Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Mở đầu 5 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric 19 2.1 Độ đo trên không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Độ đo và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tính chất của hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Định lý kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Tiêu chuẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Nguyên lý ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.4 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.3 Sự hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.4 Mối quan hệ giữa các loại hội tụ . . . . . . . . . . . . 43 2.3.5 Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân . . . . . 44 1 2.3.6 Qua giới hạn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.7 Độ đo tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Định lý Prohorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.1 Tính compact tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.2 Tính chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng 62 3.1 Hội tụ yếu và tính chặt trong C . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.1 Tính chặt và tính compact trên C . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Độ đo Wiener và định lý Donsker . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 Độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2 Cấu trúc của độ đo Wiener . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.3 Định lý Donsker và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Hàm của các quỹ đạo chuyển động Brown . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . 80 3.3.2 Luật Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.3 Cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.4 Bất đẳng thức cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.1 Cực đại của các tổng riêng . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.2 Bất đẳng thức tổng quát hơn . . . . . . . . . . . . . . 94 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đo xác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó. Hội tụ yếu (hay còn gọi là hội tụ hẹp hoặc yếu-hội tụ, đây là tên thích hợp hơn theo quan điểm giải tích hàm nhưng ít được sử dụng) là một trong các loại hội tụ liên quan đến sự hội tụ của các độ đo. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một là mở đầu. Nêu một số khái niệm và tính chất bổ trợ cho các chương sau của luận văn. Bên cạnh đó, chương một sẽ nhắc lại về sự hội tụ yếu trên đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7]). Chương hai đề cập tới sự hội tụ yếu trong không gian Metric. Trong chương hai chúng ta sẽ tìm hiểu lý thuyết chung về khái niệm hội tụ yếu trong không gian metric và xem xét nó khi ta hạn chế trong nhiều trường hợp khác nhau. Mở đầu bằng các khái niệm cơ bản về hội tụ yếu và các tính chất của nó. Từ đó ứng dụng vào trong việc xét sự hội tụ theo phân phối và xác suất của các độ đo. Cùng với đó là kết quả quan trọng liên quan tới một họ các độ đo xác suất. Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng. Chương này quan tâm đến sự hội tụ yếu trong không gian C = C[0, 1] với tôpô đều; C là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn đóng [0, 1]. Các ứng dụng sẽ được nêu ra trong chương này cho ta thấy lý do tại sao thật thú vị và hữu ích khi phát triển lý thuyết chung về sự hội tụ của các độ đo (độ đo Wiener, chuyển động Brown). 3 Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập. Các thầy và các bạn trong seminar Toán xác suất về những góp ý để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá ấy. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Hoàng Trung Hiếu 4 Chương 1 Mở đầu Đầu tiên chúng ta nhắc lại một vài tính chất của không gian metric sẽ được sử dụng trong luận văn. Sau đó, ta sẽ nhắc lại về sự hội tụ của độ đo xác suất trên đường thẳng. 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản Ta đề cập một kết quả hữu ích được chứng minh đơn giản sau. Định lý 1.1.1 (M−test Weierstrass). Giả sử rằng lim n x nk = x k với mỗi k và |x nk | ≤ M k , trong đó  k M k < ∞. Khi đó  k x k và tất cả các  k x nk hội tụ và lim n  k x nk =  k x k . Chứng minh. Do  k M k < ∞ nên chuỗi  k x nk hội tụ tuyệt đối. Ta có |  k x nk −  k x k | ≤ |  k≤k 0 |x nk − x k | + 2  k>k 0 M k . Với  cho trước, chọn k 0 sao cho  k>k 0 M k < /3 và n 0 sao cho n > n 0 thì |x nk −x k | < /3k 0 với k ≤ k 0 . Khi đó với n > n 0 thì |  k x nk −  k x k | < . 5 Chúng ta ký hiệu không gian metric là S và metric của nó là ρ(x, y); không gian metric chính là cặp (S, ρ). Với các tập con A của S, ký hiệu A − , A o và ∂A = A − −A o lần lượt là bao đóng, phần trong và biên của A. Khoảng cách từ x tới A là ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}; từ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A) suy ra ρ(·, A) liên tục đều. Ký hiệu B(x, r) là r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r}; hình cầu sẽ có nghĩa là hình cầu mở và các hình cầu đóng ký hiệu là B(x, r) − . -lân cận của một tập A là tập mở A  = {x : ρ(x, A) < }. So sánh các metric. Giả sử ρ và ρ  là hai metric trên cùng không gian S. Để nói rằng tô pô ρ  là lớn hơn tô pô ρ là để nói các lớp tương ứng O và O  của các tập mở trong mối quan hệ O ⊂ O  . (1.1) Điều này đúng nếu và chỉ nếu với mọi x và r, có một r  sao cho B  (x, r  ) ⊂ B(x, r) và trong trường hợp này tô pô ρ  cũng được nói là tốt hơn tô pô ρ. Coi ánh xạ đồng nhất i trên S như một ánh xạ từ (S, ρ  ) vào (S, ρ). Khi đó i là liên tục nếu và chỉ nếu G ∈ O kéo theo G = i −1 G ∈ O  −nghĩa là nếu và chỉ nếu (1.1) đúng. Hơn nữa, i là liên tục theo nghĩa này nếu và chỉ nếu ρ  (x n , x) → 0 kéo theo ρ(x n , x) → 0. Đây là cách khác để nói rằng tô pô ρ  là "tốt hơn" tô pô ρ. Metric ρ là rời rạc nếu ρ(x, y) = 1 với x = y; điều này đưa tới S tô pô tốt nhất có thể. Hai metric và tô pô tương ứng là tương đương nếu mỗi trong chúng là tốt hơn cái kia: (S, ρ) và (S, ρ  ) là đồng phôi. Nếu ρ  là tốt hơn ρ thì cả hai có thể tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" không có nghĩa là "tốt hơn nghiêm ngặt". Tính khả ly. Không gian S là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật, đếm được. Một cơ sở cho S là một lớp các tập mở với tính chất: mỗi tập mở là hợp của các tập trong lớp đó. Một phủ mở của A là một lớp các tập mở mà hợp của chúng chứa A. 6 Định lý 1.1.2. Ba điều kiện sau là tương đương: (i) S là khả ly. (ii) S có một cơ sở đếm được. (iii) Mỗi phủ mở của mỗi tập con của S có một phủ con đếm được. Chứng minh. 1.(i) → (ii). Lấy D đếm được, trù mật và lấy V là lớp các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Lấy G mở, để chứng minh V là một cơ sở, chúng ta phải chỉ ra rằng nếu G 1 là hợp của các phần tử của V mà bị chứa trong G thì G = G 1 . Thật vậy, ta đã có G 1 ⊂ G và để chứng minh G ⊂ G 1 ta lấy x ∈ D, d ∈ D và số hữu tỷ r sao cho x ∈ B(d, r) ⊂ G. (Nếu x ∈ G thì B(x, ) ⊂ G với  nào đó.) Do D là trù mật nên có d ∈ D sao cho ρ(x, d) < /2. Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < /2 : x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, ). 2.(ii) → (iii). Lấy {V 1 , V 2 , . . .} là một cơ sở đếm được và giả sử rằng {G α } là một phủ mở của A (α chạy trên một tập chỉ số tùy ý). Với mỗi V k mà tồn tại một G α thỏa mãn V k ⊂ G α , lấy G α k là tập nào đó trong G α chứa nó. Khi đó, A ⊂  k G α k . 3.(iii) → (i). Với mỗi n, {B(x, n −1 ) : x ∈ S} là một phủ mở của S. Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(x nk , n −1 ) : k = 1, 2, . . .}. Tập đếm được {x nk : n = 1, 2, . . .} là trù mật trong S. Một tập con M của S là khả ly nếu có một tập đếm được D là trù mật trong M (M ⊂ D − ). Mặc dù D không nhất thiết là tập con của M, điều này có thể dễ dàng được sắp xếp: Giả sử rằng {d k } trù mật trong M và lấy x kn là điểm chung của B(d k , n −1 ) và M (nếu có). Lấy x trong M và  dương, chọn n và d k để ρ(x, d k ) < n −1 < /2. Do B(d k , n −1 ) chứa điểm x của M, nó chứa x kn và ρ(x, x kn ) < . Do đó, x kn tạo thành một tập con trù, mật đếm được của M. Định lý 1.1.3. Giả sử tập con M của S là khả ly. 7 (i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x ∈ G ∩ M và G mở thì x ∈ A ⊂ A − ⊂ G với A nào đó trong A. (ii) Mỗi phủ mở của M có một phủ con đếm được (tính chất Lindel¨of ). Chứng minh. 1.(i). Lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và lấy A bao gồm các hình cầu B(d, r) với d ∈ D và r hữu tỷ. Nếu x ∈ G ∩ M và G mở, chọn  để B(x, ) ⊂ G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < /2 và cuối cùng chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2. Suy ra rằng x ∈ B(d, r) ⊂ B(d, r) − ⊂ B(x, ) ⊂ G. 2.(ii). Lấy A = {A 1 , A 2 , . . .} là lớp của phần (i). Cho một phủ mở {G α } của M, với mỗi A k chọn một G α k chứa nó (nếu có). Thì M ⊂  k G α k . Tính khả ly là một tính chất tô pô: Nếu ρ và ρ  là hai metric tương đương thì M là ρ-khả ly nếu và chỉ nếu nó là ρ  -khả ly. Tính đầy đủ. Một dãy {x n } là cơ bản hoặc có tính chất Cauchy nếu sup i,j≥n ρ(x i , x j ) → n 0. Một tập M là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong M có giới hạn nằm trong nó. Tập đầy đủ hiển nhiên là đóng. Một dãy cơ bản là hội tụ nếu nó chứa một dãy con hội tụ. (Điều này cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra tính đầy đủ của một dãy.) Tính đầy đủ không là một tính chất tô pô: S = [1, ∞) là đầy đủ theo metric thông thường (ρ  (x, y) = |x − y|) nhưng không đầy đủ theo metric tương đương ρ(x, y) = |x −1 − y −1 |. Một không gian metric (S, ρ) là không gian đủ tô pô nếu như trong ví dụ này có một metric tương đương để ρ theo đó là đầy đủ. Cho một metric ρ trên S, xác định b(x, y) = 1 ∧ρ(x, y). (1.2) 8 Do φ(t) = 1 ∧t là không giảm và thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ 0 nên b là một metric (tương đương với ρ). Hơn nữa, do φ(t) ≤ t với t ≥ 0 và φ(t) = t với 0 ≤ t ≤ 1 thì một dãy là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó là ρ-cơ bản; điều này cũng có nghĩa S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ. Tính compact. Một tập A theo định nghĩa compact là nếu mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn. Một -lưới cho A là một tập của các điểm {x k } với tính chất là với mỗi x trong A có một x k sao cho ρ(x, x k ) < ; A là hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi  dương, nó có một -lưới (các điểm của nó có thể không nằm trong A). Định lý 1.1.4. Ba điều kiện sau là tương đương: (i) A − là compact. (ii) Mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ (giới hạn nằm trong A − ). (iii) A là hoàn toàn bị chặn và A − là đầy đủ. Chứng minh. Hiển nhiên (ii) đúng nếu và chỉ nếu mỗi dãy trong A − có một dãy con hội tụ tới một điểm trong A − và A là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu A − cũng là hoàn toàn bị chặn. Do đó, chúng ta có thể thừa nhận chứng minh A = A − là đóng. Chứng minh là hiển nhiên nếu ta đặt thêm ba tính chất giữa (i) và (ii): (i 1 ) Mỗi phủ mở đếm được của A có một phủ con hữu hạn. (i 2 ) Nếu A ⊂  n G n , ở đó G n mở và G 1 ⊂ G 2 ⊂ ··· thì A ⊂ G n với n nào đó. (i 3 ) Nếu A ⊃ F 1 ⊃ F 2 ⊃ ···, ở đó F n là đóng và khác trống thì  n F n là khác trống. Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i 1 ), (i 2 ), (i 3 ), (ii), (iii) là tương đương. (i 1 ) ↔ (i 2 ). Hiển nhiên, (i 1 ) kéo theo (i 2 ). 9 Ngược lại, nếu {G n } phủ A, chỉ cần thay thế đơn giản G n bởi  k≤n G k . (i 2 ) ↔ (i 3 ). Đầu tiên,(i 2 ) nói rằng A ∩ D n ↑ A kéo theo A ∩ G n = A với n nào đó. Và (i 3 ) nói rằng A ∩ F n ↓ ∅ kéo theo A ∩ F n = ∅ với n nào đó (ở đây F n không nhất thiết chứa trong A). Nếu F n = G c n thì hai phát biểu là như nhau. (i 3 ) ↔ (ii). Giả sử (i 3 ) đúng. Nếu {x n } là một dãy trong A, lấy B n = {x n , x n+1 , . . .} và F n = B − n . Mỗi F n là không trống, do đó nếu (i 3 ) đúng thì  n F n chứa x nào đó. Do x là nằm trong bao đóng của B n nên có i n sao cho i n ≥ n và ρ(x, x i n ) < n −1 ; chọn i n quy nạp sao cho i 1 < i 2 < ··· Khi đó, lim n ρ(x, x i n ) = 0: (ii) đúng. Mặt khác, nếu F n là các tập đóng giảm, khác trống và (ii) đúng thì lấy x n ∈ F n và x là giới hạn của dãy con nào đó; rõ ràng x ∈  n F n : (i 3 ) đúng. (ii) → (iii). Nếu A không hoàn toàn bị chặn thì tồn tại  và dãy {x n } vô hạn trong A sao cho ρ(x m , x n ) ≥  với m = n. Nhưng khi đó {x n } không chứa dãy con hội tụ và vì thế (ii) kéo theo A hoàn toàn bị chặn. Và A − đầy đủ bởi vì nếu {x n } là cơ bản và có một dãy con hội tụ tới x thì toàn bộ dãy hội tụ tới x. (iii) → (ii). Sử dụng phương pháp đường chéo. Nếu A hoàn toàn bị chặn thì với mỗi n có phủ bởi những hình cầu mở hữu hạn B n1 , . . . , B nk n bán kính n −1 . Cho một dãy {x m } trong A, đầu tiên chọn một dãy tăng của các số nguyên m 11 , m 12 , . . . theo cách mà tất cả x m 11 , x m 12 , . . . nằm trong cùng B 1k (điều đó có thể vì chỉ có hữu hạn hình cầu). Sau đó chọn một dãy m 21 , m 22 , . . ., một dãy của m 11 , m 12 , . . . theo cách mà tất cả x m 21 , x m 22 , . . . nằm trong cùng B 2k . Tiếp tục như thế nếu r i = m ii thì tất cả x r n , x r n+1 , . . . nằm trong cùng B nk . Nó kéo theo rằng x r 1 , x r 2 , . . . là cơ bản và do đó hội tụ đầy đủ tới điểm nào đó của A. Do vậy (i 1 ) đến (iii) là tương đương. Do (i) kéo theo (i 1 ) nên ta có thể hoàn thành chứng minh bởi (i 1 ) và (iii) cùng kéo theo (i). 10 [...]... ≥ α k≤n 16 1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng Trong lý thuyết độ đo, các khái niệm khác nhau về hội tụ của độ đo đã được biết Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất, hội tụ yếu của độ đo xác suất thường được nhắc tới Hội tụ yếu của độ đo xác suất được tổng quát hóa từ hội tụ yếu của các hàm phân phối trên đường thẳng thực Cho Fn , n ∈ N và F là các hàm phân phối Ta nhắc lại rằng Fn hội tụ yếu tới F khi... hội tụ yếu của Fn tới F là tương đương với (1.13) với mọi tập Borel A mà P (A) = 0 Quan hệ (1.13) được gọi là hội tụ yếu của Pn tới P khi n → ∞ Vậy, với độ đo xác suất trên (R, R) (R được ký hiệu là lớp các tập Borel của R), hội tụ yếu của độ đo xác suất trùng với hội tụ yếu của các hàm phân phối 17 Do trên không gian metric tổng quát ta không định nghĩa hàm phân phối nên hội tụ yếu của các độ đo xác. .. xác suất vẫn là phương pháp tiệm cận chủ yếu của các định lý giới hạn Trong chương 2 sẽ nghiên cứu về hội tụ yếu của độ đo xác suất trong không gian metric Trình bày các tính chất của hội tụ yếu, xem xét sự hội tụ trong phân phối và xác suất, hội tụ yếu với các ánh xạ, đặc biệt là định lý Prohorov Bên cạnh đó là một số ứng dụng sẽ được đưa ra 18 Chương 2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric 2.1 Độ đo. .. với mọi điểm liên tục x của F Nếu hàm giới hạn F là liên tục thì hội tụ bên trên kéo theo với mọi x Hội tụ yếu của hàm phân phối có thể được viết lại dưới độ đo xác suất Cho Pn và P là các độ đo xác suất sinh bởi các hàm phân phối Fn và F , được xác định bởi Pn (−∞, x] = Fn (x), P (−∞, x] = F (x) Hàm F (x) liên tục tại x nếu và chỉ nếu P ({x}) = 0 Do đó, Fn hội tụ yếu tới F nếu và chỉ nếu lim Pn (−∞,... Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu độ đo xác suất trên không gian metric S tổng quát Và ký hiệu S là một σ-trường Borel sinh bởi các tập mở, với các phần tử là các tập Borel Một độ đo xác suất trên không gian S là một hàm tập P cộng tính đếm được, không âm và thỏa mãn P S = 1 Định nghĩa 2.1.1 (Hội tụ yếu) Ta nói rằng độ đo xác suất Pn là hội tụ yếu tới độ đo xác suất P (ký hiệu Pn ⇒ P ) nếu: Pn f =... giản hơn hay tự nhiên hơn) Ta định nghĩa hội tụ yếu theo quan điểm sự hội tụ của tích phân của hàm số Trong phần tới, ta sẽ mô tả đặc điểm của nó theo quan điểm sự hội tụ của độ đo trên tập hợp 2.1.2 Tính chặt Khái niệm dưới đây về tính chặt đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết về sự hội tụ yếu và ứng dụng của nó Định nghĩa 2.1.2 (Tính chặt) Một độ đo xác suất P trên (S, S) được gọi là chặt nếu với... được bao gồm các điểm chỉ có hữu hạn các tọa độ khác không, mỗi tọa độ đó đều là các số hữu tỷ Nếu {xn } là cơ bản thì mỗi {xn } là cơ bản và do đó hội tụ tới xi nào đó và dĩ nhiên xn i hội tụ điểm với các tọa độ xi Do đó, R∞ cũng là không gian đủ Vì R∞ là không gian khả ly và đủ nên theo Định lý 2.1.3 thì mỗi độ đo xác suất trên R∞ là chặt −1 Giả sử R∞ là lớp các tập hữu hạn chiều hay các tập dạng... (2.3) hình thành một cơ sở và đều 23 nằm trong R∞ , nó xảy ra bởi tính khả ly, tức là mỗi tập mở là hợp của các f tập đếm được trong R∞ , do đó tạo ra σ-trường R∞ : R∞ là một lớp khả ly f f Nếu P là một độ đo xác suất trên (R∞ , R∞ ) thì các phân phối hữu hạn −1 chiều của nó là các độ đo P πk trên (Rk , Rk ), k ≥ 1 và vì R∞ là một lớp f khả ly nên các độ đo này hoàn toàn xác định P Ví dụ 2.1.3 Giả... hội tụ yếu tới hai giới hạn khác nhau Mặc dù điều đó là không quan trọng tới chủ đề này, nó dễ dàng 25 tô pô hóa độ đo xác suất trên không gian (S, S) như một cách mà hội tụ yếu là hội tụ trong không gian tô pô này: Lấy lân cận của tập có dạng {Q : |Qfi − P fi | < , i ≤ k}, ở đó fi là liên tục, bị chặn Nếu S là không gian đủ và khả ly thì tô pô này có thể xác định một metric (metric Prohorov) Hội tụ. .. là, với mỗi điểm x của một tập mở G cho trước, x ∈ Ao ⊂ Ax ⊂ G đúng với một vài Ax trong AP Do S khả ly nên x tồn tại một dãy các tập con đếm được {Ao i } của {Ao : x ∈ G} mà phủ G và x x G= i Ao i x Do đó các giả thiết của Định lý 2.2.2 là thỏa mãn Định nghĩa 2.2.1 (Lớp hội tụ xác định) Cho A là một lớp con của S A được gọi là một lớp hội tụ xác định nếu với mỗi P và dãy {Pn }, hội tụ Pn A → P A với . việc xét sự hội tụ theo phân phối và xác suất của các độ đo. Cùng với đó là kết quả quan trọng liên quan tới một họ các độ đo xác suất. Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng. Chương. ĐẦU Trong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đo xác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó. Hội tụ yếu (hay còn gọi là hội tụ hẹp hoặc yếu -hội tụ, đây là. α  . 16 1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng Trong lý thuyết độ đo, các khái niệm khác nhau về hội tụ của độ đo đã được biết. Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất, hội tụ yếu của độ đo xác suất thường