Lý thuyết đồ thị với bài toán đồng dư và chia hết

Lời mở đầuBài toán chia hết một trong những bài toán khó và rất lý thú của số học.Giải quyết bài toán này có nhiều cách, ngoài những phương pháp cơ bản đãbiết còn một phương pháp mới để

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI THỊ BÍCH PHƯƠNG

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI BÀI TOÁN ĐỒNG DƯ VÀ CHIA HẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI THỊ BÍCH PHƯƠNG

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI BÀI TOÁN ĐỒNG DƯ VÀ CHIA HẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TS ĐẶNG HUY RUẬN

HÀ NỘI - 2016

Mục lục

1.1 Một số tính chất và quan hệ của số nguyên 2

1.1.1 Định nghĩa phép chia hết 3

1.1.2 Một số định lý về chia hết 3

1.1.3 Phép chia có dư 4

1.1.4 Số nguyên tố 4

1.1.5 Các số nguyên tố cùng nhau 5

1.1.6 Ước chung lớn nhất 5

1.1.7 Bội số chung nhỏ nhất 6

1.2 Quan hệ đồng dư 7

1.2.1 Khái niệm quan hệ đồng dư 7

1.2.2 Tính chất của quan hệ đồng dư 8

1.2.3 Định lý Fermat nhỏ 9

1.2.4 Định lý Euler 9

1.2.5 Các lớp đồng dư 9

1.3 Một số phương pháp giải bài toán chia hết 10

1.3.1 Phương pháp chia có dư 10

1.3.2 Phương pháp đồng dư 11

1.3.3 Phương pháp quy nạp 12

1.3.4 Phương pháp tiêu chuẩn chia hết 15

1.3.5 Phương pháp vận dụng định lý 22

1.4 Một số vấn đề về lý thuyết đồ thị 23

1.4.1 Khái niệm đồ thị 23

1.4.2 Đa đồ thị có hướng 25

1.4.3 Đa đồ thị được gắn nhãn 25

1.4.4 Nguồn 26

1.4.5 Phương pháp đồ thị 30Chương 2 Lý thuyết đồ thị với bài toán đồng dư và chia hết 322.1 Các thuật toán xây dựng nguồn đồng dư 322.1.1 Thuật toán xây dựng nguồn đồng dư theo một môđul 322.1.2 Thuật toán xây dựng nguồn đồng dư có nhiều tính chất 392.2 Một số bài toán đồng dư và chia hết 46

Lời mở đầu

Bài toán chia hết một trong những bài toán khó và rất lý thú của số học.Giải quyết bài toán này có nhiều cách, ngoài những phương pháp cơ bản đãbiết còn một phương pháp mới để xác định tính chia hết cho các số Đó làphương pháp dùng đồ thị có gán nhãn Đây là phương pháp hay và có thể ứngdụng rộng rãi trong giải quyết các bài toán thi học sinh giỏi, Olympic, Vì lý

do đó, tôi lựa chọn đề tài “Lý thuyết đồ thị với bài toán đồng dư và chia hết ”làm luận văn thạc sĩ của mình

Trong luận văn này, tôi xin trình bày một số nét cơ bản về phương phápdùng đồ thị có gán nhãn Phần đầu xin trình bày một số lý thuyết cơ sở Phầnsau tôi xin trình bày ứng dụng của nguồn đồng dư giải một số bài toán.Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, bố cục của luận vănbao gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương 2: Lý thuyết đồ thị với bài toán đồng dư và chia hết

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên luậnvăn có thể vẫn còn nhiều khiếm khuyết, mong được thầy GS TSKH ĐặngHuy Ruận và các bạn góp ý

Hà Nội, ngày 06 tháng 12 năm 2016

Học viên

Bùi Thị Bích Phương

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở

Tập hợp số nguyên ký hiệu là Z Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, } Trongtập hợp Z ta luôn thực hiện được phép cộng và phép trừ, tức là

• Với ∀m, n ∈ Z thì tổng m + n ∈ Z

• ∀m, n ∈ Z, ∃!x thỏa mãn phương trình n + x = m x được gọi là hiệu quảhai số m và n đồng thời ký hiệu bằng m − n là một số nguyên Hiệu củahai số nguyên bất kỳ cũng là một số nguyên

Trong tập hợp Z ta cũng luôn thực hiện được phép nhân, nghĩa là ∀m, n ∈ Zthì tích m × n ∈ Z Tuy nhiên, phép chia (là phép tính ngược của phép nhân)không phải khi nào cũng thực hiện được trong tập hợp các số nguyên Kết quảphép chia số a cho số b 6= 0 là số x được ký hiệu bằng a : b hoặc a

b thỏa mãnphương trình bx = a Số x tồn tại và duy nhất Song kết quả của phép chiamột số nguyên cho một số nguyên khác 0 không phải khi nào cũng là một sốnguyên Thí dụ, các thương 2 : 3, 7 : 12, (−1) : 2 hay (−30) : (−35) không phải

là các số nguyên Điều đó có nghĩa là phép chia không phải luôn luôn thực hiệnđược trong tập hợp các số nguyên Thương của phép chia số nguyên a cho sốnguyên b khác 0 có thể không thuộc tập hợp các số nguyên, còn chính trongtập hợp các số nguyên không tìm được một số nào đó để ta có thể gọi là thươngcủa phép chia a cho b Tất nhiên ta cũng gặp các trường hợp thương của phépchia một số nguyên cho một số nguyên khác 0 cũng là một số nguyên, chẳnghạn:

2 : 1 = 2, 9 : (−3) = −3, (−15) : 3 = −5

1.1.3 Phép chia có dư

Định nghĩa 1.1.3.1 Giả sử a, b là hai số nguyên, b > 0 Ta nói rằng số a chiacho số b có thương là q và số dư là r, nếu a có thể biểu diễn bằng đẳng thức

a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b

Định lý 1.1.3.2 Giả sử a là số nguyên tùy ý, b là số tự nhiên bất kỳ Khi đó

có thể chọn được các số nguyên q, r sao cho 0 ≤ r < b và a = bq + r Các số q

và r xác định theo điều kiện trên là duy nhất

Định nghĩa 1.1.3.3 Số b được gọi là ước số hay ước của số a, nếu a b Khi

b là số tự nhiên nó còn được gọi là ước số tự nhiên hay ước tự nhiên của số a.1.1.4 Số nguyên tố

a Định nghĩa

Số tự nhiên p > 1 được gọi là số nguyên tố, nếu ngoài 1 và p nó không cómột ước tự nhiên nào khác

Số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn 2 ước tự nhiên được gọi là hợp số

Số 1 chỉ có đúng một ước số tự nhiên Số 1 không phải là số nguyên tố, cũngkhông phải là hợp số

Trong 30 số tự nhiên đầu tiên có 10 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.Định lý 1.1.4.1 Nếu số tự nhiên a lớn hơn 1 và không chia hết cho các sốnguyên tố bé hơn √

a, thì a là số nguyên tố

Thuật toán xác định tính nguyên tố

Giả sử a là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 1, để các định a là số nguyên tố haykhông nhờ vào Định lý 1.1.4.1 ta chỉ cần xét các số nguyên tố lớn hơn 1 và nhỏhơn √

a Nếu a không chia hết cho bất kỳ số nào trong các số này, thì a là sốnguyên tố Ngược lại, a chia hết cho ít nhất một trong các số này thì a là hợpsố

b Sự vô tận của tập hợp các số nguyên tố

Định lý 1.1.4.2 Tập hợp các số nguyên tố là vô tận

c Phân tích thừa số nguyên tố

Định nghĩa 1.1.4.3 Mỗi dạng biểu diễn số n thành tích của các lũy thừa sốnguyên tố

1.1.5 Các số nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa 1.1.5.1 Hai số a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau và viết(a, b) = 1, nếu chúng chỉ có ước chung duy nhất, đó là số 1

Ví dụ: 5 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau

Định lý 1.1.5.2 Hai số a và b nguyên tố cùng nhau, thì tồn tại x0, y0 ∈ Z để

Định nghĩa 1.1.6.2 Ước chung d của hai số a và b được gọi là ƯSCLN của

a và b nếu và chỉ nếu d là bội chung của mọi ước chung của a và b Ký hiệu:

Định lý 1.1.6.3 Giả sử a, b ∈ Z, một trong hai số này khác 0 và d = (a, b)

là ƯSCLN Khi đó, tồn tại các số nguyên x0, y0 để ax0 + by0 = d

Định lý 1.1.6.4 Giả sử a, b là hai số nguyên, trong đó có ít nhất một số khác

0 và d = (a, b) là ƯSCLN của chúng Số c là ước số chung của a và b khi vàchỉ khi c là ước số của d

Định lý 1.1.6.5 Giả sử a, b ∈ Z và r là số dư của phép chia a cho b Khi đó(a, b) = (b, r)

Thuật toán Euclid

Vì với mọi cặp số nguyên a, b ta đều có (a, b) = (−a, b) và (a, b) = (a, −b),nên có thể xem các số mà ta cần tìm ƯSCLN là những số nguyên dương, tức

là các số tự nhiên Thuật toán Euclid có thể được mô tả như sau:

Để tìm ƯSCLN của hai số tự nhiên a, b (a > b) ta tiến hành một cách đệquy như sau:

Bước 1 Ta chia a cho b để có số dư r1

Bước 2 Chia b cho số dư r1 để được số dư r2

Giả sử sau i bước ta nhận được i số dư r1, r2, , ri−1, ri sang bước i + 1

ta chia số dư ri−1 cho số dư ri để được số dư ri+1

Cứ tiếp tục quá trình trên cho tới bước k nào đó, mà ta nhận được số dư rk

là ước của số dư rk1 thì dừng lại Khi đó số dư rk chính là ƯSCLN của a và b

Định nghĩa 1.1.7.1 Số tự nhiên bé nhất đồng thời là bội của cả số a và số

b được gọi là bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) của các số a và b, đồng thời kýhiệu bằng [a, b]

Ví dụ 1.1.7.2 Bội số chung nhỏ nhất của 6 và 8 là 24, tức là [6, 8] = 24

Định lý 1.1.7.3 Đối với hai số tự nhiên a, b bất kỳ, tích ƯSCLN và BSCNNcủa chúng bằng tích chính hai số đó, nghĩa là

(a, b) · [a, b] = a · b

Hệ quả 1.1.7.4 Giả sử a và b là hai số tự nhiên và n0 = [a, b] là BSCNN của

a và b Số tự nhiên n là bội số của a và b khi và chỉ khi nó là bội số của n0

Thuật toán tìm bội số chung nhỏ nhất

Để tìm BSCNN của hai số tự nhiên a, b ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1 Tìm ƯSCLN của a, b bằng thuật toán Euclid

Vì 14 chia hết cho 7 nên ƯSCLN của 399 và 259 là 7

Bước 2 BSCNN của 399 và 259 được tính bằng công thức

1.2.1 Khái niệm quan hệ đồng dư

Định nghĩa 1.2.1.1 a, b, m là các số nguyên dương, a được gọi là đồng dưvới b theo mođul m, nếu a có cùng số dư với b khi chia cho m Ký hiệu a ≡ b(mod m)

Nhận xét 1.2.1.2

• a ≡ b (mod m) ⇔ b ≡ a (mod m)

• a chia hết cho m ⇔ a ≡ 0 (mod m)

• Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương

Định lý 1.2.1.3 Giả sử a, b, m là các số nguyên dương Những mệnh đề sauđây tương đương:

1 a ≡ b (mod m)

2 a = b + mt (t là một số nguyên)

3 (a − b) ≡ 0 (mod m)

1.2.2 Tính chất của quan hệ đồng dư

Với m là số nguyên dương

1 Nếu ai ≡ bi (mod m) (i = 1, 2, , n), thì

(a1 + a2+ + an) ≡ (b1 + b2+ + bn) (mod m)(a1 · a2· · · an) ≡ (b1 · b2· · · bn) (mod m)

2 a ≡ b (mod m) ⇔ (a ± c) ≡ (b ± c) (mod m) (c là một số nguyên)

3 a ≡ b (mod m) ⇔ a ≡ (b + km) (mod m) ⇔ (a + km) ≡ b (mod m)(k là một số nguyên)

4 Nếu a ≡ b (mod m), thì an ≡ bn (mod m) (n là số nguyên dương)

5 Nếu a ≡ b (mod m), thì ac ≡ bc (mod m) (c là một số nguyên)

6 Nếu c là một số nguyên dương, thì a ≡ b (mod m) ⇔ ac ≡ bc (mod mc)

7 Nếu d > 0 là ước chng của a, b, m, thì

10 Nếu a ≡ b (mod m) và d > 0 là ước của m, thì a ≡ b (mod d)

11 Nếu a ≡ b (mod m) và d là ước của a, m, thì d là ước của b

12 Nếu a ≡ b (mod m), thì (a, m) = (b, m)

1.2.3 Định lý Fermat nhỏ

Định lý 1.2.3.1 Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên tố cùng nhau với

p, thì ap−1 ≡ 1 (mod p) Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên bất kỳ, thì

1.2.5 Các lớp đồng dư

Định nghĩa 1.2.5.1 Tập gồm các số tự nhiên có cùng số đư là r khi chia cho

m được gọi là lớp đồng dư với r theo mođul m

Với mọi m, tập N được phân thành m lớp đồng dư:

• Lớp đồng dư với 0, gồm tất cả các số chia hết cho m

• Lớp đồng dư với 1, gồm tất cả các số chia cho m dư 1

• Lớp đồng dư với r, (0 ≤ r ≤ m − 1) gồm tất cả các số chia cho m có dư

là r

• Lớp đồng dư với m − 1, gồm các số chia cho m dư m − 1

Lớp đồng dư với r theo mođul m được cho bởi công thức:

1.3 Một số phương pháp giải bài toán chia hết

Để giải bài toán chia hết ta có nhiều phương pháp Tuy nhiên, dưới đây chỉxin trình bày một vài phương pháp nổi bật

1.3.1 Phương pháp chia có dư

Căn cứ vào số chia b mà xét mọi khả năng phân tích a = b · q + k với k thuộcdãy 1, 2, , q − 1 Sau đó với mỗi khả năng phân tích này lý luận để suy rađáp án của bài toán Để hiểu rõ hơn ta xét các ví dụ sau

Ví dụ 1.3.1.1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a5− a chia hết cho5

Giải Phân tích biểu thức a5− a thành ba thừa số

• Với a = 5q + 1 (q ∈ Z) ta có

a5− a = (5q + 1)(25q2+ 10q + 2)(25q2 + 10q)

= (5q + 1)(25q2+ 10q + 2)5q(5q + 2)chia hết cho 5

• Với a = 5q + 2 (q ∈ Z) ta có

a5− a = (5q + 2)(25q2+ 20q + 5)(25q2 + 20q + 3)

= (5q + 1)5(5q2+ 4q + 1)(25q2+ 20q + 3)chia hết cho 5

• Với a = 5q + 3 (q ∈ Z) ta có

a5 − a = (5q + 3)(25q2 + 30q + 10)(25q2 + 30q + 8)

= (5q + 3)5(5q2 + 6q + 2)(25q2 + 30q + 8)chia hết cho 5.

• Với a = 5q + 4 (q ∈ Z) ta có

a5 − a = (5q + 4)(25q2 + 40q + 17)(25q2 + 40q + 15)

= (5q + 3)(25q2 + 40q + 17)5(5q2 + 8q + 3)chia hết cho 5

Như vậy, với mọi số nguyên a, a5 − a chia hết cho 5 

Ví dụ 1.3.1.2 Chứng minh rằng, nếu x2+ y2 chia hết cho 3 và x, y là các sốnguyên, thì x và y chia hết cho 3

Giải Biểu diễn x, y dưới dạng x = 3t + r1, y = 3s + r2, trong đó r1, r2 là các

số nguyên thuộc tập {−1, 0, 1} Khi đó

• n = 3k + 1 (k ∈ N) ⇒ A = 9k2 + 6k + 1 chia cho 3 dư 1

• n = 3k + 2 (k ∈ N) ⇒ A = 9k2 + 12k + 3 + 1 chia cho 3 dư 1

Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 1.3.2 Phương pháp đồng dư

Ta cũng có thể giải bài toán chia hết bằng cách vận dụng các tính chất củaquan hệ đồng dư

Ví dụ 1.3.2.1 Tìm số dư khi chia số A = 19442005 cho 7

Giải Ta có

1944 ≡ −2 (mod 7) ⇒ 19442005 ≡ (−2)2005 (mod 7)

Mà

(−2)3 ≡ −1 (mod 7) ⇒ (−23)668 ≡ 1668 (mod 7)hay (−23)668 ≡ 1 (mod 7) Suy ra

(−23)668(−2) ≡ −2 (mod 7) hay (−2)2005 ≡ −2 (mod 7)

Ví dụ 1.3.2.2 Chứng minh số A = 1110− 1 chia hết cho 100

Giải Phân tích số A dưới dạng

A = 1110− 1 = 1110− 110 = (11 − 1)(119 + 118+ + 112 + 111+ 1) = 10Bvới B = 119 + 118 + + 112 + 111 + 1 Vì với mọi số tự nhiên n: 11n ≡ 1(mod 10), nên B ≡ 10 ≡ 0 (mod 10) Tức là B chia hết cho 10 Do đó A chia

Giải Vì p và 10 nguyên tố cùng nhau, nên theo định lý Fermat nhỏ ta có

10p−1 ≡ 1 (mod p) Suy ra (10p−1)n = 10n(p−1) ≡ 1 (mod p) với mọi số nguyêndương n Vậy 10n(p−1) − 1 chia hết cho p với mọi số nguyên dương n, nên cómột số vô hạn các số thuộc dãy (1.1) chia hết cho p 1.3.3 Phương pháp quy nạp

? Nhắc lại nguyên lý quy nạp

Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn 2 điều kiện sau:

a Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định)

b Từ tính đúng đắn của S(n) đối với n = k (k ≥ k0) (hoặc đối với mọi giátrị của n, k0 ≤ n ≤ k) suy ra tính đúng đắn của S(n) đối với n = k + 1,thì S(n) đúng vói mọi n ≥ k0

? Phương pháp chứng minh quy nạp

Giả sử khẳng định S(n) đúng với mọi n ≥ k0 Để chứng minh S(n) đúngvới ∀n (n ≥ k0) bằng quy nạp ta cần thực hiện hai bước

1 [Cơ sở quy nạp] Thực hiện bước này tức là thử xem sự đúng đắn của S(n)với n = k0 nghĩa là xét S(k0) có đúng hay không?

2 [Quy nạp] Giả sử khẳng định S(n) đúng với n = k (k ≥ k0) (hoặc đối với

∀n, (k0 ≤ n ≤ k)) Trên cơ sở giả thiết này mà suy ra tính đúng đắn củaS(n) đối với n = k + 1 Tức là S(k + 1) đúng

Nếu cả hai bước trên đều thỏa mãn thì theo nguyên lý quy nạp S(n) đúngvới ∀n ≥ k0 Sau đây xin trình bày một số ví dụ giải bài toán chia hết bằngphương pháp quy nạp

Ví dụ 1.3.3.1 Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếpbao giờ cũng chia hết cho 9

Giải Chứng minh khẳng định bằng quy nạp theo thứ tự số tự nhiên

1 Cơ sở quy nạp

Với ba số tự nhiên đầu tiên 1, 2, 3 ta có

13+ 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36chia hết cho 9

2 Quy nạp

Giả sử khẳng định đã đúng với ba số tự nhiên liên tiếp tùy ý nào đó k (k ≥1), k + 1, k + 2, nghĩa là số A(k) = k3+ (k + 1)3+ (k + 2)3 chia hết cho 9 Khiđó

A(k + 1) = (k + 1)3+ (k + 2)3+ (k + 3)3 = k3+ (k + 1)3+ (k + 2)3+ (k + 3)3− k3.Do

(k + 3)3 − k3 = (k + 3 − k)(k + 3)2 + k(k + 3) + k2

= 3(k2+ 6k + 9 + k2 + 3k + k2) = 3(3k2 + 9k + 9)

= 9(k2+ 3k + 3)chia hết cho 9 Hơn nữa theo giả thiết quy nạp A(k) chia hết cho 9, nên A(k +1)

Ví dụ 1.3.3.2 (Định lý Fermat) Nếu p là số nguyên tố, thì với mọi số nguyêndương n ta đều có np− n chia hết cho p

Giải Khẳng định trên được chứng minh bằng quy nạp theo n.

1 Cơ sở quy nạp

Với n có 1p− 1 = 1 − 1 = 0 chia hết cho p

2 Quy nạp

Giả sử khẳng định đã đúng với n = a ≥ 1, nghĩa là ap− a đã chia hết cho

p Cần chứng minh (a + 1)p− (a + 1) chia hết cho p Khai triển (a + 1)p bằngnhị thức Newton ta có

(a + 1)p− (a + 1) = app + pap−1+ Cp2ap−2+ Cp3ap−3+ + pa + 1 − a − 1

= (ap− a) + pap−1+ Cp2ap−2+ + Cpp−2a2 + pa

Vì các hệ số Cpk = p(p − 1)(p − 2) (p − k + 1)

1 · 2 · 3 · · · k (2 ≤ k ≤ p − 2) đều chia hếtcho p, pap−1, pa chia hết cho p và theo giả thiết quy nạp ap− a chia hết cho pnên (a + 1)p− (a + 1) chia hết cho p

Vậy với mọi số nguyên dương n ta đều có np− n chia hết cho p 

Ví dụ 1.3.3.3 Với mọi số tự nhiên n, chứng minh rằng 32n+3− 24n + 37 chiahết cho 64

Giải Khẳng định trên được chứng minh bằng quy nạp theo n

1.3.4 Phương pháp tiêu chuẩn chia hết

Đối với số nguyên tùy ý a và số tự nhiên m 6= 0 để trả lời câu hỏi: số a cóchia hết cho m hay không? Trong nhiều trường hợp có thể dựa vào tiêu chuẩnchia hết Do đó, việc tìm ra các tiêu chuẩn chia hết để vận dụng là hết sức cầnthiết Căn cứ vào tính chất của dãy số dư nhận được khi chia lũy thừa cơ số

10 cho m, ta có thể xác định các tiêu chuẩn chia hết tiện ích khác nhau Dướiđây xin trình bày một số cách xác định tiêu chuẩn chia hết

a Phương pháp đồng dư với 1

Với số tự nhiên tùy ý m ≥ 2 cần tìm tiêu chuẩn để số nguyên bất kỳ

a = anan−1 aiai−1 a1a0 = an10n+ an−110n−1+ + ai10i+ ai−110i−1+ + a110 + a0 chia hết cho m

Nếu tồn tại số tự nhiên k để 10k ≡ 1 (mod m) thì với mọi số tự nhiên t đều

có 10kt ≡ 1 (mod m) Ta thực hiện thuật toán sau

? Tiêu chuẩn chia hết l

Nếu l là số tự nhiên nhỏ nhất để 10l ≡ 1 (mod m) và s là số tự nhiên thỏamãn sl ≤ n ≤ (s + 1), thì a chia hết cho m khi và chỉ khi tổng

an asl+1asl + + a2l−1 al+1a1 + al−1 a1a0 (mod m)

chia hết cho m

Vận dụng tiêu chuẩn chia hết l cho các trường hợp m = 3, 9, 11, 111 ta đượccác tiểu chuẩn chia hết tương ứng sau đây:

i) Tiêu chuẩn chia hết cho 3

Với m = 3 ta có 10 ≡ 1 (mod 3) nên l = 1 và dãy chữ số được chiathành các nhóm gồm 1 chữ số và có tiểu chuẩn chia hết cho 3 như sau: Số

nguyên a = anan−1 a1a0 chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số

an+ an−1+ + a1+ a0 chia hết cho 3

ii) Tiêu chuẩn chia hết cho 9

Tương tự ta cũng có tiểu chuẩn chia hết cho 9 như sau: Số nguyên a =

anan−1 a1a0 chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số an+ an−1+ +

iii) Tiêu chuẩn chia hết cho 11

Với m = 11 ta có 102 ≡ 1 (mod 11), nên l = 2 và dãy chữ số của a đượcphân thành nhóm có độ dài 2 từ phải sang trái Bởi vậy ta có tiểu chuẩn chiahết cho 11 như sau:

+ Với n lẻ, số nguyên a = anan−1 a1a0 chia hết cho 11 khi và chỉ khitổng

Ví dụ 1.3.4.2

• 420162017 = 4 + 20 + 16 + 20 + 17 = 77 ≡ 0 (mod 11), nên 420162017chia hết cho 11

• 543210 = 54 + 32 + 10 = 96 ≡ 8 (mod 11), nên 543210 không chia hếtcho 11

iv) Tiêu chuẩn chia hết cho 111

Với m = 111 ta có 103 ≡ 1 (mod 111), nên l = 3 và dãy chữ số của a đượcphân thành các nhóm độ dài 3 từ phải sang trái Do đó ta có tiêu chuẩn chiahết cho 111 như sau:

• Với n = 3t − 1 (t ∈ N), số nguyên a = anan−1 a1a0 chia hết cho 111khi và chỉ khi tổng

b Phương pháp dãy số dư

Giả sử a = anan−1 ai+1ai a1a0 = an·10n+an−1·10n−1+ .+10a1+a0

là số nguyên tùy ý và m là số tự nhiên bất kỳ không nhỏ hơn 2 Khi đó theocác tính chất của phép đồng dư ta có hệ quả:

Hệ quả 1.3.4.4 Nếu di (i = 0, 1, 2, ) là số nguyên tùy ý đồng dư với 10itheo mođul m thì

a ≡ andn+ an−1dn−1 + + aidi+ + a1d1 + a0 (mod m)

Từ hệ quả trên ta suy ra thuật toán xây dựng tiêu chuẩn chia hết cho m.

? Thuật toán

Để có một tiêu chuẩn chia hết cho m ta thực hiện các bước sau

1 Đối với mỗi i = 1, 2, chọn số nguyên di đồng dư với 10i theo mođul m

• Nếu d ≡ 0 (mod m), thì a chia hết cho m

• Nếu d 6≡ 0 (mod m), thì a không chia hết cho m

Khi đó, tiêu chuẩn chia hết cho m được phát biểu như sau: Số a chia hếtcho m khi và chỉ khi d chia hết cho m

Dựa vào thuật toán trên ta có thể xây dựng tiêu chuẩn chia hết cho bất kỳ

số tự nhiên m > 2, chẳng hạn m = 4, 7, 11, 13

i) Tiêu chuẩn chia hết cho 4

Xét tính đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo mođul 4 ta có

10 ≡ 2 (mod 4), 102 ≡ 20 ≡ 0 (mod 4), 10i ≡ 0 (mod 4) (i = 3, 4, ).Tổng d tương ứng với số a = anan−1 ai+1ai a2a1a0 có dạng

d = an0 + an−10 + + ai+10 + ai0 + + a20 + a12 + a0 = 2a1+ a0.Vậy tiêu chuẩn chia hết cho 4 là: Số a chia hết cho 4 khi và chỉ khi tổng

d = 2a1+ a0 chia hết cho 4

Ví dụ 1.3.4.5

• 252652 có d = 2 · 5 + 2 = 12 chia hết cho 4 nên 252652 chia hết cho 4

• 764523 có d = 2 · 2 + 3 = 7 không chia hết cho 4 nên 764523 không chiahết cho 4.

ii) Tiêu chuẩn chia hết cho 7

Xét tính đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo mođul 7 ta có

10 ≡ 3 (mod 7), 102 ≡ 30 ≡ 2 (mod 7), 103 ≡ 20 ≡ −1 (mod 7)

Ví dụ 1.3.4.6

• 7546357 có d = 7 − 2 × 5 − 3 × 4 − 6 + 2 × 3 + 3 × 5 + 7 = 7 chia hết cho

7, nên 7546357 chia hết cho 7

• 863425 có d = −2 × 8 − 3 × 6 − 3 × 3 + 2 × 4 + 3 × 2 + 5 = −18 khôngchia hết cho 7 nên 863425 không chia hét cho 7

iii) Tiêu chuẩn chia hết cho 11

Xét tính đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo mođul 11 ta có

10 ≡ −1 (mod 11), 102 ≡ −10 ≡ 1 (mod 11),

102k+1 ≡ −1 (mod 11), 102k ≡ 1 (mod 11) (k = 0, 1, 2, )

Khi đó dãy số đồng dư tương ứng với dãy chữ số của a sẽ là

an an−1 an−2 a2 a1 a0(−1) n (−1) n−1 (−1) n−2 1 −1 1

Và tổng d tương ứng với a có dạng

d = (−1)nan+ (−1)n−1an−1+ (−1)n−2an−2+ + a2− a1 + a0

Vậy tiêu chuẩn chia hết cho 11 là: Số a chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng

d = (−1)nan+ (−1)n−1an−1 + (−1)n−2an−2 + + a2 − a1 + a0 chia hết cho11

iv) Tiêu chuẩn chia hết cho 13

Xét tính đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo mođul 13 ta có

10 ≡ −3 (mod 13), 102 ≡ −4 (mod 13), 103 ≡ −40 ≡ −1 (mod 13),

• 1111111 có d = 1 + 4 + 3 − 1 − 4 − 3 + 1 = 1 không chia hết cho 13 nên

1111111 không chia hết cho 13

4 Nếu d chia hết cho m, thì a chia hết cho m Nếu d không chia hết cho m,thì a không chia hết cho m.

Bằng thuật toán trên ta có tiêu chuẩn chia hết cho m khi và chỉ khi tổng

d = anan−1 atldt + atl−1atl−2 a(t−1)ldt−1+ +

+ a2l−1aal−2 ald1 + al−1al−2 a1a0chia hết cho m.

Dựa vào thuật toán trên ta có thể xây dựng tiêu chuẩn chia hết cho bất kỳ

số tự nhiên m nào không nhỏ hơn 2, chẳng hạn với m = 33

? Tiêu chuẩn chia hết cho 33

Để có tiêu chuẩn chia hết cho 33 ta thực hiện các bước của thuật toán trênnhư sau:

1 Do 100 ≡ 1 (mod 33) nên với ∀s = 0, 1, 2, đều có 100s ≡ 1 (mod 33)nên chọn l = 2

2 Dãy số đồng dư tương ứng với 100t, t = 1, 2,

33 khi và chỉ khi d chia hết cho 33

Để giải bài toán chia hết ta cũng có thể vận dụng trực tiếp định lý chia hết

để suy ra kết luận hoặc thực hiện một số bước biến đổi dẫn bài toán về dạng

có thể vận dụng các định lý chia hết để đi đến kết luận của bài toán

Ví dụ 1.3.5.1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n số nk − n chiahết cho k với k = 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Giải Vận dụng trực tiếp định lý Fermat:

Nếu p là số nguyên tố, với mọi số tự nhiên a ta có ap− a chia hết cho p

Ví dụ 1.3.5.2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm n (n ≥ 0) số

A = 36n − 26n chia hết cho 35

Giải Biến đổi A về dạng

A = (33)2n − (23)2n = 272n− 82n.Khi đó, theo Hệ quả 1.1.2.10:

Với mọi cặp số nguyên a, b mà a2 − b2 6= 0, với mọi số nguyên dương n số

Ký hiệu: G(X, E) hoặc G = (X, E) hoặc bằng G(X)

Các phần tử của X được gọi là các đỉnh Cặp đỉnh không sắp thứ tự a =(x, y) được gọi là cạnh hay cạnh vô hướng, còn x, y được gọi là các đỉnh đầucủa cạnh a

Cặp đỉnh được sắp thứ tự b = (u, v) được gọi là cạnh có hướng hay cung.Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cung b.Người ta nói rằng cung b đi từ đỉnh u đến đỉnh v

Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ thị vô hướng, còn đồ thị chỉ chứacác cung được gọi là đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cả cạnh lẫn cung thì nóđược gọi là đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp

Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hoặc nhiều hơn hai cạnh(hai hoặc nhiều hơn hai cung cùng một hướng) Các cạnh (cung) này được gọi

+ Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu là x và y thì nó được biểudiễn bằng một đoạn thẳng hay một đoạn cong nối giữa hai điểm x, y và không

đi qua các điểm tương ứng trung gian khác

+ Biểu diễn cung: Cung b có đỉnh đầu là u, đỉnh cuôi là v thì nó được biểudiễn bằng một đoạn thẳng hay một đoạn cong được định hướng từ u sang v vàkhông đi qua các điểm tương ứng trung gian khác

Hình nhận được là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G = (X, E)

Ví dụ 1.4.1.2 Dạng biểu diễn hình học của đồ thị G = (X, E) cho trong Ví

dụ 1.4.1.1

1.4.2 Đa đồ thị có hướng

Định nghĩa 1.4.2.1 Trên mặt phẳng hay trong không gian lấy n điểm khácnhau được ký hiệu là:

x1, x2, , xngiữa một số cặp điểm (có thể gồm hai điểm trùng nhau) được nối bởi một đoạnthẳng hoặc đoạn cong được định hướng (hướng của các đoạn thẳng, đoạn cong

có thể ngược nhau), Người ta gọi hình nhận được là một đa đồ thị có hướngvới các điểm xi là các đỉnh và các đoạn thẳng và đoạn cong đã nối là các cungcủa đồ thị

Định nghĩa 1.4.2.2 Dãy cung D = ui1, ui2, , uit, uit+1, , uik mà ∀t (i ≤

t ≤ k − 1) đỉnh cuối của cung uit trùng với đỉnh đầu của cung uit+1 được gọi

là một đường hay một đường đi của đa đồ thị G Nếu a là đỉnh đầu của cung

ui1, b là đỉnh cuối của cung uik thì ta nói rằng đường D xuất phát từ đỉnh a

và tới đỉnh b

1.4.3 Đa đồ thị được gắn nhãn

Giả sử G là một đa đồ thị có hướng và Σ là một tập khác rỗng

Định nghĩa 1.4.3.1 Nếu mỗi cung u ∈ G được đặt tương ứng với α ∈ Σ (tức

là trên cung u ghi ký hiệu α) thì G được gọi là đa đồ thị được gán nhãn ở cung

và thông thường gọi là đa đồ thị gán nhãn hoặc có nhãn

Ký hiệu:

Định nghĩa 1.4.3.2 Giả sử D = ui1ui2 uituit+1 uik là một đường trên

từ đỉnh a đi tới đỉnh b được ký hiệu bằng NG(a, b)

1.4.4 Nguồn

a Định nghĩa

Người ta gọi một đa đồ thị có hướng, gán nhãn được tách ra một đỉnh gọi

là đỉnh vào (đỉnh xuất phát), một tập con các đỉnh được gọi là đỉnh kết (haycác đỉnh ra) là nguồn Thường ký hiệu là I

c Phép giao của các nguồn

- Giả sử có k nguồn I1, I2, , Ii, , Ik đều trên bảng chữ cái Σ (Nhãn của

các cung đều thuộc Σ)

- Nguồn Ii (1 ≤ i ≤ k) có đỉnh vào s10, tập đỉnh trong Xi, tập đỉnh kết Fi Tức

d Thuật toán xây dựng nguồn

Đễ hỗ trợ cho việc trình bày thuật toán xây dựng nguồn xin ghi lại một số

khái niệm cần thiết:

Giả sử có các dãy ký hiệu α, β Dãy ký hiệu nhận được bằng cách đẩy β

tiếp ngay sau dãy α được gọi là dãy tích ghép hay tích ghép của dãy α và dãy

β, đồng thời ký hiệu bằng α, β

Giả sử X, Y là hai tập dãy ký hiệu Tập gồm tất cả các tính ghép của mỗi

dãy ký hiệu thuộc X với tất cả các dãy ký hiệu thuộc tập Y được gọi là tích

ghép của tập X với tập Y , đồng thời ký hiệu bằng X · Y

Tích ghép lặp lại vô hạn lần của tập X với chính nó được gọi là lặp cắt của

tập X, đồng thời ký hiệu bằng X+