép giao hoán :  −1  −1    λ 0 λ 0 α        −1 −1 λ α β λ β  =  =  = −1 λ β − λα   λ λα λ − αβ λ2 α λ − αβ      α  λ 0 λ α β −1   λ −1 λ   α β     α β    = λ2 − αβ  β λ2 α + = λ với γ = − αβ + β λ2 α  = β α −2 λ  γ λ  − = βα−1 λ−2 − , λ ∈ H ∩ SL (V ) λ2 Tương tự :  −1    −1  −2 −2 µ λ γ λ γ µ        2 λ λ  =  =  =  = −µ  λ −γ − λ µ λ2 −γ λ λ2  λ µ−γ− µ λ2 µ λ −1    λ2  µ  λ2  µ λ  −2 −2 λ −2 γ γ λ   λ  λ γ λ         ∈ H ∩ SL (V ) Nếu trường sở F chứa phần tử khác λ cho λ4 = H chứa B12 (ξ), ∀ξ ∈ F Vì ta có :  −1    1 ξ      −1 0 −1  =  =  = −1 0 −1 1 ξ −ξ       ξ   −1   −1   ⇒ B12 (ξ) ⊂ H với ξ ∈ F Vì vậy, ta có SL (2, F ) ⊂ H Ta giả sử phần tử khác F thỏa λ4 = Vì ta giả sử |F | nên ta có |F | = Trong trường hợp này, λ=2:     −1 −2 −1 −2α β λ γ =   −1 λ (vì λ4 = nên λ−2 = λ2 = −1 γ = βα−1 λ−2 − = βα−1 (−1 − 1) = −2α−1 β) Ma trận vuông phần tử B12 −α−1 β chứa H ∩SL (V ) Vì vậy, β = H chứa phần tử B12 (λ) λ = Vì |F | = 5, H chứa B12 (ξ) trước, H ⊃ SL (V ) Nếu β = 0, ta thay h phần tử h ∈ H biểu diễn theo sở {v , h (v )} ma trận :     với β = α β  Cho phần tử h =   =  =  =  = δ −β β  −β βα δ − αβ  −β + − β12 α −β α + δ δ β δ βα −1 δ2 α δ  −β β   δ α −β α  β −1 δ   δ − αβ − β12 α   −1    −β β −1   α δ α   α     −1   α    −β −1 β δ   α    = −1 −1 δ − β α −α β β −1 δ −1 −2 −α β δ   ∈ H ∩ SL (V ) ∈ / Z (GL (V )) Suy δ = Phần tử biểu diễn theo dạng với β = T rR δ − ε − ε−1 Trong trường F5 phần tử, ta có δ = ±1 ε + ε−1 = = ±2 Do đó, β = ta thay h h để kiểm tra chứng minh |F | > 3, nhóm chuẩn tắc thực Hệ Nếu dim V SL (V ) chứa tâm Z0 Do đó, nhóm nhân SL (V )/Z0 nhóm đơn Định lý Cho p đặc số F |F | = q = pm Cấp GL (n, F ) cho : n n−1 n n n GL (n, F ) = (q − 1) (q − q) q − q n−1 n q −q = i=0 i =q n(n−1) qi − i=1 Hơn nữa, ta có |GL (n, F )| = (q − 1) |SL (n, F )| Chứng minh Cho V không gian vectơ n-chiều F Ta xác định cấp |GL (V )| Rõ ràng, ta có |V | = q n Cho {v1 , , } sở cố định V F Với phần tử f ∈ GL (V ) ta có {f (v1 ) , , f (vn )} sở V Ngược lại với sở {v1 , , } V có phần tử f GL (V ) cho f (vi ) = vi ∀i = 1, n Do |GL (V )| = số sở phân biệt V F Phần tử v1 (q n − 1) phần tử khác V Nếu i phần tử (i < n) v1 , , vi chọn phần tử vi+1 phần tử V mà không viết tổ hợp tuyến tính v1 , , vi Vì có q n − q i khả xảy cho vi+1 Theo (9.4), GL (V ) ∼ = GL (n, F ) ta có Định lí 9 Mệnh đề Cho F trường hữu hạn đặc số p |F | = p Bậc lớn p mà chia nhóm có cấp |GL (V )| q r với r = n(n−1) Nhóm GL (V ) chứa nhóm có cấp q r Chứng minh Ý đầu rõ ràng (từ Định lí 7) ta kí hiệu phần tử dạng q i − nguyên tố tới p Để chứng minh ý cuối mệnh đề này, cho U ma trận tam giác với đường chéo chính:        α β ···                  U=  α, β, ∈ F ,                   Thêm vào đường chéo phần tử tùy ý F , n(n−1) Vì |U | = q r Đó cách đơn giản để kiểm tra U nhóm G Nhóm tuyến tính GL (n, F ) thỏa mãn tính chất tương ứng với định lí Cayley cho nhóm đối xứng Mệnh đề Cho F trường cố định Với nhóm hữu hạn G, nhóm GL (n, F ) chứa nhóm đẳng cấu với G λg g (λg ∈ F ) Chứng minh Cho Γ tổng tổ hợp tuyến tính : α = g∈G phần tử g với hệ số λg ∈ F với phần tử khác β = λα = (λg + µg ) g (λλg ) g (λ ∈ F ) với phép toán quan hệ Γ có dạng không gian vectơ hữu hạn chiều F Với phần tử h ∈ G ta định nghĩa ánh xạ ρh Γ công thức : ρh (α) = λg (gh) Ta dễ dàng suy : ρh (α + β) = ρh (α) + ρh (β) ρh (λα) = λρh (α) 10 Suy ρh ánh xạ tuyến tính V Ta có : ρhk = ρh ρk , ρ1 = ánh xạ đồng nhất, từ chứng minh ρh ánh xạ ngược tuyến tính ρ đồng cấu từ G vào nhóm tuyến tính tổng quát GL (Γ) Nếu phần tử h G chứa Ker (ρ) ta có : ρh (α) = α ∀α, nên gh = g h = Do ρ đẳng cấu từ G vào GL (Γ) Đặt n = dimT , GL (Γ) ∼ = GL (n, F ) Vậy Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 10 Chp p số nguyên tố cố định Nếu E nhóm abel thỏa mãn tính chất xp = với x ∈ E E đẳng cấu tới không gian vectơ trường Fp p phần tử Vì vậy, E có sở B Đặc biệt E hữu hạn cấp |E| bậc p Nếu |E| = pd , ta có : Aut (E) ∼ = GL (d, p) Chứng minh Ta xem F nhóm cộng Theo giả thiết, phần tử x ∈ E thỏa px = Với số nguyên m n, công thức (1.8) viết lại theo tính chất phép cộng : (m + n) x = mx + nx (mn) x = m (nx) Điều chứng minh nhóm Z số nguyên nằm E Vì px = ∀x ∈ E, tác động Z bao gồm tác động vành thương Z/(p) với (p) iđêan sinh p Ta đồng Z/(p) với trường Fp p phần tử Trong tác động Fp E, cách đơn giản để kiểm tra E không gian vectơ Fp Một tự đẳng cấu E thỏa mãn: f (nx) = nf (x) (n ∈ Z) 11 Do đó, f ánh xạ tuyến tính Fp Nếu ta đặt dimE = d |E| = pd Aut (E) ∼ = GL (d, p) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Michio Suzuki (1982), Group Theory I, Springer-Verlag 12 ... 10 Suy ρh ánh xạ tuyến tính V Ta có : ρhk = ρh ρk , ρ1 = ánh xạ đồng nhất, từ chứng minh ρh ánh xạ ngược tuyến tính ρ đồng cấu từ G vào nhóm tuyến tính tổng quát GL (Γ) Nếu phần tử h G chứa... Γ tổng tổ hợp tuyến tính : α = g∈G phần tử g với hệ số λg ∈ F với phần tử khác β = λα = (λg + µg ) g (λλg ) g (λ ∈ F ) với phép toán quan hệ Γ có dạng không gian vectơ hữu hạn chiều F Với phần. .. thuộc vào tính chất đặc trưng trường sở F phức tạp trường hợp tổng quát Tuy nhiên trường F hữu hạn nhóm F ∗ cyclic nhóm tìm cách sử dụng hệ (5.6) Ta chứng minh phần đầu định lí dạng tổng quát 4