Nén ảnh sử dụng biến đổi wavelet và ứng dụng trong các dịch vụ dữ liệu đa phương tiện di động

Nén ảnh sử dụng biến đổi wavelet và ứng dụng trong các dịch vụ dữ liệu đa phương tiện di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NÉN ẢNH SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI WAVELET VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC DỊCH VỤ DỮ LIỆU ĐA

MỤC LỤC

CÁC HÌNH VẼ, BẢNG BIỂU TRONG LUẬN VĂN 5

THUẬT NGỮ TIẾNG ANH 7

LỜI GIỚI THIỆU 8

2.1 Giới thiệu chung về nén ảnh số 11

2.2 Phân loại các kỹ thuật nén 13

2.2.1 Nén tổn hao và không tổn hao 13

2.2.2 Mã hoá dự đoán và mã hoá dựa trên phép biến đổi 13

2.2.3 Mã hoá băng con 14

2.3 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hoá ảnh 14

2.4.Các kỹ thuật nén có tổn hao 15

2.4.1 Kỹ thuật mã hoá băng con 15

2.4.2 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi 19

2.4.2.1 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi DCT 19

2.4.2.2 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi DWT 25

CHƯƠNG 3:CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIẾN ĐỔI WAVELET 30

3.1 Cơ sở toán học 30

3.1.1 Biến đổi Wavelet liên tục 30

3.1.2 Biến đổi Wavelet rời rạc 32

3.2 Tính chất của biến đổi Wavelet 33

3.3 Giới thiệu một số họ Wavelet 37

3.3.1 Biến đổi Wavelet Haar 37

3.3.2 Biến đổi Wavelet Meyer 38

3.3.3 Biến đổi Wavelet Daubechies 38

3.4 Một số ứng dụng nổi bật của Wavelet 39

3.4.1 Nén tín hiệu 39

3.4.2 Khử nhiễu 40

3.4.3 Mã hoá nguồn và mã hoá kênh 40

CHƯƠNG 4:CHUẨN NÉN ẢNH TĨNH DỰA TRÊN BIẾN ĐỔI WAVELET – JPEG2000 41

4.1 Lịch sử ra đời và phát triển chuẩn JPEG2000 41

4.2 Các tính năng của JPEG2000 41

4.3 Các bước thực hiện nén ảnh theo chuẩn JPEG2000 42

4.3.1 Xử lý trước biến đổi 42

4.3.2 Biến đổi liên thành phần 42

4.3.3 Biến đổi riêng thành phần (biến đổi Wavelet) 43

4.3.4.Lượng tử hoá - Giải lượng tử hoá 44

4.3.5 Mã hoá và kết hợp dòng dữ liệu sau mã hoá 45

4.3.6 Phương pháp mã hoá SPIHT 45

4.3.7 Phương pháp mã hoá EZW 47

4.4 So sánh chuẩn JPEG2000 với JPEG và các chuẩn nén ảnh tĩnh khác 49

CHƯƠNG 5:ỨNG DỤNG WAVELET TRONG CÁC DỊCH VỤ DỮ LIỆU ĐA PHƯƠNG TIỆN TRONG THÔNG TIN DI ĐỘNG 54

5.1 Nén ảnh bằng Wavelet 54

5.2.1 Sơ đồ khối tổng quát 54

5.1.2 Biến đổi Wavelet 55

5.1.3 Tính toán năng lượng tiêu hao 56

5.2 Thuật toán nén ảnh bằng Wavelet hiệu năng - EEW 58

5.2.1 Hiệu năng của các kỹ thuật loại bỏ 60

5.3.2 Các kết quả thực nghiệm 625.3.2.1 Ảnh hưởng đến năng lượng tính toán và chất lượng ảnh 62

5.3.2.2 Ảnh hưởng đến năng lượng truyền thông và chất lượng

5.4 Các tham số nén ảnh bằng Wavelet 62

5.4.1 Thay đổi mức biến đổi Wavelet 62

5.4.2 Thay đổi các mức lượng tử 62

5.5 Truyền ảnh trên mạng 62

5.5.1 Phương pháp lựa chọn tham số động 62

5.5.2 Kết quả thực nghiệm 62

KẾT LUẬN 63

Kết quả đạt được và ứng dụng của luận văn 63

Hướng phát triển nghiên cứu 63

PHỤ LỤC 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

CÁC HÌNH VẼ, BẢNG BIỂU TRONG LUẬN VĂN

Hình 2.1 Sơ đồ bộ khái quát hệ thống nén ảnh 12

Hình 2.2 Sơ đồ minh hoạ kỹ thuật mã hoá băng con – M băng con 16

Hình 2.3 Minh hoạ quá trình phân ly băng con cây bát phân 17

Hình 2.4 Phân ly hai ảnh mẫu thành bốn băng con 18

Hình 2.5 Sơ đồ bộ mã hoá theo chuẩn JPEG 23

Hình 2.6 Sắp xếp Zigzag các hệ số DCT ở bộ mã hoá 23

Hình 2.7 Sơ đồ khối bộ giải mã theo chuẩn JPEG 23

Hình 2.8 Bank lọc khôi phục lý thuyết sử dụng DWT 1D 28

Hình 2.9 Minh hoạ DWT hai chiều cho ảnh 28

Hình 2.10(a) Minh hoạ DWT kiểu dyadic mức 3 để nén ảnh 28

Hình 2.10(b) Minh hoạ DWT kiểu dyadic mức 3 để nén ảnh 29

Hình 3.1 Minh hoạ lưới nhị tố dyadic với các giá trị của m và n 33

Hình 3.2 Phân tích đa phân giải áp dụng cho biểu diễn tín hiệu 36

Hình 3.3 Hàm ψ( )t của biến đổi Haar 38

Hình 3.4: Hàm ψ( )t của biến đổi Meyer 38

Hình 3.5 Hàm ψ( )t của họ biến đổi Daubechies n với n=2, 3, 7, 8 39

Hình 4.1: Trình tự mã hoá (a) và giải mã JPEG2000 (b) 42

Hình 4.2: Minh hoạ ảnh với RGB và YCrCb 43

Hình 4.3: Phương pháp Lifting 1D dùng tính toán biến đổi Wavelet 44

Hình 4.4: Minh hoạ cây tứ phân (a) và sự phân mức (b) 47

Hình 4.5: Hai cách sắp xếp thứ tự các hệ số biến đổi 48

Hình 4.6: So sánh JPEG và JPEG2000 50

Bảng 4.1: So sánh JPEG và JPEG2000 51

Hình 4.7: Minh hoạ tính năng ROI 52

Bảng 4.2: So sánh tính năng của JPEG2000 với các chuẩn nén ảnh tĩnh khác 53

Hình 5.1 Sơ đồ khối quá trình nén ảnh bằng Wavelet 54

Hình 5.2 (a) Biến đổi Wavelet 2D mức 3 và (b) Minh hoạ bằng ảnh

THUẬT NGỮ TIẾNG ANH

CWT Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform)

DCT Biến đổi Cosine rời rạc (Discrete Cosine Transform)

DFT Biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform)

DPCM Điều xung mã vi sai (Differized Pulse Code Modulation)

DWT Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform)

EZW Wavelet cây zero (Embedded Zerotree Wavelet)

HVS Hệ thống cảm nhận hình ảnh của mắt người

(Human Visual System)

IDWT Biến đổi Wavelet rời rạc ngược

JPEG Chuẩn nén ảnh của ủy ban JPEG quốc tế

(Joint Photographic Experts Group)

JPEG2000 Chuẩn nén ảnh JPEG2000

Lossless Compression Kỹ thuật nén ảnh không tổn hao (không mất dữ liệu) Lossy Compression Kỹ thuật nén ảnh có tổn hao (có mất dữ liệu)

MRA Phân tích đa phân giải (Multi Resolution Analysis)

MSE Sai số bình phương trung bình (Mean Square Error)

PCM Điều xung mã (Pulse Code Modulation)

PSNR Tỷ số tín hiệu đỉnh trên nhiễu (Peak Signal to Noise Ratio)

QMF Lọc gương cầu tứ phương (Quardrature Mirror Filters)

RLC Mã hoá loạt dài (Run Length Coding)

ROI Kỹ thuật mã hóa ảnh theo vùng (Region Of Interest) – Một

tính năng mới nổi bật của JPEG2000 SPIHT Phương pháp mã hoá phân cấp theo vùng

(Set partitioning in hierarchical trees)

STFT Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transform)

Wavelet Biến đổi băng con Wavelet Wavelet Decomposition

Tree

Cây phân giải Wavelet

LỜI GIỚI THIỆU

Trong những năm gần đây, nhu cầu các dịch vụ dữ liệu trên mạng di động, nhất là dữ liệu đa phương tiện là rất lớn Cùng với nhu cầu đó, vấn đề đặt ra là làm thế nào tìm được một kỹ thuật mã hoá dữ liệu then chốt (chuẩn), có hiệu quả để truyền các dữ liệu này trên mạng di động

Mục đích của luận văn là trình bầy một kỹ thuật nén ảnh sử dụng

biến đổi Wavelet cho ảnh tĩnh và đặc biệt là ảnh tĩnh trong các dịch vụ dữ

liệu đa phương tiện trong mạng di động So với các kỹ thuật nén sử dụng

phép biến đổi trước đây như biến đổi Fourier (FT), biến đổi cosine rời rạc

(DCT), biến đổi xếp chồng (LT), , biến đổi Wavelet (DWT) có nhiều ưu

điểm không chỉ trong xử lý ảnh mà còn nhiều ứng dụng khác Bằng

chứng là sự ra đời của chuẩn nén JPEG2000 (dựa trên DWT) có tính năng vượt trội so với JPEG (DCT) Tuy nhiên chuẩn JPEG, MPEG hay ngay cả JPEG2000 cũng chỉ tập trung vào hiệu quả nén (tỉ số nén) và chất

lượng ảnh mà không chú ý đến năng lượng tiêu hao trong quá trình xử lý và truyền trên mạng Trong luận văn đã trình bầy một kỹ thuật nén ảnh

trong mạng di động sử dụng biến đổi Wavelet hiệu năng không chỉ đem

lại hiệu quả nén, chất lượng hình ảnh mà còn tiết kiệm năng lượng xử lý của hệ thống Điều này hứa hẹn có thể xây dựng một bộ mã hoá ảnh tiết kiệm năng lượng xử lý, thời gian truyền mà vẫn phù hợp với điều kiện băng thông thấp, ràng buộc về chất lượng dữ liệu trong các mạng thông tin di động

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1.1 Cơ sở nghiên cứu và mục đích của luận văn

Để có thể sử dụng các dịch vụ Internet không dây cũng như nhiều dịch vụ dữ liệu khác trên nền các ứng dụng di động cần có một kỹ thuật then chốt để có thể hỗ trợ truyền thông nhiều dạng dữ liệu trong thông tin di động tế bào như: thoại, văn bản, hình ảnh và video Tuy nhiên vấn đề truyền thông nội dung đa phương tiện trong thông tin di động gặp một số

khó khăn: băng thông của mạng di động tế bào, nhiễu kênh, giới hạn của

pin cho các ứng dụng, tính tương thích dữ liệu giữa các thuê bao Trong

khi việc cải thiện băng thông di động cần một công nghệ mới của tương lai còn việc cải thiện giới hạn của pin không đáp ứng được sự phát triển của các dịch vụ tương lai, thì phương pháp giảm kích thước dữ liệu bằng các kỹ thuật nén là một cách tiếp cận hiệu quả giải quyết các khó khăn trên

Mặc dù cho đến nay có rất nhiều kỹ thuật nén dữ liệu đa phương

tiện như: chuẩn JPEG (dựa trên biến đổi DCT), chuẩn JPEG2000 (dựa trên biến đổi Wavelet) và chuẩn MPEG, tuy nhiên những kỹ thuật này chỉ

tập trung vào hiệu quả nén và cố gắng đánh mất chất lượng ảnh ít vì thế

chúng bỏ qua vấn đề tiêu hao năng lượng trong quá trình nén và truyền

RF (trong thông tin động) Luận văn này trình bầy một kỹ thuật hiệu quả để khắc phục những khó khăn trên cho loại dữ liệu đa phương tiện điển hình trong thông tin di động là ảnh tĩnh Đó là kỹ thuật nén ảnh sử dụng

biến đổi Wavelet thích nghi và hiệu năng cho dữ liệu đa phương tiện

trong thông tin di động

1.2 Tổ chức luận văn

Luận văn được trình bầy thành 5 chương và 1 phụ lục Chương 1, tác giả trình bày tóm tắt cơ sở nghiên cứu và mục đích cũng như tổ chức của luận văn

Chương 2 trình bầy khái quát các kỹ thuật nén ảnh, phân loại các nguyên lý nén và định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng rộng rãi như

MSE, PSNR và SNR Chương này cũng trình bầy cơ sở lý thuyết của các

nguyên lý nén có tổn hao điển hình như: mã hoá băng con; mã hoá dựa

trên biến đổi cosine rời rạc (DCT), biến đổi xếp chồng (LT), biến đổi

Wavelet rời rạc (DWT)

Chương 3 trình bầy cơ sở toán học, tính chất của biến đổi Wavelet Nội dung của chương này là lý thuết nền tảng cho các ứng dụng Wavelet Chương này cũng đưa ra một số họ Wavelet phổ biến và giới thiệu một số ứng dụng nổi bật của Wavelet ngoài ứng dụng để nén ảnh

Chương 4 giới thiệu tổng quan về chuẩn nén JPEG2000 dựa trên biến đổi Wavelet Mục đích không chỉ là giới thiệu một chuẩn nén vượt trội so với chuẩn JPEG dựa trên biến đổi DCT mà còn đưa ra một lựa chọn giải quyết bài toán đặt ra trong luận văn JPEG2000 đang từng bước

được tổ chức ISO công nhận nên chắc chắn sẽ trở thành một chuẩn nén phổ biến trong các ứng dụng di động tương lai Cũng trong chương này,

tác giả trình bầy tóm tắt các bước thực hiện nén ảnh theo JPEG200 và so sánh nó với chuẩn JPEG và các chuẩn nén ảnh tĩnh khác

Chương 5 cũng là chương quan trọng nhất Dựa trên kỹ thuật nén

ảnh bằng Wavelet, luận văn đưa ra một thuật toán biến đổi ảnh bằng

Wavelet hiệu năng làm giảm đáng kể năng lượng tính toán và truyền

thông cần thiết cho ảnh mà vẫn đảm bảo được chất lượng bức ảnh (và như vậy giảm được giá thành dịch vụ)

CHƯƠNG 2:TỔNG QUAN CÁC KỸ THUẬT NÉN TRONG MÃ HOÁ ẢNH

2.1 Giới thiệu chung về nén ảnh số

Nén ảnh số là một đề tài nghiên cứu rất phổ biến trong lĩnh vực xử lý dữ liệu đa phương tiện Mục đích là làm thế nào để lưu trữ bức ảnh dưới dạng có kích thước nhỏ hơn hay dưới dạng biểu diễn mà chỉ yêu cầu số bít mã hoá ít hơn so với bức ảnh gốc Nén ảnh thực hiện được là do một thực tế: thông tin trong bức ảnh không phải là ngẫu nhiên mà có trật tự, có tổ chức Vì thế nếu bóc tách được tính trật tự, cấu trúc đó thì sẽ biết được phần thông tin nào quan trọng nhất trong bức ảnh để biểu diễn và truyền đi với số lượng bít ít hơn so với ảnh gốc mà vẫn đảm bảo tính đầy đủ thông tin Ở phía thu, quá trình giải mã sẽ tổ chức, sắp xếp lại được bức ảnh xấp xỉ gần chính xác so với ảnh gốc nhưng vẫn thoả mãn chất lượng yêu cầu, đảm bảo đủ thông tin cần thiết

Tóm lại, tín hiệu ảnh, video hay audio đều có thể nén lại bởi chúng có những tính chất như sau:

• Có sự tương quan (dư thừa) thông tin về không gian: Trong phạm vi một bức ảnh hay một khung video tồn tại sự tương quan đáng kể (dư thừa) giữa các điểm ảnh lân cận

• Có sự tương quan (dư thừa) thông tin về phổ: Các dữ liệu thu được từ các bộ cảm biến của thiết bị thu nhận ảnh tồn tại sự tương quan đáng kể giữa các mẫu thu, đây chính là sự tương quan về phổ • Có sự tương quan (dư thừa) thông tin về thời gian: Trong một

chuỗi ảnh video, tồn tại sự tương quan giữa các điểm ảnh của các

khung video (frame)

Sơ đồ của một hệ thống nén dữ liệu tổng quát như sau:

Hình 2.1 Sơ đồ bộ khái quát hệ thống nén ảnh

Trong hình 2.1, bộ mã hoá dữ liệu thực hiện quá trình nén bằng cách giảm kích thước dữ liệu ảnh gốc đến một mức phù hợp với việc lưu trữ và truyền dẫn trên kênh Tốc độ bít đầu ra của bộ mã hoá được tính là số bít cho một mẫu (điểm ảnh) Bộ mã hoá kênh thực hiện việc chuyển đổi luồng bít đã được nén thành dạng tín hiệu phù hợp cả cho việc lưu trữ

và truyền dẫn, thường bộ mã hoá kênh sử dụng các kỹ thuật: mã hoá có

độ dài thay đổi – RLC (Run Length Coding)[4], mã hoá Huffman[4], mã hoá số học [4] Bộ giải mã thực hiện quá trình ngược lại so với bộ mã

hoá

Trong các hệ thống nén, tỉ số nén chính là tham số quan trọng đánh giá khả năng nén của hệ thống, công thức được tính như sau:

Tỉ số nén = Kích thước dữ liệu gốc / Kích thước dữ liệu nén

Đối với ảnh tĩnh, kích thước chính là số bít để biểu diễn toàn bộ bức ảnh Đối với ảnh video, kích thước chính là số bít để biểu diễn một khung

hình video (video frame)

2.2 Phân loại các kỹ thuật nén

Các kỹ thuật nén chủ yếu được phân loại như sau:

2.2.1 Nén tổn hao và không tổn hao

Trong các kỹ thuật nén không tổn hao (losses compression), ảnh khôi

phục giống hoàn toàn so với ảnh gốc Tuy nhiên, nén không tổn hao chỉ

đạt được hiệu quả nén rất nhỏ Trái lại, các kỹ thuật nén có tổn hao (lossy

compression) có thể đạt được hiệu quả nén cao hơn rất nhiều mà ở điều

kiện cảm nhận hình ảnh thông thường sự mất mát thông tin không cảm nhận được và vì thế vẫn đảm bảo chất lượng ảnh Một số kỹ thuật nén có

tổn hao gồm: điều xung mã vi sai – DPCM, điều xung mã – PCM, lượng tử hoá véctơ – VQ, mã hoá biến đổi và băng con Ảnh khôi phục trong hệ

thống nén có tổn hao luôn có sự suy giảm thông tin so với ảnh gốc bởi vì: phương pháp nén này đã loại bỏ những thông tin dư thừa không cần thiết

2.2.2 Mã hoá dự đoán và mã hoá dựa trên phép biến đổi

Đối với mã hoá dự đoán (predictive coding) các giá trị mang thông tin đã

được gửi hay đang sẵn có sẽ được sử dụng để dự đoán các giá trị khác, và chỉ mã hoá sự sai lệch giữa chúng Phương pháp này đơn giản và rất phù

hợp với việc khai thác các đặc tính cục bộ của bức ảnh Kỹ thuật DPCM

chính là một ví dụ điển hình của phương pháp này Trong khi đó, mã hoá

dựa trên phép biến đổi (transform based coding) thì lại thực hiện như sau:

trước tiên thực hiện phép biến đổi với ảnh để chuyển sự biểu diễn ảnh từ miền không gian sang một miền biểu diễn khác Các phép biến đổi

thường dùng là: DCT - biến đổi Cosine rời rạc, DWT - biến đổi Wavelet rời rạc, LT - biến đổi trồng (lapped) , tiếp đó thực hiện mã hoá đối với các

hệ sộ biến đổi Phương pháp này có hiệu suất nén cao hơn rất nhiều so với phương pháp nén dự đoán bởi vì chính các phép biến đổi (sử dụng các thuộc tính nén năng lượng của mình) đã gói gọn toàn bộ năng lượng bức ảnh chỉ bằng một số ít các hệ số, số lớn các hệ số còn lại ít có ý nghĩa hơn sẽ bị loại bỏ sau khi lượng tử hoá và như vậy lượng dữ liệu phải

truyền nhỏ đi rất nhiều Trong phương pháp mã hoá dự đoán, sai lệch giữa ảnh gốc và ảnh dự đoán vẫn có ý nghĩa (còn sử dụng ở bước tiếp theo) sau khi lượng tử hoá, chính điều này làm cho phương pháp mã hoá dự đoán có nhiều dữ liệu được truyền đi hơn so với phương pháp mã hoá biến đổi

2.2.3 Mã hoá băng con

Bản chất của kỹ thuật mã hoá băng con (subband coding) là chia băng tần của tín hiệu (ảnh) thành nhiều băng con (subband) Để mã hoá cho mỗi

băng con, chúng ta sử dụng một bộ mã hoá và một tốc độ bít tương ứng với tính chất thống kê của băng con

2.3 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hoá ảnh

Để đánh giá chất lượng của bức ảnh (hay khung ảnh video) ở đầu ra của bộ mã hoá, người ta thường sử dụng hai tham số: Sai số bình

phương trung bình – MSE (mean square error) và tỉ số tín hiệu trên nhiễu đỉnh – PSNR (peak to signal to noise ratio) MSE thường được gọi

là phương sai lượng tử - 2

σ (quantization error variance) MSE giữa ảnh

gốc và ảnh khôi phục được tính như sau:

Trong đó tổng lấy theo j, k tính cho tổng tất cả các điểm ảnh trong ảnh và

N là số điểm ảnh trong ảnh Còn PSNR giữa hai ảnh (b bít cho mỗi điểm

ảnh, RMSE là căn bậc 2 của MSE) đước tính theo công thức dB như sau:

12log20 10

Thông thường, nếu PSNR ≥ 40dB thì hệ thống mắt người gần như không

phân biệt được giữa ảnh gốc và ảnh khôi phục

Một tham số khác hay sử dụng trong các hệ thông viễn thông đó là tỉ số

tín hiệu trên nhiễu - SNR , tuy vậy SNR sử dụng cho một hệ thống né ảnh cũng có công thức dB như sau:

Trong phần này, tác giả lựa chọn trình bày hai kỹ thuật nén tổn hao

cho nén ảnh tĩnh và ảnh động đó là: mã hoá băng con (subband coding) và mã hoá sử dụng phép biến đổi (transform coding) Đây là hai kỹ thuật

nén điển hình và cho hiểu quả nén cũng như chất lượng ảnh cao

2.4.1 Kỹ thuật mã hoá băng con

Tư tưởng chính của kỹ thuật mã hoá băng con là: các ảnh được lấy mẫu ở đầu vào được phân ly thành các băng tần khác nhau (gọi là các tín hiệu băng con) Yêu cầu của kỹ thuật này là làm thế nào các băng con không bị chồng chéo lên nhau Để có thể phân ly tín hiệu ở bộ mã hoá

(encoder) thành các băng con, ảnh được cho qua một bank lọc (filter bank) gọi là bank lọc phân tích và mỗi đầu ra của bank lọc băng con được

lấy mẫu xuống hệ số 2 Các đầu ra băng con tần số được lẫy mẫu xuống

sẽ lần lượt được: lượng tử hoá độc lập bằng các bộ lọc vô hướng khác

nhau, mã hoá entropy, lưu trữ và truyền đi Ở phía bộ giải mã (decoder),

quá trình được thực hiện ngược lại: giải lượng tử băng con tần số, lấy mẫu lên với hệ số 2, cho đi qua bank lọc băng con tổng hợp rồi cộng tất cả các đầu ra của bộ lọc để khôi phục lại ảnh

Các bộ lọc băng con thường được thiết kế xấp xỉ thoả mãn tiêu chuẩn của các đáp ứng tần số không chồng chéo Mục đích là để giải tương quan các hệ số tần số kết quả Đây chính là tính chất quan trọng mà quá trình lọc băng con cố gắng đạt được Các bộ lọc băng con được thiết kế để là các xấp xỉ với các bộ lọc chọn tần số lý tưởng, trong đó đáp ứng tổng hợp từ tất cả các bộ lọc bao trùm tất cả băng tần của ảnh Tuy nhiên trong thực tế, sự tương quan tổng không bao giờ đạt được do những bộ lọc này chỉ xấp xỉ với các bộ lọc lý tưởng

Hình 2.2 dưới đây là sơ đồ tổng quát giải thích kỹ thuật mã hoá băng con

Hình 2.2 Sơ đồ minh hoạ kỹ thuật mã hoá băng con – M băng con

Các bộ lọc sử dụng trong mã hoá băng con là các bộ lọc gương tứ

phương – QMF (quardrature mirror filters), do vậy chúng ta chỉ cần

thiết kế các bộ lọc thông thấp có đáp ứng H(ω) còn đáp ứng của các bộ

lọc thông cao là H(ω+π) chỉ là sự dịch pha 180o so với bộ lọc thông thấp Sự chính xác của bộ lọc phụ thuộc vào số các hệ số của bộ lọc

Một trong các phương pháp mã hoá băng con đó là áp dụng sự phân ly cây bát phân để phân ly dữ liệu ảnh thành các băng tần khác nhau Ý tưởng của phương pháp này là: trước tiên lọc và lược bỏ ảnh để phân ly ảnh thành các băng con tần số cao và thấp, sau đó tiếp tục phân ly nhưng chỉ áp dụng cho băng con tần số thấp để tạo thành các băng con tần số cao và thấp để tiếp tục lược bỏ Kỹ thuật này rất phổ biến và cũng được

áp dụng trong các bộ mã sử dụng biến đổi Wavelet Đầu ra của các băng

con sau khi đã giản lược sẽ được lượng tử hoá và mã hoá độc lập Mỗi băng con sẽ sử dụng bộ lượng tử hoá riêng và mỗi bộ lượng tử hoá này có tốc độ lấy mẫu riêng (bít/mẫu)

Như vậy rõ ràng mã hoá băng con không đạt được sự nén, mà nó chỉ thực hiện việc giải tương quan dữ ảnh gốc và tập trung năng lượng của ảnh vào một số băng con Nén chỉ đạt được là do sự lược bỏ ảnh

(decimation) và do sự lượng tử hoá (quantization)

Hình 2.3 Minh hoạ quá trình phân ly băng con cây bát phân

Trong các hệ thống mã hoá băng con hai chiều thực tế, người ta chia miền tần số - không gian hai chiều của ảnh gốc thành các băng khác nhau ở bất kỳ mức nào

Hình 2.4 dưới đây minh hoạ việc phân ly 2 ảnh mẫu thành 4 băng con LL,

HL, LH và HH ở mức đầu tiên

Hình 2.4 Phân ly hai ảnh mẫu thành bốn băng con

Nhược điểm của kỹ thuật mã hoá băng con:

Một trong những vấn để chủ yếu của kỹ thuật mã hoá băng con đó là giải quyết bài toán cấp phát bít (là số bít cấp cho mỗi băng con) để đạt được hiệu suất cao nhất Một trong những cách thực hiện là sử dụng ý tưởng cấp phát bít tối ưu cho mỗi đầu ra băng con đã được lượng tử hoá Tuy nhiên cách này chủ yếu thích hợp cho trường hợp tốc độ cao (≥1bít/mẫu)

Trước khi đi vào nghiên cứu kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi, chúng ta sẽ tổng kết một số nhược điểm của kỹ thuật mã hoá băng con như sau:

Kỹ thuật mã hoá băng con không xác định được hệ thống mã hoá tối ưu cho các ứng dụng tốc độ bít thấp

Việc cấp phát bít tối ưu sẽ thay đổi khi tốc độ bít tổng thay đổi, điều này làm quá trình mã hoá phải lặp lại hoàn toàn cho mỗi tốc độ bít xác định

Không hoàn toàn giải tương quan cho tất cả các băng tần, đấy là do các bộ lọc không phải là lý tưởng và có sự chồng chéo nhỏ giữa các băng tần liền kề Do vậy luôn luôn tồn tại một sự tương quan nhỏ giữa các băng tần kề nhau và dữ liệu sẽ không được nén hoàn toàn

Kỹ thuật mã hoá băng con không hiệu quả khi thực hiện bù chuyển động trong video vì rất khó để thực hiện đánh giá chuyển động ở các băng con (sai số dự đoán là rất lớn)

2.4.2 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi

Một phép biến đổi là một hàm toán học được sử dụng để biến đổi một tập các giá trị này thành một tập giá trị khác và tạo ra một cách biểu diễn mới cho cùng một nguồn tin Tất cả các phép biến đổi mà chúng ta

định trình bầy dưới đây đều là không tổn hao (lossless); với sự chính xác

của các phép toán số học thì các phép biến đổi vẫn bảo tồn được độ chính xác ở bất kỳ mức độ nào Nhưng hầu hết các kỹ thuật mã hoá đều có tổn hao ở bước lượng tử hoá do có sự làm tròn giá trị cho các hệ số phép biến đổi

Phần này chúng ta sẽ trình bầy các kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi được sử dụng trong nén ảnh

(a) Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi cosine rời rạc – DCT (b) Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi chồng – LT

(c) Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi DWT 2.4.2.1 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi DCT

Phép biến đổi cosine rời rạc – DCT (Discrete Cosine Transform)

biến đổi thông tin ảnh từ miền không gian sang miền tần số để có thể biểu

diễn dưới dạng gọn hơn Tính chất của nó tương tự như biến đổi Fourier,

coi ảnh đầu vào (tín hiệu audio hoặc video) là các tín hiệu ổn định bất

biến theo thời gian Để hiểu rõ kỹ thuật này trước hết ta cần tìm hiểu biến

đổi Fourier

Biến đổi Fourier – FT

Biến đổi Fourier – FT (Fourier Transform) là một phép biến đổi

thuận nghịch, nó cho phép sự chuyển đổi thuận – nghịch giữa thông tin gốc (miền không gian hoặc thời gian) và tín hiệu được xử lý (được biến đổi) Tuy nhiên ở một thời điểm bất kỳ chỉ tồn tại một miền thông tin được thể hiện Nghĩa là tín hiệu trong miền không gian không có sự xuất

hiện thông tin về tần số và tín hiệu sau biến đổi Fourier không có sự xuất

hiện thông tin về thời gian

FT cho biết thông tin tần số của tín hiệu, cho biết những tần số nào

có trong tín hiệu, tuy nhiên nó không cho biết tần số đó xuất hiện khi nào

trong tín hiệu Nếu như tín hiệu là ổn định (stationary – có các thành

phần tần số không thay đổi theo thời gian) thì việc xác định các thành phần tần số xuất hiện khi nào trong tín hiệu là không cần thiết

Phép biến đổi FT thuận và nghịch được định nghĩa như sau:

X(f) = ∫∞

− dtet

x()2jπft (2.4)

x(t) = ∫∞

X()2jπft (2.5)

Phép biến đổi FT cũng có thể được áp dụng cho tín hiệu không ổn định

(non-stationary) nếu như chúng ta chỉ quan tâm đến thành phần phổ nào

có trong tín hiệu mà không quan tâm đến nó xuất hiện khi nào trong tín hiệu Tuy nhiên, nếu thông tin về thời gian xuất hiện của phổ trong tín

hiệu là cần thiết, thì phép biến đổi FT không có khả năng đáp ứng được

yêu cầu này, đây cũng là hạn chế của phép biến đổi này

Để có biến đổi Fourier rời rạc –DFT (Discrete Fourier Transform) thì ở phép tích phân trong biểu thức toán học của biến đổi FT, ta thay bằng

phép tổng và tính toán nó với các mẫu hữu hạn

Hệ số phép biến đổi DFT thứ k của một chuỗi gồm N mẫu {x(n)} được

định nghĩa:

X(k) = ∑−

x , k=0,………., N-1 (2.6)

Trong đó WN = e−j2Π/N= cos (2π/N) – j sin (2π/N), còn chuỗi {x(n)} có thể

khôi phục bằng DFT ngược như sau:

X , n=0,………., N-1 (2.7)

Định nghĩa và các tính chất của biến đổi DCT

Biến đổi DCT thuận và ngược một chiều gồm N mẫu được định nghĩa

c π , n= 0,1,………,N-1 (2.9)

Trong đó ck =

Cả DCT và IDCT đều là biến đổi trực giao, tách biệt và thực Tính chất phân tách (separable) ở đây nghĩa là biến đổi nhiều chiều của nó có thể

phân tách thành các biến đổi một chiều Tính chất trực giao ở đây nghĩa

là nếu các ma trận của DCT và IDCT là không bất thường (non-singular)

và thực thì biến đổi ngược của chúng có thể đạt được bằng cách áp dụng

toán tử hoán vị Cũng như biến đổi FT, DCT cũng coi dữ liệu đầu vào là

tín hiệu ổn định (bất biến)

Trong các chuẩn nén ảnh tĩnh vào video, người ta thường sử dụng DCT và IDCT có kích thước 8 mẫu Bức ảnh hoặc khung ảnh video kích thước

NxN được chia thành các khối không chồng chéo nhau hai chiều gọi là

các ảnh con kích thước 8x8 rồi áp dụng biến đổi DCT hai chiều ở bộ mã hoá và áp dụng biến đổi IDCT ở bộ giải mã

Biến đổi DCT và IDCT 8 mẫu tạo thành các ma trận 8x8 theo công thức:

2-D DCT = Xk,l =

Trong đó m,n = 0,1,……… ,7 và c(k),c(l)=

22 lk

Thuật toán để tính 2-D DCT và IDCT là: thực hiện phép biến đổi 1-D lần

lượt cho hàng rồi đến cột của ma trận

So sánh DCT và KLT

Hiệu quả của biến đổi DCT trong việc giải tương quan tín hiệu ảnh tương

đương với biến đổi Karhunen-Loeve (KLT) KLT là phép biến đổi theo

khối tối ưu nhất cho nén dữ liệu ở khía cạnh thống kê bởi: nó có thể giải tương quan một cách tối ưu tín hiệu ảnh trong miền phép biến đổi (bằng cách tập trung hầu hết thông tin ảnh vào một số hệ số của phép biến đổi)

và so với các phép biến đổi khác nó có thể tối thiểu hoá MSE giữa ảnh

khôi phục và ảnh gốc

Nén và giải nén ảnh dựa theo phép biến đổi DCT trong JPEG

JPEG là chuẩn nén số quốc tế đầu tiên cho các ảnh tĩnh có tông

màu liên tục gồm cả ảnh đơn sắc và ảnh màu Trong kỹ thuật này các

khối ảnh kích thước 8x8 được áp dụng để thực hiện DCT, sau đó lượng tử

hoá các hệ số rồi mã hoá entropy sau lượng tử

Đối với những ảnh màu RGB, để áp dụng kỹ thuật nén này, trước hết phải chuyển sang chế độ màu YUV (Y là thành phần chói, U và V là 2

thành phần màu) Thành phần độ chói là ảnh đơn sắc xám Hai thành phần màu còn lại chứa thông tin về màu Việc mã hoá và giải mã ảnh

trong JPEG ở được thực hiện cho thành phần chói rồi màu Sơ đồ khối bộ mã hoá và giải mã của JPEG như sau:

Hình 2.5 Sơ đồ bộ mã hoá theo chuẩn JPEG

Hình 2.6 Sắp xếp Zigzag các hệ số DCT ở bộ mã hoá

Hình 2.7 Sơ đồ khối bộ giải mã theo chuẩn JPEG

Quá trình xử lý thành phần độ chói ở phía mã hoá được giải thích như sau:

(a) Ảnh gốc được chia thành các khối ảnh (block) nhỏ kích thước 8x8

không chồng chéo lên nhau Tiếp theo, giá trị của mỗi điểm ảnh ở

mỗi khỗi khối ảnh sẽ được trừ đi 128 Lý do là do giá trị các điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 (được mã hoá bởi 8 bít không dấu), áp dụng biến đổi DCT sẽ tạo ra các hệ số AC có dải giá trị từ -1023 đến +1023 (có thể được mã hoá bởi 11 bít có dấu) Nhưng hệ số DC lại có giải giá trị từ 0 đến 2040 (được mã hoá bởi 11 bít không dấu) và cần cách xử lý khác ở phần cứng hoặc phần mềm so với các hệ số AC Chính vì thế việc trừ giá trị mỗi điểm ảnh đi 128 là để sau khi biến đổi DCT cả các hệ số DC và AC có cùng dải giá trị thuận lợi cho việc xử lý và biểu diễn

(b) Ở mỗi khối ảnh hai chiều kích thước 8x8, áp dụng biến đổi DCT để tạo ra mảng hai chiều các hệ số biến đổi Hệ số có tương ứng với tần số không gian thấp nhất nhưng lại có giá trị lớn nhất được gọi là hệ số DC (một chiều), nó tỉ lệ với độ chói trung bình của cả khối ảnh 8x8 Các hệ số còn lại gọi là các hệ số AC (xoay chiều) Theo lý thuyết, biến đổi DCT không đem lại sự mất mát thông tin ảnh, mà đơn giản nó chỉ chuyển thông tin ảnh sang miền không gian mới thuật lợi hơn cho mã hoá ở bước tiếp theo

(c) Mảng hai chiều các hệ số biến đổi được lượng tử hoá sử dụng bộ lượng tử hóa tỉ lệ đồng nhất Nghĩa là các hệ số sẽ được lượng tử hoá riêng lẻ và độc lập Quá trình lượng tử hoá là dựa trên sinh lý của hệ thống mắt người: cảm nhận hình ảnh có độ nhậy kém hơn ở các hệ số tần số cao và có độ nhậy tốt hơn ở các hệ số có tần số thấp Vì thế các hệ số được chọn sao cho thực hiện lượng tử hoá thô đối với các hệ số tần số cao và lượng tử hoá tinh đối với các hệ số có tần số thấp Bảng lượng tử hoá được lấy tỉ lệ để tạo ra các mức nén thay đổi tuỳ theo tốc độ bít và chất lượng ảnh Việc lượng tử hoá sẽ tạo ra rất nhiều giá trị 0, đặc biệt là ở tần số cao Quá trình làm tròn trong khi lượng tử hoá chính là nguyên nhân chính gây ra sự tổn hao nhưng lại là nhân tố chính đem lại hiệu suất nén

(d) Để tận dụng ưu điểm của các hệ số đã được lượng tử có giá trị gần bằng 0, mảng hai chiều các hệ số đã được lượng tử sẽ được sắp xếp theo hình Zigzag tạo thành mảng một chiều Cách sắp xếp này cho phép giảm thiểu năng lượng tổn hao trung bình và tạo ra dãy các giá trị bằng 0 liên tiếp Cũng theo cách sắp xếp này, các hệ số DC được tách khỏi các hệ số AC và sử dụng kỹ thuật mã hoá điều xung mã vi sai – DPCM

(e) Bước cuối cùng của bộ mã hoá là sử dụng mã hoá entropy chẳng hạn mã hoá Huffman cho các AC và DC (sau khi đã mã hoá DPCM) để tăng thêm hiệu quả nén cũng như giảm thiểu lỗi

Ở phía giải mã, luồng bít mã hoá được giải mã entropy, sau đó mảng hai chiều các hệ số DCT đã được lượng tử hoá được giải sắp xếp Zigzag và giải lượng tử Mảng hai chiều các hệ số DCT kết quả sẽ được biến đổi IDCT rồi cộng mỗi giá trị với 128 để xấp xỉ tạo thành các khối ảnh con kích thước 8x8 Chú ý là bảng lượng tử hoá và mã hoá entropy ở cá phía mã hoá và giải mã là đồng nhất

Hai thành phần màu cũng được mã hoá tương tự như thành phần chói ngoại trừ khác biệt là chúng được lấy mẫu xuống hệ số 2 hoặc 4 ở cả chiều ngang và dọc trước khi biến đổi DCT Ở phía giải mã , thành phần màu sẽ được nội suy thành kích thước gốc

2.4.2.2 Kỹ thuật mã hoá dựa trên phép biến đổi DWT

Mối quan hệ giữa biến đổi Wavelet và Fourier

Không giống như biến đổi Fourier chỉ thích hợp khi phân tích những tín hiệu ổn định (stationary),Wavelet là phép biến đổi được sử dụng để phân tích các tín hiệu không ổn định (non-stationary) – là những tín hiệu có

đáp ứng tần số thay đổi theo thời gian

Để khắc phục những hạn chế của biến đổi FT, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn – STFT được đề xuất Chỉ có một sự khác biệt nhỏ giữa STFT và FT: Trong biến đổi STFT, tín hiệu được chia thành các khoảng nhỏ và

trong khoảng đó tín hiệu được giả định là tín hiệu ổn định Để thực hiện

kỹ thuật này cần chọn một hàm cửa sổ w sao cho độ dài của cửa sổ đúng bằng các khoảng tín hiệu phân chia Với phép biến đổi STFT, chúng ta có

thể thu được đáp ứng tần số - thời gian của tín hiệu đồng thời mà với

phép biến đổi FT ta không thực hiện được

Biến đổi STFT đối với tín hiệu liên tục thực được định nghĩa như sau:

X(f,t) = ∞∫

Trong đó độ dài thời gian của cửa sổ là (t-τ), chúng ta có thể dịch chuyển

vị trí của cửa sổ bằng cách thay đổi giá trị t và để thu được các đáp ứng

tần số khác nhau của đoạn tín hiệu ta thay đổi giá trị τ

Giải thích biến đổi STFT bằng nguyên lý bất định Heissenber, nguyên lý này phát biểu là: Không thể biết được chính xác được biểu diễn thời gian

- tần số của một tín hiệu (hay không thể biết các thành phần phổ của tín hiệu ở một thời điểm nhất định) Cái mà ta có thể biết là trong một

khoảng thời gian nhất định tín hiệu có những băng tần nào Đây được gọi là bài toán phân giải Vấn đề này liên quan đến độ rộng của hàm cửa sổ mà chúng ta sử dụng Nếu hàm cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải càng tốt hơn và giả định tín hiệu là ổn định càng có độ chính xác nhưng độ phân giải tần số lại kém đi Ta có các hệ quả sau:

Cửa sổ hẹp -> phân giải thời gian tốt, phân giải tần số kém Cửa sổ rộng -> phân giải tần số tốt, phân giải thời gian kém

Trên cơ sở cách tiếp cận biến đổi STFT, biến đổi Wavelet được phát triển

để giải quyết vấn đề về độ phân giải tín hiệu (miền thời gian hoặc tần số)

mà STFT vẫn còn hạn chế Biến đổi Wavelet được thực hiện theo cách: tín hiệu được nhân với hàm Wavelet (tương tự như nhân với hàm cửa sổ trong biến đổi STFT), rồi thực hiện biến đổi riêng rẽ cho các khoảng tín

hiệu khác nhau trong miền thời gian tại các tần số khác nhau Cách tiếp

cận như vậy còn được gọi là: phân tích đa phân giải – MRA (Multi

Resolution Analysis): phân tích tín hiệu ở các tần số khác nhau và cho các độ phân giải khác nhau

MRA khi phân tích tín hiệu cho phép: phân giải thời gian tốt và phân giải tần số kém ở các tần số cao; phân giải tần số tốt và phân giải thời gian kém ở các tần số thấp Như vậy kỹ thuật này rất thích hợp với những tín

hiệu: có các thành phần tần số cao xuất hiện trong khoảng thời gian ngắn, các thành phần tần số thấp xuất hiện trong khoảng thời gian dài chẳng hạn như ảnh và khung ảnh video

Cơ sở toán học cũng như các tính chất của biến đổi Wavelet liên tục sẽ

được trình bầy chi tiết trong chương 3

Biến đổi Wavelet rời rạc – DWT

Bước này có thể hiểu phép biến đổi DWT như là áp dụng một tập các bộ

lọc: thông cao và thông thấp Thiết kế các bộ lọc này tương đương như kỹ

thuật mã hoá băng con (subband coding) nghĩa là: chỉ cần thiết kế các bộ

lọc thông thấp, còn các bộ lọc thông cao chính là các bộ lọc thông thấp

dịch pha đi một góc 180o Tuy nhiên khác với mã hoá băng con, các bộ

lọc trong DWT được thiết kế phải có đáp ứng phổ phẳng, trơn và trực

giao

Hình 2.11 dưới đây minh hoạ dạng tổng quát của biến đổi DWT một

chiều Theo đó tín hiệu được cho đi qua các bộ lọc thông cao và thông

thấp H và G rồi được lấy mẫu xuống (down sampling) hệ số 2 tạo thành biến đổi DWT mức 1 Biến đổi ngược thì thực hiện ngược lại: lấy mẫu lên

(up sampling) hệ số 2 rồi sử dụng các bộ lọc khôi phục H’, G’ (lý tưởng

là H’ và G’ chính là H, G)

Hình 2.8 Bank lọc khôi phục lý thuyết sử dụng DWT 1D

Từ biến đổi DWT một chiều có thể mở rộng định nghĩa biến đổi DWT hai chiều theo cách: Sử dụng các bộ lọc riêng biệt, thực hiện biến đổi DWT

một chiều dữ liệu vào (ảnh) theo hàng rồi thực hiện theo cột Theo cách

này nếu thực hiện biến đổi DWT ở mức 1, sẽ tạo ra 4 nhóm hệ số biến đổi Quá trình biến đổi DWT hai chiều có thể minh hoạ như hình 2.12 dưới đây, trong đó 4 nhóm hệ số là: LL, HL, LH, HH (chữ cái đầu tiên

tương ứng đã thực hiện lọc theo hàng, chữ cái thứ hai tương ứng đã thực hiện lọc theo cột)

Hình 2.9 Minh hoạ DWT hai chiều cho ảnh

Hình 2.10(a) Minh hoạ DWT kiểu dyadic mức 3 để nén ảnh

Hình 2.10(b) Minh hoạ DWT kiểu dyadic mức 3 để nén ảnh

Hai thuật toán nén sử dụng DWT điển hình

So với biến phép biến đổi DCT sử dụng trong chuẩn nén JPEG ra đời 1992, nén ảnh dựa trên biến đổi DWT đã có những cải tiến đáng kể Tuy nhiên cải tiến mang tính đột phá sử dụng DWT để nén ảnh bắt đầu là kỹ thuật mã hoá – EZW (embedded zero-tree wavelet)

Thuật toán EZW dựa trên khả năng khai thác các thuộc tính đa phân giải của biến đổi Wavelet để đưa ra một thuật toán ít phức tạp trong

tính toán mà vẫn cho hiệu quả nén cao Những cải tiến và nâng cấp của

EZW về sau đã ra đời một số thuật toán tương tự như: SPIHT (set partitationing in hierarchical tree – cây phân cấp phân tập) và ZTE (zero-tree entropy coding – mã hoá entropy cây zero)

Gần đây còn có thêm một thuật toán nữa được đề xuất đó là LS

(lifting scheme) sử dụng để tạo các biến đổi Wavelet số nguyên Kỹ thuật

này sử dụng các bộ lọc Wavelet trực giao đem lại hiệu quả rất cao cho các

ứng dụng nén ảnh có tổn hao Chúng ta sẽ trình bầy 3 thuật toán điển mình này ở chương 3

CHƯƠNG 3:CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIẾN ĐỔI WAVELET

3.1 Cơ sở toán học

3.1.1 Biến đổi Wavelet liên tục

Biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT)

của một hàm f t( ) được bắt đầu từ một hàm Wavelet mẹ (mother

Wavelet) ψ( )t Hàm Wavelet mẹ ψ( )t có thể là bất kỳ một hàm số thực hoặc phức liên tục nào thoả mãn các tính chất sau đây:

Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm ψ( )t là bằng 0 Tức là:

( )t dt 0

< ∞

Điều kiện (3.2) có nghĩa là hàm ψ( )t phải là một hàm bình phương khả tích nghĩa là hàm ψ( )t thuộc không gian L R2( ) các hàm bình phương khả tích

Sau khi hàm Wavelet ψ( )t được lựa chọn, biến đổi Wavelet liên tục

của một hàm bình phương khả tích f t( ) được tính theo công thức:

( ), ( ) 1* t b

aa ψ

Biến đổi này là một hàm của hai tham số thực a và b Dấu * ký hiệu là

liên hiệp phức của ψ( )t Nếu chúng ta định nghĩa một hàm ψa b, ( )t theo biểu thức:

aa

⎝ ⎠ (3.7) điều đó cho thấy rằng a là tham số tỷ lệ

Khi a>1 thì hàm Wavelet sẽ được trải rộng còn khi 0< <a 1 thì

hàm sẽ được co lại Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa phép biến đổi ngược của biến đổi Wavelet liên tục Gọi Ψ( )ω là biến đổi Fourier của ψ( )t :

Biến đổi CWT chỉ tồn tại nếu C dương và hữu hạn Do đó C được

gọi là điều kiện tồn tại của biến đổi Wavelet Cùng với hai điều kiện đã

nêu ở trên, đây là điều kiện thứ 3 mà một hàm cần phải thoả mãn để có

thể được lựa chọn làm hàm Wavelet Chúng ta có thể xem biến đổi CWT

như là một ma trận hai chiều các kết quả của phép tính tích vô hướng giữa hai hàm f t( ) và ψa b, ( )t Các hàng của ma trận tương ứng với các giá

trị của a và các cột tương ứng với các giá trị của b do cách tính biến đổi

Wavelet theo tích vô hướng đã trình bày ở trên:

3.1.2 Biến đổi Wavelet rời rạc

Việc tính toán các hệ số Wavelet tại tất cả các tỉ lệ là một công việc

hết sức phức tạp Nếu tính toán như vậy sẽ tạo ra một lượng dữ liệu khổng lồ Để giảm thiểu công việc tính toán người ta chỉ chọn ra một tập nhỏ các giá trị tỉ lệ và các vị trí để tiến hành tính toán Hơn nữa nếu việc tính toán được tiến hành tại các tỷ lệ và các vị trí trên cơ sở luỹ thừa cơ số

2 thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơn rất nhiều Quá trình

chọn các tỷ lệ và các vị trí để tính toán như trên tạo thành lưới nhị tố

(dyadic) Một phân tích như trên hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) Do đó, việc tính toán biến đổi DWT thực chất là sự rời rạc hoá biến đổi Wavelet liên tục (CWT); việc rời rạc hoá được thực hiện với sự lựa chọn các hệ số a và b như sau:

Shift nm = -2

m = -1

m = 0

m = 1

m = 2

Hình 3.1 Minh hoạ lưới nhị tố dyadic với các giá trị của m và n

3.2 Tính chất của biến đổi Wavelet

Tất cả chúng ta đều biết rằng biến đổi Fourier là một biến đổi đã

và đang được áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật

khác nhau Biến đổi Fourier chuyển một hàm tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Sử dụng biến đổi Fourier ta có thể biết được trong tín

hiệu f t( ) có các thành phần tần số nào Tuy nhiên biến đổi Fourier có

một nhược điểm cơ bản là với một tín hiệu f t( ) ta không thể biết được rằng tại một thời điểm t thì tín hiệu có các thành phần tần số nào Một

phép biến đổi tốt hơn biến đổi Fourier phải là phép biến đổi có đầy đủ tính năng của biến đổi Fourier và có khả năng xác định xem tại một thời

điểm t bất kỳ trong tín hiệu f t( ) có thành phần tần số nào Phép biến đổi

Wavelet ra đời đã khắc phục được các nhược điểm của biến đổi Fourier

trong phân tích tín hiệu Biến đổi Wavelet dù chỉ làm việc với các tín hiệu

một chiều (liên tục hoặc rời rạc) nhưng sau khi biến đổi xong ta thu được một hàm số hai biến hoặc một tập các cặp giá trị W a b( ), minh họa các thành phần tần số khác nhau của tín hiệu xảy ra tại thời điểm t Các giá trị W a b( i, ) tạo thành một cột (i=1, 2, , n) cho biết một thành phần tần số

có trong những thời điểm t nào và các giá trị W a b( , i) tạo thành hàng cho biết tại một thời điểm t của tín hiệu f t( ) có các thành phần tần số nào Được nghiên cứu từ trước những năm 80 của thế kỷ trước và cũng đã