Các mô hình xác suất và ứng dụng phần i

ĐẠI H Ọ C VINH THI VIÊN 519.207 ì NG-T(l)/0 DT 001 n 111 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN DUY TIÊN CÁC M ộ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I - XÍCH MARKOV VÀ ÚNG DỤNG • OKI Ha N ộ i NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NỘI N G U Y Ễ N DUY TIÊN CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I - XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Quốc GIA HÀ NỘI 2000 Chiu trách nhiệm xuất Giám đốc Tổng biên tập Người nhận xét: bản: NGUYỄN VĂN THỎA NGUYỄN THIỆN GIÁP PGS.TS NGUYỄN VĂN HỮU PGS.TS PHẠM V I Ế T PHÚ TS NGUYỄN HỮU D Biên tập sửa bài: PHẠM PHÚ TRIÊM NGUYỄN LAN HƯƠNG Trình bay bìa: NGỌC ANH CÁC MÔ HÌNH X Á C S U Ấ T VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I - XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG Mã SỐ:01.123.ĐH2000.313 In 1000 cuốn, Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội Số xuất bản: 91/313/CXB Số trích ngang In xong nộp lưu chiểu Quý ỉ năm 2001 27 KH/XB MỤC LỤC Lài nói dầu P h ầ n ì: XÍCH M A R K O V VÀ Ứ N G D Ụ N G C h n g 1.1 1.2 1.3 C c đ i n h nghĩa v ví du T í n h Markov 1.1.1 Định nghĩa l i 1.1.2 Ví (lu 12 Xích Markov rời rạc 1.5 13 1.2.1 Ma trận xác suất chuyển 13 1.2.2 P h â n phổi ban đầu 16 M ộ t số mỏ hình xích Markov 18 1.3.1 M ỏ hình k i r m kô (Inventory Model) 18 1.3.2 Mo hình bình Elưcníast 21 1.3.3 Xích Markov tron,^ H u y ê n 22 1.3.-1 Mò hình phục vụ đám đòng (lý thuyết xốp hàng) 1.4 l i Xích MiU"kov có hữu hạn trạng thái 24 25 1.4.1 Xích có hai tnuij; thái 25 1.4.2 Định lý orgoclic 28 í 4.3 Phim phối đừng 31 1.4.4 P h â n phối giới hạn phân phối crgodic 32 1.4.5 Định lý 32 M ỏ lành phun chia thị trường 35 l.G M ỏ hình trò chơi hai đ ấ u thủ 39 1.7 Nguyên lý phàn xạ 42 1.7.1 Bài toán bầu cừ 42 1.7.2 Nguyên lý ph n xạ 44 I 1.8 1.9 Phil!) t it'll b c I h ú n h ấ t 15 1.8.1 T r n g h ợ p (.lưu Í2,iãn -15 1.8.2 P h i ] lích b c t h ứ n h ấ t l o n ^ q u t -18 X í c h M a r k o v chạy l i m t i ế p 52 1.9.1 DạiiỊỊ, ma t r ậ n x c s u ấ t c l i u y ố n 52 1.9.2 Các- ví d ụ 52 1.9.3 C c b i t o n Hòn quan 53 Bài t ậ p 50 C h n g P h â n loai t r a n g t h i x í c h Markov 2.1 M ụ c (lích GO 2.2 C c t r n g t h i li™ t h ô n g v p h ả n l p GO 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.2.1 Đ ị n h nghĩa 2.2.2 Định GO 70 Ìiylũrt C h u k ỳ c ù a t r n g lliái 72 2.3.1 Đ ị n h nghĩa 72 2.3.2 Đ ị n h lý 72 2.3.3 Họ quà 72 2.3.4 Đ ị n h nghĩa 7.'j 2.3.5 Định lý 71 T r n j ị t h i h i quy v t r a i l " t h i k h ô n " ; h i q u y 74 2.4.1 Đ ị n h nghĩa 75 2.4.2 Đ ị n h nghĩa 7G T i ê u c h u n hồi quy v k h ù n g hòi quy 77 2.5.1 Đ ị n h lý 77 2.5.2 Đ ị n h lý 78 Đ ị n h lý g i i h n c b ả n xích M a r k o v 79 2.tí.Ì Đ ị n h lý 79 2.6.2 B ổ đi- 79 2.6.3 Đ ị n h lý 81 Sư tòn tai lim P Ỳ P phân phối dừng li—'OO 2.7.1 Đ ị n h lý 82 ' 82 2.7.2 Định lý 84 2.7.3 Định lý 86 Xích Markov có hữu hạn trạng thái (tiếp theo) 2.8 87 2.8.1 Định lý 87 2.8.2 Định lý 88 2.9 D i động ngẫu nhiên 2.9.1 Di dộng ngẫu nhiên đường thằng 2.9.2 Di động ngẫu nhiên đường thằng có trạng thái hấp t h ụ 2.9.3 92 95 Di động ngẫu nhiên trôn đường thằng có hai trang thái phản hồi 96 2.9.6 D i động ngẫu nhiên đ ố i xứng mặt phang 97 2.9.7 Di động ngẫu nhiên tống quát 97 2.9.8 Mò hình quản lý tiên mặt 99 2.10 M ộ t số vấn đ i khác 102 2.10.1 P h n tích bước t h ứ nhất, (tiếp theo) 102 2.10.2 Xí ch không t ố i giản 106 Bài t ậ p 109 Chương Quá trình Poisson 3.1 P h â n phối mũ 3.2 91 D i động ngẫu nhiên trôn đường thằng có trạng thái phản hồi 2.9.5 89 D i động ngẫu nhiên trôn đường thằng có hai trạng thái hấp t h ụ 2.9.4 89 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Các tính chất c a p h n phối mũ P h â n phối Poisson 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Các tính chất c a p h â n phối Poisson 115 115 116 118 118 119 3.3 Quá Mình đ ế m 120 3.4 Quá trình Poisson 120 3.4.1 Các giả thiết quan trọng 120 3.4.2 Đ ị n h nghĩa 122 3.4.3 M ô h ì n h Poisson 122 3.5 C c p h â n p h ổ i liên quan đ ế n q u t r ì n h đ i ể m Poissoir 3.5.1 Đ ị n h nghĩa 3.5.2 124 125 T h i gian đ ế n (hay t h i gian chờ) v t h i gian đ ế n t i l i n g gian 125 3.5.3 Đ ị n h lý 126 3.5.4 Q u t r ì n h Poisson có p h â n l o i 129 3.5.5 P h â n p h ố i đ ầ u v q u t r ì n h Poisson 133 3.5.6 M ộ t số ứ n g d ụ n g k h c 139 3.6 Q u t r ì n h đ i ể m Poisson t ố n g q u t 144 3.6.1 Đ ị n h nghĩa 144 3.6.2 Đ ị n h lý 146 3.7 3.8 Q u t r ì n h Poisson p h ứ c h ợ p 147 3.7.1 Đ ị n h nghĩa 147 3.7.2 C c ví d ụ 147 3.7.3 K ỳ v ọ n g v p h n g sai Z(t) 148 Q u t r ì n h Poisson đ n h d ấ u 150 3.8.1 Đ ị n h nghĩa 150 3.8.2 T r n g hợp đ n giản 151 3.8.3 Q u t r ì n h d i ê m Poisson k h ô n g t h u ầ n t r ê n m ệ t phang 3.8.4 P h â n p h ố i q u t r ì n h Poisson đ n h d ấ u 151 152 Bài tập 153 P h ụ lục 157 V i nét, v ề lịch s 1G5 T i liệu tham khảo 171 L Ờ I NÓI ĐÂU Xác suất Thống kê lĩnh vực toán ứng dung, (lòi hồi sờ toán học sâu sắc Ngày mô hình xác suất thực dược ứng dụng rộng rãi khoa học tự nhiên khoa học xã hội Tuy nhiên, Việt Nam có tài liệu mô hình xác suất ứng (lụng chúng Đó lý viết giáo trì nh nàv Nhằm phục vụ độc giớ nhiều lĩnh vực khác (toán học, vật lý, học, sinh học, khoa học trái đất kinh tế, y học, nông nghiệp, v.v ) nên giáo trình (lược viết theo tinh thần: xác lý thuyết tới mức độ nhất, định, nhiều ví dụ ứng dụng cụ thường gặp thực tế tương đối dễ hiểu Giáo trình C c m ô h ì n h xác suất ứng dung GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến chủ biên bao gồm: P h ầ n ì Phần l i X í c h M a r k o v v ứng dung, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến viết Q u t r ì n h d n g v ứng dung, PGS.TSKH Đặng Hùng Thắng viết Phần U I G i i t í c h n g ẫ u nhiên, GS.TSKH Nguyên Duy Tiến viết Các thành viên Bộ môn Xác suất Thống kê, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học T ự nhiên - Đại học Quốc gia Hà NỴÚ (ĐHKHTN DHQGIIN) d ã nhiều năm giớng dạy trình ngẫu nhiên tích lũy nhiều kinh nghiệm để viết giáo trì nh dạng mô hình ứng dụng phục vụ cho đông đớo bạn đọc Tuy nhiên, không phới tài liệu sơ cấp, để đạt hiệu quớ cao bạn đọc cần phới có kiến thức toán hai năm đầu đ i học đặc biệt phới có kiến thức xác suất cổ điền (chằng hạn tài liệu Đào Hữu Hồ [1], Đặng Hùng Thắng [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến [3]) Chúng hy vọng giáo trình có ích cho nhiều bạn dọc, phục vụ tốt cho ứng dụng, giớng dạy nghiên cứu Chắc chắn giáo trình nhiều thiếu sót Rất mong nhận góp ý chi bào bạn đọc Cuối xin cám ơn Ban Giám hiệu trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Khoa Toán - Ca - T i n học, Bộ môn Xác suất Thống kê Đi IKHTN - ĐHQGHN Nhà Xuất ĐHQGHN động viên, cổ vũ , giúp đỡ nhiệt tình biên soạn giáo trình Các t c giả 160 +oo (li) Có tích p h â n Ì tức Ị f(x)dx = — ao K ỳ vong phương sai • T r n g h ợ p r i rạc KỲ v ọ n g X l số t h ự c x c đ ị n h theo c ô n g t h ứ c EX = = x > , , p p í - T.„) n K ỳ v ọ n g c ó đ i ề u k i ệ n n k h i b i ế n cố X B đ ã cho l số t h ự c x c đ ị n h theo c ô n g t h ứ c E(X\B) = £ x P ( A - n = a: |B) n n P h n g sai c ủ a X l số t h ự c k h ô n g â m x c đ ị n h theo c ô n g t h ứ c V a r X = E[X - EX} n = EX - {EX) Tì P h n g sai c ó đ i ề u k i ệ n c ủ a X k h i b i ế n cố B đ ã cho l số t h ự c x c đ ị n h theo c ô n g t h ứ c Vai-(A"|B) = E[(X • - E(X\B))\B} = E(X \B) T r n g h ợ p liên t ụ c K ỳ v ọ n g X l số t h ự c x c đ ị n h theo c ô n g t h ứ c +oo EX = í xf(x)dx - (E(X\B)) 161 P h n g sai X số thực không âm xác định theo công thức VaivY = E[X - E X ] 2 = EX +00 = r f(.,:) ( Ị ( ỉ - F(x))dx Ị = + 0 Ị = x f ( x ) d x ) X > + 0 EX (EX) + 0 Ị - P(X > x)dx P h â n phối đồng t h i Giá sử X,Y X Y hai biến ngẫu nhiên H m phân phối đồng t h i xác định ti 100 công thức F(x,y) • = P(X [...]... ố i gi i h ạ n v à p h â n p h ố i ergodic Đinh nghĩ a Ta 1,2, A Yj r n i rằng xích Markov tồn t i các gi i hạn có ph i) ÍTị — lim pịy (i \, 7 Ĩ 2 , T Ĩ N ) kiện: — Ì có tính ergodic, In) I j - > 0 , Tĩj / ph i gi i hạn, nếu không phụ thuộc vào ị TTOV I trườn;] hợp đó ta g i là phân ph i gi i hạn Ta n i rằng xích Markov •"ác gi i han ^2 7Tj > 0 , 7Tj i V J T>—*00 vả thoa mãn các i u kiện: 7T l i. .. yết và tập ứng dụng gi i các b i toán thực t ế B i tập khó có đánh dấu * Phổn phụ lục giúp các bạn nhớ l i các k ế t quả t ổ n thiết về xác suất, p h ư ơ n g trình sai p h â n (hay truy h i) N i dung của giáo trình này được biên soạn theo các sách n i tiếng [5], [8], [10], [ l i ] Bản thảo của Phổn ì đ ã được Nguyễn Duy T i ế n , Vũ Tiến Việt và Phạm Xuân Bình d ù n g làm t i liệu giảng dạy cho sinh... Markov đưac ứng dụng rất nhiề u trong thương nghiệp, tin học, viễn thông, v.v và là một mon hoe bắt buộc đ i v i sinh viên của nhiề u trường đ i học Xích Markov là trường hợp riêng của quá trình Markov (khi ta có thể đánh số được các trạng th i) Để hiểu xích Markov, bạn đọc chỉ cần biết nhệng kh i niệm cơ bản nhất của xác suất (đặc biệt là xác suất có i u kiện, công thức xác suất đầy đủ), đ i số tuyến... kiện: 7T l i m p) ri—»oo không phu thuôc v ào J = Ì Y^iTj Vỹ - nếu Trong trường ỉ hơp đó ta 1,2,N tần tạt và thoa mãn các I Ì i u là 7T2, 7i" v) (lĩ) phán ph i e.rqodic Theo cảu iii) của đệnh lý ergodic t r ê n thì phản ph i gi i hạn (và phản ph i (Tgodic) là phàn ph i dừng i u ngược l ạ i không ứng, rức: là có những q u á i lình r ó phan ph i dừng, nhung không có p h â n ph i gi i hạn Chẳng hạn c;... tính và cách gi i một số phương trình sai phản đơn giản Phần Xích Markov v à ứng dụng có 3 chương Chương Ì trình bày các định nghĩa cơ bản và nêu một số mó hình ứng dụng quan trọng Trong chương này cần đọc kỹ các kh i niệm và nắm vệng các kết quả như: tính Markov, xác suất chuyển, phương trình Chapman-Kolmogorov, phân ph i dừng, định lý ergodic, phương pháp phân tích bước thứ nhất và ba b i toán liên... dó là nghiệm Chứng (4.3) lĩ ì , ••-,'TĨN thoả mãn các i u kiện (4.2) (4.1) là nghiệm của hệ phu ưng i ^ X f c í > f c XI j duy nhất thoa mãn i u > 0 , Vj e E Xj (4.1) số thod mãn 7Ti, ,7rw x nếu p Ị ^ T T , - l i, nếu tồn t i các thỉ sẽ tồn t i (4.3) (4.2) 1 = j E E lim (ii) * j ' 6 trình (4.4) E kiện ; ]T X j = Ì được í /i c /liên minh (i) Đặt m ị n ) = m i r i j p ^ và A í j n ) = maXi T ừ phương... chứa nhiề u kết quả quan trọng, trình bày phân lớp trạng th i cùa xích Markov thuần nhất Bạn đọc càn hiểu rõ mục đích của chương 2, nắm vệng các kh i niệm trạng th i h i quy, không h i quy, phân ph i dừng, phân ph i gi i hạn và sự tồn t i Di động ngẫu nhiên là mô hình quan trọng hay gặp trong ứng dụng Chương 2 còn có nhiề u ví dụ lý thú 10 Q u á trình Poisson là dạng đặc biệt của quá trình Markov và đóng... Tí—>00 Tì.—inn ì sao cho •Kị > 0 Vj G E , Ỵ ^ T ĩ j = \ Ta cần n ắ m vững n i dung của k ế t quả sau: Đ ị n h lý (x ) n Giả sử p = (p t j ) là ma trận xác suất chuyến có không gian trạng th i hữu hạn r E = {1,2, , i \ } của xích Markov 29 Nếu (i) chính quy theo nghĩa sau: tồn t i p minpỉ" o) no sao cho > 0 (4.1) i ú thì lơn t i các số 7Ti,7Tjv sao 7T ị và v i m i cho > 0 , và Nguợc (iii) Các số no và dó... h ì n h t h à n h t h ế h ệ m ớ i , m ỗ i gene c ó x á c s u ấ t đ ộ t b i ế n , t ứ c l à x á c s u ấ t c h u y ể n t h à n h gene của l o ạ i kia Đ ặ c b i ệ t , ta g i ả s ử r ằ n g đ ố i v ớ i m ỗ i gene h i ệ n t ư ợ n g đ ộ t b i ế n suất Xi và hiện tượng đ ộ t biến A —> a x ả y ra v ớ i x á c a —> A x ả y ra v ớ i x á c suất Xi- M ộ t l ầ n n ữ a t a l ạ i g i ả s ử r ằ n g s ự h ì n h t h à... g ẫ u n h i ê n đ ộ c l ậ p c ù n g p h ả n p h ố i T r ạ n g t h i c ủ a h ệ ( c ử a 25 hàng) t i th i i m đầu của chu kỳ là số khách xếp hàng chờ phục vụ Nếu hiện t ạ i hệ ờ trạng th i ỉ thì sau một chu kỳ hệ roi vào trạng th i nêu Ì > Ì , nếu i 0 (Ẹ là biến ngẫu nhiên có phân ph i (fitfc) ở trên) là số khách t i th i i m xuất phát của chu kỳ n Khi đó Ta ký hiệu X n X-n-ị-l = ( x + v i x — 1) n ...Đ I H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ N I N G U Y Ễ N DUY TIÊN CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I - XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG NHÀ XUẤT BẢN Đ I HỌC Quốc GIA HÀ N I 2000 Chiu trách nhiệm xuất Giám đốc... Ngày mô hình xác suất thực dược ứng dụng rộng r i khoa học tự nhiên khoa học xã h i Tuy nhiên, Việt Nam có t i liệu mô hình xác suất ứng (lụng chúng Đó lý viết giáo trì nh nàv Nhằm phục vụ độc giớ... Tin học, trường Đ i học Khoa học T ự nhiên - Đ i học Quốc gia Hà NỴÚ (ĐHKHTN DHQGIIN) d ã nhiều năm giớng dạy trình ngẫu nhiên tích lũy nhiều kinh nghiệm để viết giáo trì nh dạng mô hình ứng dụng