skkn lý thuyết đồ thị và ứng dụng

Lý thuyết đồ thị ứng dụng LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị có vai trò quan trọng giải toán khó, toán không mẫu mực Nhằm bồi dưỡng tư toán học cho học sinh, xin giới thiệu vài kiến thức lý thuyết đồ thị ứng dụng toán không mẫu mực Để giải toán thông qua đồ thị ta cần thực theo hai bước: - Xây dựng đồ thị để mô tả quan hệ, điều kiện phát biểu toán - Căn vào kết lý thuyết đồ thị để suy đáp án Bản thân cố gắng nhiều chắn sai sót, mong góp ý quý đồng nghiệp Người viết Huỳnh Công Tráng Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa đồ thị Tập hợp X   đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, đồng thời ký hiệu G(X,E) (hoặc G = (X, E) G(X)) Các phần tử X gọi đỉnh Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng hay cung Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vô hướng, đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung gọi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp Một cặp đỉnh nối với hai nhiều hai cạnh (hai hay nhiều hai cung hướng) Các cạnh (cung) gọi cạnh (cung) bội Một cung (hay cạnh) bắt đầu kết thúc đỉnh Cung hay cạnh loại gọi khuyên hay nút Cặp đỉnh x, y nối với cạnh (cung) a, x, y gọi đỉnh hay hai đầu cạnh (cung) a a gọi cạnh (cung) thuộc đỉnh x, đỉnh y Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u vào đỉnh v, u gọi đỉnh đầu, v gọi đỉnh cuối cung b Cặp đỉnh x, y gọi hai đỉnh kề nhau, x khác y hai đầu cạnh hay cung Đối với đỉnh x dùng D(x) để tập đỉnh, mà đỉnh nối với x cạnh; D+(x) để tập đỉnh, mà đỉnh từ x có cung tới; D-(x) để tập đỉnh mà đỉnh có cung tới x Hai cạnh (cung) a, b gọi kề nhau, - Chúng khác - Chúng có đỉnh chung (nếu a, b cung, không phụ thuộc vào đỉnh Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng chung đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung b) Một số dạng đồ thị đặc biệt Trong trường hợp không cần phân biệt cạnh cung ta quy ước dùng cạnh thay cho cung Đồ thị G(X, E) khuyên cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Đồ thị G(X, E) khuyên có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đồ thị vô hướng (có hướng) G(X, E) gọi đồ thị - đầy đủ, cặp đỉnh nối với cạnh (một cung với chiều tùy ý) Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hai mảng tập đỉnh X phân thành hai tập rời X1; X2  X1  X  X , X1  X   cạnh có đầu thuộc X1, đầu thuộc X2 Khi G(X, E) ký hiệu G(X1; X2; E) Bậc đỉnh Giả sử G(X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng hướng Số cạnh cung thuộc đỉnh x gọi bậc đỉnh x ký hiệu m(x) Một số tính chất a Tính chất Trong đồ thị hay đa đồ thị tùy ý, tổng số bậc tất đỉnh gấp đôi số cạnh Chứng minh Thật vậy, tính bậc đỉnh cạnh vô hướng có hướng tính đầu lần, nên ta có tính chất b Tính chất Trong đồ thị hay đa đồ thị tùy ý số đỉnh bậc lẻ luôn số chẵn Chứng minh Giả sử đồ thị (đa đồ thị) G(X,E) có n đỉnh, m cạnh Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng X  x1; x2 ; ; xk ; xk 1; ; xn1; xn  Các đỉnh x1 , x2 , , xk bậc lẻ xK 1 , xk 2 , , xn1; xn bậc chẵn Theo tính chất ta có m( x1 )  m( x2 )   m( xk )  m( xk 1 )  m( xk  )   m( xn1 )  m( xn )  2.m A B Vì B tổng số chẵn, nên B số chẵn Do A = 2.m - B phải số chẵn Số chẵn A tổng k số lẻ, nên k phải chẵn Bởi số đỉnh bậc lẻ đồ thị hay đa đồ thị phải số chẵn c Tính chất Trong đồ thị với n ( n  ) đỉnh có hai đỉnh bậc Chứng minh Giả sử G(X, E) đồ thị tùy ý với X  n  Xét hai khả năng: - Nếu đồ thị có đỉnh bậc 0, đồ thị đỉnh kề với tất đỉnh lại, nên đỉnh đồ thị có bậc n – số nguyên: 0;1;2;3; ; n-3; n-2 - Nếu đồ thị có đỉnh bậc n – 1, đồ thị đỉnh bậc Bởi bậc đỉnh thuộc đồ thị n- số nguyên 1; 2; ; n-2; n-1 Từ kết khẳng định rằng, đồ thị G(X, E) với n đỉnh, có không n-1 loại bậc Do phải có hai đỉnh bậc Khẳng định chứng minh d Tính chất Nếu đồ thị với n ( n>2) đỉnh có hai đỉnh bậc hai đỉnh đồng thời có bậc n-1 Chứng minh: Giả sử hai đỉnh x, y hai đỉnh bậc đồ thị G(X, E) có bậc bậc n-1 Loại x, y tất cạnh thuộc chúng khỏi đồ thị G ta đồ thị G1 có n -2 đỉnh Theo tính chất G1 có hai đỉnh bậc, chẳng hạn u, v Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng - Nếu x, y bậc 0, u,v G không kề với x, y nên u, v đồng thời đỉnh bậc đồ thị G Như vậy, đồ thị G phải có cặp đỉnh bậc - Nếu x, y có bậc n- Khi đó, đỉnh u,v kề đồng thời với x, y nên đồ thị G đỉnh u,v bậc Như vậy, đồ thị G phải có cặp đỉnh bậc Cả hai trường hợp dẫn đến mâu thuẫn với tính chất: Đồ thị G có cặp đỉnh bậc, nên x, y bậc bậc n- Khẳng định chứng minh e Tính chất Số đỉnh bậc n-1 đồ thị G với n ( n  ) đỉnh, mà đỉnh tùy ý có đỉnh kề với đỉnh lại, không nhỏ n- Chứng minh: - Nếu G đầy đủ, khẳng định - Nếu G có cặp đỉnh không kề Khi G có n- đỉnh bậc n- - Nếu G có hai cặp đỉnh không kề nhau, chúng phải có đỉnh chung Thật vậy, giả sử A, B, I, D hai cặp đỉnh không kề Nếu hai cặp đỉnh đỉnh chung, đỉnh A, B, I, D đỉnh kề với ba đỉnh lại, mâu thuẫn với giả thiết, nên hai cặp A, B; I, D phải có hai đỉnh trùng chẳng hạn B trùng I Lấy đỉnh C tùy ý khác với A, B, D Trong bốn A, B, C, D đỉnh C kề với ba đỉnh A, B, D Loại D khỏi bốn thay vào đỉnh E tùy ý khác với A, B, C, D Trong bốn A, B, C, E C E phải kề với ba đỉnh lại, E kề với ba đỉnh lại, C kề với E Do C kề với ba đỉnh A, B, E Do E đỉnh tùy ý n- đỉnh lại ( khác đỉnh A, B, C) nên C có bậc n-1 Do C đỉnh tùy ý n – đỉnh khác A, B, D nên đồ thị có n -3 đỉnh bậc n -1 Khẳng định chứng minh Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng f Tính chất Với số tự nhiên n ( n > 2), tồn đồ thị n đỉnh mà đỉnh đồ thị không bậc Chứng minh: Với n = đồ thị G3 gồm đỉnh bậc hai đỉnh bậc Giả sử khẳng định với đồ thị Gn có n đỉnh Đồ thị Gn+1 có n +1 đỉnh xây dựng sau: - Nếu Gn có đỉnh bậc n- 1, đỉnh bậc 0, ta ghép vào Gn đỉnh x bậc Gn+1 gồm n +1 đỉnh việc ghép thêm đỉnh x bảo toàn tính chất Gn: ba đỉnh không bậc đồ thị Gn đỉnh bậc 0, nên Gn+1 ba đỉnh không bậc - Nếu Gn đỉnh bậc n -1 Khi tất đỉnh Gn có bậc không vượt n -2 Thêm vào Gn đỉnh x (không thuộc Gn) nối x với đỉnh Gn cạnh đồ thị Gn+1 có n +1 đỉnh Đỉnh x có bậc n, bậc đỉnh thuộc Gn Gn+1 tăng lên đơn vị không vượt n- bậc ba đỉnh Gn không bậc Khẳng định chứng minh g Tính chất Đồ thị hai mảng G(Y,Z,E) với đỉnh y thuộc Y có m( y)  , đồng thời có tính chất: hai cặp đỉnh y1; y2; z1; z2  thỏa mãn điều kiện: Nếu y1 kề với z1; y2 kề với z2 hai cặp đỉnh y1,z2; y2,z1 có cặp đỉnh kề Khi tập Z có đỉnh kề với tất đỉnh thuộc Y Chứng minh: Ký hiệu Y  m, Z  n Xét ba khả sau: *) m =1: Do Y có phần tử y, mà m( y)  , tập Z có phần tử z kề với y Do m( z )   Y *) m > 1, n = theo giả thiết với y thuộc Y có m( y)  nên đỉnh z tập Z phải kề với tất đỉnh thuộc Y hay m( z )  Y *) m > 1, n >1 Gọi z đỉnh có bậc lớn tập Z +) Nếu m( z )  Y khẳng định chứng minh Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng +) Giả sử m( z)  k  m  Y Ký hiệu y1; y2; …;yk đỉnh kề với z yk+1 phải kề với đỉnh t  Z , t  z Xét hai cặp đỉnh ( z; yi ),(t , yk 1 ) với i = 1;2;…;k t kề với yk+1, nên m(t )  k   k  m( z ) Điều mâu thuẫn với giả thiết m(z) cực đại Khẳng định dược chứng minh h) Tính chất Trong đồ thị G(X, E) với kn +1 đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ (k -1)n +1, luôn tồn đồ thị đầy đủ gồm k +1 đỉnh Chứng minh Chứng minh quy nạp Với k =1, khẳng định Với k = làm chặt giả thiết: Nếu đồ thị 2n +1 đỉnh, mà đỉnh có bậc không nhỏ n, có đồ thị đỉnh đầy đủ Thật vậy, xét đỉnh x tùy ý, y đỉnh kề với x Tổng số đỉnh kề với x y không nhỏ 2n, số đỉnh khác x y 2n -1 Vậy phải có đỉnh z tính lần Khi đó, x, y, z tạo thành đồ thị đầy đủ đỉnh Giả sử, khẳng định với k Cần chứng minh khẳng định với k + Theo giả thiết, đồ thị G gồm (k+1)n +1 đỉnh, số đỉnh kề với đỉnh x tùy ý không nhỏ kn + 1, nên số đỉnh G không kề với x không vượt n Bởi vậy, đỉnh y kề với x, kề với nhiều n đỉnh không kề với đỉnh x Do đỉnh y phải kề với kn +1 – n = (k-1)n+1 đỉnh kề với x Xét đồ thị G1 gồm đỉnh kề với x Đồ thị G1 có kn +1 đỉnh đỉnh kề với (k -1)n +1 đỉnh thuộc G1, nên theo giả thiết quy nạp, G1 có đồ thị đầy đủ G2 gồm k+1 đỉnh Vì đỉnh x kề với đỉnh thuộc G2, nên đỉnh x kết hợp với đỉnh thuộc G2 lập thành đồ thị đầy đủ gồm k+2 đỉnh đồ thị G Khẳng định chứng minh Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng II Ứng dụng tính chất Bài Chứng minh lớp học tùy ý số học sinh mà người có số lẻ bạn thân lớp, luôn số chẵn Bài Chứng minh số người mà người có số lẻ lần bắt tay trái đất số chẵn Bài Chứng minh họp tùy ý gồm từ đại biểu trở lên, luôn có đại biểu, mà họ có số người quen đại biểu đến dự họp Bài Chứng minh nhóm tùy ý gồm ba người, mà có hai người có số người quen nhau, họ đồng thời không quen đồng thời quen tất người lại ttrong nhóm Bài Một hội thảo quốc tế với n,(n  4) đại biểu tham gia Cứ bốn đại biểu đến dự có người nói chuyện trực tiếp với ba người lại Chứng minh có n -3 đại biểu mà người nói chuyện trực tiếp với tất người lại Bài Chứng minh với số tự nhiên n(n  2) luôn tìm nhóm gồm n người, mà ba người nhóm số người quen Bài Hai xã A, B cạnh Mỗi gia đình xã A quen với gia đình xã B, đồng thời hai gia đình y1, y2 thuộc xã A, hai gia đình túy ý z1; z2 thuộc xã B thỏa mãn điều kiện: Nếu gia đình y1 quen với gia đình z1, gia đình y2 quen với gia đình z2 hai cặp gia đình y1,z2; y2,z1 có cặp gia đình quen Chứng minh xã B có gia đình quen với tất gia đình thuộc xã A Bài Chứng minh quần đảo tùy ý gồm kn + đảo (k, n số nguyên dương) đảo có đường ngầm nối với (k-1)n +1 đảo thuộc quần đảo này, luôn tồn nhóm gồm k+1 đảo, mà đảo có đường hầm đến đảo thuộc nhóm Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng Để giải toán trước hết ta chuyển chúng toán đồ thị, dựa vào tính chất để suy kết luận toán tương ứng Bài Xây dựng đồ thị G - Đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với học sinh lớp, đồng thời dùng mã số em, để ghi điểm tương ứng - Cạnh: Trong đồ thị G đỉnh x, y nối cạnh hai học sinh x, y thân Với cách xây dựng đồ thị trên, bậc đỉnh thuộc G số người quen học sinh tương ứng với đỉnh Theo tính chất số đỉnh bậc lẻ G số lẻ, nên số học sinh mà người có số lẻ bạn thân lớp phải số chẵn Các tập 2, 3, 4, 5, 6, 7, giải tương tự nhờ tính chất c,d,e,f,g,h III Xích, chu trình, sắc số đồ thị màu Xích, chu trình Giả sử G(X, E) đồ thị hay đa đồ thị vô hướng Dãy  đỉnh G(X, E):    x1 , x2 , , xi ; xi 1 , , xn1 , xn  gọi xích hay dây chuyền, i (1  i  n 1) cặp đỉnh xi , xi 1 kề Các đỉnh x0; xn gọi hai đỉnh đầu xích  Một xích với hai đầu trùng nhau, gọi chu trình Xích (chu trình)  , gọi xích (chu trình) đơn (sơ cấp hay bản), qua cạnh (mỗi đỉnh) không lần Sắc số đồ thị màu a Định nghĩa: Cho trước số nguyên dương p Ta nói đồ thị G p sắc, p màu khác tô đỉnh (mỗi đỉnh màu), cho hai đỉnh kề tùy ý có màu khác Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng b Sắc số: Số p nhỏ nhất, mà số đồ thị G p sắc, gọi sắc số đồ thị G ký hiệu  (G) Nói cách khác, sắc số đồ thị số màu cần dùng để tô đỉnh đồ thị (mỗi đỉnh màu), cho hai đỉnh kề tùy ý tô hai màu khác c Sắc lớp: Số màu cần dùng để tô cạnh đồ thị (mỗi cạnh màu), cho hai cạnh kề tùy ý có màu khác Lớp đồ thị có chu trình tam giác màu Để phục vụ cho việc giải lớp toán cần xem xét dãy số đặc biệt đưa khẳng định thích hợp, chẳng hạn, để xây dựng lớp đồ thị có chu trình tam giác màu người ta đưa dãy số nguyên dương: a1  2; a2  5; ; an1  (n  1)an  b2  3; b3  6; ; bn1  (bn  1)n  a) Khẳng định Một đồ thị đầy đủ vô hướng với an + đỉnh, cạnh tô n màu có chu trình tam giác màu Chứng minh quy nạp Khi n =1 Đồ thị đầy đủ tương ứng gồm a1 +1 = 2+1 =3 đỉnh lập thành chu trình tam giác Các cạnh đồ thị tô màu, nên chu trình tam giác lập nên G1 màu Giả sử khẳng định với n = k, nghĩa là, đồ thị đầy đủ Gk gồm ak+1 đỉnh với cạnh tô k màu có chu trình tam giác màu Cần chứng minh khẳng định với n = k+1 Xét đồ thị đầy đủ tùy ý Gk+1 với ak+1 + đỉnh cạnh tô k+1 màu Giả sử P đỉnh tùy ý Gk+1 Khi P nối với ak+1=(k+1)ak + đỉnh cạnh tô không k +1 màu, nên xuất phát từ P phải có ak + cạnh tô màu Giả sử màu màu đỏ cạnh PA1; PA2; ; PAa ; PAa 1 tô màu đỏ Có hai khả xảy ra: k Huỳnh Công Tráng k Trang 10 Lý thuyết đồ thị ứng dụng - Nếu cạnh nối Ai; Aj 1  i, j  ak  1 tô màu đỏ, chẳng hạn (A1,A2) màu đỏ Khi chu trình tam giác A1PA2 màu đỏ, nên đồ thị Gk+1 có chu trình tam giác màu đỏ - Trường hợp ngược lại, cạnh cạnh(AiAj) 1  i, j  ak  1 tô màu đỏ, Khi tồn đồ thị đầy đủ Gk với tập đỉnh {A1; A2 ; ; Aak ; Aa } có cạnh tô không k màu, nên theo giả k 1 thiết quy nạp Gk có chu trình tam giác màu Bởi Gk+1 có chu trình tam giác màu b) Khẳng định Một đồ thị đầy đủ vô hướng với bn+1 đỉnh, cạnh tô n màu luôn có chu trình ta giác màu Chứng minh quy nạp Các ví dụ a.Ví dụ Trên mặt phẳng lấy điểm, ba điểm thẳng hàng, khoảng cách cặp điểm khác đôi Chứng minh tồn cặp điểm, mà đoạn thẳng nối chúng cạnh ngắn thuộc tam giác đó, đồng thời cạnh dài tam giác khác tam giác có đỉnh điểm cho? Giải Để giải toán trước hết dùng màu xanh để tô đoạn thẳng cạnh ngắn tam giác tam giác có đỉnh điểm cho Phần lại tô màu đỏ Khi đồ thị G gồm đỉnh, cạnh tô hai màu Theo khẳng định 1, đồ thị G có chu trình tam giác màu Do khoảng cách cặp điểm cho khác đôi nên tam giác với đỉnh điểm cho có cạnh ngắn mà cạnh dùng màu xanh để tô trước Bởi chu trình tam giác màu phải tam giác xanh Khi cạnh dài tam giác đoạn thẳng cần tìm Huỳnh Công Tráng Trang 11 Lý thuyết đồ thị ứng dụng b.Ví dụ Mười bảy nhà khoa học đến dự hội nghị quốc tế, người số họ biết ba ngoại ngữ: Anh, Nga, Pháp Chứng minh có ba nhà khoa học biết ba ngoại ngữ nói Giải Lấy 17 điểm, ba điểm thẳng hàng tương ứng với 17 nhà khoa học đến dự họp Đoạn thẳng nối hai điểm tương ứng với hai nhà khoa học Cùng biết tiếng Anh tô màu xanh Cùng biết tiếng Nga tô màu đỏ Cùng biết tiếng Pháp tô màu vàng Khi đồ thị G3 gồm 17 đỉnh, cạnh tô màu, nên theo khẳng định tương ứng với n = 3, đồ thị G có chu trình tam giác màu Do ba nhà khoa học tương ứng với ba đỉnh thuộc chu trình biết ngoại ngữ IV Một số tập khác Bài Trong thi đấu bóng bàn An Bình quy ước với nhau: Người thắng người thắng ba ván thắng hai ván liên tiếp Hãy xác định số khả xảy ra? Giải Dùng A để ký hiệu An thắng, B để ký hiệu Bình thắng Dùng đồ thị để mô tả toàn trạng có khả xảy Xây dựng cây: Xuất phát từ đỉnh S Ván có hai khả năng: An thắng Bình thắng, nên lấy hai điểm cho hai điểm với S không thẳng hang Một hai điểm ghi A, điểm ghi B Nối S với A bằng đoạn thẳng đoạn cong để biểu thị A thắng Tương tự để biểu thị B thắng nối S với B đoạn thẳng đoạn cong Ván thứ hai lại có hai khả năng: An thắng Bình thắng nên xuất phát từ A lấy hai điểm ghi ký hiệu tương ứng A, B từ A kẻ hai đoạn thẳng hai đoạn cong tới hai điểm them Đối với điểm B chọn Huỳnh Công Tráng Trang 12 Lý thuyết đồ thị ứng dụng thêm hai đỉnh ghi A B, từ B kẻ hai đoạn thẳng hay hai đoạn cong tới hai điểm thêm Tiếp tục thực kéo dài đường cách tương tự, quy ước An Bình đường mà xuất hai đỉnh liên tiếp ghi ký hiệu có ba đỉnh ghi ký hiệu không kéo dài A A A A A B B B B S B B B B B A A A A Hình Vì An Bình đấu với ván, có người thắng ván liên tiếp có người thắng ba ván Do đường xuất phát từ S qua cạnh (hình 1) Cây có 10 đỉnh ngọn, nên có 10 khả xảy Bài toán Trên đảo có số cụm dân cư Mỗi cum dân cư có hai đường lớn ba đường mòn Mỗi đường lớn đường mòn dẫn tới cụm dân cư khác Hai cụm dân cư khác nối liền đường lớn đường mòn Hỏi đảo có đường mòn đường lớn? Giải Trước hết ta cần khẳng định đảo có cụm dân cư Thật vậy, cụm dân cư ta biểu diễn điểm Hai cụm dân cư có đường lớn (đường mòn) nối với nhau, thi hai cụm tương ứng nối đường nét liền (đường nét đứt) Vì xuất phát từ cụm dân cư có hai Huỳnh Công Tráng Trang 13 Lý thuyết đồ thị ứng dụng đường lớn ba đường mòn ra, nên xuất phát từ điểm chọn chẳng hạn A, có hai đường nét liền ba đường nét đứt Bởi với điểm chọn (A) nối với điểm khác B, C, D, E, F đường nét liền hay đường nét đứt Như phải có cụm dân cư (6 điểm chọn) Mặt khác hai cụm dân cư tùy ý phải có đường nối với nên điểm nối tới với điểm Do không điểm điểm A, B, C, D, E, F Bởi có đường lớn đường nhỏ Căn vào yêu cầu toán đơn cử vài khả xảy sau: A A F B E C F B E C D D Bài toán Trong giải bóng đá có đội Anh, Đan Mạch, Hà Lan; Thụy Điển vào bán kết Có dự đoán xếp hạng sau - Đan Mạch vô địch, Thụy Điển nhì - Đan Mạch nhì, Hà Lan ba - Anh nhì, Hà Lan tư Kết dự đón đội Hãy cho biết kết xếp hạng đội? Giải Dùng xi để ký hiệu đội x xếp hạng i (1  i  4) Ta vẽ cây, hai nhánh ứng với dự đón thứ Đ1, T2 Từ nhánh lại có hai nhánh ứng với dự đón thứ hai Tiếp tục rẽ nhánh ứng với dự đón thứ ba Ta chọn đường từ gốc O tới điểm thỏa mãn điều kiện: - Một đội xếp hai hạng khác - Hai đội xếp hạng Huỳnh Công Tráng Trang 14 Lý thuyết đồ thị ứng dụng Suy có đường Đ1H3A2 thỏa mãn Đường tô đậm Đ1H3A2 thỏa mãn điều kiện dự đón đội mà thứ tự ghi đường Vậy kết xếp hạng sau: Đan Mach vô địch; Anh nhì; Hà Lan ba; Thụy Điển tư A2 A2 H4 A2 H4 A2 H4 Đ2 H3 H4 T2 Đ2 H3 Đ1 O Bài toán Một quần đảo có 2n(n  1) đảo Mỗi đảo có đường ngầm nối trực tiếp với n đảo khác Chứng minh từ đảo thuộc quần đảo tới đảo thuộc quần đảo đường ngầm Giải *) Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ Đỉnh: Lấy 2n điểm tương ứng với 2n đảo Dùng tên đảo để ghi điểm tương ứng Cạnh: Cặp điểm x, y nối đoạn thẳng đọan cong không qua điểm trung gian khác hai đảo tương ứng có đường ngầm nối với Đồ thị nhận ký hiệu G Nó mô tả toàn mối liên hệ đường ngầm quần đảo *) Suy giải Huỳnh Công Tráng Trang 15 Lý thuyết đồ thị ứng dụng Đối với đỉnh x đồ thị G số cạnh xuất phát từ số đường ngầm xuất phát từ đảo tương ứng Bởi vậy, bậc đỉnh không nhỏ n, nên tổng bậc hai đỉnh tùy ý không nhỏ số đỉnh đồ thị (2n) Khi đó, hai đỉnh tùy ý x, y đồ thị G có đường nối với Mặt khác, cạnh đường biểu thị đường ngầm nối trực tiếp hai đảo, nên đường nối hai điểm x, y biểu thị đường ngầm nối hai đảo tương ứng với x y Do từ đảo đường ngầm tới đảo lại Bài Trong họp có hai đại biểu không quen đại biểu có số lẻ người quen đến dự Chứng minh luôn xế số đại biểu chen hai đại biểu nói trên, để người ngồi hai người mà anh (chị ) ta quen Giải *) Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với đại biểu đến dự hội nghị Dùng tên đại biểu để ghi điểm tương ứng Hai điểm tùy ý x, y nối đoạn thẳng đại biểu x, y quen Đồ thị nhận ký hiệu G *) Suy giải Hai đại biểu hông quen nhau, hai đỉnh tương ứng không kề Mỗi đại biểu lại có số lẻ người quen đến họp, nên đồ thị G có hai đỉnh bậc lẻ hai đỉnh lại không kề Khi hai đỉnh lien thong, nên có đường nối hai đỉnh bậc lẻ Giả sử d đường nối hai đỉnh bậc lẻ Dựa vào d ta xếp đại biểu tương ứng ngồi hai đại biểu hai đỉnh bậc lẻ, đại biểu ngồi hai người mà anh (chị) ta quen Huỳnh Công Tráng Trang 16 Lý thuyết đồ thị ứng dụng Bài tập Bài Để mừng đạt giải kỳ thi toán quốc gia Một gia đình dự định mời tiệc Trong số khách mời: a) Người chồng muốn có ba người đôi quen b) Người vợ lại muốn có người đôi chưa quen Hỏi họ phải mời bạn, để mong muốn chồng vợ thỏa mãn Bài Cho số nguyên dương tùy ý Chứng minh chọn số mà bộ, đôi nguyên tố không nguyên tố Bài Có 20 đội bóng thi đấu với nhau, đội phải đấu trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận nhau? Bài Có 16 em thi đấu bóng bàn Theo lịch em phải thi đấu với bạn khác trận Hiện em thi đấu 11 trận Chứng minh rằng, tìm em mà em đấu với ba em lại Bài Có n số tự nhiên tùy ý  n  3 số có ước chung với số Chứng minh ghi phần tập số lên vòng tròn để số có ước chung với hai số bên cạnh Bài Cho điểm mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng Một số cặp điểm nối với đoạn thẳng Dùng n để số đoạn thẳng nối giữ cặp điểm Mỗi đoạn thẳng tô màu xanh màu đỏ Tìm giá trị nhỏ n, cho với cách tô màu cho n đoạn thẳng nối luôn tồn tam giác có cạnh màu Bài Một họp có đại biểu đến dự, người quen hai đại biểu khác, chứng minh xếp số đại biểu ngồi xung quanh bàn tròn để người ngồi hai đại biểu mà người quen Bài Trong thành phố có số tuyến xe buýt thỏa mãn với điều kiện san: Trên tuyến có ba bến đỗ Hai tuyến có chung Huỳnh Công Tráng Trang 17 Lý thuyết đồ thị ứng dụng bến đỗ Từ bến sang bến khác xe buýt mà chuyển xe Hỏi có tuyến xe buýt bến đỗ Huỳnh Công Tráng Trang 18 Lý thuyết đồ thị ứng dụng Kết luận Rất nhiều toán không mẫu mực giải cách thông qua đồ thị mà suy đáp án Phương pháp gọi phương pháp graph (hay phương pháp đồ thị) Để giải toán thông qua đồ thị ta cần thực theo hai bước: - Xây dưng đồ thị để mô tả quan hệ, điều kiện phát biểu toán - Căn vào kết lý thuyết đồ thị để suy đáp án Trong sáng kiến kinh nghiệm này, xin giới thiệu số khái niệm lý thuyết đồ thị, số kết vận dụng kết vào giải số toán không mẫu mực Huỳnh Công Tráng Trang 19 Lý thuyết đồ thị ứng dụng Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị ứng dụng - Tác giả: Đặng Huy Ruận Các đề thi vô địch toán nước tập I, II, - Nguyễn Đễ - Nguyễn Khánh Nguyên (dịch) Nguồn tài liệu Internet Huỳnh Công Tráng Trang 20 Lý thuyết đồ thị ứng dụng Mục lục Trang Lời nói đầu Các khái niệm Ứng dụng Xích, chu trình, sắc số đồ thị màu Một số tập 12 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 Huỳnh Công Tráng Trang 21 ... tự gọi cạnh có hướng hay cung Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vô hướng, đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung gọi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp Một cặp đỉnh nối với... cung Đồ thị G(X, E) khuyên cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Đồ thị G(X, E) khuyên có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đồ thị. .. nên đồ thị có n -3 đỉnh bậc n -1 Khẳng định chứng minh Huỳnh Công Tráng Trang Lý thuyết đồ thị ứng dụng f Tính chất Với số tự nhiên n ( n > 2), tồn đồ thị n đỉnh mà đỉnh đồ thị không bậc Chứng