đề tài BIẾN ĐỔI WAVELET VÀ ỨNG DỤNG

Biến đổi wavelet: Năm 1975, Morlet, J., phát triển phương pháp đa phân giải munltiresolution; trong đó, ông sử dụng một xung dao động, được hiểu là một “Wavelet” dịch theo từ gốc của nó

KHOA KĨ THUẬT ĐIỆN TỬ TRUYỀN THÔNG

BI N Đ I WAVELET VÀ NG D NG ẾN ĐỔI WAVELET VÀ ỨNG DỤNG ỔI WAVELET VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG ỤNG

Môn h c: X lý Âm thanh Hình nh ọc: Xử lý Âm thanh Hình ảnh ử lý Âm thanh Hình ảnh ảnh

Giảng viện hướng dẫn: Nguyễn Thu Hiên

2 Hoàng Tuấn Anh

3 Lưu Thế Anh

1 Biến đổi wavelet:

Năm 1975, Morlet, J., phát triển phương pháp đa phân giải (munltiresolution); trong đó, ông sử dụng một xung dao động, được hiểu là một “Wavelet” (dịch theo từ gốc của nó là một sóng nhỏ) cho thay đổi kích thước và so sánh với tín hiệu ở từng đoạn riêng biệt Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ (Wavelet) chứa các dao động tần số khá thấp, sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu phân tích để có một bức tranh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô Sau đó sóng nhỏ được nén lại để nâng cao dần dần tần số dao động Quá trình này gọi là làm thay đổi tỉ lệ (scale) phân tích; khi thực hiện tiếp bước so sánh, tín hiệu sẽ được nghiên cứu chi tiết ở các độ phân giải cao hơn, giúp phát hiện các thành phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong tín hiệu Đó là mục đích của phép biến đổi wavelet

Biến đổi wavalet cho phép phân giải tín hiệu thành những thành phần tần số khác nhau Chúng thuận lợi hơn phép biến đổi Fourier truyền thống trong việc phân tích những tín hiệu không liên tục và có đỉnh nhọn

1.1 Cơ sở toán học:

1.1.1 Biến đổi wavelet liên tục:

1.1.1.1 Biến đổi wavelet liên tục 1 chiều (1-D):

Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform – CWT) của

một hàm f(t) được bắt đầu từ một hàm Wavelet mẹ (Mother wavelet) ψ (t)

Hàm wavelet mẹ ψ (t) có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào thỏa mãn các tính chất sau:

+) Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm ψ (t) bằng 0 Tức là:

∫

∞

ψ (t )dt=0 (1)

+) Tích phân năng lượng của hàm trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn,

−∞

∞

|ψ (t )|2dt<∞(2)

Điều kiện (2) có nghĩa là hàm ψ (t) phải là một hàm bình phương khả tích nghĩa là hàm ψ (t) thuộc không gian L2(R) các hàm bình phương khả tích

Wavelet mẹ ψ (t) được lấy tỉ lệ bởi tham số a và dịch chuyển bởi tham

số b để trở thành một họ wavelet:

ψ a , b (t )= 1

√|a|ψ(t−b a ), a ∈ R+ ¿,b∈ R (3)¿

Biến đổi wavelet liên tục (CWT) của một hàm thời gian (tín hiệu) f(t)

như sau:

W (a , b )= 1

√|a|∫

R

❑

f (t)ψ¿ (t−b a )dt(4)

trong đó:

 ψ¿

(t ) là liên hợp phức của ψ (t)

 1

√|a| là hệ số chuẩn hóa để đảm bảo rằng tích phân năng lượng của hàm ψ a , b (t ) sẽ độc lập với a và b:

∫

−∞

∞

|ψ a ,b (t )|2dt=∫

−∞

∞

|ψ (t)|2dt (5)

Với mỗi giá trị của a thì ψ a , b (t ) là một bản sao của ψ a , 0 (t ) được dịch đi b đơn vị trên trục thời gian Do đó, b được gọi là tham số dịch Đặt tham số dịch b=0 ta thu được:

ψ a , 0 (t )= 1

√|a|ψ(a t)(6)

điều đó cho thấy rằng a là tham số tỷ lệ

Khi a >1 thì hàm wavelet sẽ được trải rộng còn khi 0 < a < 1 thì hàm sẽ được co lại

Phương trình (4) cho thấy, phép biến đổi wavelet là một ánh xạ chuyển

từ hàm một biến f(t) thành hàm W(a,b) phụ thuộc hai biến số là biến tỉ lệ a và

biến dịch chuyển b

Gọi Ψ (ω)là biến đổi Fuorier của ψ (t):

Ψ (ω)=∫

−∞

∞

ψ (t ) e−jωtωt

dt(7)

Nếu W(a,b) là biến đổi CWT của f(t) bằng hàm wavelet ψ (t), thì biến đổi ngược của biến đổi CWT sẽ được tính như sau:

f (t )=1

C∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

1

|a|2W (a , b) ψ a ,b (t )dadb (8)

với giá trị của C được định nghĩa là:

C=∫

−∞

∞

|Ψ (ω)|2

|ω| dω(9)

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu C dương và hữu hạn Do đó C được gọi

là điều kiện tồn tại của biến đổi wavelet Cùng với hai điều kiện đã nêu ở trên, đây là điều kiện thứ 3 mà một hàm cần phải thỏa mãn để có thể được lựa chọn làm hàm wavelet

1.1.1.2 Biến đổi wavelet liên tục 2 chiều (2-D) hoặc nhiều chiều (n-D):

Phép biến đổi wavelet 2-D được cho bởi phương trình:

W (a , B)=1

a∫

−∞

∞

f (R)ψ0¿

(R−B a )dR(10)

trong đó:

 R(t1, t2) là vectơ tọa độ gồm hai thành phần là t1 và t2 thỏa mãn hệ thức:

R2

=t12

+t22

 B(b1, b2) là vectơ vị trí, có hai thành phần thỏa mãn hệ thức:

B2=b12+b22

Hệ số 1a để chuẩn hóa năng lượng của sóng wavelet 2-D, được suy ra từ trường hợp 1-D Tín hiệu f(R) là hàm theo hai biến không gian là t1 và t2

Phép biến đổi wavelet nghịch 2-D được viết dưới dạng:

f ( R )=1

C ∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

1

|a|3W (a , B) ψ a ,b (t )dadB (11)

Phép biến đổi wavelet n chiều (n>2) có thể xây dựng đơn giản bằng cách mở rộng số phần tử trong các vectơ R và B đến n giá trị theo cách biểu diễn:

R(t1,t2, ,tn) và B(b1,b2, ,bn) (12) Hàm wavelet ψ0(a , B)( R ) trong không gian n-D được viết dưới dạng:

ψ0(a , B)( R )= 1

a

n

2

ψ0(R−B a )(13)

Nên phép biến đổi wavelet trong n-D được viết lại dưới dạng:

W (a , B)= 1

a

n

2

∫

−∞

∞

f ( R )ψ0¿

(R−B a )dR (14)

Và phép biến đổi wavelet nghịch của nó trong n-D có dạng:

f ( R )=1

C ∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

1

|a|n +1 W (a , B )ψ a , b (t ) dadB(15)

1.1.2 Biến đổi wavelet rời rạc:

Biến đổi wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transfom – DWT) Việc tính toán các hệ số wavelet tại tất cả các tỉ lệ là một công việc hết sức phức tạp Nếu tính toán như vậy sẽ tạo ra một lượng dữ liệu khổng lồ Để giảm công việc tính toán người ta chỉ chọn ra một tập nhỏ các giá trị tỉ lệ và các vị trí để tiến hành tính toán Hơn nữa nếu việc tính toán được tiến hành tại các tỉ

lệ và các vị trí trên cơ sở lũy thừa cơ số 2 thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơn rất nhiều Quá trình chọn các tỷ lệ và các vị trí để tính toán như trên tạo thành lưới nhị tố (dyadic) Một phân tích như trên hoàn toàn có thể thực hiện nhờ biến đổi wavelet rời rạc (DWT) Do đó, việc tính toán biến đổi DWT thực chất là sự rời rạc hóa biến đổi wavelet liên tục (CWT); việc rời rạc hóa được thực hiện với sự lựa chọn các hệ số a và b như sau:

a = 2m ; b = 2mn m , n ∈ Z (16) Trong biến đổi wavelet rời rạc, các tham số tỷ lệ và dịch chuyển được rời rạc

hóa Lúc bấy giờ tín hiệu f(t) được phân tích như sau:

f (t )=∑

jωt ,k

c jωt , k2

jωt

2ψ (t/2 jωt−k ), jωt ,k là số nguyên(17)

trong đó, cj,k là các hệ số cần được xác định Trong phân tích đa phân

giải wavelet (MRA) còn gọi là phân ly băng con (SD), tín hiệu f(t) được phân

ly ra các thành phần tần số thấp biểu diễn bởi hàm tỉ lệ φ (t), và các thành phần tần số cao biểu diễn bởi wavelet ψ (t) :

f (t )=∑

jωt=1

jωt0

d jωt (k ) ψ jωt , k (t )+∑

k

a jωt0(k ) φ jωt0,k (t )(18)

trong đó, j=1,2, ,j0 là các mức phân giải khác nhau Hình 1 là phân tích đa phân giải 3 mức, trong đó S là tín hiệu nguyên thủy, A (approximation-xấp xỉ) là các thành phần tần số thấp, và D (detail-chi tiết) là các thành phần tần số cao

Tín hiệu thông thường f(t) chỉ có một chiều (chủ yếu là thời gian), còn tín hiệu ảnh f(x,y) là hai chiều nên phân tích đa phân giải wavelet áp dụng cho

ảnh phức tạp hơn rất nhiều

Hình 1: Phân tích wavelet đa phân giải 3 mức.

1.2 Giới thiệu một số họ Wavelet:

1.2.1 Biến đổi Wavelet Haar:

Biến đổi Haar Wavelet là biến đổi đơn giản nhất trong các phép biến đổi Wavelet Hình 2 cho thấy dạng của hàm ψ (t) với biến đổi Haar Do tính chất đơn giản của biến đổi Haar mà nó được ứng dụng tương đối nhiều trong nén ảnh, khi áp dụng biến đổi này để nén ảnh thì thuật toán nén ảnh trên máy tính có một số điểm khác với công thức toán học của biến đổi Haar

S

S = A1 + D1

= A2 + D2 + D1

= A3 + D3 + D2 + D1

1.2.2 Biến đổi Wavelet Meyer:

Yves Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến đổi Wavelet Phép biến đổi Wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi thông dụng, biến đổi này có khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar Dạng của hàm ψ (t) với biến đổi Meyer cho ở hình vẽ:

1.2.3 Biến đổi Wavelet Daubechies:

Giống như Meyer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao

to lớn trong việc nghiên cứu phát triển phép biến đổi Wavelet Biến đổi Daubechies là một trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong biến đổi Wavelet Họ biến đổi này được áp dụng hết sức rộng rãi, biến đổi Wavelet áp dụng trong JPEG2000 là một biến đổi trong họ biến đổi Wavelet Daubechies Dưới đây là một số hàm ψ (t) trong họ biến đổi Wavelet Daubechies

Hình 4: Hàm ψ (t) của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 7, 8

1.3 Tính chất của biến đổi wavelet:

Chúng ta đều biết rằng biến đổi Fuorier là một biến đổi đã và đang được áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác nhau Biến đổi Fuorier chuyển một hàm tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số

Sử dụng biến đổi Fuorier ta có thể biết được trong tín hiệu f(t) có các thành

phần tần số nào Tuy nhiên biến đổi Fourier có một nhược điểm cơ bản là với

một tín hiệu f(t) ta không thể biết được rằng tại một thời điểm t thì tín hiệu có

các thành phần tần số nào Một phép biến đổi tốt hơn biến đổi Fourier phải là phép biến đổi có đầy đủ tính năng của biến đổi Fourier và có khả năng xác

định xem tại một thời điểm t bất kỳ trong tín hiệu f(t) có thành phần tần số

nào Phép biến đổi wavelet ra đời đã khắc phục được các nhược điểm của biến đổi Fourier trong phân tích tín hiệu Biến đổi wavelet dù chỉ làm việc với các tín hiệu một chiều (liên tục hoặc rời rạc) nhưng sau khi biến đổi xong ta

thu được một hàm số hai biến hoặc một tập các cặp giá trị W(a,b) minh họa

W(a i ,b) tạo thành một cột (i=1,2, ,n) cho biết một thành phần tần số có

trong những thời điểm t nào và các giá trị W(a,b i ) tạo thành hàng cho biết tại

một thời điểm t của tín hiệu f(t) có các thành phần tần số nào

Tham số b trong biến đổi wavelet cho biết khoảng dịch của hàm wavelet mẹ và độ phân giải các tần số khác nhau của f(t) được minh họa bởi

hệ số tỷ lệ chính là a Biến đổi wavelet ngày càng được áp dụng rộng rãi đặc

biệt là trong xử lý tiếng nói, xử lý ảnh số Tín hiệu tiếng nói là một tín hiệu một chiều nhưng do đặc điểm của tiếng nói là tín hiệu không dừng nên việc

sử dụng Fuorier là không đủ để phân tích một cách đầy đủ các đặc trưng của tiếng nói Khác với tín hiệu tiếng nói, xử lý tín hiệu ảnh số là xử lý tín hiệu hai chiều và do đặc điểm của ảnh số là bao giờ cũng có tính định hướng và tính định vị Tính định hướng của một ảnh nghĩa là trong ảnh bao giờ cũng có một số ít các thành phần tần số nhưng các thành phần tần số này trải rộng trên toàn bộ không gian ảnh còn tính định vị của ảnh chính là tính chất biểu thị rằng tại một vùng của ảnh có thể có rất nhiều thành phần tần số Ảnh biểu thị tính định vị rõ nhất chính là ảnh có nhiều biên vùng phân tách rõ rệt, tại các đường biên bao giờ cũng có nhiều thành phần tần số khác nhau, còn hầu hết các ảnh có tông liên tục đều là những ảnh có tính định hướng

2 Ứng dụng biến đổi wavelet:

2.1 Nén tín hiệu:

Do đặc điểm của mình, wavelet đặc biệt tốt khi sử dụng để nén hay phân tích các tín hiệu không dừng; đặc biệt là tín hiệu ảnh số và các ứng dụng nén tiếng nói, nén dữ liệu Việc sử dụng các phép mã hóa băng con, băng lọc

số nhiều nhịp và biến đổi wavelet rời rạc tương ứng với loại tín hiệu cần phân tích có thể mang lại những hiệu quả rất rõ rệt trong nén tín hiệu Do tính chất chỉ tồn tại trong các khoảng thời gian rất ngắn (khi phân tích tín hiệu trong miền thời gian tần số) mà các hệ số của biến đổi wavelet có khả năng tập

tiết của biến đổi wavelet thường rất nhỏ và có thể bỏ qua mà không ảnh hưởng tới việc mã hóa dữ liệu (trong phương pháp mã hóa ảnh hay tiếng nói

là những tín hiệu cho phép mã hóa có tổn thất thông tin)

2.2 Khử nhiễu:

Tính chất của biến đổi wavelet mà chúng ta đã xét tới trong phần ứng dụng cho nén tín hiệu được mở rộng bởi Iain Johnstone và David Donohos trong các ứng dụng khử nhiễu cho tín hiệu Phương pháp khử nhiễu này được gọi là wavelet Shrinkage Denoising (WSD) Ý tưởng coe bản của WSD dựa trên việc tín hiệu nhiễu sẽ lộ rõ khi phân tích bằng biến đổi wavelet ở các hệ

số biến đổi bậc cao Việc áp dụng các ngưỡng loại bỏ tương ứng với các bậc cao hơn của hệ số wavelet sẽ có thể dễ dàng loại bỏ nhiễu trong tín hiệu

2.3 Mã hóa nguồn và mã hóa kênh:

Sở dĩ wavelet được ứng dụng trong mã hóa nguồn và mã hóa kênh vì trong mã hóa nguồn thì chúng ta cần khả năng nén với tỷ lệ nén cao còn trong

mã hóa kênh thì cần khả năng chống nhiễu tốt Biến đổi wavelet kết hợp với một số phương pháp mã hóa như mã hóa Huffman hay mã hóa số học có thể thực hiện được cả hai điều trên Vì thế việc sử dụng biến đổi wavelet trong

mã hóa nguồn và mã hóa kênh là rất thích hợp

2.4 Ứng dụng biến đổi wavelet trong xử lý ảnh:

2.4.1 Mô hình xử lý nhiễu cơ bản:

Mô hình nền tảng cho xử lý nhiễu cơ bản:

s (n)=f (n)+σee (n)(19)

trong đó:

e(n) là nhiễu trắng hay nhiễu không trắng dao động trong khoảng σe2

f(n) tín hiệu không có nhiễu.

Quy trình khử nhiễu tiến hành theo 3 bước:

Bước 1: Phân tách tín hiệu Chọn một wavelet thích hợp và chọn mức phân tách N Sử dụng DWT phân tích Tính các hệ số phân tách wavelet của tín hiệu ở mức N

Bước 2: Đặt ngưỡng toàn cục hay đặt ngưỡng cục bộ các hệ số chi tiết trên các mức, chọn một ngưỡng thích hợp cho kết quả thử tốt nhất

Bước 3: Tái tạo tín hiệu ban đầu Tính sự tái tạo wavelet dựa trên các

hệ số của xấp xỉ mức N và các hệ số chi tiết đã thay đổi từ mức 1 đến N

2.4.2 Phương pháp đặt ngưỡng tín hiệu:

2.4.2.1 Lý thuyết ngưỡng:

- Đặt ngưỡng cứng: đặt các giá trị về 0 các phần tử mà giá trị tuyệt đối thấp hơn ngưỡng

- Đặt ngưỡng mềm: đầu tiên thiết lập về 0 các giá trị tuyệt đối thấp hơn ngưỡng và sau đó hạ dần các hệ số khác về 0

- Phương pháp wavelet shrinkage là quá trình khử nhiễu hình ảnh phi tuyến để loại bỏ nhiễu bằng cách thu hẹp lại hệ số wavelet trong wavelet

Hình 5: Ngưỡng cứng, ngưỡng mềm và Shrinkage 2.4.2.2 Khử nhiễu không tuyến tính bằng phương pháp đặt ngưỡng cứng

và ngưỡng mềm:

- Chọn một wavelet thích hợp để biến đổi sử dụng DWT, mức phân ly N

x (t )=∑

jωt=1

K

∑

k=−∞

∞

d i(k)Ψ jωt , k (t )+∑

k=−∞

∞

a k (k ) ϕ K , k (t )(20)

η(d jωt(k ))={sign(d jωt (k )) ( |d jωt(k )|−T)

|d jωt(k )|>T

|d jωt(k )|≤T(21)

- Hệ số wavelet ngưỡng cứng:

η(d jωt(k ))={d jωt(k )

0 nếu

|d jωt(k )|>T

|d jωt(k)|≤ T(22)