Sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

Header Page of 146 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN HONG TRUNG HIU S HI T CA CC O XC SUT V NG DNG Chuyờn ngnh: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc Mó s: 60460106 LUN VN THC S KHOA HC NGI HNG DN KHOA HC: GS.TSKH NG HNG THNG H NI2014 Footer Page of 146 Header Page of 146 Mc lc Li núi u M u 1.1 Mt s khỏi nim v kt qu c bn 1.2 Hi t yu trờn ng thng 17 S hi t yu khụng gian Metric 2.1 2.2 2.3 19 o trờn khụng gian Metric 19 2.1.1 o v tớch phõn 20 2.1.2 Tớnh cht 21 Tớnh cht ca hi t yu 25 2.2.1 nh lý kt hp 27 2.2.2 Tiờu chun khỏc 29 2.2.3 Nguyờn lý ỏnh x 33 2.2.4 Khụng gian tớch 36 38 2.3.1 i lng ngu nhiờn S-giỏ tr 38 2.3.2 S hi t theo phõn phi 39 2.3.3 S hi t theo xỏc sut 41 2.3.4 Mi quan h gia cỏc loi hi t 43 2.3.5 Nguyờn lý a phng v nguyờn lý tớch phõn 44 S hi t theo phõn phi Footer Page of 146 Header Page of 146 2.4 2.3.6 Qua gii hn tớch phõn 46 2.3.7 o tng i 48 nh lý Prohorov 53 2.4.1 Tớnh compact tng i 53 2.4.2 Tớnh cht 55 S hi t yu khụng gian C v ng dng 3.1 3.2 3.3 3.4 Hi t yu v tớnh cht C 62 62 3.1.1 Tớnh cht v tớnh compact trờn C 63 3.1.2 Hm ngu nhiờn 67 o Wiener v nh lý Donsker 69 3.2.1 o Wiener 69 3.2.2 Cu trỳc ca o Wiener 70 3.2.3 nh lý Donsker v ng dng 74 Hm ca cỏc qu o chuyn ng Brown 79 3.3.1 Giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht 80 3.3.2 Lut Arcsin 83 3.3.3 Cu Brown 87 Bt ng thc cc i 90 3.4.1 Cc i ca cỏc tng riờng 90 3.4.2 Bt ng thc tng quỏt hn 94 Kt lun 98 Ti liu tham kho 99 Footer Page of 146 Header Page of 146 LI NểI U Trong lý thuyt o, cú rt nhiu khỏi nim v s hi t ca cỏc o xỏc sut m hi t yu l mt khỏi nim quan trng ú Hi t yu (hay cũn gi l hi t hp hoc yu-hi t, õy l tờn thớch hp hn theo quan im gii tớch hm nhng ớt c s dng) l mt cỏc loi hi t liờn quan n s hi t ca cỏc o B cc lun gm phn m u, ba chng, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng mt l m u Nờu mt s khỏi nim v tớnh cht b tr cho cỏc chng sau ca lun Bờn cnh ú, chng mt s nhc li v s hi t yu trờn ng thng thc (ti liu tham kho [7]) Chng hai cp ti s hi t yu khụng gian Metric Trong chng hai chỳng ta s tỡm hiu lý thuyt chung v khỏi nim hi t yu khụng gian metric v xem xột nú ta hn ch nhiu trng hp khỏc M u bng cỏc khỏi nim c bn v hi t yu v cỏc tớnh cht ca nú T ú ng dng vo vic xột s hi t theo phõn phi v xỏc sut ca cỏc o Cựng vi ú l kt qu quan trng liờn quan ti mt h cỏc o xỏc sut Chng ba l s hi t yu khụng gian C v ng dng Chng ny quan tõm n s hi t yu khụng gian C = C[0, 1] vi tụpụ u; C l khụng gian tt c cỏc hm thc liờn tc trờn on úng [0, 1] Cỏc ng dng s c nờu chng ny cho ta thy lý ti tht thỳ v v hu ớch phỏt trin lý thuyt chung v s hi t ca cỏc o ( o Wiener, chuyn ng Brown) Footer Page of 146 Header Page of 146 Lun ny c thc hin di s hng dn ca GS.TSKH ng Hựng Thng Ton th ban lónh o v cỏc thy cụ khoa Toỏn - C Tin hc, trng i hc Khoa hc T nhiờn i hc Quc Gia H ni ó giỳp tụi cú thờm nhiu kin thc cú th hon thnh lun v khúa hc mt cỏch tt p Cỏc thy cụ phũng Sau i hc ó to nhng iu kin thun li giỳp tụi hon thnh cỏc th tc bo v lun cng nh hc Cỏc thy v cỏc bn seminar Toỏn xỏc sut v nhng gúp ý tụi cú th hon thnh lun ny Tụi xin chõn thnh cm n tt c nhng s giỳp v úng gúp quý giỏ y Tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca quý thy cụ v cỏc bn H Ni, thỏng 10 nm 2014 Hong Trung Hiu Footer Page of 146 Header Page of 146 Chng M u u tiờn chỳng ta nhc li mt vi tớnh cht ca khụng gian metric s c s dng lun Sau ú, ta s nhc li v s hi t ca o xỏc sut trờn ng thng 1.1 Mt s khỏi nim v kt qu c bn Ta cp mt kt qu hu ớch c chng minh n gin sau nh lý 1.1.1 (M test Weierstrass) Gi s rng limn xnk = xk vi mi k v |xnk | Mk , ú hi t v limn k Chng minh Do k xnk = k k Mk < Khi ú k xk v tt c cỏc k xnk xk Mk < nờn chui k xnk hi t tuyt i Ta cú | xnk k Vi |xnk xk | + xk | | k cho trc, chn k0 cho kk0 k>k0 k>k0 Mk < /3 v n0 cho n > n0 thỡ |xnk xk | < /3k0 vi k k0 Khi ú vi n > n0 thỡ | Footer Page of 146 Mk k xnk k xk | < Header Page of 146 Chỳng ta ký hiu khụng gian metric l S v metric ca nú l (x, y); khụng gian metric chớnh l cp (S, ) Vi cỏc A ca S, ký hiu A , Ao v A = A Ao ln lt l bao úng, phn v biờn ca A Khong cỏch t x ti A l (x, A) = inf{(x, y) : y A}; t (x, A) (x, y) + (y, A) suy (ã, A) liờn tc u Ký hiu B(x, r) l r-hỡnh cu m {y : (x, y) < r}; hỡnh cu s cú ngha l hỡnh cu m v cỏc hỡnh cu úng ký hiu l B(x, r) -lõn cn ca mt A l m A = {x : (x, A) < } So sỏnh cỏc metric Gi s v l hai metric trờn cựng khụng gian S núi rng tụ pụ l ln hn tụ pụ l núi cỏc lp tng ng O v O ca cỏc m mi quan h OO (1.1) iu ny ỳng nu v ch nu vi mi x v r, cú mt r cho B (x, r ) B(x, r) v trng hp ny tụ pụ cng c núi l tt hn tụ pụ Coi ỏnh x ng nht i trờn S nh mt ỏnh x t (S, ) vo (S, ) Khi ú i l liờn tc nu v ch nu G O kộo theo G = i1 G O ngha l nu v ch nu (1.1) ỳng Hn na, i l liờn tc theo ngha ny nu v ch nu (xn , x) kộo theo (xn , x) õy l cỏch khỏc núi rng tụ pụ l "tt hn" tụ pụ Metric l ri rc nu (x, y) = vi x = y; iu ny a ti S tụ pụ tt nht cú th Hai metric v tụ pụ tng ng l tng ng nu mi chỳng l tt hn cỏi kia: (S, ) v (S, ) l ng phụi Nu l tt hn thỡ c hai cú th tng ng; núi cỏch khỏc, "tt hn" khụng cú ngha l "tt hn nghiờm ngt" Tớnh kh ly Khụng gian S l kh ly nu nú cha mt trự mt, m c Mt c s cho S l mt lp cỏc m vi tớnh cht: mi m l hp ca cỏc lp ú Mt ph m ca A l mt lp cỏc m m hp ca chỳng cha A Footer Page of 146 Header Page of 146 nh lý 1.1.2 Ba iu kin sau l tng ng: (i) S l kh ly (ii) S cú mt c s m c (iii) Mi ph m ca mi ca S cú mt ph m c Chng minh 1.(i) (ii) Ly D m c, trự mt v ly V l lp cỏc hỡnh cu B(d, r) vi d D v r hu t Ly G m, chng minh V l mt c s, chỳng ta phi ch rng nu G1 l hp ca cỏc phn t ca V m b cha G thỡ G = G1 Tht vy, ta ó cú G1 G v chng minh G G1 ta ly x D, d D v s hu t r cho x B(d, r) G (Nu x G thỡ B(x, ) G vi no ú.) Do D l trự mt nờn cú d D cho (x, d) < /2 Ly s hu t r tha (x, d) < r < /2 : x B(d, r) B(x, ) 2.(ii) (iii) Ly {V1 , V2 , } l mt c s m c v gi s rng {G } l mt ph m ca A ( chy trờn mt ch s tựy ý) Vi mi Vk m tn ti mt G tha Vk G , ly Gk l no ú G cha nú Khi ú, A k Gk 3.(iii) (i) Vi mi n, {B(x, n1 ) : x S} l mt ph m ca S Nu (iii) ỳng thỡ cú mt ph {B(xnk , n1 ) : k = 1, 2, } Tp m c {xnk : n = 1, 2, } l trự mt S Mt M ca S l kh ly nu cú mt m c D l trự mt M (M D ) Mc dự D khụng nht thit l ca M , iu ny cú th d dng c sp xp: Gi s rng {dk } trự mt M v ly xkn l im chung ca B(dk , n1 ) v M (nu cú) Ly x M v dng, chn n v dk (x, dk ) < n1 < /2 Do B(dk , n1 ) cha im x ca M , nú cha xkn v (x, xkn ) < Do ú, xkn to thnh mt trự, mt m c ca M nh lý 1.1.3 Gi s M ca S l kh ly Footer Page of 146 Header Page of 146 (i) Cú mt lp A m c ca cỏc m vi tớnh cht: nu x G M v G m thỡ x A A G vi A no ú A (ii) Mi ph m ca M cú mt ph m c (tớnh cht Lindelă of ) Chng minh 1.(i) Ly D l trự mt, m c ca M v ly A bao gm cỏc hỡnh cu B(d, r) vi d D v r hu t Nu x G M v G m, chn B(x, ) G, sau ú chn d D cho (x, d) < /2 v cui cựng chn s hu t r: (x, d) < r < /2 Suy rng x B(d, r) B(d, r) B(x, ) G 2.(ii) Ly A = {A1 , A2 , } l lp ca phn (i) Cho mt ph m {G } ca M , vi mi Ak chn mt Gk cha nú (nu cú) Thỡ M k Gk Tớnh kh ly l mt tớnh cht tụ pụ: Nu v l hai metric tng ng thỡ M l -kh ly nu v ch nu nú l -kh ly Tớnh y Mt dóy {xn } l c bn hoc cú tớnh cht Cauchy nu sup (xi , xj ) n i,jn Mt M l y nu mi dóy c bn M cú gii hn nm nú Tp y hin nhiờn l úng Mt dóy c bn l hi t nu nú cha mt dóy hi t (iu ny cung cp cho ta mt cỏch thun tin kim tra tớnh y ca mt dóy.) Tớnh y khụng l mt tớnh cht tụ pụ: S = [1, ) l y theo metric thụng thng ( (x, y) = |x y|) nhng khụng y theo metric tng ng (x, y) = |x1 y | Mt khụng gian metric (S, ) l khụng gian tụ pụ nu nh vớ d ny cú mt metric tng ng theo ú l y Cho mt metric trờn S, xỏc nh b(x, y) = (x, y) Footer Page of 146 (1.2) Header Page 10 of 146 Do (t) = t l khụng gim v tha (s + t) (s) + (t) vi s, t nờn b l mt metric (tng ng vi ) Hn na, (t) t vi t v (t) = t vi t thỡ mt dóy l b-c bn nu v ch nu nú l -c bn; iu ny cng cú ngha S l -y nu v ch nu nú l b-y Tớnh compact Mt A theo nh ngha compact l nu mi ph m ca A cú mt ph hu hn Mt -li cho A l mt ca cỏc im {xk } vi tớnh cht l vi mi x A cú mt xk cho (x, xk ) < ; A l hon ton b chn nu vi mi dng, nú cú mt -li (cỏc im ca nú cú th khụng nm A) nh lý 1.1.4 Ba iu kin sau l tng ng: (i) A l compact (ii) Mi dóy A cú mt dóy hi t (gii hn nm A ) (iii) A l hon ton b chn v A l y Chng minh Hin nhiờn (ii) ỳng nu v ch nu mi dóy A cú mt dóy hi t ti mt im A v A l hon ton b chn nu v ch nu A cng l hon ton b chn Do ú, chỳng ta cú th tha nhn chng minh A = A l úng Chng minh l hin nhiờn nu ta t thờm ba tớnh cht gia (i) v (ii): (i1 ) Mi ph m m c ca A cú mt ph hu hn (i2 ) Nu A n Gn , ú Gn m v G1 G2 ã ã ã thỡ A Gn vi n no ú (i3 ) Nu A F1 F2 ã ã ã , ú Fn l úng v khỏc trng thỡ n Fn l khỏc trng u tiờn chỳng chng minh tt c (i1 ), (i2 ), (i3 ), (ii), (iii) l tng ng (i1 ) (i2 ) Hin nhiờn, (i1 ) kộo theo (i2 ) Footer Page 10 of 146 Header Page 86 of 146 (S2k+1 , , Sn ) c lp, Vn ch ph thuc vo chui u tiờn v Tn = 2k, Sn = j u ỳng nu v ch nu cỏc phn t ca chui th hai khỏc khụng v phn t cui bng j Theo (3.54) v (3.55) ta kt lun rng P{Tn = 2k, Vn = 2i, Sn = j} = p2k (0) j pn2k (j) k + n 2k (3.56) nu 2i 2k < n, j > (3.57) C hai v ca (3.56) trit tiờu nu n v j i Vi j õm, cụng thc tng t ỳng vi |j| thay cho j v phi Ta ỏp dng nh lý 2.3.6 mng cỏc im (2k/n, 2i/n, j/ n) vi j v n cú cựng bc Gi thit rng 2k k t, n 2i i v, n j j x, n ú < v < t < v x > Khi ú (3.57) ỳng vi n ln v theo (3.56) v (3.53) 2 ã ã n n n P{Tn = 2k, Vn = 2i, Sn = j} g(t, x), ú g(t, x) = |x| x2 /2(1t) e , [t(1 t)]3/2 < t < (3.58) Kt qu tng t cng ỳng vi x õm tớnh i xng Vỡ nh lý gii hn a phng bao hm c ngha ton cc (nh lý 2.3.6) 1 Tn , Vn , Sn n n n (3.59) cú (trong trng hp di ng ngu nhiờn) phõn b gii hn R3 xỏc nh bi mt f (t, v, x) = g(t, x) nu < v < t < 1, (3.60) ngc li 85 Footer Page 86 of 146 Header Page 87 of 146 Theo (3.51), (T, V, W1 ) cú hm mt nh vy Bi vỡ (3.52) nờn phõn b ca (T, U, V, W1 ) cú th c vit mt cỏch rừ rng T (3.60) suy phõn phi cú iu kin ca V cho bi T v W1 l phõn phi u trờn [0, T ]; iu ny tng ng vi (3.55) Theo (3.52), nu T = t, W1 = x thỡ U c phõn phi u trờn [1 t, 1] vi x > v u trờn [0, t] vi x < S dng (3.60) m cỏc giỏ tr cú th ca t v x, ta tỡm c hm mt ca U : x>0 1u Si } {Si1 < < Si } (3.64) xy (trong trng hp di ng ngu nhiờn l Si = 0) Cho Tn l i ln nht, i n m mt zero-crossing xy ti i; Un l s lng cỏc i, i n m Si > 0; Vn l s lng cỏc i, i Tn m Si > T ú suy 1 1 Tn , Un , Vn , Sn n n n n n (T, U, V, W1 ) nu ta cú th ch v trỏi xp x v trỏi ca (3.50) 86 Footer Page 87 of 146 (3.65) Header Page 88 of 146 Rừ rng, Tn /n nm vũng 1/n ca h1 (X n ) Nu n l s cỏc i, i n cho Ei xy ras cỏc zero-crossingthỡ Un /n v Vn /n tng ng nm vũng n /n ca h2 (X n ) v h3 (X n ) Do ú (3.65) c suy t (3.50) v nh lý 2.3.1 nu ta chng minh rng n /n n v vi iu ny l ch E{n /n} = n Nhng PEi P{|i | vi mi n PEi (3.66) i=1 i} + P{|Si1 | i}, dng v ú theo nh lý gii hn trung tõm thỡ PEi V (3.66) l mt h qu ca nh lý trờn trung bỡnh Cesro T (3.65) ta cú th kt lun cho Un /n v Vn /n cú phõn phi arcsin theo gii hn 3.3.3 Cu Brown Cu Brown W o hot ng nh mt qu o Wiener W cú iu kin bi yờu cu W1 = {W1 = 0} l mt bin ngu nhiờn ca xỏc sut 0, iu ny cú th c dựng suy phõn phi liờn kt vi W o Cho P l o xỏc sut trờn (C, C) xỏc nh bi P A = P{W A|0 W1 }, A C Bc u tiờn ta chng minh rng P Wo (3.67) Ly W nh mt hm ngu nhiờn xỏc nh trờn khụng gian xỏc sut no ú v ly trờn cựng khụng gian xỏc sut xỏc nh W o bi: Wto = Wt tW1 Nu ta chng minh c lim sup P{W F |0 W1 } P{W o F }, 87 Footer Page 88 of 146 (3.68) Header Page 89 of 146 vi mi F úng C thỡ t nh lý 1.2.1 ta suy c (3.67) T tớnh chun ca phõn b hu hn chiu suy rng W1 c lp vi mi (Wto1 , , Wtok ) vỡ mi thnh phn khụng cú tng quan vi Do ú P{W o A, W1 B} = P{W o A}P{W1 B} (3.69) nu A l mt hu hn chiu C v B nm R1 Nhng vi B c nh thỡ hp ca A C tha (3.69) l mt lp n iu v ú trựng vi C Do ú P{W o A|0 W1 } = P{W o A]} Vỡ (W, W o ) = |W1 |, ú l metric trờn C, |W1 | v W F , suy W o F = {x : (x, F ) } Do ú, nu < thỡ P{W F |0 W1 } P{W o F |0 W1 } = P{W o F } Vỡ vy, gii hn trờn (3.68) hu ht ti P{W o F }, gim ti P{W o F } nu F úng T ú suy ta chng minh c (3.68) v (3.67) Gi s rng h l mt ỏnh x o c t C vo Rk v Dh cỏc im giỏn on ca h tha P{W o Dh } = T (3.67) v nguyờn lý ỏnh x P{h(W o ) } = lim P{h(W ) |0 W1 } (3.70) ỳng vi mi m ti ú v trỏi liờn tc (nh mt hm i vi nm Rk ) T (3.70) ta cú th tỡm cỏc dng rừ rng cho cỏc phõn phi no ú quan h vi W o ụi mt dng thay th ca (3.70) thớch hp hn: P{h(W o ) } = lim P{h(W ) | W1 0} (3.71) Chng minh tng t (ta cú th dựng vi bt k ca [ , ] ca o Lebesgue dng) t mo = inf Wto , M o = sup Wto t t 88 Footer Page 89 of 146 Header Page 90 of 146 Gi s rng a < < b v < < b; theo (3.45) ta cú, nu c = b a, P{a < m M < b, < W1 < } P{2kc < N < 2kc + } = (3.72) k= P{2kc + 2b < N < 2kc + 2b} k= Do 1 lim P{x < N < x + } = ex /2 , v vỡ chui (3.72) hi t u theo (3.73) nờn ta cú th ly gii hn ( 0) bờn cỏc tng v theo (3.70) suy o o P{a < m M b} = e 2(kc)2 e2(b+kc) (3.74) k= Vỡ vy ta cú phõn phi ca (mo , M o ) Ly a = b c P{sup |Wto | t (1)k e2k b} = + 2 b , b > (3.75) k= Bng mt phõn tớch hon ton tng t vi (3.46) P{mo < b} = e2b , b > (3.76) Ly U o l o Lebesgue ca cỏc t [0, 1] cho Wto > Suy U o c phõn phi u trờn [0, 1] nu ta chng minh c lim P{U | W1 0} = , 0 < < Bi vỡ (3.52) nờn xỏc sut cú iu kiờn õy l P{V | (3.77) W1 0} T dng ca hm mt (3.60) ta thy rng phõn phi ca V vi T v W1 cho trc l u trờn [0, T ] v l c lp vi (T, W1 ) Do ú, xỏc sut cú iu kin (3.77) l P{T L | W1 0} = P{T /s| < W1 0}ds, 89 Footer Page 90 of 146 Header Page 91 of 146 v (3.77) c suy bi nh lý hi t b chn nu ta chng minh bng trc giỏc quan h hin nhiờn P{T | W1 0} 0, < < Nhng iu ny kộo theo bi (3.73) v biu thc hm mt (3.60) Do ú P{U o } = , 3.4 < < (3.78) Bt ng thc cc i chng minh tớnh cht mc 3.2 chỳng ta s dng bt ng thc Etemadi (3.27), ú yờu cu gi thit v s c lp T ú chỳng ta cng quan tõm ti cỏc nh lý gii hn hm s cho cỏc dóy ph thuc ca cỏc bin ngu nhiờn iu ny cú ngha l chỳng ta nờn s dng cỏc cn trờn cho xỏc sut cú dng P{max |Sk | }, kn tc l, cỏc bt ng thc cc i Cỏc bt ng thc dn sut õy rt hu ớch lý thuyt xỏc sut v cng nh cỏc ng dng ca xỏc sut ti lý thuyt gii tớch v lý thuyt s 3.4.1 Cc i ca cỏc tng riờng Cho , , n l cỏc bin ngu nhiờn (dng hoc khụng, c lp hoc khụng) v Sk = + + k (S0 = 0) v t Mn = max |Sk | kn (3.79) Suy cỏc cn trờn cho P {Mn } bi mt cỏch tip cn giỏn tip Cho mijk = |Sj Si | |Sk Sj |, 90 Footer Page 91 of 146 (3.80) Header Page 92 of 146 v t Ln = max 0ijkn mijk (3.81) T |Sk | |Sn Sk | + |Sn | v |Sk | |Sk | + |Sn | kộo theo |Sk | m0kn + |Sn |, suy bt ng thc Mn Ln + |Sn | (3.82) Nu |Sn | = thỡ bt ng thc l tm thng |Sn | 2Ln + max |k | (3.83) kn iu ny cng ỳng nu |Sn | > Trong trng hp |Sk | |Sn Sk | ỳng vi k = n nhng khụng ỳng vi k = ú tn ti k, k n, cho |Sk | |Sn Sk | nhng |Sk1 | < |Sn Sk1 |; vi k ny,|Sn Sk | = m0kn Ln v |Sk1 | = m0,k1,n Ln , suy |Sn | |Sk1 |+|k |+|Sn Sk | 2Ln +|k |; tc l tha (3.83) Cui cựng kt hp (3.82) v (3.83) ta c Mn 3Ln + max |k | (3.84) kn Nu chỳng ta cú mt rng buc trờn Ln ú l núi mt cn trờn trờn phn d ỳng ca phõn phi ca núcng nh mt cn khỏc trờn |Sn | hoc trờn maxk |k |, ú chỳng ta cú th s dng(3.82) hoc (3.84) cú mt rng buc trờn Mn nh yờu cu thit lp tớnh cht nh lý 3.4.1 Gi s rng > v v u1 , , un l nhng s khụng õm cho vi > P{mijk } ul , i j k n i