(Luận văn thạc sĩ) sự hội tụ của các độ đo xác suất và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI−2014 Mục lục Lời nói đầu Mở đầu 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Hội tụ yếu đường thẳng 17 Sự hội tụ yếu không gian Metric 2.1 2.2 2.3 19 Độ đo không gian Metric 19 2.1.1 Độ đo tích phân 20 2.1.2 Tính chặt 21 Tính chất hội tụ yếu 25 2.2.1 Định lý kết hợp 27 2.2.2 Tiêu chuẩn khác 29 2.2.3 Nguyên lý ánh xạ 33 2.2.4 Khơng gian tích 36 38 2.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị 38 2.3.2 Sự hội tụ theo phân phối 39 2.3.3 Sự hội tụ theo xác suất 41 2.3.4 Mối quan hệ loại hội tụ 43 2.3.5 Nguyên lý địa phương nguyên lý tích phân 44 Sự hội tụ theo phân phối 2.4 2.3.6 Qua giới hạn tích phân 46 2.3.7 Độ đo tương đối 48 Định lý Prohorov 53 2.4.1 Tính compact tương đối 53 2.4.2 Tính chặt 55 Sự hội tụ yếu không gian C ứng dụng 3.1 3.2 3.3 3.4 Hội tụ yếu tính chặt C 62 62 3.1.1 Tính chặt tính compact C 63 3.1.2 Hàm ngẫu nhiên 67 Độ đo Wiener định lý Donsker 69 3.2.1 Độ đo Wiener 69 3.2.2 Cấu trúc độ đo Wiener 70 3.2.3 Định lý Donsker ứng dụng 74 Hàm quỹ đạo chuyển động Brown 79 3.3.1 Giá trị lớn giá trị nhỏ 80 3.3.2 Luật Arcsin 83 3.3.3 Cầu Brown 87 Bất đẳng thức cực đại 90 3.4.1 Cực đại tổng riêng 90 3.4.2 Bất đẳng thức tổng quát 94 Kết luận 98 Tài liệu tham khảo 99 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết độ đo, có nhiều khái niệm hội tụ độ đo xác suất mà hội tụ yếu khái niệm quan trọng Hội tụ yếu (hay cịn gọi hội tụ hẹp yếu-hội tụ, tên thích hợp theo quan điểm giải tích hàm sử dụng) loại hội tụ liên quan đến hội tụ độ đo Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương mở đầu Nêu số khái niệm tính chất bổ trợ cho chương sau luận văn Bên cạnh đó, chương nhắc lại hội tụ yếu đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7]) Chương hai đề cập tới hội tụ yếu không gian Metric Trong chương hai tìm hiểu lý thuyết chung khái niệm hội tụ yếu không gian metric xem xét ta hạn chế nhiều trường hợp khác Mở đầu khái niệm hội tụ yếu tính chất Từ ứng dụng vào việc xét hội tụ theo phân phối xác suất độ đo Cùng với kết quan trọng liên quan tới họ độ đo xác suất Chương ba hội tụ yếu không gian C ứng dụng Chương quan tâm đến hội tụ yếu không gian C = C[0, 1] với tôpô đều; C không gian tất hàm thực liên tục đoạn đóng [0, 1] Các ứng dụng nêu chương cho ta thấy lý thật thú vị hữu ích phát triển lý thuyết chung hội tụ độ đo (độ đo Wiener, chuyển động Brown) Luận văn thực hướng dẫn GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Toàn thể ban lãnh đạo thầy khoa Tốn - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên − Đại học Quốc Gia Hà nội giúp có thêm nhiều kiến thức để hồn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Các thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận văn học tập Các thầy bạn seminar Toán xác suất góp ý để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất giúp đỡ đóng góp q giá Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Hoàng Trung Hiếu Chương Mở đầu Đầu tiên nhắc lại vài tính chất không gian metric sử dụng luận văn Sau đó, ta nhắc lại hội tụ độ đo xác suất đường thẳng 1.1 Một số khái niệm kết Ta đề cập kết hữu ích chứng minh đơn giản sau Định lý 1.1.1 (M −test Weierstrass) Giả sử limn xnk = xk với k |xnk | ≤ Mk , hội tụ limn k Chứng minh Do k xnk = k k Mk < ∞ Khi k xk tất k xnk xk Mk < ∞ nên chuỗi k xnk hội tụ tuyệt đối Ta có | xnk − k Với |xnk − xk | + xk | ≤ | k cho trước, chọn k0 cho k≤k0 k>k0 k>k0 Mk < /3 n0 cho n > n0 |xnk −xk | < /3k0 với k ≤ k0 Khi với n > n0 | Mk k xnk − k xk | < Chúng ta ký hiệu không gian metric S metric ρ(x, y); khơng gian metric cặp (S, ρ) Với tập A S, ký hiệu A− , Ao ∂A = A− − Ao bao đóng, phần biên A Khoảng cách từ x tới A ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}; từ ρ(x, A) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, A) suy ρ(·, A) liên tục Ký hiệu B(x, r) r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r}; hình cầu có nghĩa hình cầu mở hình cầu đóng ký hiệu B(x, r)− -lân cận tập A tập mở A = {x : ρ(x, A) < } So sánh metric Giả sử ρ ρ hai metric khơng gian S Để nói tơ pô ρ lớn tô pô ρ để nói lớp tương ứng O O tập mở mối quan hệ O⊂O (1.1) Điều với x r, có r cho B (x, r ) ⊂ B(x, r) trường hợp tô pô ρ nói tốt tơ pơ ρ Coi ánh xạ đồng i S ánh xạ từ (S, ρ ) vào (S, ρ) Khi i liên tục G ∈ O kéo theo G = i−1 G ∈ O −nghĩa (1.1) Hơn nữa, i liên tục theo nghĩa ρ (xn , x) → kéo theo ρ(xn , x) → Đây cách khác để nói tô pô ρ "tốt hơn" tô pô ρ Metric ρ rời rạc ρ(x, y) = với x = y; điều đưa tới S tô pô tốt Hai metric tơ pơ tương ứng tương đương chúng tốt kia: (S, ρ) (S, ρ ) đồng phơi Nếu ρ tốt ρ hai tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" khơng có nghĩa "tốt nghiêm ngặt" Tính khả ly Khơng gian S khả ly chứa tập trù mật, đếm Một sở cho S lớp tập mở với tính chất: tập mở hợp tập lớp Một phủ mở A lớp tập mở mà hợp chúng chứa A Định lý 1.1.2 Ba điều kiện sau tương đương: (i) S khả ly (ii) S có sở đếm (iii) Mỗi phủ mở tập S có phủ đếm Chứng minh 1.(i) → (ii) Lấy D đếm được, trù mật lấy V lớp hình cầu B(d, r) với d ∈ D r hữu tỷ Lấy G mở, để chứng minh V sở, phải G1 hợp phần tử V mà bị chứa G G = G1 Thật vậy, ta có G1 ⊂ G để chứng minh G ⊂ G1 ta lấy x ∈ D, d ∈ D số hữu tỷ r cho x ∈ B(d, r) ⊂ G (Nếu x ∈ G B(x, ) ⊂ G với đó.) Do D trù mật nên có d ∈ D cho ρ(x, d) < /2 Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < /2 : x ∈ B(d, r) ⊂ B(x, ) 2.(ii) → (iii) Lấy {V1 , V2 , } sở đếm giả sử {Gα } phủ mở A (α chạy tập số tùy ý) Với Vk mà tồn Gα thỏa mãn Vk ⊂ Gα , lấy Gαk tập Gα chứa Khi đó, A ⊂ k Gαk 3.(iii) → (i) Với n, {B(x, n−1 ) : x ∈ S} phủ mở S Nếu (iii) có phủ {B(xnk , n−1 ) : k = 1, 2, } Tập đếm {xnk : n = 1, 2, } trù mật S Một tập M S khả ly có tập đếm D trù mật M (M ⊂ D− ) Mặc dù D không thiết tập M , điều dễ dàng xếp: Giả sử {dk } trù mật M lấy xkn điểm chung B(dk , n−1 ) M (nếu có) Lấy x M dương, chọn n dk để ρ(x, dk ) < n−1 < /2 Do B(dk , n−1 ) chứa điểm x M , chứa xkn ρ(x, xkn ) < Do đó, xkn tạo thành tập trù, mật đếm M Định lý 1.1.3 Giả sử tập M S khả ly (i) Có lớp A đếm tập mở với tính chất: x ∈ G ∩ M G mở x ∈ A ⊂ A− ⊂ G với A A (ii) Mỗi phủ mở M có phủ đếm c (tớnh cht Lindelă of ) Chng minh 1.(i) Ly D tập trù mật, đếm M lấy A bao gồm hình cầu B(d, r) với d ∈ D r hữu tỷ Nếu x ∈ G ∩ M G mở, chọn để B(x, ) ⊂ G, sau chọn d D cho ρ(x, d) < /2 cuối chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < /2 Suy x ∈ B(d, r) ⊂ B(d, r)− ⊂ B(x, ) ⊂ G 2.(ii) Lấy A = {A1 , A2 , } lớp phần (i) Cho phủ mở {Gα } M , với Ak chọn Gαk chứa (nếu có) Thì M ⊂ k Gαk Tính khả ly tính chất tơ pơ: Nếu ρ ρ hai metric tương đương M ρ-khả ly ρ -khả ly Tính đầy đủ Một dãy {xn } có tính chất Cauchy sup ρ(xi , xj ) →n i,j≥n Một tập M đầy đủ dãy M có giới hạn nằm Tập đầy đủ hiển nhiên đóng Một dãy hội tụ chứa dãy hội tụ (Điều cung cấp cho ta cách thuận tiện để kiểm tra tính đầy đủ dãy.) Tính đầy đủ khơng tính chất tơ pô: S = [1, ∞) đầy đủ theo metric thông thường (ρ (x, y) = |x − y|) không đầy đủ theo metric tương đương ρ(x, y) = |x−1 − y −1 | Một không gian metric (S, ρ) không gian đủ tô pô ví dụ có metric tương đương để ρ theo đầy đủ Cho metric ρ S, xác định b(x, y) = ∧ ρ(x, y) (1.2) Do φ(t) = ∧ t không giảm thỏa mãn φ(s + t) ≤ φ(s) + φ(t) với s, t ≥ nên b metric (tương đương với ρ) Hơn nữa, φ(t) ≤ t với t ≥ φ(t) = t với ≤ t ≤ dãy b-cơ ρ-cơ bản; điều có nghĩa S ρ-đầy đủ b-đầy đủ Tính compact Một tập A theo định nghĩa compact phủ mở A có phủ hữu hạn Một -lưới cho A tập điểm {xk } với tính chất với x A có xk cho ρ(x, xk ) < ; A hồn tồn bị chặn với dương, có -lưới (các điểm khơng nằm A) Định lý 1.1.4 Ba điều kiện sau tương đương: (i) A− compact (ii) Mỗi dãy A có dãy hội tụ (giới hạn nằm A− ) (iii) A hoàn toàn bị chặn A− đầy đủ Chứng minh Hiển nhiên (ii) dãy A− có dãy hội tụ tới điểm A− A hoàn toàn bị chặn A− hoàn toàn bị chặn Do đó, thừa nhận chứng minh A = A− đóng Chứng minh hiển nhiên ta đặt thêm ba tính chất (i) (ii): (i1 ) Mỗi phủ mở đếm A có phủ hữu hạn (i2 ) Nếu A ⊂ n Gn , Gn mở G1 ⊂ G2 ⊂ · · · A ⊂ Gn với n (i3 ) Nếu A ⊃ F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , Fn đóng khác trống n Fn khác trống Đầu tiên chúng chứng minh tất (i1 ), (i2 ), (i3 ), (ii), (iii) tương đương (i1 ) ↔ (i2 ) Hiển nhiên, (i1 ) kéo theo (i2 ) kề: t2 − t1 = t3 − t2 = 2−k Với t ∈ Dk , ta xác định điểm t    t        t − 2−k    t =       t + 2−k       Dk−1 t ∈ Dk−1 t∈ / Dk−1 |γ(t) − γ(t − 2−k )| ≤ |γ(t) − γ(t + 2−k )|, t∈ / Dk−1 |γ(t) − γ(t − 2−k )| > |γ(t) − γ(t + 2−k )| Khi |γ(t) − γ(t )| ≤ Ak với t ∈ Dk với t1 , t2 , t3 ∈ Dk , |γ(t2 ) − γ(t1 )| ≤ |γ(t2 ) − γ(t2 )| + |γ(t2 ) − γ(t1 )| + |γ(t1 ) − γ(t1 )| ≤ |γ(t2 ) − γ(t1 )| + 2Ak |γ(t2 ) − γ(t3 )| ≤ |γ(t2 ) − γ(t2 )| + |γ(t2 ) − γ(t3 )| + |γ(t3 ) − γ(t3 )| ≤ |γ(t2 ) − γ(t3 )| + 2Ak Nếu t1 < t2 < t3 t1 < t2 < t3 t1 , t2 , t3 nằm Dk−1 nên suy m(t1 , t2 , t3 ) ≤ Bk−1 + 2Ak , Bk ≤ Bk−1 + 2Ak Vì A0 = B0 = nên quy nạp ta chứng minh Bk ≤ 2(A1 + .+Ak ) với k ≥ Do tính liên tục phải quỹ đạo nên L(γ) ≤ Ta cần kiểm tra k ∞ k=1 Ak Ak Giả sử < θ < chọn C cho C ∞ k=1 ∞ P{L(γ) ≥ λ} ≤ P θk = 12 Khi ∞ P Ak ≥ Cλθk Ak ≥ λ ≤ k=1 k=1 ∞ 2k −1 ≤ P m k=1 i=1 i−1 i i+1 , , 2k 2k 2k ≥ Cλθk Vì µ độ đo Lebesgue nên (3.93) kéo theo ∞ (Cλθk )4β k P{L(γ) ≥ λ} ≤ k=1 2k 95 2α 22α = 4β 4β C λ ∞ k=1 4β θ 22α−1 k Vì 4β ≥ 2α − > nên tồn số θ ∈ (0, 1) cho chuỗi bên hội tụ Điều cách để xác định K ta xong trường hợp Trường hợp 2: Giả sử T = [0, 1] µ khơng có ngun tử, cho F (t) = µ[0, t] liên tục Nếu F tăng thực F (1) = c, lấy a = c−α/2β để a4β c2α = xác định trình ζ ζ(t) = aγ(F −1 (ct)) Thì ζ thuộc vào trường hợp định lý với η L(η) = aL(ζ) Nếu F liên tục không tăng thực sự, ta coi độ đo có hàm phân phối F (t) + t sau cho dần tới Trường hợp 3: Giả sử T hữu hạn Nếu ∈ / T , cho γ(0) = γ(t1 ), t1 điểm đầu T lấy µ{0} = Nếu ∈ / T , lấy γ(1) = γ(tv−1 ), tv−1 điểm cuối T lấy µ{1} = Khi q trình γ độ đo µ thỏa mãn giả thiết, ta giả định T bao gồm điểm = t0 < t1 < < tv = Ta xác định trình γ   γ(ti ) ti ≤ t ≤ ti+1 , γ (t) =  γ(1) t = ≤ i < v, Nếu mrst (3.91) ký hiệu cho trình γ mrst biến trừ r, s, t nằm khoảng khác [ti , ti+1 ) Giả sử r ∈ [ti , ti+1 ), s ∈ [tj , tj+1 ), t ∈ [tk , tk+1 ), i < j < k (3.95) Thì mrst = m(ti , tj , tk ) đo theo giả thiết định lý cho q trình γ ta có P{mrst ≥ λ} ≤ 2α µ ((ti , tk ] ∩ T ) λ4β 96 (3.96) Bây giờ, ta cho ν độ đo tương ứng với phân phối khối µ{tl−1 } + µ{tl } đoạn [tl−1 , tl ], với ≤ l ≤ v Khi µ((ti , tk ] ∩ T ) ≤ ν[ti+1 , tk ] ≤ ν(r, t], từ (3.96) suy P{mrst ≥ λ} ≤ 2α ν (r, t] λ4β (3.97) Mặc dù (3.95) yêu cầu t < 1, thay đổi nhỏ từ (3.97) suy t = thỏa mãn Do (3.97) với ≤ r ≤ s ≤ t ≤ áp dụng trường hợp hai cho trình γ : P{L(γ ) ≥ λ} ≤ K 2α K µ (0, 1] ≤ 4β (2µ(T ))2α 4β λ λ Vì L(γ ) = L(γ) nên ta thay K trường hợp 22α K ta K cho ba trường hợp 1, Trường hợp 4: Với T µ tổng quát, xét tập hữu hạn Tn : ≤ tn0 < tn1 < < tnvn ≤ cho Tn ⊂ Tn+1 Tn trù mật T Cho µn có khối lượng µ((tn,i−1 , tn,i ] ∩ T ) điểm tni Nếu γ (n) trình γ với thời gian-thiết lập cắt giảm đến Tn L(γ (n) ) ↑ L(γ) tính liên tục phải quỹ đạo Do γ (n) nằm trường hợp nên ta có P{L(γ) ≥ λ} ≤ P (lim inf {L(γ (n) ) ≥ λ − }) ≤ n Cho dần tới ta điều phải chứng minh 97 K µ2α (T ) (λ − )4β KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách chi tiết hội tụ độ đo xác suất ứng dụng theo ba chương Nội dung chương trình bày số kiến thức bổ trợ khái niệm, tính chất tính chất tính khả ly, tính đầy đủ, tính compact, tính đo được, tích khơng gian metric Nội dung chương hai trình bày định nghĩa tính chất hội tụ yếu khơng gian metric−Định lý 2.2.1 năm điều kiện tương đương Chương hai cịn nói tới hội tụ theo xác suất, hội tụ theo phân phối, hội tụ hầu chắn mối quan hệ loại hội tụ−Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.4 Định lý 2.3.5 Đặc biệt, chương ta trình bày Định lý Prohorov mối tương quan tính chặt compact tương đối họ độ đo xác suất Nội dung chương cuối hội tụ yếu khơng gian C ứng dụng nó, trình bày độ đo Wiener, Định lý Donsker ứng dụng Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Ilya Molchanov and Sergei Zuyev (2001), Advanced course in probability: weak convergence and asymptotics, Springer, New York [3] Ioannis Karatzas and Steven E Shreve (1988), Brownian motion and stochastic calculas, Spinger, New York [4] James Davidson (1994), Stochastic limit theory, Oxford University Press, New York [5] Patrick Billingsley (1995), Probability and measure, Wiley, New York [6] Patrick Billingsley (1971), Weak convergence of measures: applications in probability, Wiley, New York [7] Patrick Billingsley (1999), Convergence of probability measures, John Wiley and Sons, Inc, Canada [8] Serik Sagitov (2013), Weak convergence of probability measures, Chalmers University of technology and Gothenburg University [9] William Feller (1968), An introduction to probability theory and it’s applicayions, New York, Wiley ... k≤n 16 1.2 Hội tụ yếu đường thẳng Trong lý thuyết độ đo, khái niệm khác hội tụ độ đo biết Tuy nhiên, lý thuyết xác suất, hội tụ yếu độ đo xác suất thường nhắc tới Hội tụ yếu độ đo xác suất tổng... khái niệm hội tụ yếu tính chất Từ ứng dụng vào việc xét hội tụ theo phân phối xác suất độ đo Cùng với kết quan trọng liên quan tới họ độ đo xác suất Chương ba hội tụ yếu không gian C ứng dụng Chương... thuyết độ đo, có nhiều khái niệm hội tụ độ đo xác suất mà hội tụ yếu khái niệm quan trọng Hội tụ yếu (hay cịn gọi hội tụ hẹp yếu -hội tụ, tên thích hợp theo quan điểm giải tích hàm sử dụng) loại hội