Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI−2014 Mục lục Lời nói đầu Mở đầu 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Hội tụ yếu đường thẳng 17 Sự hội tụ yếu không gian Metric 2.1 2.2 2.3 19 Độ đo không gian Metric 19 2.1.1 Độ đo tích phân 20 2.1.2 Tính chặt 21 Tính chất hội tụ yếu 25 2.2.1 Định lý kết hợp 27 2.2.2 Tiêu chuẩn khác 29 2.2.3 Nguyên lý ánh xạ 33 2.2.4 Khơng gian tích 36 38 2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị 38 2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối 39 2.3.3 Sự hội tụ theo xác suất 41 2.3.4 Mối quan hệ loại hội tụ 43 2.3.5 Nguyên lý địa phương nguyên lý tích phân 44 Sự hội tụ theo phân phối 2.4 2.3.6 Qua giới hạn tích phân 46 2.3.7 Độ đo tương đối 48 Định lý Prohorov 53 2.4.1 Tính compact tương đối 53 2.4.2 Tính chặt 55 Sự hội tụ yếu không gian C ứng dụng 3.1 3.2 3.3 3.4 Hội tụ yếu tính chặt C 62 62 3.1.1 Tính chặt tính compact C 63 3.1.2 Hàm ngẫu nhiên 67 Độ đo Wiener định lý Donsker 69 3.2.1 Độ đo Wiener 69 3.2.2 Cấu trúc độ đo Wiener 70 3.2.3 Định lý Donsker ứng dụng 74 Hàm quỹ đạo chuyển động Brown 79 3.3.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ 80 3.3.2 Luật Arcsin 83 3.3.3 Cầu Brown 87 Bất đẳng thức cực đại 90 3.4.1 Cực đại tổng riêng 90 3.4.2 Bất đẳng thức tổng quát 94 Kết luận 98 Tài liệu tham khảo 99 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết độ đo, có nhiều khái niệm hội tụ độ đo xác suất mà hội tụ yếu khái niệm quan trọng Hội tụ yếu (hay cịn gọi hội tụ hẹp yếu-hội tụ, tên thích hợp theo quan điểm giải tích hàm sử dụng) loại hội tụ liên quan đến hội tụ độ đo Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương mở đầu Nêu số khái niệm tính chất bổ trợ cho chương sau luận văn Bên cạnh đó, chương nhắc lại hội tụ yếu đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7]) Chương hai đề cập tới hội tụ yếu không gian Metric Trong chương hai tìm hiểu lý thuyết chung khái niệm hội tụ yếu không gian metric xem xét ta hạn chế nhiều trường hợp khác Mở đầu khái niệm hội tụ yếu tính chất Từ ứng dụng vào việc xét hội tụ theo phân phối xác suất độ đo Cùng với kết quan trọng liên quan tới họ độ đo xác suất Chương ba hội tụ yếu không gian C ứng dụng Chương quan tâm đến hội tụ yếu không gian C = C[0, 1] với tôpô đều; C không gian tất hàm thực liên tục đoạn đóng [0, 1] Các ứng dụng nêu chương cho ta thấy lý thật thú vị hữu ích phát triển lý thuyết chung hội tụ độ đo (độ đo Wiener, chuyển động Brown) Luận văn thực hướng dẫn GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Toàn thể ban lãnh đạo thầy khoa Tốn - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội giúp có thêm nhiều kiến thức để hồn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Các thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận văn học tập Các thầy bạn seminar Toán xác suất góp ý để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất giúp đỡ đóng góp q giá Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Hoàng Trung Hiếu Chương Mở đầu Đầu tiên nhắc lại vài tính chất không gian metric sử dụng luận văn Sau đó, ta nhắc lại hội tụ độ đo xác suất đường thẳng 1.1 Một số khái niệm kết Ta đề cập kết hữu ích chứng minh đơn giản sau Định lý 1.1.1 (M −test Weierstrass) Giả sử limn xnk = xk với k |xnk | ≤ Mk , hội tụ limn k Chứng minh Do k xnk = k k Mk < ∞ Khi k xk tất k xnk xk Mk < ∞ nên chuỗi k xnk hội tụ tuyệt đối Ta có | xnk − k Với |xnk − xk | + xk | ≤ | k cho trước, chọn k0 cho k≤k0 k>k0 k>k0 Mk < /3 n0 cho n > n0 |xnk −xk | < /3k0 với k ≤ k0 Khi với n > n0 | Mk k xnk − k xk | < Chúng ta ký hiệu không gian metric S metric ρ(x, y); khơng gian metric cặp (S, ρ) Với tập A S, ký hiệu A− , Ao ∂A = A− − Ao bao đóng, phần biên A Khoảng cách từ x tới A ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}; từ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A) suy ρ(·, A) liên tục Ký hiệu B(x, r) r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r}; hình cầu có nghĩa hình cầu mở hình cầu đóng ký hiệu B(x, r)− -lân cận tập A tập mở A = {x : ρ(x, A) < } So sánh metric Giả sử ρ ρ hai metric khơng gian S Để nói tơ pô ρ lớn tô pô ρ để nói lớp tương ứng O O tập mở mối quan hệ O⊂O (1.1) Điều với x r, có r cho B (x, r ) ⊂ B(x, r) trường hợp tô pô ρ nói tốt tơ pơ ρ Coi ánh xạ đồng i S ánh xạ từ (S, ρ ) vào (S, ρ) Khi i liên tục G ∈ O kéo theo G = i−1 G ∈ O −nghĩa (1.1) Hơn nữa, i liên tục theo nghĩa ρ (xn , x) → kéo theo ρ(xn , x) → Đây cách khác để nói tô pô ρ "tốt hơn" tô pô ρ Metric ρ rời rạc ρ(x, y) = với x = y; điều đưa tới S tô pô tốt Hai metric tơ pơ tương ứng tương đương chúng tốt kia: (S, ρ) (S, ρ ) đồng phơi Nếu ρ tốt ρ hai tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" khơng có nghĩa "tốt nghiêm ngặt" Tính khả ly Khơng gian S khả ly chứa tập trù mật, đếm Một sở cho S lớp tập mở với tính chất: tập mở hợp tập lớp Một phủ mở A lớp tập mở mà hợp chúng chứa A Định lý 1.1.2 Ba điều kiện sau tương đương: (i) S khả ly (ii) S có sở đếm (iii) Mỗi phủ mở tập S có phủ đếm Chứng minh 1.(i) → (ii) Lấy D đếm được, trù mật lấy V lớp hình cầu B(d, r) với d ∈ D r hữu tỷ Lấy G mở, để chứng minh V sở, phải G1 hợp phần tử V mà bị chứa G G = G1 Thật vậy, ta có G1 ⊂ G để chứng minh G ⊂ G1 ta lấy x ∈ D, d ∈ D số hữu tỷ r cho x ∈ B(d, r) ⊂ G (Nếu x ∈ G B(x, ) ⊂ G với đó.) Do D trù mật nên có d ∈ D cho ρ(x, d) < /2 Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < /2 : x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, ) 2.(ii) → (iii) Lấy {V1 , V2 , } sở đếm giả sử {Gα } phủ mở A (α chạy tập số tùy ý) Với Vk mà tồn Gα thỏa mãn Vk ⊂ Gα , lấy Gαk tập Gα chứa Khi đó, A ⊂ k Gαk 3.(iii) → (i) Với n, {B(x, n−1 ) : x ∈ S} phủ mở S Nếu (iii) có phủ {B(xnk , n−1 ) : k = 1, 2, } Tập đếm {xnk : n = 1, 2, } trù mật S Một tập M S khả ly có tập đếm D trù mật M (M ⊂ D− ) Mặc dù D không thiết tập M , điều dễ dàng xếp: Giả sử {dk } trù mật M lấy xkn điểm chung B(dk , n−1 ) M (nếu có) Lấy x M dương, chọn n dk để ρ(x, dk ) < n−1 < /2 Do B(dk , n−1 ) chứa điểm x M , chứa xkn ρ(x, xkn ) < Do đó, xkn tạo thành tập trù, mật đếm M Định lý 1.1.3 Giả sử tập M S khả ly (i) Có lớp A đếm tập mở với tính chất: x ∈ G ∩ M G mở x ∈ A ⊂ A− ⊂ G với A A (ii) Mỗi phủ mở M có phủ đếm c (tớnh cht Lindelă of ) Chng minh 1.(i) Ly D tập trù mật, đếm M lấy A bao gồm hình cầu B(d, r) với d ∈ D r hữu tỷ Nếu x ∈ G ∩ M G mở, chọn để B(x, ) ⊂ G, sau chọn d D cho ρ(x, d) < /2 cuối chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2 Suy x ∈ B(d, r) ⊂ B(d, r)− ⊂ B(x, ) ⊂ G 2.(ii) Lấy A = {A1 , A2 , } lớp phần (i) Cho phủ mở {Gα } M , với Ak chọn Gαk chứa (nếu có) Thì M ⊂ k Gαk Tính khả ly tính chất tơ pơ: Nếu ρ ρ hai metric tương đương M ρ-khả ly ρ -khả ly Tính đầy đủ Một dãy {xn } có tính chất Cauchy sup ρ(xi , xj ) →n i,j≥n Một tập M đầy đủ dãy M có giới hạn nằm Tập đầy đủ hiển nhiên đóng Một dãy hội tụ chứa dãy hội tụ (Điều cung cấp cho ta cách thuận tiện để kiểm tra tính đầy đủ dãy.) Tính đầy đủ khơng tính chất tơ pô: S = [1, ∞) đầy đủ theo metric thông thường (ρ (x, y) = |x − y|) không đầy đủ theo metric tương đương ρ(x, y) = |x−1 − y −1 | Một không gian metric (S, ρ) không gian đủ tô pô ví dụ có metric tương đương để ρ theo đầy đủ Cho metric ρ S, xác định b(x, y) = ∧ ρ(x, y) (1.2) Do φ(t) = ∧ t không giảm thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ nên b metric (tương đương với ρ) Hơn nữa, φ(t) ≤ t với t ≥ φ(t) = t với ≤ t ≤ dãy b-cơ ρ-cơ bản; điều có nghĩa S ρ-đầy đủ b-đầy đủ Tính compact Một tập A theo định nghĩa compact phủ mở A có phủ hữu hạn Một -lưới cho A tập điểm {xk } với tính chất với x A có xk cho ρ(x, xk ) < ; A hồn tồn bị chặn với dương, có -lưới (các điểm khơng nằm A) Định lý 1.1.4 Ba điều kiện sau tương đương: (i) A− compact (ii) Mỗi dãy A có dãy hội tụ (giới hạn nằm A− ) (iii) A hoàn toàn bị chặn A− đầy đủ Chứng minh Hiển nhiên (ii) dãy A− có dãy hội tụ tới điểm A− A hoàn toàn bị chặn A− hoàn toàn bị chặn Do đó, thừa nhận chứng minh A = A− đóng Chứng minh hiển nhiên ta đặt thêm ba tính chất (i) (ii): (i1 ) Mỗi phủ mở đếm A có phủ hữu hạn (i2 ) Nếu A ⊂ n Gn , Gn mở G1 ⊂ G2 ⊂ · · · A ⊂ Gn với n (i3 ) Nếu A ⊃ F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , Fn đóng khác trống n Fn khác trống Đầu tiên chúng chứng minh tất (i1 ), (i2 ), (i3 ), (ii), (iii) tương đương (i1 ) ↔ (i2 ) Hiển nhiên, (i1 ) kéo theo (i2 ) (S2k+1 , , Sn ) độc lập, Vn phụ thuộc vào chuỗi Tn = 2k, Sn = j phẩn tử chuỗi thứ hai khác không phần tử cuối j Theo (3.54) (3.55) ta kết luận P{Tn = 2k, Vn = 2i, Sn = j} = p2k (0) j pn−2k (j) k + n − 2k (3.56) ≤ 2i ≤ 2k < n, j > (3.57) Cả hai vế (3.56) triệt tiêu n j đối Với j âm, công thức tương tự với |j| thay cho j vế phải √ Ta áp dụng Định lý 2.3.6 để mạng điểm (2k/n, 2i/n, j/ n) với j n có bậc Giả thiết 2k →k→∞ t, n 2i →i→∞ v, n j √ →j→∞ x, n < v < t < x > Khi (3.57) với n đủ lớn theo (3.56) (3.53) 2 · ·√ n n n −1 P{Tn = 2k, Vn = 2i, Sn = j} → g(t, x), g(t, x) = |x| −x2 /2(1−t) e , 2π [t(1 − t)]3/2 < t < (3.58) Kết tương tự với x âm tính đối xứng Vì định lý giới hạn địa phương bao hàm nghĩa toàn cục (Định lý 2.3.6) 1 Tn , Vn , √ Sn n n n (3.59) có (trong trường hợp di động ngẫu nhiên) phân bố giới hạn R3 xác định mật độ f (t, v, x) =   g(t, x)  < v < t < 1, (3.60) ngược lại 85 Theo (3.51), (T, V, W1 ) có hàm mật độ Bởi (3.52) nên phân bố (T, U, V, W1 ) viết cách rõ ràng Từ (3.60) suy phân phối có điều kiện V cho T W1 phân phối [0, T ]; điều tương ứng với (3.55) Theo (3.52), T = t, W1 = x U phân phối [1 − t, 1] với x > [0, t] với x < Sử dụng (3.60) để đếm giá trị t x, ta tìm hàm mật độ U : x>0 1−u Si } ∪ {Si−1 < < Si } (3.64) xảy (trong trường hợp di động ngẫu nhiên Si = 0) Cho Tn i lớn nhất, ≤ i ≤ n mà zero-crossing xảy i; Un số lượng i, ≤ i ≤ n mà Si > 0; Vn số lượng i, ≤ i ≤ Tn mà Si > Từ suy 1 1 Tn , Un , Vn , √ Sn n n n σ n ⇒n (T, U, V, W1 ) ta vế trái xấp xỉ vế trái (3.50) 86 (3.65) Rõ ràng, Tn /n nằm vòng 1/n h1 (X n ) Nếu γn số i, ≤ i ≤ n cho Ei xảy ra−số zero-crossing−thì Un /n Vn /n tương ứng nằm vòng γn /n h2 (X n ) h3 (X n ) Do (3.65) suy từ (3.50) Định lý 2.3.1 ta chứng minh γn /n ⇒n với điều đủ để E{γn /n} = n Nhưng PEi ≤ P{|ξi | ≥ với √ n PEi → (3.66) i=1 √ i} + P{|Si−1 | ≤ i}, dương theo định lý giới hạn trung tâm PEi → Và (3.66) hệ định lý trung bình Cesàro Từ (3.65) ta kết luận cho Un /n Vn /n có phân phối arcsin theo giới hạn 3.3.3 Cầu Brown Cầu Brown W o hoạt động quỹ đạo Wiener W có điều kiện yêu cầu W1 = {W1 = 0} biến ngẫu nhiên xác suất 0, điều dùng để suy phân phối liên kết với W o Cho P độ đo xác suất (C, C) xác định P A = P{W ∈ A|0 ≤ W1 ≤ }, A ∈ C Bước ta chứng minh P ⇒ Wo →0 (3.67) Lấy W hàm ngẫu nhiên xác định khơng gian xác suất lấy không gian xác suất xác định W o bởi: Wto = Wt − tW1 Nếu ta chứng minh lim sup P{W ∈ F |0 ≤ W1 ≤ } ≤ P{W o ∈ F }, →0 87 (3.68) với F đóng C từ Định lý 1.2.1 ta suy (3.67) Từ tính chuẩn phân bố hữu hạn chiều suy W1 độc lập với (Wto1 , , Wtok ) thành phần khơng có tương quan với Do P{W o ∈ A, W1 ∈ B} = P{W o ∈ A}P{W1 ∈ B} (3.69) A tập hữu hạn chiều C B nằm R1 Nhưng với B cố định tập hợp A C thỏa mãn (3.69) lớp đơn điệu trùng với C Do P{W o ∈ A|0 ≤ W1 ≤ } = P{W o ∈ A]} Vì ρ(W, W o ) = |W1 |, ρ metric C, |W1 | ≤ δ W ∈ F , suy W o ∈ Fδ = {x : ρ(x, F ) ≤ δ} Do đó, < δ P{W ∈ F |0 ≤ W1 ≤ } ≤ P{W o ∈ Fδ |0 ≤ W1 ≤ } = P{W o ∈ Fδ } Vì vậy, giới hạn (3.68) hầu hết P{W o ∈ Fδ }, giảm tới P{W o ∈ F } δ ↓ F đóng Từ suy ta chứng minh (3.68) (3.67) Giả sử h ánh xạ đo từ C vào Rk Dh tập điểm gián đoạn h thỏa mãn P{W o ∈ Dh } = Từ (3.67) nguyên lý ánh xạ P{h(W o ) ≤ α} = lim P{h(W ) ≤ α|0 ≤ W1 ≤ } →0 (3.70) với α mà vế trái liên tục (như hàm α nằm Rk ) Từ (3.70) ta tìm dạng rõ ràng cho phân phối quan hệ với W o Đôi dạng thay (3.70) thích hợp hơn: P{h(W o ) ≤ α} = lim P{h(W ) ≤ α| − ≤ W1 ≤ 0} →0 (3.71) Chứng minh tương tự (ta dùng với tập [− , ] độ đo Lebesgue dương) Đặt mo = inf Wto , M o = sup Wto t t 88 Giả sử a < < b < < b; theo (3.45) ta có, c = b − a, P{a < m ≤M < b, < W1 < } ∞ P{2kc < N < 2kc + } = (3.72) k=−∞ ∞ − P{2kc + 2b − < N < 2kc + 2b} k=−∞ Do 1 lim P{x < N < x + } = √ e−x /2 , →0 2π chuỗi (3.72) hội tụ theo (3.73) nên ta lấy giới hạn ( → 0) bên tổng theo (3.70) suy ∞ o ∞ o P{a < m ≤ M ≤ b} = e −2(kc)2 e−2(b+kc) − (3.74) −∞ k=−∞ Vì ta có phân phối (mo , M o ) Lấy −a = b ∞ P{sup |Wto | t (−1)k e−2k ≤ b} = + 2 b , b > (3.75) k=−∞ Bằng phân tích hồn tồn tương tự với (3.46) P{mo < b} = − e−2b , b > (3.76) Lấy U o độ đo Lebesgue t [0, 1] cho Wto > Suy U o phân phối [0, 1] ta chứng minh lim P{U ≤ α| − ≤ W1 ≤ 0} = α, →0 < α < Bởi (3.52) nên xác suất có điều kiên P{V ≤ α| − (3.77) ≤ W1 ≤ 0} Từ dạng hàm mật độ (3.60) ta thấy phân phối V với T W1 cho trước [0, T ] độc lập với (T, W1 ) Do đó, xác suất có điều kiện (3.77) P{T L ≤ α| − ≤ W1 ≤ 0} = P{T ≤ α/s| − < W1 ≤ 0}ds, 89 (3.77) suy định lý hội tụ bị chặn ta chứng minh trực giác quan hệ hiển nhiên P{T ≤ θ| − ≤ W1 ≤ 0} → 0, < θ < Nhưng điều kéo theo (3.73) biểu thức hàm mật độ (3.60) Do P{U o ≤ α} = α, 3.4 < α < (3.78) Bất đẳng thức cực đại Để chứng minh tính chặt mục 3.2 sử dụng bất đẳng thức Etemadi (3.27), yêu cầu giả thiết độc lập Từ quan tâm tới định lý giới hạn hàm số cho dãy phụ thuộc biến ngẫu nhiên Điều có nghĩa nên sử dụng cận cho xác suất có dạng P{max |Sk | ≥ λ}, k≤n tức là, bất đẳng thức cực đại Các bất đẳng thức dẫn suất hữu ích lý thuyết xác suất ứng dụng xác suất tới lý thuyết giải tích lý thuyết số 3.4.1 Cực đại tổng riêng Cho ξ1 , , ξn biến ngẫu nhiên (dừng không, độc lập không) Sk = ξ1 + + ξk (S0 = 0) đặt Mn = max |Sk | k≤n (3.79) Suy cận cho P {Mn ≥ λ} cách tiếp cận gián tiếp Cho mijk = |Sj − Si | ∧ |Sk − Sj |, 90 (3.80) đặt Ln = max 0≤i≤j≤k≤n mijk (3.81) Từ |Sk | ≤ |Sn − Sk | + |Sn | |Sk | ≤ |Sk | + |Sn | kéo theo |Sk | ≤ m0kn + |Sn |, suy bất đẳng thức Mn ≤ Ln + |Sn | (3.82) Nếu |Sn | = bất đẳng thức tầm thường |Sn | ≤ 2Ln + max |ξk | (3.83) k≤n Điều |Sn | > Trong trường hợp |Sk | ≥ |Sn − Sk | với k = n không với k = tồn k, ≤ k ≤ n, cho |Sk | ≥ |Sn −Sk | |Sk−1 | < |Sn −Sk−1 |; với k này,|Sn −Sk | = m0kn ≤ Ln |Sk−1 | = m0,k−1,n ≤ Ln , suy |Sn | ≤ |Sk−1 |+|ξk |+|Sn −Sk | ≤ 2Ln +|ξk |; tức thỏa mãn (3.83) Cuối kết hợp (3.82) (3.83) ta Mn ≤ 3Ln + max |ξk | (3.84) k≤n Nếu có ràng buộc Ln − để nói cận trên phần dư phân phối nó−cũng cận khác |Sn | maxk |ξk |, sử dụng(3.82) (3.84) để có ràng buộc Mn yêu cầu thiết lập tính chặt Định lý 3.4.1 Giả sử α > β ≥ u1 , , un số không âm cho với λ > P{mijk ≥ λ} ≤ 4β λ 2α ul , ≤ i ≤ j ≤ k ≤ n (3.85) i