3 Sự hội tụ yếu trong không gia nC và ứng dụng
3.2.3 Định lý Donsker và ứng dụng
Định lý 3.2.2. Nếu ξ1, ξ2, . . . là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với kỳ vọng 0 và phương sai σ2 và nếu Xn là hàm ngẫu nhiên xác định bởi (3.19) Xtn(w) = 1 σ√ nSbntc(w) + (nt− bntc) 1 σ√ nξbntc+1(w), thì Xn ⇒n W.
Chứng minh. Chứng minh định lý này dựa vào Định lý 3.1.5.
nhiên tương ứng. Ta có thể viết (3.20) như
(Xsn, Xtn−Xsn)⇒n (Ws, Wt −Ws), suy ra
(Xsn, Xtn)⇒n (Ws, Wt).
Đây là một phần mở rộng của (3.13) với W đóng vai trò của X.
Ta chứng minh tính chặt dựa vào điều kiện (3.28), nhưng ta giả thiết thêm rằng ξi là chuẩn. Ta xét riêng rẽ các giá trị nhỏ và lớn của k trong (3.28). Theo định lý giới hạn trung tâm nếu kλ đủ lớn và kλ ≤ k ≤ n thì áp dụng (3.29) ta có
P{|Sk| ≥ λσ√
n} ≤ P{|Sk| ≥ λσ√
k}< 3/λ4. Với k < kλ thì theo bất đẳng thức Chebysev
P{|Sk| ≥λσ√
n} ≤ kλ/λ2n.
Do đó, giá trị lớn nhất trong (3.28) trội hơn bởi (3/λ4)∨(kλ/λ2n).
Lập lập này được dựa trên Định lý 3.1.5, chứng minh thứ hai không sử dụng tới phần 2.4. Nhưng Định lý 3.2.2 giả định sự tồn tại trước của W và chứng minh của ta về W phụ thuộc rất nhiều vào lý thuyết của mục 2.4 (so sánh với Ví dụ 2.4.1 và 2.4.2). Mặt khác, như đã nêu trên, sự tồn tại của W có thể được chứng minh theo một cách hoàn toàn khác và vì vậy có thể người ta có thể chứng minh định lý Donsker mà không cần đến tính chặt và định lý Prohorov.
Ứng dụng
Định lý Donsker có diễn giải định tính như sau: Xn ⇒ W nghĩa là nếu τ là nhỏ thì một đối tượng hạt chuyển vị độc lập ξ1, ξ2, . . . tại các thời điểm liên tiếp τ,2τ, . . . kéo theo một xấp xỉ chuyển động Brown.
Đặc biệt, ta có thể dùng định lý để suy ra luật giới hạn cho nhiều hàm của tổng riêng Sn. Sử dụng quan hệ Xn ⇒ W để suy ra phân bố giới hạn của
Mn = max
0≤i≤nSi. (3.30)
Do h(x) = suptx(t) liên tục trên C và Xn ⇒W. nên theo nguyên lý ánh xạ, ta có sup t Xtn ⇒sup t Wt. Hiển nhiên, suptXtn =Mn/σ√
n và vì thế Mn σ√ n ⇒sup t Wt. (3.31)
Vì vậy ta có phân bố giới hạn của Mn/σ√
n (đối với giả thiết của Định lý 2.2.2) nếu ta biết phân bố của suptWt. Do đó, ý tưởng để tìm phân bố là tìm phân bố giới hạn của Mn/σ√
n trong trường hợp đặc biệt đơn giản. Đối với trường hợp đơn giản, giả thiết rằng các biến ngẫu nhiên độc lập ξi nhận giá trị ±1 với xác suất 12, sao cho S0, S1, . . . là các vị trí liên tiếp trong di động ngẫu nhiên đối xứng bắt đầu từ gốc. Đầu tiên ta chỉ ra rằng với mỗi số nguyên a không âm
P{Mn ≥ a}= 2P{Sn > a}+ P{Sn =a}. (3.32) Trường hợp a = 0: hiển nhiên (Mn ≥ S0 = 0).
Trường hợp a > 0: vì
P{Mn ≥ a} −P{Sn = a}= P{Mn ≥ a, Sn < a}+ P{Mn ≥ a, Sn > a}, và vì số hạng thứ hai trong vế phải là P{Sn > a} nên ta sẽ có (3.32) nếu
P{Mn ≥a, Sn < a} = P{Mn ≥ a, Sn > a}. (3.33) Bây giờ2n quỹ đạo có thể (S1, . . . , Sn)có cùng xác suất và ta sẽ thu được (3.33) khi số các quỹ đạo gộp vào biến ngẫu nhiên bên trái bằng với số các
quỹ đạo gộp vào biến ngẫu nhiên bên phải. Cho trước một quỹ đạo gộp vào với biến ngẫu nhiên bên trái trong (3.33), kết hợp nó với quỹ đạo thu được bằng cách phản chiếu qua a tất cả các tổng riêng sau tổng đầu tiên đạt được chiều cao a (thay Sk bởi a−(Sk−a)). Vì mô tả này là tương ứng một - một nên có (3.32) và (3.33). Đây là một ví dụ của nguyên lý phản xạ.
Hình 3.1: Mô tả quỹ đạo. Giả thiết α≥ 0 và đặt an = dαn1/2e. Từ (3.32) ta có
P{Mn/√
n≥ α} = 2P{Sn > an}+ P{Sn = an}.
Trong đó, số hạng thứ hai dần tới 0 và P{Sn > an} → P{N > α} (Định lý giới hạn trung tâm)
P{Mn/√
n} →2P{N > α} với α≥ 0. Kết hợp điều này với (3.31):
P{sup t Wt ≤ α} = √2 2π Z α 0 eu2/2du, α≥ 0 (3.34) (Vế bên trái bằng 0 nếu α < 0). Ta đã thu được một thực tế về chuyển động Brown bằng cách kết hợp định lý Donsker với một tính toán liên quan đến di động ngẫu nhiên.
Theo giả thiết của định lý Donsker (bỏ giả định ξi = ±1), ta có (3.31) và từ (3.34) thì P Mn σ√ n ≤ α → √2 2π Z α 0 eu2/2du, α≥ 0. (3.35) Phần tiếp theo ta sẽ trình bày thêm ví dụ về mô hình này. Nếu h liên tục trênC−hoặc liên tục bên ngoài một tập có độ đo Wiener0. Khi đó Xn ⇒W kéo theo h(Xn) ⇒h(W). Ta có thể tìm phân bố giới hạn của h(Xn) nếu ta có thể tìm phân bố của h(W) và trong nhiều trường hợp ta có thể tìm phân bố của h(W)bằng việc tìm phân bố giới hạn củah(Xn)trong vài trường hợp đơn giản và sau đó sử dụng h(Xn)⇒h(W) theo hướng khác.
Do đó, nếu ξi là độc lập và có cùng phân bố với kỳ vọng 0 và phương sai σ2 thì phân bố giới hạn của h(Xn)không phụ thuộc vào bất cứ tính chất nào khác của các ξi. Vì lý do này nên định lý Donsker thường được gọi là nguyên lý bất biến. Nó thường hay được gọi hơn với tên nguyên lý giới hạn hàm số, hoặc trong trường hợp vì giới hạn là chuyển động Brown thì là nguyên lý giới hạn trung tâm hàm số.
Cầu Brown
Định nghĩa 3.2.2. Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Gauss, nếu mỗi tổ hợp tuyến tính có dạng
Z =
N
X
i=1
αiXti
là một đại lượng ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss) với mọi(α1, . . . , αN)∈ RN và với mọi N.
Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân bố hữu hạn chiều của nó là chuẩn. Phân bố trên C của một Gauss X là hoàn toàn xác định khi ta biết kỳ vọng E{Xt} và hàm tương quan E{XsXt}. Với W thì E{Wt} = 0 và
Một đại lượng ngẫu nhiên quan trọng thứ hai của C là cầu Brown− một hàm ngẫu nhiên Gauss Wo xác định bởi điều kiện E{Wo
t } = 0 và
E{Wo
sWto}= s(1−t)vớis≤ t. Cách đơn giản nhất để chỉ ra tồn tại một hàm ngẫu nhiênWo như trên là xây dựng nó từ W bằng cách đặt Wto = Wt−tW1 với 0 ≤ t ≤ 1. Vậy biến đổi quá trình Wiener tiêu chuẩn Wto = Wt −tW1 được gọi là cầu Brown.
Ta cũng sử dụngWo để ký hiệu phân bố trên C của hàm ngẫu nhiên Wo. Nếu h :C →C biến x thành x(t)−tx(1) tại thời điểm t thì các độ đo W và Wo được liên hệ bởi Wo =W h−1.