đề tài Đồ thị phẳng và ứng dụng

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 01 LỜI NÓI ĐẦU 02 BẢNG PHÂN CÔNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 03 CHƯƠNG II : ĐỒ THỊ PHẲNG .11 CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG .19 KẾT LUẬN 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng đưa từ kỷ 18 nhà toán học Thụy Sĩ tên Leonhard Euler Ông dùng đồ thị để giải toán cầu Konigsberg tiếng Đồ thị dùng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Ví dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực mạch điện điện phẳng không Chúng ta phân biệt hai hợp chất hóa học có công thức phân tử có cấu trúc khác nhờ đồ thị Chúng ta xác định xem hai máy tính có nối với đường truyền thông hay không dùng mô hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị với trọng số gán cho cạnh dùng để giải toán toán tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thông Chúng ta dùng đồ thị để lập lịch thi phân chia kênh cho đài truyền hình… Như đồ thị nói chung, đồ thị phẳng nói riêng có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Qua trình học tập nghiên cứu chuyên đề “Lý thuyết đồ thị”, nhóm chúng em chọn đề tài “Đồ thị phẳng ứng dụng” để viết tiểu luận Tiểu luận gồm chương: Chương 1: Đại cương đồ thị Chương 2: Đồ thị phẳng Chương 3: Ứng dụng Do thời gian có hạn lực hạn chế, tiểu luận không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy bạn để tiểu luận hoàn thiện NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1.1 SƠ LƯỢC LỊCH SỬ Có thể nói lý thuyết đồ thị bắt đầu với tư cách ngành Toán học báo tiếng nhà toán học Euler năm 1736 cầu Konigsberg Nhưng 100 năm sau, tức vào kỷ 19, người ta ý đến vấn đề lý thuyết đồ thị, đặc biệt nước Anh Có nhiều lí dẫn đến hồi sinh Lý thuyết đồ thị Trước hết nghiên cứu mạng điện, mô hình tinh thể cấu trúc phân tử Sự phát triển Logic hình thức dẫn đến việc nghiên cứu quan hệ hai dạng đồ thị Nhiều toán đố vui tiếng phát biểu dạng đồ thị Bài toán tiếng Giả thiết bốn màu DeMorgan đưa lần năm 1850 Có thể nói toán đồ thị làm tốn nhiều giấy mực có nhiều đóng góp cho lý thuyết đồ thị toán giả thiết bốn màu Ngày Lý thuyết đồ thị phát triển thành ngành Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng mặt lý thuyết ứng dụng Lý thuyết đồ thị kiến thức sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính… 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TIÊU BIỂU 1.2.1 Bài toán cầu Konigsberg Năm 1736 Euler, cha đẻ lý thuyết đồ thị, giải toán đố hóc búa tiếng thời cầu Konigsberg Bài toán sau: Trong thành phố Konigsberg có hai đảo nối với hai bờ sông bảy cầu Bài toán đặt tìm đường qua tất bảy cầu, cầu qua lần, sau quay nơi xuất phát Euler chứng minh toán lời giải ngôn ngữ đồ thị 1.2.2 Bài toán mạng điện Năm 1847 Kirchoff xây dựng lý thuyết vòng để giải hệ phương trình tuyến tính tương thích cho phép tìm giá trị cường độ dòng điện dây dẫn mạch vòng mạch điện Biểu diễn mạng điện đồ thị ông để giải hệ phương trình không thiết phải xét riêng rẽ vòng đồ thị mạng điện Thay vào ông đề xuất thuật toán hữu hiệu (sau trở thành thuật toán chuẩn), mà theo cần giới hạn việc xét vòng đơn độc lập đồ thị xác định số khung đồ thị NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG 1.2.3 Bài toán đồng đẳng hóa học Khi nghiên cứu toán hóa hữu năm 1857 Kelly phát minh lớp đồ thị quan trọng gọi Ông cố gắng tính số đồng đẳng no Hydro cacbon CnH2n+2 với số nguyên tử cacbon cho trước n Viêc nghiên cứu dẫn đến toán cây: tìm số tất với p đỉnh có đỉnh bậc Muộn hơn, vào năm 1869 Jordan độc lập với Kelly nghiên cứu đối tượng toán học 1.2.4 Bài toán người du lịch Một người du lịch muốn tham quan n thành phố 1, 2,…, n Xuất phát từ thành phố người du lịch qua tất thành phố, thành phố qua lần, sau quay nơi xuất phát Trò chơi Hamilton nghĩ năm 1859 Ông biểu diễn thành phố đường nối chúng với đa diện 20 đỉnh Một đường gọi chu trình Hamilton Tuy nhiên trường hợp tổng quát việc xác định tồn đường (đường Hamilton) toán khó chưa có lời giải tổng quát 1.2.5 Bài toán bốn màu Bài toán xuất phát từ việc tô màu đồ Ta nói đồ tô màu tô màu nước màu cho hai nước láng giềng chung biên giới tô màu Giả thiết màu phát biểu: Mọi đồ phẳng (vẽ mặt phẳng) cầu (vẽ mặt cầu) tô màu Bài toán màu lần nhắc đến giảng nhà toán học Mobius năm 1840 Tuy nhiên toán trở thành tiếng năm 1852 nhờ nhà toán học DeMorgan Ông biết toán qua sinh viên Franci Gutrie viết thư gửi cho Hamilton nhờ giải hộ Trong thời gian dài giả thiết màu không chứng minh phủ định toán tiếng hóc búa lịch sử toán học Năm 1879 nhà toán học nghiệp dư, luật sư Alfred Kempe đưa lời giải, đến năm 1890 Percy Heawood chỗ sai chứng minh Heawood đồng thời chứng minh cần màu tô màu đồ Năm 1920 Filip Franklin chứng minh giả thiết màu với đồ có số nước n = 25 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Năm 1926 Reynolds chứng minh giả thiết màu với đồ có số nước n = 27 Năm 1936 Filip Franklin chứng minh giả thiết màu với đồ có số nước n = 31 Năm 1938 Winn C.E chứng minh giả thiết màu với đồ có số nước n = 35 Năm 1968 Ore Stemple chứng minh giả thiết màu với đồ có số nước n = 39 Năm 1977 Appel K W Haken J.Koch chứng minh giả thiết màu với trợ giúp máy tính Gần đây, năm 1987 Roberston, Sanders, Seymour Thomas đưa chứng minh khác ngắn gọn Các chứng minh sử dụng máy tính đến chưa có chứng minh suy luận toán học túy 1.3 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.3.1 Đồ thị vô hướng đồ thị có hướng • Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh cạnh Mỗi cạnh e∈E liên kết với cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự) hình v w sau: e • Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh có hướng gọi cung cung Mỗi cạnh e∈E liên kết với cặp đỉnh (v, w) có thứ tự hình sau: v e w Cho đồ thị có hướng G = (V, E) Nếu ta thay cung đồ thị G cạnh, đồ thị vô hướng nhận gọi đồ thị lót đồ thị có hướng G • Cho đồ thị (có hướng vô hướng) G = (V, E) Nếu cạnh e ∈ E liên kết đỉnh v w, ta nói e liên thuộc đỉnh v, w; đỉnh v w liên thuộc cạnh e, đỉnh v, w đỉnh biên cạnh e đỉnh v gọi kề đỉnh w Nếu e cung v gọi đỉnh đầu, w gọi đỉnh cuối cung e NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG • Cạnh song song: cạnh liên kết với cặp đỉnh • Khuyên: cạnh có đỉnh liên kết trùng • Đỉnh cô lập: đỉnh không kề với đỉnh khác • Số đỉnh đồ thị gọi bậc đồ thị, số cạnh số cung đồ thị gọi cỡ đồ thị • Đồ thị hữu hạn đồ thị có bậc cỡ hữu hạn • Đồ thị đơn: đồ thị khuyên cạnh song song • Đồ thị vô hướng đủ: đồ thị mà cặp đỉnh kề • Đồ thị có hướng đủ: đồ thị có đồ thị lót đủ 1.3.2 Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc Cho đồ thị G = (V, E) • Bậc: Giả sử đỉnh v∈V có p khuyên q cạnh liên thuộc (không phải khuyên) Khi bậc đỉnh v 2p+q ký hiệu deg G(v) deg(v) Số bậc đỉnh lớn G ký hiệu ∆(G), số bậc đỉnh nhỏ G ký hiệu δ(G) Đỉnh cô lập đồ thị đơn đỉnh có bậc Đỉnh treo đỉnh có bậc • Nửa bậc: Cho đồ thị có hướng G = (V, E) + Nửa bậc đỉnh v∈V, kí hiệu dego(v) số cung từ đỉnh v + Nửa bậc vào đỉnh v∈V, kí hiệu degi(v) số cung vào đỉnh v • Bổ đề bắt tay (Hand Shaking Lemma) Cho đồ thị G = (V, E) Khi đó: (i) Tổng bậc đỉnh đồ thị số chẵn ∑ deg(v) = 2.card ( E ) v∈V (ii) Nếu G đồ thị có hướng ∑ deg (v) = ∑ deg (v) = card ( E ) v∈V o v∈V I card(E) ký hiệu số phần tử tập E Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ đồ thị vô hướng số chẵn • Đồ thị Kn đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh có cạnh liên kết) Mọi đỉnh đồ thị Kn có bậc n-1 Kn có n(n-1)/2 cạnh NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG • Đồ thị lưỡng phân G = (V, E) đồ thị mà tập đỉnh phân làm tập rời V1, V2 cho cạnh liên kết với đỉnh thuộc V đỉnh thuộc V2, ký hiệu: G = ({V1, V2}, E) • Đồ thị Km,n đồ thị lưỡng phân ({V1, V2}, E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh đỉnh V1 nối với đỉnh V2 cạnh 1.4 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ 1.4.1 Ma trận kề a Đồ thị vô hướng • Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v 1,v2,…,vn Ma trận kề đồ thị G ma trận vuông A = (a ij)n×n , aij số cạnh (khuyên) nối vi với vj Lưu ý tính bậc đỉnh khuyên tính hai bậc Từ định nghĩa suy ma trận kề đồ thị vô hướng đối xứng qua đường chéo Mệnh đề Cho đồ thị G = (V,E) với ma trận kề (aij) Khi n Deg(vi) = n ∑a + a = ∑a + a j =1 ij ii j =1 ji ii ,∀vi ∈V Định lý Cho đồ thị đơn G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1,v2,…,vn} ma trận kề đồ thị G ma trận A = (aij)n×n Giả sử Ak = (cij)n×n, k ≥ 1.Khi cij, i ≠j, số dây chiều dài k từ đỉnh vi đến đỉnh vj Đặc biệt phần tử ô [i,i], 1≤ i ≤ n, A2 bậc đỉnh vi Hệ Cho đồ thị đơn G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1,v2,…,vn} ma trận kề đồ thị G ma trận A = (aij)n×n Ký hiệu T = A + A2 +…+An-1 Khi đồ thị G liên thông phần tử đường chéo ma trận T lớn b Đồ thị có hướng • Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v 1,v2,…,vn Ma trận kề đồ thị G ma trận vuông A = (aij)n×n, aij số cung từ vi tới vj Mệnh đề Cho đồ thị có hướng G = (V,E) với ma trận kề (aij) Khi n Dego(vi) = ∑a j =1 n ij & degi(vi) = ∑a j =1 ji ,∀vi ∈V Định lý Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1,v2,…,vn} ma trận kề đồ thị G ma trận A = (aij)n×n Giả sử Ak = (cij)n×n, k ≥ 1.Khi cij, i ≠j, số dây có hướng chiều dài k từ đỉnh vi đến đỉnh vj NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Hệ Cho đồ thị có hướng G = (V,E) có n đỉnh, V = {v 1,v2,…,vn} ma trận kề đồ thị G ma trận A = (aij)n×n Ký hiệu T = A + A +…+An-1 Khi đồ thị G liên thông mạnh phần tử đường chéo ma trận T lớn 1.4.2 Ma trận liên thuộc a Đồ thị vô hướng • Cho đồ thị đơn G=(V,E) có n đỉnh, V={v1,v2,…,vn} m cạnh E={e1,e2, …,em} Ma trận liên thuộc đồ thị G ma trận A = (aij)n×m thỏa mãn: aij =1, đỉnh vi liên thuộc cạnh ej aij =0, đỉnh vi không liên thuộc cạnh ej Mệnh đề Cho đồ thị đơn G = (V,E) với ma trận liên thuộc (aij) Khi m Deg(vi) = ∑a j =1 ij ,∀vi ∈V b Đồ thị có hướng • Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) có n đỉnh, V = { v 1,v2,…,vn} m cung E = {e1,e2, …,em} Ma trận liên thuộc đồ thị G ma trận A = (aij)n×m thỏa mãn: aij =1, đỉnh vi đỉnh đầu cung ej aij = -1, đỉnh vi đỉnh cuối cung ej aij =0, đỉnh vi không liên thuộc cung ej Mệnh đề Cho đồ thị có hướng không khuyên G = (V,E) với ma trận liên thuộc m (aij) Khi đó: Dego(vi) = ∑ max{0,a } ,∀vi ∈V ij j =1 m DegI(vi) = ∑ max{0,−a } ,∀vi ∈V j =1 ij 1.4.3 Danh sách cạnh (cung) Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có n đỉnh m cạnh cung thỏa mãn m < 6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dạng danh sách cạnh (cung) Trong cách biểu diễn đồ thị danh sách cạnh (cung) lưu trữ tất danh sách cạnh (cung) đồ thị vô hướng (có hướng) Một cạnh (cung) e=(x,y) đồ thị tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e] Như để lưu trữ đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị nhớ Nhược điểm cách biểu diễn để xác định đỉnh đồ thị kề với đỉnh cho trước phải NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danh sách tất cạnh cung đồ thị) Chú ý: Trong trường hợp đồ thị có trọng số ta cần thêm m đơn vị nhớ để lưu trữ trọng số cạnh 1.4.4 Danh sách kề Trong nhiều vấn đề ứng dụng lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị dạng danh sách kề cách biểu diễn hợp lý Trong cách biểu diễn này, với đỉnh v đồ thị lưu trữ danh sách đỉnh kề với nó, mà ta ký hiệu Ke(v) ={ u ∈V/ (v,u) ∈ E} Khi vòng lặp thực với phần tử danh sách theo thứ tự phần tử xếp viết sau: Với u ∈ Ke(v) 1.5 ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU • Đồ thị đẳng cấu Hai đồ thị G1 = (V1,E1) G2 = (V2,E2) gọi đẳng cấu với tồn song ánh f : V1 → V2 g : E1 → E2 thỏa mãn: ∀e ∈ E1 : e = (v,w) ⇔ g(e) = (f(v),f(w)) Cặp ánh xạ (f,g) gọi đẳng cấu từ G1 đến G2 Mệnh đề Hai đơn đồ thị G1 = (V1,E1) G2 = (V2,E2) gọi đẳng cấu với tồn song ánh f : V1 → V2 thỏa mãn : ∀v, w ∈ V1 : v kề w ⇔ f(v) kề f(w) Định lý Cho G1 = (V1,E1) G2 = (V2,E2) hai đơn đồ thị Các mệnh đề sau tương đương: (i) G1 đẳng cấu với G2 (ii) Hai ma trận kề tương ứng sau thay đổi thứ tự hàng cột cần thiết • Tính chất bất biến Một tính chất P gọi bất biến cặp đồ thị đẳng cấu G1 G2 thỏa mãn G1 có tính chất P G2 có tính chất P Do để chứng minh hai đồ thị không đẳng cấu ta phải tìm tính chất bất biến mà đồ thị có, đồ thị Định lý Cho G1 = (V1,E1) G2 = (V2,E2) hai đồ thị đẳng cấu Khi đó: (i) G1 G2 có số cạnh số đỉnh (ii) Với số k tự nhiên, số đỉnh bậc k G1 G2 (iii) Với số k tự nhiên, số chu trình sơ cấp chiều dài k G G2 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG • Đồ thị bù Xét đơn đồ thị G =(V,E) Đồ thị bù G đơn đồ thị G = (V, E ) với tập cạnh E định nghĩa sau: E = {(u,v) / u, v ∈V & (u,v) ∉E} Mệnh đề Hai đơn đồ thị đẳng cấu với đồ thị bù chúng đẳng cấu với • Đồ thị đường Cho đồ thị G =(V,E) Đồ thị đường G, ký hiệu L(G), đồ thị có đỉnh tương ứng với cạnh G hai đỉnh kề L(G) cạnh tương ứng G kề Mệnh đề Cho hai đơn đồ thị G1 = (V1,E1) G2 = (V2,E2) đẳng cấu với Khi đồ thị đường chúng đẳng cấu với NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 10 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG 2.6 Bài tập Bài 1: Chứng minh đồ thị sau không phẳng: Đồ thị Peterson: a e j f g i h d b c Bài giải: Xác định đồ thị cách bỏ đỉnh b ba cạnh liên thuộc với nó: a e d j f g i h c Thực phép rút gọn nối tiếp sau: + Bỏ hai cạnh (e,a), (a,f) thay cạnh (e,f); + Bỏ hai cạnh (h,c), (c,d) thay cạnh (h,d); + Bỏ hai cạnh (i,g), (g,j) thay cạnh (i,j); Ta đồ thị K3,3 với tập đỉnh là: {e, i, h} {f, d, j} Như đồ thị Peterson có chứa đồ thị đồng phôi với đồ thị K 3,3 nên không phẳng Bài Cho G đồ thị phẳng liên thông có 10 miền tất đỉnh có bậc Tìm số đỉnh G Bài giải: Gọi n số đỉnh G Khi tổng bậc G 4n, nên số cạnh p G thoả mãn 4n=2p hay 2n=p Ngoài ra, theo công thức Euler, số đỉnh n, số cạnh p số miền d thoả mãn n − p + d = hay n − 2n + 10 = Do n = Bài Cho G đồ thị phẳng liên thông có đỉnh, bậc đỉnh 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, Tìm số cạnh số miền G Bài giải: Gọi p số cạnh d số miền G Do tổng bậc G 2+2+2+3+3+3+4+4+5 =28, nên 28 = 2p hay p = 14 Ngoài ra, theo công thức Euler, số đỉnh n, số cạnh p số miền d thoả mãn n − p + d = hay − 14 + d = hay d = NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 16 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Bài Trong đồ thị đây, đồ thị phẳng, đồ thị không phẳng? đồ thị phẳng kẻ thêm cạnh để đồ thị không phẳng? a) b) a’ a b b a b’ d’ d c c g h e d c’ Bài giải: a) Đồ thị cho phẳng Nếu kẻ thêm cạnh (a, c’) đồ thị nhận không phẳng có đồ thị K 3,3 với tập đỉnh chia thành hai tập {a, b’, c} {a’, b, c’} b) Đồ thị cho không phẳng chứa đồ thị đồng phôi với K có đỉnh b, g, e, d, h Bài Cho G đơn đồ thị phẳng Chứng minh G tô hai màu G đồ thị phân đôi Bài giải: (⇒) Giả sử G tô hai màu xanh đỏ Khi G đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh U gồm đỉnh màu xanh V gồm đỉnh màu đỏ (⇐) Giả sử G đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh U V Khi chu trình G (nếu có) có độ dài chẵn Lấy đỉnh G tô màu xanh, sau đỉnh kề với đỉnh màu xanh tô màu đỏ đỉnh kề với đỉnh màu đỏ tô màu xanh Do chu trình G có độ dài chẵn nên có hai đỉnh kề G tô màu Bài Chứng minh đơn đồ thị phẳng liên thông tô miền hai màu đồ thị Euler Bài giải: (⇒) Nếu đồ thị G tô miền hai màu số miền bao quanh đỉnh phải số chẵn, đỉnh có bậc chẵn G đồ thị Euler (⇐) Cho G đồ thị Euler Tô miền F G màu xanh Lấy điểm x thuộc F Nối x với điểm y miền tùy ý F’ NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 17 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG đường cong d không qua đỉnh G Nếu d cắt cạnh G số lẻ điểm ta tô F’ màu đỏ, ngược lại ta tô F’ màu xanh Do đỉnh G có bậc chẵn, suy miền G tô hai màu a X X Đ a X a a a a Đ X X X a a a a X Đ X Đ X Đ X a a a a a Đ Bài Đa diện lồi có k (k≥5) mặt, mà từ đỉnh có cạnh Hai người chơi trò chơi sau: người tô đỏ mặt mặt lại Người thắng người tô mặt có chung đỉnh Chứng minh tồn cách chơi mà người tô trước luôn thắng Bài giải: Một đa diện lồi xem đồ thị phẳng liên thông Giả sử tất mặt có bậc (mặt có bậc mặt có mặt khác kề với nó) Khi cạnh thuộc mặt nên số cạnh p=3k/2 Mặt khác, từ đỉnh có cạnh, nên đỉnh chung mặt, đồng thời mặt có đỉnh nên số đỉnh n số mặt Sử dụng Định lý Euler: n − p + k = hay k − 3k/2 + k = Từ suy k=4 Điều trái với giả thiết (k≥5) Như có mặt bậc không nhỏ 4, ký hiệu mặt D1 Khi chơi sau: Bước 1: Gọi A người tô trước, tô mặt D Ta nhận thấy rằng: mặt D1 kề với không mặt; hai mặt kề với D qua đỉnh D kề (vì từ đỉnh có cạnh, có cạnh thuộc mặt D 1, nên cạnh lại phải chung cho mặt) Bước 2: Sau người thứ hai tô, chắn mặt kề với D 1, đồng thời kề liên tiếp đôi Không giảm tổng quát, giả sử D 2, D3, D4 Khi A tô D3 Bước 3: Sau người thứ hai tô, chắn lại hai mặt D 2, D4 mặt mà A cần phải tô để thắng NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 18 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG CHƯƠNG III ỨNG DỤNG 3.1 Ứng dụng đồ thị giải toán logic: 3.1.1 Phương pháp: Để giải toán T cách thông qua đồ thị cần thực hai bước sau: Bước 1: Xây dựng đồ thị G mô tả mối quan hệ: + Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với đối tượng cho toán, dùng ký hiệu đối tượng để ghi tên điểm tương ứng + Cặp điểm x, y nối với cạnh với “đặc điểm t” đối tượng x, y có mối quan hệ (t) với Khi toán T chuyển toán D đồ thị Bước 2: Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D Nếu đáp án toán D dạng “ngôn ngữ đồ thị”, vào phép đặt tương ứng xây dựng đồ thị mà diễn đạt thành đáp án ngôn ngữ thông thường (tức đáp án toán T) 3.1.2 Áp dụng: Bài Trên đảo có số cụm dân cư, cụm dân cư có hai đường lớn ba đường mòn Mỗi đường lớn đường mòn dẫn tới cụm dân cư khác Hai cụm dân cư khác nối liền đường lớn đường mòn Hỏi đảo có đường mòn đường lớn? Bài giải: Mỗi cụm dân cư có hai đường lớn ba đường mòn ra, đường dẫn tới cụm dân cư khác nên phải có cụm dân cư Mặc khác hai cụm dân cư khác có đường nối nên cụm nối đến cụm khác suy đảo có cụm dân cư Mỗi cụm dân cư ta biểu diễn điểm, hai cụm có đường lớn (đường mòn) nối hai điểm tương ứng nối đường nét liền (đường nét đứt) Theo giả thuyết, đỉnh có hai đường liền nét ba đường nét đứt Với lập luận ta minh hoạ vài khả xảy đường nối cụm dân cư là: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 19 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG 6 5 Vậy đảo có đường lớn đường mòn Bài Trong thi đấu bóng bàn, An Bình quy ước với nhau: Người thắng người thắng ván tổng cộng ván liên tiếp Hỏi có khả xảy thi kết thúc (tức có người thắng cuộc) Bài giải: Dùng A, B để ký hiệu An thắng, Bình thắng; dùng để mô tả trạng có khả xảy Xây dựng cây: Xuất phát từ điểm X, ván có hai khả An thắng Bình thắng nên từ điểm xuất phát có hai nhánh ra, nhánh đến A, B tương ứng với An, Bình thắng Tiếp tục thực kéo dài đường vậy, quy ước An Bình nên việc kéo dài đường dừng đường có đỉnh liên tiếp đỉnh ghi ký hiệu Hình sau thể cụ thể việc xây dựng mô tả trạng: A A A A A B B B B X B B B B B A A A A Vì An Bình đấu với tối đa ván chắn có người thắng ván liên tiếp có người thắng ván nên đường xuất phát từ X cạnh Cây có 10 đỉnh nên có 10 khả xảy NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 20 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Bài Tại giải bóng đá có đội Anh, Đan Mạch, Hà Lan, Thụy Điển vào bán kết Có dự đoán xếp hạng sau: Đan Mạch vô địch, Thụy Điển nhì Đan Mạch nhì, Hà Lan ba Anh nhì, Hà Lan tư Kết dự đoán đội.Hãy cho biết kết xếp hạng đội? Bài giải: Dùng xi để ký hiệu đội x xếp hạng i (1≤ i ≤ 4) Ta vẽ cây, hai nhánh ứng với dự đoán thứ Đ , T2.Từ nhánh lại có hai nhánh ứng với dự đoán thứ hai.Tiếp tục rẽ nhánh ứng với dự đoán thứ ba Ta chọn đường từ gốc O tới điểm thỏa mãn điều kiện: + Một đội xếp hai hạng khác + Hai đội xếp hạng Suy có đường Đ1H3A2 thỏa mãn A2 H4 A2 H4 Đ2 H3 A2 H4 H4 Đ2 Đ1 A2 H3 T2 O Đường tô đậm Đ1H3A2 thỏa mãn điều kiện dự đoán đội mà thứ tự ghi đường Vậy kết xếp hạng sau: Đan Mạch vô địch, Anh nhì, Hà Lan ba, Thụy Điển thứ tư 3.2 Ứng dụng đồ thị số học: Ứng dụng đồ thị dạng để minh hoạ lớp số chia hết cho số cho trước: Giả sử số chia m (số nguyên dương) Để đơn giản ta xét trường hợp m ≤ : Ta dựng với gốc đỉnh v (tuỳ chọn) gọi đỉnh vào, đỉnh ứng với có nhãn NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 21 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Từ v xuất phát m cạnh nối đến m đỉnh tương ứng với số dư chia cho m, ký hiệu đỉnh 0, 1, 2, , m-1, cạnh nối từ v đến đỉnh có nhãn i ta điền trọng số k từ đến thoả: k ≡ i (mod m) Từ đỉnh 0, 1, 2, , n coi đỉnh xuất phát sau v, nối đỉnh đến m đỉnh tương ứng với số dư chia cho m, ký hiệu 0’, 1’, 2’, , n’ Ví dụ 1: Cây sinh số chia hết cho v 0, 4, ’ 2, ’ 3,7 1’ ’ ’ ’ 0,4,8 2, 2’ 1, 5, 2, 2,6 1, 5, 3’ Ví dụ 2: Cho số nguyên dương tùy ý Chứng minh chọn số mà bộ, đôi nguyên tố không nguyên tố Bài giải: Bước 1: Chuyển toán sang toán đồ thị màu G(X,E) - Đỉnh : Cho ứng số với đỉnh X = {A, B, C, D, E, F} - Cạnh : Đoạn nối đỉnh tương ứng với số : + Nguyên tố tô màu xanh + Không nguyên tố tô màu đỏ Khi đó, ta toán đồ thị màu: Trong đồ thị đầy đủ G (X,E) có đỉnh với màu cạnh, ta tìm “tam giác” với cạnh màu Bước 2: Giải toán đồ thị Vì G đồ thị đầy đủ có đỉnh nên đỉnh G đầu mút cạnh, chúng tô màu, nên đỉnh G phải mút cạnh màu Giả sử đỉnh A mút cạnh AB, AC, AD màu đỏ (đường liền nét) B • A• • C • D NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 22 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Ta xét tam giác lập nên từ đỉnh đối A BCD Trong tam giác BCD, hai khả xảy ra: 1) Có cạnh màu đỏ Chẳng hạn cạnh BC màu đỏ, tam giác ABC có cạnh màu đỏ •B •C A• •D 2) Tam giác BCD cạnh màu đỏ Nghĩa BCD có cạnh màu xanh B • •C A• • D Với trường hợp, đồ thị G có tam giác màu Giả sử G có tam giác màu đỏ, chẳng hạn tam giác ABC màu đỏ, ta chứng minh tiếp G có tam giác thứ nữa, có cạnh màu •E F• •D C• •B • A Nếu G tạm thời không xét đến đỉnh tam giác ABC chẳng hạn đỉnh A, tất cạnh thuộc Ta đồ thị đầy đủ G1 có đỉnh Nếu G1 có tam giác màu toán giải xong Ngược lại, G1 tam giác màu, ta biểu diễn G1 thành hình cạnh với màu đỏ đường chéo màu xanh NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 23 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG E • F• •D C• •B Bây ta khôi phục lại đỉnh A thứ cạnh màu thuộc Xét cạnh AD AF Nếu chúng màu xanh ta có tam giác ADF có màu xanh Nếu AD AF màu đỏ ta có tam giác đỏ hình thành ABD ACF Vậy tam giác ABC, ta có thêm tam giác có cạnh màu Khẳng định chứng minh •E F• •D C• •B • A Trong G tồn hai tam giác có cạnh màu đỏ xanh Nếu hai tam giác màu đỏ, ta có số, mà bộ, chúng đôi nguyên tố Nếu có tam giác màu đỏ, ta số đôi nguyên tố nhau, số đôi không nguyên tố Nếu hai tam giác màu xanh, nghĩa ta hai số, mà bộ, chúng đôi không nguyên tố 3.3 Những ứng dụng toán tô màu đồ thị: 3.3.1 Điều khiển đèn hiệu nút giao thông: Giả sử ta cần thiết lập quy trình điều khiển đèn hiệu nút giao thông phức tạp, nhiều giao lộ, cho khoảng thời gian ấn định, số tuyến thông qua, số tuyến khác bị cấm để tránh xảy đụng độ Vấn đề đặt phân hoạch tuyến đường thành số nhóm, cho tuyến nhóm không đụng độ Khi thời gian chờ đợi tối đa để thông đường NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 24 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Giả sử nút giao thông có n tuyến T1, T2, …, Tn Những tuyến giao dẫn đến đụng độ gọi tuyến xung khắc Như đèn hiệu phải báo cho tuyến xung khắc không đồng thời lưu thông, cho phép lưu thông tuyến không xung khắc Ta mô hình hóa toán đồ thị đưa toán tô màu đồ thị sau: Các đỉnh đồ thị tuyến đường, hai tuyến kề chúng xung khắc Ta tô màu đỉnh đồ thị cho đỉnh kề không màu Ta coi màu đại diện cho pha điều khiển đèn báo: tuyến màu lưu thông Như toán ban đầu đưa toán tô màu đồ thị với số màu Ví dụ : Xét nút giao thông sau D C ← ← E B A Ở C E đường chiều, đường khác đường hai chiều Như có 13 tuyến có thực qua nút giao thông AB, AC, AD, BA, BC, BD, DA, DB, DC, EA, EB, EC, ED Những tuyến AB (từ A tới B) EC lưu thông đồng thời được, chúng giao dẫn đến đụng độ, tuyến xung khắc Mô hình đồ thị có dạng sau : AB2 AC3 AD3 BA1 BC1 BD3 DA1 EA1 DB2 EB2 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP DC1 EC1 ED1 Trang 25 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Đỉn DA EB AB BD EC AC AD BC EA DB BA DC ED h Bậc 5 4 3 3 0 Màu 2 3 1 1 Như ta cần pha điều khiển: Pha 1: Lưu thông tuyến DA, EC, BC, EA Pha 2: Lưu thông tuyến EB, AB, DA Pha 3: Lưu thông tuyến BD, AC, AD Các tuyến BA, DC, ED lúc lưu thông 3.3.2 Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trường đại học cho sinh viên có hai môn thi lúc Có thể giải toán lập lịch thi mô hình đồ thị, với đỉnh môn thi, có cạnh nối hai đỉnh có sinh viên phải thi hai môn biểu diễn hai đỉnh Thời gian thi môn biểu thị màu khác Như việc lập lịch thi tương ứng với việc tô màu đồ thị Chẳng hạn, có môn thi cần xếp lịch Giả sử môn học đuợc đánh số từ tới cặp môn thi sau có chung sinh viên: 2, 3, 4, 7, 3, 4, 5, 7, 4, 7, 5, 6, 7, Hình biểu diễn đồ thị tương ứng Việc lập lịch thi việc tô màu đồ thị Hình 3.2.2 Đồ thị biểu diễn toán lập lịch thi Vì số màu đồ thị (vì chẳng hạn đỉnh kề với đỉnh khác nên số màu phải không 4) cách tô đồ thị màu là: 1X 2Đ T7 Đ6 3V 5V 4T Từ kết ta thấy cần có đợt thi với môn cụ thể sau: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 26 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Đợt thi I II III IV Môn thi và 3.3.3 Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số tới số 12 phân chia cho đài truyền hình cho đài phát cách không 240 km lại dùng kênh Có thể chia kênh truyền mô hình tô màu đồ thị Ta xây dựng đồ thị cách coi đài phát đỉnh Hai đỉnh nối với cạnh chúng cách không 240 km Việc phân chia kênh tương ứng với việc tô màu đồ thị, màu biểu thị kênh Ví dụ: Có sáu đài truyền hình cách số liệu cho bảng sau.Hỏi cần phải có kênh khác để phát sóng biết hai đài dùng kênh chúng cách không 150km? 85 175 200 50 100 85 125 175 100 160 175 125 100 200 250 200 175 100 210 220 50 100 200 210 100 100 160 250 220 100 Bài giải: Ta xây dựng đồ thị cách coi đài phát đỉnh Hai đỉnh nối với cạnh chúng cách không 150 km Việc phân chia kênh tương ứng với việc tô màu đồ thị, màu biểu thị kênh Hình 3.2.3 Đồ thị mô tả liên hệ khoảng cách đài Dễ thấy đỉnh kề với đỉnh khác nên số màu không 4, cách tô đồ thị màu X, Đ, T, V là: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 27 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG 1X 2Đ 6V 3X 5T 4V Hình 3.2.3’ Tô màu đồ thị hình 3.2.3 màu Từ kết ta thấy cần có kênh với đài cụ thể sau: Kênh I II III IV Đài và 3.3.4 Các ghi số: Trong dịch hiệu cao,việc thực vòng lặp tăng tốc biến dùng thường xuyên lưu tạm thời ghi số xử lý trung tâm (CPU) mà nhớ thông thường Với vòng lặp cho trước cần ghi số? Bài toán giải mô hình tô màu đồ thị Để xây dựng mô hình ta coi đỉnh đồ thị biến vòng lặp Giữa hai đỉnh có cạnh biến biểu thị đỉnh phải lưu ghi số thời điểm thực vòng lặp Như số màu đồ thị số ghi cần có ghi khác phân cho biến đỉnh biểu thị biến liền kề đồ thị NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 28 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG KẾT LUẬN Qua tiểu luận chúng em làm số vấn đề sau: Hệ thống trình bày cách chi tiết lý thuyết đồ thị đồ thị phẳng Ứng dụng đồ thị phẳng việc giải toán logic, số học Ứng dụng toán tô màu đồ thị việc lập lịch thi, phân chia kênh truyền hình, điều khiển đèn hiệu nút giao thông Hy vọng nội dung tiểu luận tiếp tục phát triển, hoàn thiện mở rộng nhiều NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 29 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TSKH.Trần Quốc Chiến Giáo trình lý thuyết đồ thị Đà Nẵng 2007 [2] Nguyễn Gia Định Toán rời rạc Huế 2003 [3] Nguyễn Gia Định Bài tập toán rời rạc Huế 2008 [4] Đặng Huy Ruận Bảy phương pháp giải toán logic NXB KH_KT 2002 [5] Đặng Huy Ruận Trò chơi đồ thị NXB KH_KT 2004 [6] Kenneth H.Rosen Toán học rời rạc ứng dụng tin học NXB KH_KT 1997 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 30 [...]...LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG CHƯƠNG II ĐỒ THỊ PHẲNG 2.1 ĐỒ THỊ PHẲNG • Đồ thị hình học phẳng Một đồ thị gọi là đồ thị hình học phẳng nếu nó được biểu diễn trên mặt phẳng sao cho các cạnh không cắt nhau • Đồ thị phẳng Một đồ thị gọi là phẳng nếu nó đẳng cấu với đồ thị hình học phẳng Với một đồ thị hình học phẳng liên thông, mặt phẳng được chia làm các miền con gọi là mặt... THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG rằng ta đã thực hiện phép rút gọn nối tiếp Đồ thị G’ thu được gọi là đồ thị rút gọn từ G • Đồ thị đồng phôi Hai đồ thị G1 và G2 gọi là đồng phôi nếu G1 và G2 có thể rút gọn thành những đồ thị đẳng cấu qua một số phép rút gọn nối tiếp • Định lý (Kuratowski) Đồ thị G là đồ thị phẳng khi và chỉ khi G không chứa đồ thị con đồng phôi với đồ thị K5 hoặc K3,3 2.4 NHÚNG ĐỒ THỊ Trong... của đồ thị • Mệnh đề Mọi chu trình của đồ thị phẳng có độ dài chẵn khi và chỉ khi mọi mặt của đồ thị đều có bậc chẵn • Đồ thị tuyến tính phẳng Đồ thị G gọi là đồ thị tuyến tính phẳng nếu G là đồ thị hình học phẳng có tất cả các cạnh là đoạn thẳng • Định lý Mỗi đơn đồ thị phẳng đẳng cấu với đồ thị tuyến tính phẳng 2.2 CÔNG THỨC EULER • Định lý 2.2.1 (công thức Euler) Cho G là đồ thị liên thông phẳng. .. không cắt nhau (trừ các đỉnh đồ thị) biểu diễn các cạnh đồ thị Ví dụ: đồ thị phẳng là đồ thị nhúng được vào mặt phẳng • Định lý 2.4.2 Một đồ thị nhúng được vào mặt phẳng khi và chỉ khi nó nhúng được vào mặt cầu • Định lý 2.4.3 Mọi đồ thị hữu hạn nhúng được vào không gian Euclide ba chiều 2.5 TÔ MÀU ĐỒ THỊ 2.5.1 Tô màu đỉnh Mỗi bản đồ có thể coi là một đồ thị phẳng Trong một bản đồ, ta coi hai miền có chung... TOÁN SƠ CẤP Trang 16 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG Bài 4 Trong các đồ thị dưới đây, đồ thị nào là phẳng, đồ thị nào là không phẳng? nếu đồ thị là phẳng thì có thể kẻ thêm ít nhất là bao nhiêu cạnh để được đồ thị không phẳng? a) b) a’ a b b a b’ d’ d c c g h e d c’ Bài giải: a) Đồ thị được cho là phẳng Nếu kẻ thêm cạnh (a, c’) thì đồ thị nhận được là không phẳng vì có đồ thị con K 3,3 với tập đỉnh được... và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 7, 2 và 3, 2 và 4, 2 và 5, 2 và 7, 3 và 4, 3 và 7, 4 và 5, 4 và 6, 5 và 7, 6 và 7 Hình dưới đây biểu diễn đồ thị tương ứng Việc lập lịch thi chính là việc tô màu đồ thị này 1 2 7 6 3 5 4 Hình 3.2.2 Đồ thị biểu diễn bài toán lập lịch thi Vì số màu của đồ thị này là 4 (vì chẳng hạn đỉnh 1 kề với 3 đỉnh khác nên số màu phải không ít hơn 4) và một cách tô đồ thị bởi 4 màu là:... liền kề trong đồ thị NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 28 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG KẾT LUẬN Qua tiểu luận này chúng em đã làm được một số vấn đề sau: Hệ thống và trình bày một cách chi tiết lý thuyết về đồ thị và đồ thị phẳng Ứng dụng của đồ thị phẳng trong việc giải các bài toán về logic, số học Ứng dụng bài toán tô màu đồ thị trong việc lập lịch thi, phân chia kênh truyền hình, điều khiển đèn... đồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 Chứng minh : Các mặt của đồ thị phẳng tô được bằng 2 màu khi và chỉ khi các đỉnh của đồ thị đối ngẫu tô được bằng 2 màu, tức là, khi và chỉ khi mọi chu trình của đồ thị đối ngẫu đều có độ dài chẵn Và điều đó tương đương với việc mọi đỉnh của đồ thị ban đầu có bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 Định lý 2.5.6 (Định lý 5 màu của Kempe-Heawood): Mọi đồ thị. .. Bỏ hai cạnh (e,a), (a,f) và thay bởi cạnh (e,f); + Bỏ hai cạnh (h,c), (c,d) và thay bởi cạnh (h,d); + Bỏ hai cạnh (i,g), (g,j) và thay bởi cạnh (i,j); Ta được đồ thị K3,3 với các tập đỉnh là: {e, i, h} và {f, d, j} Như vậy đồ thị Peterson có chứa đồ thị con đồng phôi với đồ thị K 3,3 nên nó không phẳng Bài 2 Cho G là một đồ thị phẳng liên thông có 10 miền và tất cả các đỉnh đều có bậc 4 Tìm số đỉnh... và {a’, b, c’} b) Đồ thị được cho là không phẳng vì chứa đồ thị con đồng phôi với K 5 có các đỉnh b, g, e, d, h Bài 5 Cho G là một đơn đồ thị phẳng Chứng minh rằng G có thể tô đúng bằng hai màu khi và chỉ khi G là đồ thị phân đôi Bài giải: (⇒) Giả sử G được tô đúng bằng hai màu xanh và đỏ Khi đó G là đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh U gồm các đỉnh màu xanh và V gồm các đỉnh màu đỏ (⇐) Giả sử G là đồ ... Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trường đại học cho sinh viên có hai môn thi lúc Có thể giải toán lập lịch thi mô hình đồ thị, với đỉnh môn thi, có cạnh nối hai đỉnh có sinh viên phải thi hai môn... hai đỉnh Thời gian thi môn biểu thị màu khác Như việc lập lịch thi tương ứng với việc tô màu đồ thị Chẳng hạn, có môn thi cần xếp lịch Giả sử môn học đuợc đánh số từ tới cặp môn thi sau có chung... Filip Franklin chứng minh giả thi t màu với đồ có số nước n = 31 Năm 1938 Winn C.E chứng minh giả thi t màu với đồ có số nước n = 35 Năm 1968 Ore Stemple chứng minh giả thi t màu với đồ có số nước