Biến đổi wavelet và ứng dụng trong các thiết bi ghi sóng tim công nghệ mới

Biến đổi wavelet và ứng dụng trong các thiết bi ghi sóng tim công nghệ mới

BIếN Đổi WAVELET Và ứNG DụNG TRONG CáC THIếT Bi

GHI SóNG TIM CÔNG NGHệ Mới

(Xử lý tín hiệu trong đo lường)

Tóm tắt: Bài viết này giới thiệu phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của nó trong các thiết bị y tế

hiện đại, như máy đo nhịp tim, điện tim thông minh, máy theo dõi loạn nhịp và máy đặt nhịp có thể cấy ghép Chất lượng của chúng phụ thuộc chính vào hệ phân tích Hệ này chịu ảnh hưởng rất nhiều vào độ chính xác và độ tin cậy của phép tách phức hợp QRS, sóng P và T Biến đổi Wavelet có thể mô tả đặc trưng cục bộ của tín hiệu Tính chất đa thang của biến đổi Wavelet có thể nhận biết được phức hợp QRS từ các sóng P, T có biên độ cao, từ các hiện tượng giả, trôi đường đẳng trị và nhiễu

Do hiệu quả của kỹ thuật này trong phép xử lý các tín hiệu không dừng và do đặc tính bền vững với nhiễu, phép biến đổi Wavelet đã nổi lên như là một công cụ rất mạnh trong kỹ thuật phân tích tín hiệu điện tim

I ĐặT VấN Đề :

Điện tim (Electrocardiograph - ECG) là một thiết bị đo thuộc nhóm thiết bị ghi Vì vậy, cũng như

các thiết bị đo lường khác, hệ xử lý tín hiệu là cốt lõi và quyết định độ tin cậy, độ chính xác của thiết bị Với sự ra đời các loại vi mạch cỡ lớn (LSI) và cực lớn (VLSI) như m P, DSP hay vi mạch

hệ những Neural , cùng công nghệ phần mềm có giải bước đi nhảy vọt, chúng ta đã có khả nǎng được nhiều bài toán mà trước đây mới chỉ là những ý tưởng ở các thiết bị ghi sóng tim công nghệ mới, vấn đề cơ bản là tách chính xác các điểm đặc trưng như phức hợp QRS, sóng P

và T Một đặc thù của tín hiệu y sinh là chúng thường chìm trong môi trường nhiễu và các hiện tượng giả (artifact) Thông thường các bộ tách phức hợp QRS được thiết kế ở môi trường nhiễu vừa phải và nó phải chứa ít nhất một bộ lọc thông dải để loại bỏ các sóng P, T và nhiễu Sau đó tín hiệu được đẩy qua phép biến đổi không tuyến tính như đạo hàm, bình phương Cuối cùng

để làm rõ phức hợp QRS người ta phải dùng luật quyết định để xem phức hợp này có trong tín hiệu hay không

Kỹ thuật này bắt gặp một số trở ngại:

- Dải thông tín hiệu của phức hợp QRS là khác nhau đối với các đối tượng khác nhau, thậm chí đối với các nhịp khác nhau của cùng một đối tượng

- Dải thông của phức hợp QRS và nhiễu phủ đè lên nhau

- Hiện tượng giả và trôi đường đẳng trị là thường trực và đôi khi khá trầm trọng trong các tín hiệu điện tim

Nhờ tính đa thang (multiscale) của phép biến đổi Wavelet mà ta có thể khắc phục được những trở ngại trên Do hiệu quả của kỹ thuật này đối với phép xử lý tín hiệu không dừng và do tính bền vững với nhiễu mà phép biến đổi Wavelet đang nổi lên như là những công cụ rất mạnh trong kỹ thuật xử lý tín hiệu và giải các bài toán toán tử vi phân không gian

Không chỉ ở các nước phát triển mà ở một số nước đang phát triển gần chúng ta như Trung Quốc, Thái Lan, ấn Độ phép biến đổi Wavelet đang được nghiên cứu rất nghiêm túc

Trong khuôn khổ bài viết này, chúng tôi xin phép được giới thiệu những vấn đề cơ bản của phép biến đổi Wavelet và ứng dụng điển hình trong kỹ thuật tách các điểm đặc trưng của sóng điện tim

II Phép biến đổi wavelet :

Như ta đã biết, phổ nǎng lượng là một đặc trưng cho tín hiệu trong miền tần số Muốn đo hay tính toán nó ta thường dùng:

- Phép biến đổi Fourier

- Qua hàm tương quan

- và các bộ lọc

Mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng Để có hệ thống và dễ dàng tiếp cận phép biến đổi Wavelet, chúng ta hãy đi từ phép biến đổi Fourier

2.1 Phép biến đổi FOURIER :

Phép biên đổi Fourier (Fourier Transform - FT) được thể hiện bởi:

X (f) = e-2p jft dt ( 1 )

Định nghĩa này bao trùm toàn miền không gian Tần số f ở đây mang tính ý nghĩa toàn cục của tín hiệu, vì vậy nó được gọi là tần số toàn cục (global frequency) Bất kỳ một đột biến nào trong miền thời gian của tín hiệu x(t) được kéo theo và lan ra toàn trục tần số

Từ phép biến đổi Fourier của hàm x(t), chúng ta phải đánh giá các đột biến Nhưng những thông tin này lại không được sắp xếp để định vị trong trường không gian, vì vậy chúng ta gặp khó khǎn trong việc tìm vị trí của chúng Để giải quyết vấn đề này, người ta đưa khái niệm tần cố cục bộ

Transform - STFT)

2.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn :

2.2.1 Định nghĩa:

Để vẫn dùng được phép biến đổi Fourier cho việc định vị thông tin, tác giả GABOR xây dựng một phương pháp mới Ông dùng hàm cửa sổ không gian g(t) trong tích phân Fourier Hàm cửa sổ này được truyền tịnh tiến dọc theo trục không gian nhằm phủ toàn bộ tín hiệu ở vị trí t và tần số

f, phép biến đổi Fourier cửa sổ (hay còn gọi là phép biến đổi Fourier thời gian ngắn) được xác định như sau:

STFT (t ,f) = G(t-t ) e-2p jft dt (2)

Trong đó x(t) là tín hiệu được quan sát qua cửa sổ g(t) STFT đã đưa tín hiệu x(t) vào hàm 2 chiều trong mặt phẳng thời gian và tần số (t, f) Như vậy, tần số ở đây là tần số cục bộ

2.2.2 Phân tích tần số với Q thay đổi

Phép phân tích dùng STFT phụ thuộc trước hết vào việc chọn cửa sổ g(t) Dạng tổng quát của

nó thường là hàm chẵn, thực Nó có thể được coi như là đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp, và

để chuẩn hoá, nǎng lượng của g(t) được coi là bằng 1

|| g ||2 = | g(t) |2 dt = 1 (3)

Phổ nǎng lượng của FT g(t) tập trung ở tần số thấp (xem hình 1) Đường cong (a), (b) và (c) có các tần số khác nhau trong khoảng thời gian riêng Đường cong (a'), (b') và (c') có độ rộng dải giống nhau, nhưng khác nhau về vị trí trên trục tần số vì vậy phương pháp này mang tên "phân

tích tần số với Q thay đổi "

Như vậy để làm rõ biến thời gian của tần số, người ta đã đưa ra khái niệm cửa sổ Mục đích đầu tiên của cửa sổ là giới hạn sự lan truyền của tín hiệu cần khảo sát sao cho các đặc tính phổ là dừng trong toàn vùng cửa sổ Độ rộng dải D f lúc đó sẽ là:

2

| G(f) |2 df | G(f) |2 df

Mẫu số của biểu thức chính là nǎng lượng của g(t)

Về mặt tần số, ta chỉ phân biệt được hai tín hiệu khi chúng cách xa nhau một lượng

Hình 1 : Phân tích tần số bằng STFT

(a): Hàm cửa sổ g(t)

(b):Đồ thị g(t).cos (w ot)

(c): Đồ thị g(t).cos (2w ot)

(a’), (b’), (c’) biến đổi Fourier của (a), (b), (c)

D f Vậy độ phân giải tần số của STFT được đặc trưng bằng ngay D f

(Kỳ sau đǎng tiếp)

Tương tự ta cũng có chiều rộng thời gian D t :

2

.| g(t) |2 dt | g(t) |2 dt

Và ta cũng chỉ phân biệt được 2 xung trong miền thời gian khi chúng cách nhau một khoảng lớn hơn D t Như vậy độ phận giải thời gian và độ phân giải tần số không thể nhỏ tùy ý Theo hai tác giả O Rionl và M Vetterli thì:

D t D f ? p (6)

Nghĩa là ta có thể hy sinh độ phân giải thời gian vì độ phân giải tần số hoặc ngược lại, chứ không thể có được sự hoàn hảo cho cả hai Đây là một nhược điểm cơ bản của STFT

Để khắc phục nhược điểm này, tác giả Mallat đã đưa ra phương pháp phân tích trên cơ sở phép

giãn (dilation) và đưa đến một phép biến đổi mới đó là WAVELET TRANSFORM (WT) Phép

biến đổi này sẽ sử dụng Q không đổi, hay độ rộng dải tương đối không đổi

2.3 Biến đổi WAVELET (WAVELET TRANSFORM) :

2.3.1 Định nghĩa :

Mallat thực hiện WT bằng phép khai triển tín hiệu thành các hàm họ, chúng là các hàm tịnh tiến

và giãn của hàm đơn trị y (t) WT của hàm x(t) ở vị trí t và thang s được xác định bằng công thức sau:

Wx(s, t ) = x(t) * y s(t) = Y s(t-t ) dt (7)

[* là ký hiệu của tích chập]

Trong đó y s(t) là phép giãn của y (t) với hệ số s và được tính:

y s(t) = y ( ) (8)

Khi tín hiệu chứa các cấu trúc quan trọng, các cấu trúc này thuộc về các thang khác nhau, thì thông tin tín hiệu phải được tổ chức lại thành các tập thành phần chi tiết của kích cỡ thay đổi Bằng các phép giãn (dilations) và co (contractions) ta có thể nhận được những thành phần này

từ hàm mẫu y (t) Hàm y (t) có thể được coi như bộ lọc thông dải (band pass filter - BDF) và tiếp theo là đặc tính Q không đổi của các bộ BPF khác Bởi lẽ, trong WT, khái niệm thang được đưa vào như là phép luân phiên tần số dẫn đến việc biểu diễn thang thời gian Điều này có nghĩa là tín hiệu đã được biểu diễn trong mặt phẳng thời gian - thang (t - s)

2.3.2 Phân tích tần số với Q không đổi

Trái ngược với STFT có độ phân giải cố định trong miền tần số và không gian, còn độ phân giải của WT lại thay đổi theo thông số thang s WT tách tín hiệu thành tập dải tần có kích thước không đổi trên thang logarith (xem hình 2) Các đường cong a’, b’, c’ có độ rộng dải giống nhau trên thang logarith

Hình 2 : Phân tích tần số bằng WT

Điểm ngược nhau thứ 2 là STFT sử dụng cửa sổ phân tích đơn, còn WT sử dụng các cửa sổ bội theo những mục đích thích hợp: dùng cửa sổ hẹp ở tần số cao, cửa sổ rộng ở tần số thấp, nhằm đảm bảo là Q không đổi, hay độ rộng tương đối của bǎng không đổi

Để đảm bảo được điều kiện này, độ phân giải D f và D t (công thức 4 và 5) phải thay đổi trong

mặt phẳng tần số - thời gian để nhận được phép phân tích đa phân giải (Multiresolution) Độ phân giải thời gian trở nên tùy ý ở tần số cao trong khi đó độ phân giải tần số cũng tùy ý ở tần thấp Hay nói cách khác D f tỷ lệ với f :

= C = constant (h ằng số)

Điều này rất có ý nghĩa, bởi vì trong thực tế phần lớn tín hiệu là tổng hợp của các thành phần tần cao trong khoảng thời gian ngắn và các thành phần tần thấp trong khoảng thời gian dài Sóng điện tim là thí dụ điển hình về ý nghĩa này

III WT và kỹ thuật tách đỉnh sóng điện tim :

3.1 Cơ sở của kỹ thuật tách điểm đặc trưng :

Sóng điện tim bao gồm tập hợp các đỉnh đặc trưng, đó là : P, Q, R, S, T Việc xác định vị trí của các đỉnh này là vô cùng quan trọng WT được đánh giá là kỹ thuật thích hợp nhất, lý tưởng nhất trong việc phân tích các điểm đặc trưng của sóng ECG Giá trị cực đại modul cục bộ của WT cung cấp thông tin để phân tích các đặc trưng quan trọng của tín hiệu ECG Từ đó ta có thể phân biệt được các sóng ECG chìm trong nhiễu, tín hiệu giả và trôi đường đẳng trị

Hình 2 : Phân tích t ần số bằng WT

(a): Đồ thị wavelet y (t)

(b): Đồ thị của y s1 (t) với s1 >1

(c): Đồ thị của y s2(t) với s2>1

(a’), (b’), (c’) biến đổi Fourier của (a), (b), (c)

Tín hiệu ECG trước hết được làm trơn ở các thang khác nhau, sau đó các điểm đột biến được tách ra từ đường đạo hàm bậc 1 của chúng

Giả sử ta có q (x) là hàm làm trơn Hàm này phải có tích phân bằng 1 và hội tụ tại O ở vô cùng

Ta ký hiệu y (x) và y (x) là đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của hàm q (x) :

y (a) (x) dx = 0 (11)

và y (b) (x) dx = 0 (12)

Phép giãn hàm y (x) sẽ là :

WT được tính bởi phép nhân chập giữa tín hiệu và Wavelet đã được làm giãn WT của f(x) ở

(x) và y (b) (x) được xác định bởi :

Ws a f(x) = f(x) * y s (a) (x) (14)

và

Ws b f(x) = f(x) * y s (b) (x) (15)

Hai hàm trên chính là đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của tín hiệu đã được làm trơn ở thang s

f*q s(x), nghĩa là chúng tương ứng với các điểm đột biến của sóng điện tim (xem hình 3)

Hình 3 : Quan h ệ giữa các biến thiên tín hiệu và WT của nó

Điểm uốn của f * q (x) có thể là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của giá trị tuyệt đối đạo hàm bậc 1 Giá trị cực đại là các điểm đột biến của f * q (x), còn giá trị cực tiểu tương ứng với những biến đổi chậm Với toán tử đạo hàm bậc 2 sẽ khó phân biệt được hai loại cắt O này Cần nói thêm rằng, các điểm cắt O cho chúng ta về thông tin vị trí, nhưng không phân biệt được các dao động biên

độ nhỏ từ các điểm gián đoạn quan trọng

hiện đạo hàm ở các điểm uốn Các giá trị này rất cần thiết cho các luật ra quyết định các thông

số quan trọng của sóng điện tim

3.2 Phát triển thuật toán :

Hàm Gaussian được chọn làm hàm làm trơn q (x) Đạo hàm bậc 1 của nó chính là Wavelet WT

định nghĩa bằng tích chập sau :

W 2 j f(x) = f(x) * Y 2 j (x) (16)

Trong đó : Y 2 j

f(2 j , w ) = (2 j ,w ) * (w ) (17)

là thang lớn nhất Vậy hàm f (x) sẽ được xác định bởi :

Từ (18) ta có :

S2 j f(x) = f(x) * F 2 j (x) (22)

Trong đó: F 2 j

(x) = F 2 j (x/2 j )

f(x) và Ws j f(x)

sẽ là:

2 j f(w ) = (2 j w ) (w ) (24)

2

j

f(w ) = (2 j w ) (w ) (25)

ứng dụng định lý Parseval ta có:

ù ù 1 f(x) ù ù 2 = ù W2 j f(x)ù 2 +ù S2 j f(x)ù 2

(26)

Trong thực tế, tín hiệu cần xử lý thường đã được rời rạc hoá Bất kỳ tín hiệu rời rạc có nǎng lượng hữu hạn nào đều có thể biểu diễn bằng phép lấy mẫu đơn trị của cùng một hàm đã được làm trơn với thang s = 1

Giả sử D = dn , nẻ z là tín hiệu rời rạc có nǎng lượng hữu hạn :

ù dnù 2 < + (27)

(Chú ý : Đây chính là điều kiện tồn tại phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc Có thể tham

khảo thêm ở 3 tập (1), (2), (3)

Lúc này tồn tại một hàm f(x) với bất kỳ n là nguyên để :

S1f(n) = dn

D = (S1f(n) với n ẻ z (28)

Từ (26) ta có thuật toán sau :

2

j

j-1 f(n-2 j-1 k) (29)

W2 j f(n) = gk 2 j-1 f(n-2 j-1 k) (30) Trong đó:

2

j là toán tử đơn

1

j f(n) = dn là tín hiệu cần xử lý ở đây là tín hiệu tim

W2 j f(x) là biến đổi Walelet của f(x)

hk với k ẻ z là các hệ số của bộ lọc thông thấp H(w )

gk với k ẻ z là các hệ số của bộ lọc thông cao G(w )

Nghĩa là:

Khi Wavelet là dạng lưỡi toàn phương có trụ bền vứng và 1 mômen tắt, thì biến đổi Fourier rời rạc của Y (x):

(w ) = iw ( ) (33)

và

H(w ) = e iw /2 (cos ) 3 (34)

G(w ) = 4 i e iw /2 (sin ) (35)

Ta hãy khảo sát kỹ hơn bộ lọc tương đương này

3.2.2.Bộ lọc tương đương của Wavelet

Biến đổi Fourier rời rạc của WT được tính như sau:

2

j

f(w ) = (w ) (2 j w ) =

Trong đó: F là hàm trơn

G(w ) với j = 1

Q j (w ) = G(2w ) H(w ) j = 2 (37)

G(2 j-1w ) H(2 j-1w ) H(w ) j >2

Bỏ qua các bước tính toán ta có kết quả từ (34), (35) và (37):

q j 1-2 j-1 +k = - q j 2 j +2 j-1 -2 - k ạ 0

k ẻ [ 1- 2 j-1

, 2 j + 2 j-1 - 2 ]

Finite Impulse Response), có pha tuyến tính tổng quát Nó cũng là bộ lọc phản đối xứng và có độ

Hình 4 : Quan h ệ giữa các điểm đặc trưng của các sóng mô phỏng và WT của chúng ở các thang khác nhau

Hình 4 cho chúng ta thấy rằng : tuỳ theo dạng lưỡi toàn phương của Wavelet, các sóng đơn pha

khác nhau Sườn lên của sóng tương ứng với cực tiểu âm, và sườn xuống tương ứng với cực đại dương Các mođun của các cực đại, cực tiểu được gọi là đường cực đại môđun

Nếu sóng đơn pha đối xứng qua đỉnh của nó (Hình 1(a)), thì đỉnh của nó tương ứng với điểm cắt

- 1

1,2.; 5, theo tốc độ lấy mẫu 250/s như hình 5

Hình 5 : Đáp ứng biên tần của bộ lọc tương đương Q j (w ) ở các thang khác nhau

Đến đây, ta đã có đủ những cơ sở để xây dựng phương pháp tách điểm đặc trưng cho sóng điện tim

Để tách đỉnh R, WT được tính với các thang đặc trưng Sau đó khử các đường cực đại môđun dư

và cô lập Xác định ngưỡng để tách đỉnh R Ngưỡng này giúp ta khử được các đường cực đại môđun tương ứng với sóng P, T Để cải thiện chất lượng phép tách đỉnh, chúng ta phải sử dụng thêm một số kỹ thuật khác nữa Trình tự tách sóng R như sau

* Chọn thang đặc trưng

cao của tín hiệu Ngược lại, ở thang lớn nó phản ảnh các tần thấp Và từ phổ nǎng lượng của tín

dần Qua nhiều thí nghiệm, Tiến sĩ Cuiwei Li và các cộng sự (đều là người Trung Quốc) rút ra

sẽ tǎng Ngoài ra nếu chọn quá nhiều thang thì khối lượng tính toán lại càng nhiễu Vì vậy các

nhà khoa học đang nghiên cứu về Wavelet trong y sinh nhanh chóng tiếp nhận

* Khử đường cực đại môđun cô lập

Như trên chúng ta đã biết, đỉnh R tương ứng với cặp đại dương - tiểu âm của WT ở các thang khác nhau Trong khi đó hiện tượng giả chỉ có sườn lên hoặc xuống trong một thời gian nhất định, và tương ứng với một cực đại môđun của WT Ta gọi đường này là đường cực đại môđun

cô lập

Dải tần của hiện tượng giả thường phủ lấp cả phức hợp QRS Các bộ lọc thông dải thường qui không thể loại bỏ được nó Với WT chúng ta có thể khử được đường cực đại môđun cô lập và như vậy các hiện tượng giả cũng được loại trừ

* Khử đường cực đai môđun dư

, và cực tiểu âm xuất hiện trước cực đại dương Khi có thứ tự ngược lại, nghĩa là cực đại dương xuất hiện trước cục tiểu âm thì đã tồn tại đường cực đại môđun dư Ta phải loại bỏ nó