Độ đo xác suất và ứng dụng

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM THỊ NGỌC MINH ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 22/10/2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết xác suất ngành toán học đại Trong toán học, độ đo hàm tập cộng tính đếm cho tương ứng tập hợp với số thực Nó khái niệm quan trọng giải tích Độ đo Lebesgue sở tích phân Lebesgue có hiệu lực tích phân Riemann giải tích cổ điển; công cụ đắc lực nhiều ngành toán học đại Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Hiện tượng ngẫu nhiên tượng ta nói trước xảy hay không xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên điều kiện nhau, nhiều trường hợp, ta rút kết luận khoa học tượng Vậy có mối liên hệ độ đo xác suất hay không? Năm 1933, nhà toán học người Nga Andrey Kolmogorov (1903 1987) đưa tiên đề Lý thuyết xác suất sách ông "Foundations of the Calculus of Probabilities", lấy Lý thuyết độ đo tích phân Lebesgue làm sở toán học cho xác suất đại Trong công trình Kolmogorov, tập đo được hiểu biến cố xác suất độ đo lớp tập Điều chứng minh độ đo khái niệm quan trọng lý thuyết xác suất Đó lí để chọn đề tài "Độ đo xác suất ứng dụng" MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tiếp cận tìm hiểu cách kĩ lưỡng kiến thức Lý thuyết độ đo Lý thuyết xác suất, sau trình bày Lý thuyết xác suất tảng độ đo ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Footer Page of 126 Header Page of 126 - Nghiên cứu Lý thuyết độ đo Lý thuyết xác suất - Xây dựng không gian xác suất tảng không gian đo độ đo chuẩn hóa PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tiến hành thu thập tài liệu, giáo trình, sách, báo cáo, luận văn, báo có liên quan đến Lý thuyết độ đo Lý thuyết xác suất - Đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa nguồn tài liệu lí luận thực tiễn liên quan đến đề tài Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI - Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết độ đo lý thuyết xác suất, đồng thời trình bày công thức xác suất toàn phần suy rộng công thức Bayes suy rộng - Tạo đề tài phù hợp cho việc nghiên cứu lý thuyết độ đo lý thuyết xác suất cho sinh viên tiếp cận với môn học CẤU TRÚC LUẬN VĂN Đề tài trình bày mặt hình thức theo quy định Bố cục đề tài gồm có phần: Lời cam đoan, Mục lục, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo Luận văn trình bày chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết tối thiểu, làm móng cho chương chương Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG ĐỘ ĐO KHÔNG ÂM 1.1 1.1.1 Đại số σ - đại số Đại số Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X tập hợp không rỗng Một lớp A tập X gọi đại số thỏa mãn: (i) X ∈ A (ii) Nếu A ∈ A B ∈ A A ∪ B ∈ A (iii) Nếu A ∈ A Ac = X \ A ∈ A 1.1.2 σ - đại số Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X tập hợp không rỗng Một lớp C tập X gọi σ - đại số nếu: (i) X ∈ C (ii) Nếu A ∈ C Ac = X \ A ∈ C , với Ac phần bù A +∞ (iii) Nếu {Ak }k∈N dãy phần tử C Ak ∈ C k=0 Định nghĩa 1.1.3 (σ - đại số Borel) σ - đại số nhỏ bao hàm lớp tập mở không gian X gọi σ - đại số Borel không gian X Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2 1.2.1 Hàm tập độ đo Hàm tập Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X khác rỗng Gọi A lớp gồm tập không gian X Hàm µ xác định A nhận giá trị R gọi hàm tập hợp Hàm µ gọi không âm µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ A Hàm µ gọi hữu hạn µ(A) < +∞, với A ∈ A 1.2.2 Hàm tập cộng tính Định nghĩa 1.2.2 Hàm tập µ xác định A gồm tập tập X khác rỗng gọi cộng tính nếu: Với A, B ∈ A; A ∩ B = ∅; A ∪ B ∈ A : µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) Định nghĩa 1.2.3 Hàm tập µ xác định A gồm tập tập X khác rỗng gọi hữu hạn cộng tính nếu: Với Ai, Aj ∈ A; n ∈ Z+; n < +∞; Ai ∩ Aj = ∅; ∀i = j i ≤ n; j ≤ n thì: n µ( n Ai) = i=1 1.2.3 µ(Ai) i=1 Hàm tập σ - cộng tính Định nghĩa 1.2.4 Hàm tập µ xác định lớp A gồm tập X khác rỗng gọi có tính σ - cộng tính nếu: +∞ ∗ Với Ai, Aj ∈ A; i ∈ N ; Ai ∩ Aj = ∅; ∀i = j Ai ∈ A thì: i=1 +∞ µ( Ai) = i=1 Footer Page of 126 +∞ µ(Ai) i=1 Header Page of 126 Một hàm σ - cộng tính hữu hạn cộng tính Điều ngược lại không 1.2.4 Tính chất hàm cộng tính 1.2.5 Độ đo đại số Định nghĩa 1.2.5 Một hàm tập hợp µ xác định đại số A tập không gian X gọi độ đo đại số A thỏa mãn: (i) µ(A) ≥ 0, với A ∈ A (ii) µ(∅) = (iii) µ có tính σ - cộng tính Khi µ(A) gọi độ đo tập A 1.2.6 Các tính chất độ đo Định lý 1.2.7 Cho µ độ đo σ - đại số C thì: (i) Nếu A ∈ C; B ∈ C; A ⊂ B µ(A) ≤ µ(B) (ii) Nếu A, B ∈ C; B ⊂ A; µ(B) < +∞ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B) +∞ Ai; A ∈ C thì: (iii) Nếu Ai ∈ C; i ∈ Z+; A ⊂ i=1 +∞ µ(A) ≤ µ(Ai) i=1 +∞ (iv) Nếu Ai ∈ C; i ∈ Z+; Ai ⊂ A; A ∈ C; Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j thì: i=1 +∞ µ(Ai) ≤ µ(A) i=1 Footer Page of 126 Header Page of 126 Hệ 1.2.8 Nếu µ độ đo σ - đại số C ta nói C miền xác định µ kí hiệu Dom(µ) = C Nếu độ đo µ σ - hữu hạn tập A ∈ C phân tích thành số đếm tập hợp có độ đo hữu hạn Định lý 1.2.9 Cho µ độ đo σ - đại số C thì: +∞ (i) Nếu µ(Ai) = với i ∈ Z+ ⇒ µ( Ai) = i=1 (ii) A ∈ C; B ∈ C; µ(B) = ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A) Định lý 1.2.10 Nếu µ độ đo σ - đại số C thì: +∞ (i) Nếu Ai ∈ C; A1 ⊂ A2 ⊂ µ( Ai) = lim µ(Ai) i=1 i→+∞ +∞ (ii) Nếu Ai ∈ C; A1 ⊃ A2 ⊃ ; µ(A1) < +∞ µ( Ai) = i=1 lim µ(Ai) i→+∞ Định lý 1.2.11 (Định lý đảo định lý 1.2.10) Cho µ hàm tập hợp không âm, cộng tính σ - đại số C thỏa mãn µ(∅) = µ độ đo hai điều kiện sau thỏa mãn: +∞ (i) Ai ∈ C; A1 ⊂ A2 ⊂ ; Ai ∈ C i=1 +∞ ⇒ µ( Ai) = lim µ(Ai) i=1 i→+∞ +∞ (ii) Ai ∈ C; A1 ⊃ A2 ⊃ ; Ai = ∅ i=1 ⇒ lim µ(Ai) = i→+∞ Footer Page of 126 Header Page of 126 1.3 Độ đo độ đo 1.3.1 Độ đo Định nghĩa 1.3.1 Hàm tập µ∗ xác định lớp tất tập X , kí hiệu P(X) gọi độ đo nếu: (i) µ∗(A) ≥ 0, ∀A ∈ P(X) (ii) µ∗(∅) = +∞ +∞ ∗ Ai suy ra: µ (A) ≤ (iii) A ⊂ µ∗(Ai) i=1 i=1 Khi đó, µ∗ gọi σ - cộng tính Định lý 1.3.2 (Định lý Carathedory) Cho µ∗ độ đo X L lớp tập A ∈ P(X) cho µ∗(E) = µ∗(E∩A)+µ∗(E\A), với E ∈ P(X) Khi đó, L σ - đại số hàm µ = µ∗|L (thu hẹp µ∗ L) độ đo L Độ đo µ gọi độ đo cảm sinh độ đo µ∗ Các tập A ∈ L gọi tập µ∗ - đo 1.3.2 Độ đo R Định nghĩa 1.3.4 (Gian) Gian tập R có dạng sau: (−∞; a), (−∞; a], (a; +∞), [a; +∞), (a; b), [a; b], [a; b), (a; b], (−∞; +∞) Gọi A lớp tập hợp R cho: n A = {A ⊂ R : A = i; i ∩ j = ∅, ∀i = j} i=1 i gian, n số tự nhiên tùy ý Khi đó, ta có: (i) A đại số Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 (ii) Trên A ta xây dựng độ đo m sau: n ∀A ∈ A, A = i, n < +∞; i ∩ j = ∅, ∀i = j i=1 i gian R; i = 1, n Trên đó, hàm tập hợp: n | m(A) = i| i=1 độ đo đại số A 1.3.3 1.4 1.4.1 Độ đo Rk Định lý khuếch độ đo Lebesgue Định lý khuếch Định lý 1.4.1 Cho m độ đo đại số A tập X Với A ⊂ X , ta đặt: +∞ µ∗(A) = inf { +∞ Pi ⊃ A, Pi ∈ A, Ai ∩ Aj = ∅, i ∈ Z+} m(Pi) : i=1 i=1 µ∗ độ đo µ∗(A) = m(A), ∀A ∈ A Đồng thời tập hợp thuộc σ - đại số σ(A) µ∗ đo 1.4.2 Độ đo đủ Định nghĩa 1.4.2 Giả sử (X, C, µ) không gian đo N tập X Ta gọi N tập µ - không có tập A ∈ C cho N ⊂ A µ(A) = Không gian đo (X, C, µ) gọi đủ tập µ - không thuộc C Khi µ gọi độ đo đủ Footer Page 10 of 126 10 Header Page 12 of 126 CHƯƠNG ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 2.1 2.1.1 Không gian xác suất Biến cố Định nghĩa 2.1.1 (Biến cố sơ cấp) Định nghĩa 2.1.2 (Biến cố) 2.1.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.3 (Không gian xác suất) Cho Ω tập hợp không rỗng, σ - đại số C tập Ω P độ đo không gian đo (Ω, C) Khi đó, không gian đo hoàn toàn hữu hạn (Ω, C, P ) mà P (Ω) = gọi không gian xác suất Định nghĩa 2.1.4 (Biến ngẫu nhiên) Giả sử (Ω, C, P ) không gian xác suất (X, F) không gian đo Ta gọi ánh xạ đo ξ : Ω −→ X biến ngẫu nhiên X - giá trị (hay nhận giá trị X ), nghĩa với B ∈ F ξ −1(B) ∈ C 2.1.3 Phân phối xác suất Định nghĩa 2.1.9 (Phân phối xác suất) Giả sử ξ biến ngẫu nhiên X - giá trị Khi độ đo ảnh P ◦ ξ −1 gọi phân phối xác suất ξ Ta kí hiệu: Pξ = P ◦ ξ −1 Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 Như vậy: Pξ (B) = P (ξ −1(B)) với B ∈ F xác suất không gian đo (X, F) Định nghĩa 2.1.12 (Phân phối rời rạc) Đại lượng ngẫu nhiên ξ gọi có phân phối rời rạc (hay ξ đại lượng ngẫu nhiên rời rạc), hàm phân phối F hàm bước nhảy (hay hàm đơn giản) Giả sử {xk } tập hợp điểm gián đoạn F pk bước nhảy tương ứng: pk = F (xk + 0) − F (xk − 0) Khi ta có: pk = P {ω : ξ(ω) = xk } Định nghĩa 2.1.13 (Phân phối tuyệt đối liên tục) Đại lượng ngẫu nhiên ξ gọi có phân phối tuyệt đối liên tục, phân phối Pξ tuyệt đối liên tục độ đo Lebesgue R 2.1.4 Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên Kỳ vọng toán Kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên ξ có tính chất: (i) Nếu C số E(C) = C (ii) E(ξ + η) = E(ξ) + E(η) (iii) Nếu ξ, η đại lượng ngẫu nhiên độc lập E(ξη) = E(ξ)E(η) (iv) Nếu C số E(Cξ) = C.E(ξ) Phương sai Phương sai đại lượng ngẫu nhiên ξ có tính chất: (i) Nếu C số D(C) = (ii) Nếu C số D(ξ) tồn D(Cξ) = C 2.D(ξ) (iii) Nếu ξ, η đại lượng ngẫu nhiên độc lập D(ξ + η) = D(ξ) + D(η) Footer Page 13 of 126 12 Header Page 14 of 126 (iv) Nếu ξ1; ξ2; ; ξn biến ngẫu nhiên mà biến chúng độc lập với biến đứng trước n D( n ξi) = i=1 D(ξi) i=1 Chú ý 2.1.18 Từ định nghĩa, suy công thức: D(ξ) = E(ξ 2) − [E(ξ)]2 Thật vậy, D(ξ) = E[(ξ − E(ξ))2] = E[ξ − 2ξE(ξ) + (E(ξ))2] = E(ξ 2) − [E(ξ)]2 Moment Định nghĩa 2.1.19 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên (ξ − a)k gọi moment bậc k a biến ngẫu nhiên ξ : νk (a) = E(ξ − a)k Nếu a = moment gọi moment bậc k gốc Moment bậc gốc kỳ vọng ξ Nếu a = E(ξ) moment bậc k ξ a gọi moment trung tâm bậc k ξ Dễ thấy moment trung tâm bậc gốc E(ξ) moment trung tâm bậc hai D(ξ) Ta có: ν2(a) = E(ξ − a)2 = E(ξ − E(ξ))2 + (a − E(ξ))2 Suy ν2(a) đạt giá trị nhỏ a = E(ξ) Đại lượng mk = E|ξ − a|k moment tuyệt đối bậc k a ξ Ma trận hiệp phương sai Hiệp phương sai biến ngẫu nhiên ξ có tính chất: (i) cov(ξj ; ξk ) = E(ξj ξk ) − E(ξj )E(ξk ) (ii) D(ξ + η) = D(ξ) + D(η) + 2cov(ξ, η) Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 2.2 Độc lập ngẫu nhiên Định nghĩa 2.2.1 Nếu E lớp hữu hạn vô hạn tập đo không gian xác suất (Ω, C, P ) Các tập lớp E gọi độc lập nếu: n P( n Ei ) = i=1 P (Ei) i=1 với lớp hữu hạn Ei, i = 1, n tập phân biệt E Định lý 2.2.3 Nếu {fij : i = 1, k; j = 1, ni} tập hàm độc lập, φi có giá trị thực hàm Borel đo biến thực ni; i = {1, k} nếu: fi(x) = φi(fi1(x), , fini (x)) hàm f1, , fk độc lập Định lý 2.2.4 Nếu f g hai hàm độc lập với phương sai hữu hạn thì: D2(f + g) = D2(f ) + D2(g) 2.3 Chuỗi hàm độc lập ngẫu nhiên Định lý 2.3.1 (Bất đẳng thức Kolmogoroff) Nếu fi với i = 1, n hàm độc lập không gian xác suất cố định (Ω, C, P ) cho fidP = fi2dP < +∞ với i = 1, n, f (x) = n k | fi(x)| với số ε dương: k=1 i=1 P ({x : |f (x)| ≥ ε}) ≤ ε n D2(fk ) k=1 Định lý 2.3.2 Nếu {fn} chuỗi hàm độc lập không +∞ gian xác suất (Ω, C, P ) cho fndP = n=1 +∞ chuỗi n=1 Footer Page 15 of 126 fn(x) hội tụ hầu khắp nơi D2(fn)dP < +∞ 14 Header Page 16 of 126 Định lý 2.3.3 Nếu {fn} chuỗi hàm độc lập không gian xác suất (Ω, C, P ) c số dương cho fndP = +∞ |fn(x)| ≤ c hầu khắp nơi với n = 1, 2, ; fn(x) hội tụ n=1 tập hợp có độ đo dương thì: +∞ D2(fn) < +∞ n=1 Định lý 2.3.4 Nếu {fn} chuỗi hàm độc lập không gian xác suất (Ω, C, P ) c số dương cho |fn(x)| ≤ c hầu +∞ khắp nơi với n = 1, 2, fn(x) hội tụ hầu khắp nơi n=1 +∞ +∞ fndP hai chuỗi n=1 D2(fn) hội tụ n=1 Định lý 2.3.5 Nếu {fn} chuỗi hàm độc lập không gian xác suất (Ω, C, P ) c số dương, En = {x : |fn(x)| ≤ c} +∞ với n = 1, 2, điều kiện cần đủ để fn(x) hội tụ hầu khắp n=1 nơi ba chuỗi sau hội tụ: +∞ P (En) (a) n=1 +∞ (b) fndP En n=1 +∞ (c) n=1 2.4 2.4.1 fn2dP − ( [ En fndP )2] En Các kiểu hội tụ xác suất Sự hội tụ biến ngẫu nhiên Giả sử (ξn) dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất cố định (Ω, C, P ) Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 Định nghĩa 2.4.1 (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên (ξn) gọi hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên ξ với ε > bất kỳ: lim P (|ξn − ξ| > ε) −→ n→+∞ P Sự hội tụ theo xác suất kí hiệu ξn −− → ξ Trong lý thuyết hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất hội tụ theo độ đo Định nghĩa 2.4.2 (Hội tụ hầu chắn) Dãy biến ngẫu nhiên (ξn) gọi hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên ξ tồn tập A có xác suất không cho: ξn(ω) −→ ξ(ω) với ω ∈ A Sự hội tụ hầu chắn kí hiệu ξn −h.c.c −→ ξ Định nghĩa 2.4.3 (Hội tụ theo trung bình) Dãy biến ngẫu nhiên (ξn) gọi hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < +∞) tới biến ngẫu nhiên ξ nếu: E|ξn − ξ|p −→ 0, (n → +∞) p L Sự hội tụ theo trung bình bậc p kí hiệu ξn −− → ξ Định lý 2.4.4 ξn −h.c.c −→ ξ với ε > bất kỳ, P (sup |ξk − ξ| > ε) −→ 0, n → +∞ k≥n Định nghĩa 2.4.6 (Dãy theo xác suất) Dãy (ξn) gọi theo xác suất với ε > P (|ξn − ξm| > ε) −→ m, n → +∞ Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 Định nghĩa 2.4.7 (Dãy hầu chắn) Dãy (ξn) gọi hầu chắn với ε > P ( sup |ξk − ξl | > ε) −→ k,l≥n Định nghĩa 2.4.8 (Dãy theo trung bình bậc p) Dãy (ξn) gọi theo trung bình bậc p với ε > E|ξn − ξm| −→ m, n → +∞ Bổ đề 2.4.9 (Bổ đề Borel - Cantelli) Giả sử (An) dãy biến cố +∞ P (An) < +∞ P (lim sup An) = (i) Nếu n n=1 +∞ P (An) = +∞ (An) độc lập P (lim sup An) = (ii) Nếu n n=1 +∞ +∞ Am đây, lim sup An = n n=1 m=n Định lý 2.4.13 (Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên (ξn) hội tụ theo xác suất theo xác suất Định lý 2.4.14 (Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ hầu chắn) Dãy (ξn) hội tụ hầu chắn dãy (ξn) theo định nghĩa hầu chắn 2.4.2 Sự hội tụ phân phối Định nghĩa 2.4.15 Dãy hàm phân phối (Fn) xác định R1 gọi hội tụ đến hàm F Fn(x) −→ F (x), x ∈ C(F ) C(F ) tập hợp điểm liên tục hàm F Kí hiệu hội tụ Fn −−e→ F Footer Page 18 of 126 17 Header Page 19 of 126 Định nghĩa 2.4.16 Dãy hàm phân phối (Fn) gọi hội tụ yếu ω đến hàm phân phối F (trong Rd) viết Fn −− → F , f (x)dFn(x) −→ Rd f (x)dF (x), f ∈ Cb(Rd) Rd Cb(Rd) tập hợp hàm số f liên tục bị chặn Rd Định nghĩa 2.4.17 Dãy độ đo xác suất (Pn) gọi hội tụ đến độ đo xác suất P Pn(A) −→ P (A) với A ∈ F (F σ - đại số Borel) mà P (∂A) = 0, ∂A biên tập A Sự hội tụ kí hiệu Pn −−e→ P 2.5 2.5.1 Luật số lớn Hàm đối xứng Định nghĩa 2.5.1 Hàm n biến f (x1, x2, , xn) gọi hàm đối xứng f (x1, x2, , xn) = f (xσ(1), xσ(2), , xσ(n)) với σ hoán vị {1; 2; ; n} 2.5.2 Luật số lớn dạng yếu Định nghĩa 2.5.2 Cho dãy đại lượng ngẫu nhiên {ξn}n∈N ∗ Nếu tồn dãy số {an}n∈N ∗ hàm đối xứng ζn = fn(ξ1; ξ2; ; ξn) thỏa mãn với ε > cho trước có lim P (|ζn − an| < ε) = n→+∞ Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 dãy {ξn} gọi tuân theo luật số lớn dạng yếu với hàm đối xứng fn cho Trong lý thuyết xác suất cổ điển, người ta lấy fn(ξ1; ξ2; ; ξn) = n n ξi i=1 giả sử ξi có kỳ vọng với i an = n n E(ξi) i=1 nên dãy {ξn} gọi tuân theo luật số lớn dạng yếu ε > cho trước n n 1 ξi − E(ξi)| < ε) = lim P (| n→+∞ n i=1 n i=1 Định lý 2.5.3 (Bất đẳng thức Chebyshev) Định lý 2.5.4 (Định lý Chebyshev) Nếu {ξn}n∈N ∗ dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập đôi có phương sai hữu hạn bị chặn số D(ξk ) ≤ C , với k với số ε > cho trước, ta có: lim P (| n→+∞ n n ξk − n k=1 n E(ξk )| < ε) = k=1 Định lý 2.5.5 (Định lý Bernoulli) Gọi ξ số lần xảy biến cố A n phép thử độc lập p xác suất xảy biến cố A phép thử Khi với ε > cho trước, có: ξ lim P (| − p| < ε) = n→+∞ n Định lý 2.5.6 (Định lý Poisson) Gọi ξ số lần xảy biến cố A n phép thử độc lập pk xác suất xảy biến cố A lần thử thứ k Khi với ε > cho trước, có: n pk ξ k=1 lim P (| − | < ε) = n→+∞ n n Footer Page 20 of 126 19 Header Page 21 of 126 Định lý 2.5.7 (Định lý Markov) Nếu dãy đại lượng ngẫu nhiên (ξn) thỏa mãn điều kiện: n D[ (ξk )] −→ 0, n → +∞ n2 k=1 với ε > cho trước, có: lim P (| n→+∞ n 2.5.3 n ξk − n k=1 n E(ξk )| < ε) = k=1 Luật số lớn dạng mạnh Luật mạnh số lớn nghiên cứu hội tụ hầu chắn trung bình cộng: n [ξk − E(ξk )] n k=1 tổng quát hơn: bn n (ξk − ak ) với < bn ↑ +∞ k=1 Bổ đề 2.5.8 (Bổ đề Kronecker) Giả sử {xn, n ≥ 1} dãy số thực {bn, n ≥ 1} dãy số dương tăng đến +∞ Khi đó, +∞ n=1 xn bn hội tụ bn n xk −→ 0, n → +∞ k=1 Định lý 2.5.9 (Định lý Kolmogorov) Nếu {ξn, n ≥ 1} dãy đại +∞ lượng ngẫu nhiên độc lập, n=1 bn Footer Page 21 of 126 D(ξn ) b2n < +∞ với < bn ↑ +∞ thì: n [ξk − E(ξk )] −→ hầu chắn k=1 Header Page 22 of 126 20 CHƯƠNG XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG 3.1 Không gian xác suất Cho tập Ω = ∅ C σ - đại số tập Ω µ độ đo C thỏa mãn µ(Ω) = Ta gọi ba (Ω; C; µ) không gian xác suất Định nghĩa 3.1.2 Không gian đo (F ; EF ) gọi không gian đo không gian đo (Ω; C) Ta xây dựng độ đo EF cảm sinh từ độ đo µ không gian xác suất (Ω; C; µ) Định nghĩa 3.1.4 (Không gian xác suất con) Ta gọi không gian xác suất (F ; EF ; µF ) không gian xác suất không gian xác suất (Ω; C; µ) 3.2 3.2.1 Xác suất có điều kiện Định nghĩa Định nghĩa 3.2.1 Cho không gian xác suất (Ω; C; µ) có không gian xác suất (F ; EF ; µF ) Ta gọi độ đo xác suất µF xác suất có điều kiện với điều kiện F Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện F số xác định Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 theo công thức µF (A) = µ(A∩F ) µ(F ) với A ∈ C 3.2.2 Công thức nhân xác suất 3.2.3 Phân hoạch theo xác suất không gian xác suất Định nghĩa 3.2.3 Cho không gian xác suất (Ω; C; µ) Ta gọi tập A1; A2; ; An tập Ω phân hoạch theo xác suất tập Ω thỏa mãn: (i) µ(Ai) > 0, ∀i, (ii) Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j, n Ai = Ω, Ai ∈ C, ∀i (iii) i=1 Khi đó, thu không gian xác suất (Ai; EAi ; µAi ), ∀i 3.2.4 3.3 Công thức xác suất toàn phần công thức Bayes Kỳ vọng Kí hiệu L10 hay L10(Ω, C, µ) tập hợp biến ngẫu nhiên đơn giản xác định không gian xác suất (Ω, C, µ) n Với biến ngẫu nhiên X có dạng X = xk IAk k=1 với xk ∈ R; Ak ∈ C, k = 1, n Ak Al = ∅, ∀k = l n E(X) = xk µ(Ak ) k=1 gọi kỳ vọng biến ngẫu nhiên X Bổ đề 3.3.8 (Bổ đề Fatou) Định lý 3.3.9 (Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn) Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 3.4 3.4.1 Công thức xác suất toàn phần suy rộng công thức Bayes suy rộng Công thức xác suất toàn phần suy rộng Định lý 3.4.1 (Công thức xác suất toàn phần suy rộng) Cho {A1, A2, , An, } phân hoạch theo xác suất Ω Ai ∈ C, ∀i Khi với biến cố B ∈ C bất kỳ, ta có +∞ µ(B) = µ(Ai)µAi (B) i=1 Công thức gọi công thức xác suất toàn phần suy rộng 3.4.2 Công thức Bayes suy rộng Định lý 3.4.2 (Công thức Bayes suy rộng) Giả sử µ(A) > {B1, B2, , Bn, } phân hoạch suy rộng theo xác suất Ω Bi ∈ C với µ(Bi) > với i Khi ta có µ(Bk )µBk (A) µ(Bk )µBk (A) = +∞ µA(Bk ) = µ(A) µ(Bi)µBi (A) i=1 với k = 1, +∞ Công thức gọi công thức Bayes suy rộng 3.5 3.5.1 Kỳ vọng điều kiện σ - đại số sinh biến ngẫu nhiên Định lý 3.5.1 Cho biến ngẫu nhiên ξ xác định bởi: ξ : Ω → (Y, Y) Khi đó, Fξ = {ξ −1(B), B ∈ Y} σ - đại số Định nghĩa 3.5.2 σ - đại số sinh biến ngẫu nhiên ξ σ - đại số Fξ Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 3.5.2 Kỳ vọng điều kiện Định lý 3.5.3 Giả sử (Ω, C, µ) không gian xác suất, ξ phần tử ngẫu nhiên xác định (Ω, C) nhận giá trị (E, E) Kí hiệu µξ phân phối xác suất ξ (E, E), nghĩa µξ = µ◦ξ −1 - độ đo ảnh Giả sử X biến ngẫu nhiên khả tích (Ω, C, µ) Khi đó, tồn biến ngẫu nhiên M µξ - khả tích (E, E) cho với A ∈ E ta có M (x)µξ (dx) = X(ω)µ(dω) (∗) ξ −1 (A) A Nếu M biến ngẫu nhiên khác thỏa mãn điều kiện M = M (µξ - hầu chắn) Định nghĩa 3.5.4 Biến ngẫu nhiên M khả tích (E, E, µξ ) thỏa mãn (∗) gọi kỳ vọng điều kiện X với ξ cho Định nghĩa 3.5.6 Giả sử (Ω, C, µ) không gian xác suất, G σ - đại số C , X biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng điều kiện biến ngẫu nhiên X với G cho biến ngẫu nhiên M thỏa mãn điều kiện sau: (i) M G - đo được, (ii) M thỏa mãn đẳng thức M (ω)µ(dω) = A X(ω)µ(dω), A ∈ G A M ký hiệu E(X|G) Định lý 3.5.9 (Định lý hội tụ đơn điệu P.Levy) Bổ đề 3.5.10 (Bổ đề Fatou) Định lý 3.5.11 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) 3.5.3 Ứng dụng kỳ vọng điều kiện Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 24 KẾT LUẬN Các kết luận văn "Độ đo xác suất ứng dụng" tập trung nghiên cứu trình bày số vấn đề: (1) Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết độ đo lý thuyết xác suất (2) Nghiên cứu xác suất điều kiện kỳ vọng điều kiện Trên sở đó, trình bày công thức xác suất toàn phần suy rộng công thức Bayes suy rộng (3) Luận văn sử dụng làm tài liệu nghiên cứu cho sinh viên học lý thuyết độ đo xác suất Trong khuôn khổ thời gian có hạn luận văn cấp thạc sĩ, cố gắng nhiều học hỏi nhiều kiến thức suốt trình hoàn thành Đó hội để có sở, tảng nhằm tự nâng cao trình độ sau Footer Page 26 of 126 ... xác suất Đó lí để chọn đề tài "Độ đo xác suất ứng dụng" MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tiếp cận tìm hiểu cách kĩ lưỡng kiến thức Lý thuyết độ đo Lý thuyết xác suất, sau trình bày Lý thuyết xác suất tảng độ. .. thuyết độ đo tích phân Lebesgue làm sở toán học cho xác suất đại Trong công trình Kolmogorov, tập đo được hiểu biến cố xác suất độ đo lớp tập Điều chứng minh độ đo khái niệm quan trọng lý thuyết xác. .. không gian xác suất (Ω; C; µ) có không gian xác suất (F ; EF ; µF ) Ta gọi độ đo xác suất µF xác suất có điều kiện với điều kiện F Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện F số xác định Footer