Để giải bài toán chia hết ta cũng có thể vận dụng trực tiếp định lý chia hết để suy ra kết luận hoặc thực hiện một số bước biến đổi dẫn bài toán về dạng có thể vận dụng các định lý chia hết để đi đến kết luận của bài toán.
Ví dụ 1.3.5.1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n số nk −n chia hết cho k với k = 17,19,23,29,31,37.
Giải. Vận dụng trực tiếp định lý Fermat:
Nếu p là số nguyên tố, với mọi số tự nhiên a ta có ap−a chia hết cho p.
Suy ra khẳng định nêu trong bài toán.
Ví dụ 1.3.5.2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm n (n ≥ 0) số A = 36n −26n chia hết cho 35.
Giải. Biến đổi A về dạng
A = (33)2n −(23)2n = 272n−82n. Khi đó, theo Hệ quả 1.1.2.10:
Với mọi cặp số nguyên a, b mà a2 −b2 6= 0, với mọi số nguyên dương n số
a2n −b2n...a+b.
Ta có A chia hết cho 27 + 8 = 35.
1.4 Một số vấn đề về lý thuyết đồ thị
1.4.1 Khái niệm đồ thị
a. Định nghĩa đồ thị
Tập hợp X 6= ∅ các đối tượng tùy ý và bộ E các cặp được sắp thứ tự và không được sắp thứ tự các phần tử của X được gọi là một đồ thị.
Ký hiệu: G(X, E) hoặc G = (X, E) hoặc bằng G(X).
Các phần tử của X được gọi là các đỉnh. Cặp đỉnh không sắp thứ tự a = (x, y) được gọi là cạnh hay cạnh vô hướng, còn x, y được gọi là các đỉnh đầu của cạnh a.
Cặp đỉnh được sắp thứ tự b = (u, v) được gọi là cạnh có hướng hay cung. Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cung b. Người ta nói rằng cung b đi từ đỉnh u đến đỉnh v.
Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ thị vô hướng, còn đồ thị chỉ chứa các cung được gọi là đồ thị có hướng. Nếu đồ thị chứa cả cạnh lẫn cung thì nó được gọi là đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp.
Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hoặc nhiều hơn hai cạnh (hai hoặc nhiều hơn hai cung cùng một hướng). Các cạnh (cung) này được gọi là các cạnh (cung) bội.
Một cạnh (hay một cung) có thể bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh. Cạnh (cung) loại này được gọi là khuyên hay nút (có hướng).
Cặp đỉnh x, y được gọi là hai đỉnh kề nhau nếu x 6= y và là hai đầu của cùng một cạnh hay một cung.
Ví dụ 1.4.1.1. Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G= (X, E) với tập đỉnh: X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}.
Tập cạnh và cung
E ={(x1, x2),(x3, x4),(x4, x5),(x6, x6),(x1, x7),(x5, x5)}
={a1, a2, a3, a4, b1, b2}
trong đó a1, a2, a3 là các cạnh, b1 là cung, a4 là khuyên vô hướng, còn b2 là khuyên có hướng.
b. Biểu diễn đồ thị bằng hình học
Giả sử có đồ thị G = (X, E). Để có dạng biểu diễn hình học của G ta cần biểu diễn đỉnh và cạnh.
+ Biểu diễn đỉnh: Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tương ứng với các phần tử của tập X và dùng ngay ký hiệu các phần tử này để ghi trên các điểm tương ứng.
+ Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu là x và y thì nó được biểu diễn bằng một đoạn thẳng hay một đoạn cong nối giữa hai điểm x, y và không đi qua các điểm tương ứng trung gian khác.
+ Biểu diễn cung: Cung b có đỉnh đầu là u, đỉnh cuôi là v thì nó được biểu diễn bằng một đoạn thẳng hay một đoạn cong được định hướng từ u sangv và không đi qua các điểm tương ứng trung gian khác.
Hình nhận được là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G = (X, E).
Ví dụ 1.4.1.2. Dạng biểu diễn hình học của đồ thị G = (X, E) cho trong Ví dụ 1.4.1.1.
1.4.2 Đa đồ thị có hướng
Định nghĩa 1.4.2.1. Trên mặt phẳng hay trong không gian lấy n điểm khác nhau được ký hiệu là:
x1, x2, . . . , xn
giữa một số cặp điểm (có thể gồm hai điểm trùng nhau) được nối bởi một đoạn thẳng hoặc đoạn cong được định hướng (hướng của các đoạn thẳng, đoạn cong có thể ngược nhau), Người ta gọi hình nhận được là một đa đồ thị có hướng với các điểm xi là các đỉnh và các đoạn thẳng và đoạn cong đã nối là các cung của đồ thị.
Định nghĩa 1.4.2.2. Dãy cung D = ui1, ui2, . . . , uit, uit+1, . . . , uik mà ∀t (i ≤
t ≤ k− 1) đỉnh cuối của cung uit trùng với đỉnh đầu của cung uit+1 được gọi là một đường hay một đường đi của đa đồ thị G. Nếu a là đỉnh đầu của cung ui1, b là đỉnh cuối của cung uik thì ta nói rằng đường D xuất phát từ đỉnh a và tới đỉnh b.
1.4.3 Đa đồ thị được gắn nhãn
Giả sử G là một đa đồ thị có hướng và Σ là một tập khác rỗng.
Định nghĩa 1.4.3.1. Nếu mỗi cungu ∈G được đặt tương ứng với α ∈ Σ (tức là trên cung ughi ký hiệu α) thì G được gọi là đa đồ thị được gán nhãn ở cung và thông thường gọi là đa đồ thị gán nhãn hoặc có nhãn.
Định nghĩa 1.4.3.2. Giả sử D = ui1ui2. . . uituit+1. . . uik là một đường trên đồ thị G và cung uit được gán nhãn là αit
ait ⇔αit (1 ≤ t≤ k)
Dãy αi1αi2. . . αitαit+1. . . αik được gọi là nhãn của đường D đồng thời ký hiệu bằng D
D = αi1αi2. . . αik.
Tập nhãn tất cả các đường trên đa đồ thị G mà các đường này xuất phát từ đỉnh a đi tới đỉnh b được ký hiệu bằng NG(a, b).
1.4.4 Nguồn
a. Định nghĩa
Người ta gọi một đa đồ thị có hướng, gán nhãn được tách ra một đỉnh gọi là đỉnh vào (đỉnh xuất phát), một tập con các đỉnh được gọi là đỉnh kết (hay các đỉnh ra) là nguồn. Thường ký hiệu là I.
b. Tập nhãn của nguồn
Giả sử có nguồn I với đỉnh vào V, tập con các đỉnh kết F. Khi đó tập gồm nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh vào V và đi tới các đỉnh kết, tức
[
a∈F
NI(V, a), được gọi là tập nhãn của nguồn I hay tập nhãn được sinh bởi nguồn I. Đồng thời ký hiệu bằng N(I). N(I) = [
a∈F
NI(V, a).
Nếu nhãn các cung thuộc nguồn I là các số nguyên không âm thì N(I) là tập số. Khi đó nguồn I được gọi là nguồn sinh số.
c. Phép giao của các nguồn
- Giả sử có k nguồn I1, I2, . . . , Ii, . . . , Ik đều trên bảng chữ cái Σ. (Nhãn của các cung đều thuộc Σ).
- NguồnIi (1≤ i≤ k)có đỉnh vào s10, tập đỉnh trong Xi, tập đỉnh kết Fi. Tức là (Fi ≤Xi).
- Nguồn giao I của các nguồn I1, I2, . . . , Ik có: + Đỉnh • Đỉnh vào là s0 = (s10, s20, . . . , si0, . . . , sk0) • Tập đỉnh trong X = X1 ×X2 ×Xi×Xk • Tập đỉnh kết F =F1×F2×. . .×Fk. + Cung • Từ đỉnhx= (x1, x2, . . . , xi, . . . , xk)∈ (X∪s0)sang đỉnhy = (y1, y2, . . . , yi, . . . , yk)∈
X có cung nhãn α ∈ Σ khi và chỉ khi ∀i (1 ≤ i ≤ k) trong nguồn Ii từ đỉnh xi sang đỉnh yi có cung nhãn α. Tức là
• Khi đó tập nhãn của nguồn I là giao của các tập nhãn do các nguồn I1, . . . , Ik sinh ra. Tức là N(I) = k \ i=1 N(Ii). d. Thuật toán xây dựng nguồn
Đễ hỗ trợ cho việc trình bày thuật toán xây dựng nguồn xin ghi lại một số khái niệm cần thiết:
Giả sử có các dãy ký hiệu α, β. Dãy ký hiệu nhận được bằng cách đẩy β tiếp ngay sau dãy α được gọi là dãy tích ghép hay tích ghép của dãy α và dãy β, đồng thời ký hiệu bằng α, β.
Giả sử X, Y là hai tập dãy ký hiệu. Tập gồm tất cả các tính ghép của mỗi dãy ký hiệu thuộc X với tất cả các dãy ký hiệu thuộc tập Y được gọi là tích ghép của tập X với tập Y, đồng thời ký hiệu bằng X ·Y.
Tích ghép lặp lại vô hạn lần của tập X với chính nó được gọi là lặp cắt của tập X, đồng thời ký hiệu bằng X+.
Cung không gán nhãn được gọi là cung rỗng. Bởi vậy khi ghi nhãn của đường nếu gặp cũng rỗng được phép bỏ qua.
Quy nạp
Giả sử đã xây dựng được các nguồn I1, I2. Nguồn I1 có đỉnh vào V1, tập đỉnh ra F1. Nguồn I2 có đỉnh vào V2, tập đỉnh ra F2.
1. Để có nguồnI sinh hợpN(I1)∪N(I2)ta đồng nhất đỉnh vàoV1 của nguồn I1 với đỉnh vào V2 của nguồn I2, đồng thời ký hiệu bằng V. Khi đó nguồn I có đỉnh vào là V, tập đỉnh ra R =F1∪F2, nên N(I) = N(I1)∪N(I2). 2. Để có nguồn K sinh tích ghép N(I1)·N(I2) từ mỗi đỉnh ra của nguồn I1
kẻ một cung rỗng đi tới đỉnh vào V2 của nguồn I2. Khi đó nguồn K có đỉnh vào là V1 và tập đỉnh ra là F2, nên N(K) = N(I1)·N(I2).
3. Để có nguồnLsinh lặp cắtN(I1)+của nguồn I1 từ mỗi đỉnh ra của nguồn I1 kẻ một cung rỗng đi tới đỉnh vào V1 của nguồn I1. Khi đó nguồn L có đỉnh vào là V1, tập đỉnh ra là F1, nên N(L) =N(I1)+.
Ví dụ 1.4.4.1. Hãy xây dựng nguồnI sinh tập các dãy ký hiệuM ={a, ab, ac, baa, caba}.
I
e. Xây dựng một số nguồn sinh số
Để gọn dễ nhìn nếu có nhiều cung cùng chiều nối giữa hai đỉnh ta chỉ giữ lại một cung nhưng ghi nhãn của các cung đó.
- Nguồn sinh tất cả các số tự nhiên 0,1,2, . . .
Tổng quát
- Nguồn sinh tất cả các số nguyên dương bắt đầu bằng chữ số 1 và chứa đúng một chữ số 0.
- Nguồn sinh tất cả các số nguyên dương có độ dài chẵn.
- Nguồn I sinh tất cả các số nguyên dương có độ dài lẻ.
1.4.5 Phương pháp đồ thị
Để giải bài toán T bằng cách thông qua đồ thị cần thực hiện lần lượt hai bước sau:
1. Xây dựng đồ thị G mô tả các quan hệ
Lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với các đối tượng đã cho trong bài toán. Dùng ngay các ký hiệu đối tượng để ghi trên điểm tương ứng ...
Cặp điểm x, y được nối với nhau bằng một cạnh với “đặc điểm t” khi và chỉ khi các đối tượng x, y có quan hệ (t) với nhau. Khi đó bài toán T đã được chuyển về bài toán D trên đồ thị.
2. Dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc lý luận trực tiếp suy ra đáp án của bài toán D.
Nếu đáp án của bài toán D còn dưới dạng “ngôn ngữ đồ thị” thì căn cứ vào phép đặt tương ứng khi xây dựng đồ thị mà diễn đạt thành đáp án bằng ngôn ngữ thông thường (tức là đáp án của bài toán T).
Chương 2
Lý thuyết đồ thị với bài toán đồng dư và chia hết
Để giải các bài toán đồng dư và chia hết, ngoài các phương pháp giải bài toán chia hết được nêu ở Chương 1, ta có thể sử dụng đồ thị để giải. Cụ thể, ta sử dụng một dạng đồ thị đặc biệt đó là nguồn làm công cụ xây dựng các tập đồng dư. Thực hiện theo hai bước trong “phương pháp đồ thị” để đi đến đáp án của bài toán.
2.1 Các thuật toán xây dựng nguồn đồng dư
Giả sử m là số tự nheiem tùy ý (m ≥ 2), r là số nguyên bất kỳ (0 ≤ r ≤
m−1). Vấn đề đặt ra là cần xác định tất cả các số nguyên dương mà khi chia mỗi số này cho mđều có dư là r. Ta có thể giải quyết vấn đề này bằng công cụ nguồn sinh số, tức có thể xây dựng nguồn mà tập nhãn do nó sinh ra là tập số nguyên dương đồng dư với r theo mođul m. Ta gọi nguồn này là nguồn đồng đư với r theo mođul m và ký hiệu bằng Imr .
2.1.1 Thuật toán xây dựng nguồn đồng dư theo một môđul
Do mođul m càng lớn, số đỉnh của nguồn càng tăng kéo theo số cung càng nhiều, nên nguồn càng phức tạp. Bởi vậy để nguồn khắc phục được những điểm trên, dựa theo độ lớn của mođul m nguồn đồng dư chia làm hai dạng:
1. Thuật toán 1 vòng đỉnh.
2. Thuật toán 2 vòng đỉnh hoặc 2 tầng đỉnh
Đây là thuật toán xây dựng nguồn có mođul đồng dư cao. (Đối với nguồn đồng dư có mođul thấp ta vẫn có thể sử dụng 2 thuật toán này.)
Cả hai thuật toán đều được xây dựng trên cơ sở thuật toán chia có dư của Euclid.
a. Thuật toán một vòng đỉnh
Để có nguồn đồng dư Imr ta cần xác định đỉnh và cung.
- Đỉnh: Lấy đường tròn là đỉnh, ký hiệu bằng chữ V. Ta đặt trong khuyên tròn có mũi tên làm đỉnh vào. Trên đường lấy mđiểm, ghi một cạnh tương ứng m số dư: 0,1, . . . , m−1.
Đỉnh ghi số d được gọi là đỉnh kết hay đỉnh ra nên được đặt trong ô chữ nhật, các đình còn lại đều được đặt trong khuyên tròn.
- Cung:
+ Cung xuất phát từ đỉnh vào: Đối với mỗi số a (1 ≤ a ≤ 9), từ đỉnh vào sang đỉnh i (0 ≤ i ≤ m−1), kẻ một cung với nhãn a khi và chỉ khi i là số dư nhận được khi chia a cho m.
+ Cung xuất phát từ các đỉnh còn lại: Đối với mỗi chữ số d (0 ≤ d≤ 9) từ đỉnh b sang đỉnh t kẻ cung nhãn d khi và chỉ khi số bd chia cho m có dư là t.
Ví dụ 2.1.1.1. Hãy xây dựng nguồn I30 sinh tất cả các số nguyên dương chia hết cho 3.
∗ Ứng dụng của nguồn đồng dư
Với số nguyên m≥ 2 và ∀i (0 ≤ i ≤ m−1) nguồn đồng dư theo mođul m sẽ sinh được tất cả các số nguyên dương mà mỗi số này chia cho m đều có dư i.
Ngoài ra nguồn đồng dư theo mođul mcòn giúp ta giải quyết nhanh và hiệu quả hai bài toán:
+ Bài toán xuôi: Cho số nguyên dương x, cần xác định số dư của x khi chia cho m mà trường hợp riêng là x chia cho m dư r (0 ≤ r ≤ m−1), thì x chia cho m có dư là r hay không?
+ Bài toán ngược: Hãy tìm một số tùy ý (hoặc yêu cầu có độ dài l cho trước) đồng dư với r theo mođul m
y ≡ r (mod m).
Giải bài toán xuôi, ta xuất phát từ đỉnh V, đi theo đườngD với nhãn x tức là D =x. Nếu đường này kết thúc tại đỉnh i, mà 0≤ i≤ m−1 thì i chính là số dư cần tìm.
Chẳng hạn: Hãy tìm số dư khi chia 3548 cho 3? Dựa vào nguồn đồng dư được xây dựng ở Ví dụ 2.1.1.1:
Giải bài toán ngược, ta xuất phát từ đỉnh kết r theo mođul m ta đi theo đường T ngắn nhất (hoặc đường xuất phát từ đỉnh r vào v có l cung), khi đó nhãn i của đường T là số cần tìm. Tức i≡ r (mod m).
Chẳng hạn: Tìm một số nguyên dương gồm 4 chữ số, mà khi chia số này cho 3 dư 1. Dựa vào nguồn đồng dư được xây dựng ở Ví dụ 2.1.1.1 ta có
Số cần tìm là 6853.
b. Thuật toán xây dựng nguồn hai vòng đỉnh
Ở đây, để có nguồn Imr sinh tất cả các số nguyên dương khi chia cho m dư r ta cũng dựa vào thuật toán chia Euclid để xác định đỉnh và cung.
- Đỉnh: Ta vẽ vòng tròn lớn và vòng tròn nhỏ đồng tâm. + Đỉnh vào: Lấy tâm của hai vòng tròn là đỉnh vào V
+ Đỉnh trên đường tròn nhỏ: Trên đường tròn nhỏ lấy m điểm và ghi m số dư 0,1,2, . . . , i, . . . , m−2, m−1, mà khi chia các số cho m nhận được.
+ Đỉnh trên đường tròn lớn: Mỗi đỉnh trên đường tròn nhỏ lấy một mảng