Lý thuyết đồ thị với các bài toán phổ thông

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———– NGUYEN TH± MINH THƯƠNG LÝ THUYET ĐO TH± VéI CÁC BÀI TỐN PHO THƠNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———– NGUYEN TH± MINH THƯƠNG LÝ THUYET ĐO TH± VéI CÁC BÀI TỐN PHO THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n HÀ N®I 2015 Mnc lnc Lài nói đau Đai cương ve đo th% 1.1 Đ%nh nghĩa đo th% 1.2 Mđt so dang o th% ắc biắt 1.3 B¾c cna đinh đo th% 1.3.1 B¾c cna đinh 1.3.2 Nua b¾c 1.3.3 M®t so tính chat 1.4 Xích, chu trình, đưòng, vòng 1.4.1 Xích, chu trình 1.4.2 Đưòng, vòng 1.4.3 M®t so tính chat 1.5 Đo th% liên thông 1.5.1 Đ%nh nghĩa 1.5.2 Tính chat 1.6 So őn đ%nh trong, so őn đ%nh 1.6.1 So őn đ%nh 1.6.2 So őn đ%nh 1.6.3 Các thu¾t tốn tìm so őn đ%nh trong, so őn đ%nh 1.7 Nhân cna đo th% úng dung vào trò chơi 1.7.1 Đ%nh nghĩa 1.7.2 Tính chat 1.7.3 Trò chơi Nim 1.7.4 Trị chơi boc v¾t 1.8 Cây bui 1.8.1 Đ%nh nghĩa 1.8.2 Đ¾c điem cna bui 4 8 13 13 14 15 16 16 17 18 18 19 20 21 21 22 23 24 29 29 30 M®t so tốn đo th% ban 33 2.1 Bài tốn ve đưịng 33 2.1.1 Đưòng Euler - Chu trình Euler .33 2.1.2 Đưịng Hamilton - Chu trình Hamilton 40 2.2 Bài tốn tơ màu đo th% 43 2.2.1 Đ%nh nghĩa 43 2.2.2 M®t so tính chat 43 2.2.3 Thu¾t tốn tơ màu đinh 53 Úng dnng lý thuyet đo th% vào giai tốn thơng 54 3.1 Quy trình giai tốn bang phương pháp đo th% .54 3.1.1 Xây dnng đo th% G mơ ta quan h¾ 54 3.1.2 Dna vào ket qua cna lý thuyet đo th% ho¾c lý lu¾n trnc tiep suy đáp án cna toán D 54 3.2 Bài toán ve đinh - canh cna đo th% 55 3.3 Bài tốn ve xích, chu trình, đưịng, vịng tính liên thơng cna đo th% 58 3.4 Bài tốn ve tơ màu đo th% 63 3.5 Bài toán liên quan đen so őn đ%nh trong, so őn đ%nh 74 3.6 Bài tốn liên quan đen đưịng 76 3.6.1 Bài tốn tìm đưịng mê cung 76 3.6.2 Bài toán liên quan đen đưịng chu trình Euler 80 3.6.3 Bài tốn liên quan đen đưịng chu trình Hamilton 82 3.7 Bài toán liên quan đen 84 Ket lu¾n 89 Tài li¾u tham khao 90 LèI NĨI ĐAU Lý thuyet đo th% m®t nhung ngành khoa HQc địi sóm Lý thuyet đo th% giúp mơ ta hình HQc giai quyet nhieu tốn thnc te phúc tap Khái ni¾m lý thuyet đo th% đưoc nhieu nhà khoa HQc đ®c l¾p nghiên cúu có nhieu đóng góp lĩnh vnc tốn HQc úng dung Năm 2001, B® Giáo Duc Đào Tao có quy đ%nh chuyên đe boi dưõng HQc sinh gioi thong nhat toàn quoc, có chun đe lý thuyet đo th% Như v¾y, vi¾c HQc chun đe Lý Thuyet Đo Th% đoi vói HQc sinh gioi nhu cau thnc te day HQc tốn o phő thơng Tuy nhiên, viắc day HQc chuyờn e ny cũn ton tai mđt so khó khăn nhung lý khác M®t lý sn mói me, đ®c đáo khó cna chn đe kien thúc Lu¾n văn "Lý thuyet đo th% vói tốn phő thơng" đưa đen sn sáng tao cách nhìn nh¾n tốn l¾p lu¾n cách giai dưói mat cna lý thuyet đo th% Ngoài phan mo đau ket lu¾n lu¾n văn gom chương: Chương Đai cương ve đo th% Chương M®t so tốn đo th% ban Chương Úng dung lý thuyet đo th% vào giai tốn phő thơng Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan, giúp đõ t¾n tình cna GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n, tác gia xin bày to sn kính TRQNG lịng biet ơn sâu sac tói thay Tác gia xin gui lòi cam ơn chân thành đen Ban giám hi¾u thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i tao đieu ki¾n, day bao dìu dat tác gia nhung năm HQc vùa qua Xin chân thành cam ơn sn giúp đõ cna ban bè, ngưòi thân thịi gian HQc t¾p làm lu¾n văn Do kha nh¾n thúc cna ban thân tác gia, lu¾n văn cịn nhieu han che, thieu sót Tác gia kính mong ý kien chi bao cna quý thay cô sn đóng góp cna ban ĐQc Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng năm 2015 Chương Đai cương ve đo th% 1.1 Đ%nh nghĩa đo th% T¾p hop X ƒ= ∅ đoi tong v bđ E cỏc cắp sap thỳ tn v không sap thú tn phan tu cna X đưoc GQI l mđt o th%, ong thũi oc ký hiắu bang G(X, E) (ho¾c G = (X, E) ho¾c G(X)) Hình 1.1: Ví di ve mơ hình đo th% Các phan tu cna X đưoc GQI đinh C¾p đinh khơng sap thú tn đưoc GQI canh, c¾p đinh sap thú tn đưoc GQI canh có hưóng hay cung Đo th% chi chúa canh đưoc GQI đo th% vơ hưóng, cịn đo th% chi chúa cung đưoc GQI đo th% có hưóng Neu đo th% chúa ca canh lan cung đưoc HQI đo th% hon hop hay đo th% hon tap Mđt cắp inh cú the oc noi vúi bang hai ho¾c nhieu hai canh (hai ho¾c nhieu hai cung m®t hưóng) Các canh (cung) đưoc GQI canh (cung) b®i M®t cung (hay m®t canh) có the bat đau ket thúc tai m®t đinh Cung (canh) loai đưoc GQI khun hay nút C¾p đinh x,y đưoc noi vói bang canh (cung) a a đưoc GQI canh (cung) thu®c đinh x, đinh y Neu cung b xuat phát tù đinh u vào đinh v u đưoc GQI đinh đau, v đưoc GQI đinh cuoi cna cung b C¾p đinh x, y đưoc GQI hai đinh ke neu x ƒ= y hai đau cna m®t canh hay mđt cung + banginh ớt nhat mđtD(x) canh; chi đinhđinh mà moi đinhnoi Đoivói vóix MQI x dùng đe Dchi(x) t¾pđeđinh, mà moi − đưoc tù x có cung tói; D (x) đe chi t¾p đinh mà moi đinh có cung tói x Hai canh (cung) a,b đưoc GQI ke nhau, neu: i) Chúng khác ii) Chúng có đinh chung (neu a, b cung, khơng phu thu®c vào đinh chung đinh đau hay đinh cuoi cna cung a, đinh đau hay đinh cuoi cna cung b) Ví dn 1.1 Cho đo th% hőn hap có khuyên G(X, E) vái t¾p đsnh t¾p canh cung X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}, E = {x1, x2; x2, x3; x4, x6; x5, x6; x3, x3; x1, x6; x5, x5} = {a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2}, a1, a2, a3, a4, a5 canh; b1, b2 cung Hình 1.2 1.2 M®t so dang đo th% đ¾c bi¾t Trong nhung trưịng hop khơng can phân bi¾t giua canh cung ta quy ưóc dùng canh thay cho ca cung Đo th% G = (X, E) khơng có khun moi c¾p đinh đưoc noi vói bang khơng q m®t canh, đưoc GQI đo th% đơn hay đơn đo th% thông thưòng đưoc GQI đo th% Đo th% G = (X, E) khơng có khun có nhat m®t c¾p đinh đưoc noi vói bang tù hai canh tro lên đưoc GQI đa đo th% Đo th% G = (X, E) đưoc GQI vơ hưóng neu canh E khơng đ%nh hưóng Đo th% G = (X, E) đưoc GQI có hưóng neu canh E có đ%nh hưóng Hình 1.3 Đo th% vơ hưóng (có hưóng) G = (X, E) đưoc GQI đo th% đay đn neu moi c¾p đinh đưoc noi vói bang m®t canh (m®t cung vói chieu tùy ý) Hình 1.4: Đo th% đay Đa đo th% vơ hưóng (có hưóng) G = (X, E) đưoc GQI đo th% k-đay đn neu moi c¾p đinh đưoc noi vói bang k canh (k cung vói chieu tùy ý) X cna đưoc t¾p X1 , X2 neu (X1 t¾pXđinh X2 phân = ∅) thành moihaicanh đeu rịi có m®t đau = X X1 thu®c Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc gQI đo th% (đa đo th%) hai SX mang đau thu®c X2 Khi G = (X, E) cịn đưoc ký hi¾u bang G = (X1 , X2, E) T Hình 1.5: Đo th% hai mang Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc gQI đo th% (đa đo th%) phang, neu có nhat m®t dang bieu dien hình HQc trai m®t m¾t phang đó, mà canh cna đo th% chi cat o đinh Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI huu han, neu so đinh cna huu han, túc t¾p X có lnc lưong huu han Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI vô han, neu so đinh cna vơ han Đo th% (đa đo th%) vói so canh thu®c moi đinh đeu huu han đưoc GQI đo th% (đa đo th%) huu han đ%a phương M®t đo X, th%Y hay đaH đo⊆th% huu phương Cho Y⊆ ƒ= ∅; E, huu F = han E ∩ (Y × Y ) V =han (X đ%a × X)/E G1đo (Y,th% F )G(X, đưocE) GQI đo th% con, G2 (X, H) l o th% bđ o phắnth%cna o th% GJ (X, V ) đưoc gQI đo th% bù cna đo th% G(X, E) Đo th% có hưóng G(X, E) đưoc GQi đo th% đoi xúng neu ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E Trong đo th% đoi xúng tùy ý, hai đinh ke luôn đưoc noi bang hai cung ngưoc chieu Đe đơn gian, trưòng hop ngưòi ta quy ưóc thay hai cung nói bang m®t canh noi giua x y Đo th% có hưóng G(X, E) đưoc GQi đo th% phan đoi xúng neu ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈/ E 1.3 1.3.1 B¾c cua đinh đo th% B¾c cua đinh Gia su G = (X, E) mđt o th% hay a o th% cú húng hoắc khơng có hưóng So canh cung thu®c đinh x đưoc GQI b¾c cna đinh x ký hi¾u bang m(x) Đinh có b¾c bang đưoc GQI đinh bi¾t l¾p Đinh có b¾c bang đưoc GQI đinh treo Canh (cung) có nhat m®t đau đinh treo đưoc GQI canh (cung) treo Hình 1.6 Ví dn 1.2 Trong hình 1.6 ta có: m(1) = 2, m(2) = 2, m(3) = 3, m(4) = 3, m(5) = 3, m(6) = 1, m(7) = Đsnh đsnh treo, đsnh đsnh cô l¾p, g canh treo 1.3.2 NEa b¾c Gia su G = (X, E) m®t đo th% hay đa đo th% có hưóng So cung vào đinh x đưoc GQI nua b¾c vào cna đinh x ký hi¾u bang mJ (x) ho¾c m− (x) So cung khoi đinh x đưoc GQI nua b¾c cna đinh x ký hi¾u bang mJJ(x) ho¾c m+(x) bang E+(x) Kýđinh hi¾u t¾p cung vàox đinh x bang E−(x), cịn t¾p cung khoi Bài tốn 3.6.1 ([1]Graph giai tốn phő thơng) Cho mê cung hình ve 3.13a.Tìm đưàng tù v% trí A (cőng) đen v% trí M Hình 3.13a Giai: Ta đánh dau (bang nhung điem đ¾m) ngã ba, ngã tư điem cuoi cna ngõ cut, roi noi điem vói theo đưịng mê cung; ta đưoc m®t đo th% vói 13 đinh hình 3.13b Hình 3.13b Ta ve lai đo th% dưói dang đơn gian hình 3.13c Hình 3.13c Nhìn vào hình 3.13c ta thay đưịng ngan nhat tù A đen M ACEGHJKM (hình 3.13d) Hình 3.13d Bài tốn 3.6.2 Bài tốn ba ơng chong ghen Có ba c¾p va chong qua sơng bang thuyen nhó Mői lan thuyen chá đưac nhieu nhat ngưài biet bơi thuyen Các ơng chong mac b¾nh ghen n¾ng nên khơng cho va vái ngưài đàn ơng khác khơng có Hãy tìm phương án chá tat ca sang sơng Giai: Ký hi¾u c¾p chong vo Aa, Bb, Cc Ta l¾p đo th% có hưóng, bieu dien kha chuyen đői trang thái c¾p chong vo o hai bên bị sơng xuat phát đen Moi nút trang thái t¾p cna (AaBbCc) trù t¾p dang {S|((aB) ⊂ S hay (aC) ⊂ S) va` A ∈/ S} {S|((bA) ⊂ S hay (bC) ⊂ S) va` B ∈/ S} {S|((cA) ⊂ S hay (cB) ⊂ S) va` ∈/ S} C t¾p bù cna chúng Sau áp dung thu¾t tốn đe tìm đưịng tù nút 1.AaBbCc đen 2.AaBbCc M®t phương án tìm đưoc bieu dien o đo th% hình 3.14 sau: Hình 3.14 có đưịng AaBbCc → 2.Cc → 1.AaBbC → 2.abc → 1.ABCc → 2.AaBb → 1.AaCc → 2.ABbC → 1.abc → 2.AaBbC → 1.Cc → 2.AaBbCc 3.6.2 Bài toán liên quan đen đưàng chu trình Euler Bài tốn 3.6.3 ([1]Graph giai tốn phő thơng) Có the dao chơi qua cau thành (hình 3.15a), mői cau vùa m®t lan khơng? Hình 3.15 Giai: Coi moi khu vnc A, B, C, D, E, F cna thành m®t đinh, moi cau qua lai hai khu vnc m®t canh noi hai đinh ban đo thành m®t đo th% hình 3.15b Nhìn vào đo th% ta nh¾n thay đinh đeu có b¾c chan, theo đ%nh lý ve chu trình Euler ton tai m®t chu trình Euler đo th % hình 3.15b, nên ta hồn tồn có the qua cau moi cau vùa m®t lan Ví du, ta có m®t lịi giai vói chu trình xuat phát tù B sau: BECEBDCDEFAB Bài toán 3.6.4 ([1]Graph giai tốn phő thơng) M®t ơng vua xây dnng m®t lâu đài vái nhieu phịng đe cat báu v¾t Ngưài ta tìm thay sơ đo cua lâu đài (hình 3.16a) vái lài d¾n: Muon tìm thay bỏu vắt chs can tự mđt cỏc phũng bờn (so 1, 2, 6, 10, ), qua tat ca cua phịng, mői cua chs m®t lan Báu v¾t đưac giau sau cua cuoi Hãy tìm nơi giau báu v¾t Giai: Hình 3.16 Coi điem o giua cna moi phịng m®t đinh, đưịng tù phịng sang phịng bên (qua cua) m®t canh ta có đo th% hình 3.16b Đinh úng vói phịng phịng 18 có b¾c le, đinh cịn lai có b¾c chan, áp dung đ%nh lý ve đưòng Euler, ta xuat phát tù phòng 6, cua cuoi có chúa báu v¾t phịng so 18 3.6.3 Bài toán liên quan đen đưàng chu trình Hamilton Bài tốn 3.6.5 ([1]Graph giai tốn phő thơng) Có đ®i bóng chuyen thi đau vái đe tranh giai cúp quoc gia Biet rang hai đ®i chs au vỏi ỳng mđt trắn v mi phai đau vái đ®i khác, đong thài khơng có tr¾n hịa Chúng tó rang cú vào ket qua thi đau có the xep đ®i trưáng đ®i theo m®t hàng DQc đe đ®i sau thang đ®i trưác Giai: Ta cho tương úng moi đ®i bóng m®t đinh cna đo th% Hai đ®i thi đau vói ta dùng m®t cung noi đinh tương úng; chieu cna cung tù đinh tương úng vói đ®i thang sang đinh tương úng vói thua Nh vắy o th% thiet lắp oc l đo th% đay đn có hưóng vói đinh Đo th% hình 3.17 mơ ta ket qua thi đau cna đ®i bóng chuyen A, B, C, D, E Theo đ%nh lý: "Đo th% đay đn, có hưóng ln có đưịng Hamilton" Nên cú vào m®t nhung đưịng Hamilton ta có the xep đ®i trưong đ®i theo hàng DQc sau: A, E, C, D, B Hình 3.17 Bài tốn 3.6.6 ([1]Graph giai tốn phő thơng) Hình 3.18 cho sơ đo nhà cua 22 ban láp (đánh so tù đen 22) Tìm m®t đưàng tù nhà láp trưáng (so 1) qua nhà mői ban m®t lan đe en sõn vắn đng (S) Giai: Trúc het ta thay đinh 11, 12, 18, 19 đeu có đinh b¾c 2, boi v¾y đưịng Hamilton xuat phát tù phai qua canh đưoc ve bang nét đút Khi ta xóa canh đưoc đánh dau x Đưòng noi đinh 1, 12, 6, 17, 13, 7, 2, 3, 8, 9, 4, 5, 11, 16, 19, 10, 15, 14, 18, 22, 21, 20, S (đưòng nét đút) mơ ta tồn b® hành trình cna lóp trưong (so 1) xuat phát tù nhà qua nhà moi ban ỳng mđt lan e cựng en sõn vắn đng (S) Hình 3.18 Bài tốn 3.6.7 ([4]Lý thuyet đo th% tốn khơng mau mnc) M®t nưác có 10 thnh Hóy thiet lắp mđt mang cau hng không (bang đo th%) cho: Mői thành có cau hàng khơng noi trnc tiep vái thành khác; Tù mői thành có đưàng hàng khơng tái m®t thành tùy ý khác hành trình tái đích có the qua tùng thành m®t lan Giai: Ta se xây dnng đo th% G bieu dien mang cau hàng khơng can tìm Đsnh: Dùng 10 điem tương úng vói 10 thành làm đinh đo th% đánh so tù đen 10 Canh: Hai đinh có canh noi vói chi hai thành tương úng vói hai đinh có cau hàng khơng noi trnc tiep Do moi thành có cau hàng khơng noi trnc tiep vói ba thành khác, nên moi đinh cna đo th% G đeu có canh Khi m®t nhung dang cna mang hàng khơng can tìm đưoc bieu dien bang đo th% G sau: Hình 3.19 Trong đo th% G moi đinh đeu xuat phát canh, nên moi thành đeu có cau hàng khơng noi trnc tiep vói thành khác Đo th% lai có chu trình Hamilton, chang han, dãy đinh: α = 1, 2, 7, 8, 6, 3, 5, 9, 10, m®t nhung chu trình Hamilton cna đo th% G, nên xuat phát tù thành tùy ý theo α, có the đen bat kỳ thành 10 thành 3.7 Bài toán liên quan đen Bài toán 3.7.1 ([4]Lý thuyet đo th% tốn khơng mau mnc) Tai Euro 92, bon đ®i Đúc, Đan Mach, Hà Lan, Thny Đien vào bán ket Có may dn đốn xep hang sau: a) Đan Mach vơ đ%ch, Thny Đien nhì b) Đan Mach nhì, Hà Lan ba c) Pháp nhì, Hà Lan tư Ket qua: Mői dn đốn ve m®t đ®i Hãy cho biet ket qua xep hang cua đ®i Giai: Hình 3.20 Ta cHQN m®t đưịng tù "goc" O đen "NGQN" canh khơng mang chu trùng (vì m®t đ®i không the xep hai thú hang khác nhau), chi so trùng (vì hai đ®i khơng the xep đau Đưịng màu (néthang đ¾m) hi¾u Đ1đieu , H3, kiắn P2 cho mđt bi hang), ong tụ thũi thúhong tn xep cnavói cácdãy đ®iký thoa mãn ta xep hang can tìm Bài tốn 3.7.2 Minh Châu thi đau cau lông vái Hai ban chơi ván, ban thang ván trưác se ket thúc cu®c thi giành chien thang Cu®c thi đau có the dien theo cách khác nhau? Giai: Dùng M đe ký hi¾u Minh thang, C đe ký hi¾u Chõu thang Dựng cõy e mụ ta ton bđ hiắn trang có kha xay Xây dnng cây: Xuat phát tù điem O - Hai nhánh đau tiên tương úng vói Minh thang ho¾c Châu thang - Tù moi nhánh lai re nhánh thành hai nhánh úng vói kha Minh thang ho¾c Châu thang - Thnc hiắn kộo di cỏc ũng mđt cỏch tng tn, quy ưóc cna ban, nhung đưịng mà xuat hi¾n đinh đưoc ghi bang mđt ký hiắu eu khụng oc kộo di Ta cú hình 3.21 Hình 3.21 Cây có 20 đinh khác NGQN, nên cu®c thi đau có the dien theo 20 cách Bài toán 3.7.3 ([1]Graph giai tốn phő thơng) Hãy tìm tat ca ưác so cua 126 Giai: Trưóc het xin trình bày thu¾t tốn xây dnng sinh ưóc Sau dùng sinh úc e xỏc %nh úc so cna 126 ã Thu¾t tốn xây dEng sinh ưác D Bưác 1: Phân tích so n thành tích cna lũy thùa so nguyên to xep theo thú tn so tăng dan: n = as1 as2 ast.ast+1 t+ t ask (∗) k Vói at, (1 ≤ t ≤ k) so nguyên to, aj > ai, neu j > i st so nguyên khơng âm Khi −1 U (astt) = {1, at, a2t , , atst , tast} D Bưác 2: Xây dnng sinh ưóc (T) Cây T đưoc xây dnng bang phương pháp quy nap theo so thùa so cna dang phân tích (*) Cơ so quy nap: Đau tiên lay m®t điem ghi so làm goc cna đong thịi đ¾t khun trịn có mũi tên vào Sau ve phía phai cna goc ta lay m®t c®t gom s1 + điem khác ký hi¾u lan lưot tù xuong dưói bang ưóc cna a1s1 : 1, a1, a2, , am, , as1 1 Đ¾t điem khuyên tròn, roi noi moi điem vói goc bang m®t canh Hình 3.22 Quy nap: Gia su xây dnng đưoc phan đau cna T đen het c®t đinh tương úng vói t¾p ưóc cna tast Khi đoi vói đinh đoi vói moi đinh at m, (1 ≤ m ≤ t) vói moi đinh thu®c c®t tương úng vói đinh atm bang m®t canh Hình 3.23 Ta tiep tuc q trình xây dnng cho tói het cỏc cđt inh ghi úc cna ask đong thịi ke xong canh noi moi đinh vói đinh k tương úng Ta GQI so ghi đinh cna nhãn cna đinh, dãy so ghi lan lưot đinh cna đưòng α nhãn cna đưịng α Do cách xây dnng tương úng vói dang phân tích so n thành tích lũy thùa so ngun to (*), nên T có đ¾c điem sau: i, Moi nhóm lũy thùa dang (*) T đeu có m®t đưịng d chay tù goc đen (đinh không phai goc, chi thu®c m®t canh), mà moi so thu®c nhóm đeu nhãn cna nhat m®t đinh thu®c d đong thịi d khơng có đinh vói nhãn nam ngồi nhóm đưoc xét Boi v¾y tích so thu®c nhãn cna đưịng d m®t ưóc cna n, đong thịi moi ưóc cna n đeu tích cna so thu®c nhãn cna m®t đưịng tù goc đen m®t ii, Moi đưịng tù goc đen đeu có nhãn, mà tích so thuđc nhón ny l úc cna n Vúi hai ắc điem nên T sinh đưoc t¾p ưóc so cna n • Tìm tat ca ưác so cua so 126 D Bưác 1: Phân tích so 126 thành tích lũy thùa có so ngun to: 126 = 2.32.7 (∗∗) Khi đó: U (2) = {1, 2}, U (9) = {1, 3.9}, U (7) = {1, 7} D Bưác 2: Xây dnng T: Cây T có dang o hình 3.24 Cây T có 12 lá, nên 126 có 12 ưóc so khác t¾p ưóc cna 126 là: U (126) = {1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126} Hình 3.24 KET LU¾N Trong lu¾n văn này, tác gia t¾p trung vào vi¾c nghiên cúu lý thuyet đo th% v¾n dung ket qua cna đe giai quyet tốn phő thơng trung HQc đat đưoc ket qua sau: Nham muc đích tőng quan ve m®t so van đe ban nhat cna lý thuyet đo th%: Trình bày khái ni¾m, đ%nh nghĩa ban ve lý thuyet đo th%, đ%nh lý, tính chat đưoc áp dung thiet thnc hi¾u qua đe giai toán sơ cap Làm női b¾t ưu the cna lý thuyet đo th% vi¾c giai m®t so tốn sơ cap: Nêu đưoc m®t so tốn liên quan đen đinh, canh, tơ màu, chu trình, đưịng cna đo th% Các tốn đưoc chúng minh m®t cách cu the đưoc v¾n dung có hi¾u qua vi¾c giai tốn sơ cap liên quan H¾ thong phân loai m®t so lóp tốn chương trình tốn phő thơng trung hQc có the giai bang cách úng dung hi¾u qua lý thuyet đo th% Bên canh nhung tốn dành cho HQc sinh lóp chun, lóp cHQN, tác gia cịn đưa nhung tốn đe giang day cho HQc sinh phő thông đai trà Tuy nhiên, vói kha nghiên cúu khoa HQc cịn han che, n®i dung cna đe tài rat mói đoi vói tác gia, dù co gang rat nhieu van cịn có nhung han che Tác gia mong muon nh¾n đưoc sn quan tâm chi dan cna q thay sn đóng góp ý kien cna ban ĐQc đe ban lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác gia xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Hồng Chúng, 1992, Graph giai tốn phő thơng ,NXB Giáo Duc [2] Vũ Đình Hịa, 2008, Giáo trình lý thuyet đo th%, NXB đai HQc sư pham [3] Đ¾ng Huy Ru¾n, 2000, Lý thuyet đo th% úng dnng, NXB khoa HQc kĩ thu¾t [4] Đ¾ng Huy Ru¾n, 2003, Lý thuyet đo th% tốn khơng mau mnc [5] Đ¾ng Huy Ru¾n, 2003, Trị chơi đo th%, NXB khoa HQc kĩ thu¾t [6] Đ¾ng Huy Ru¾n, 2002, Bay phương pháp giai tốn logic, NXB khoa HQc kĩ thu¾t [7] Vũ Dương Thuy (Chn biên), 2001, 40 năm Olympic toán HQc quoc te (1959-2000), NXB Giáo duc [8] M®t so lu¾n văn Thac sĩ ve tốn logic úng dung thu®c chun ngành "Phương pháp tốn sơ cap" ... cna toán D 54 3.2 Bài toán ve đinh - canh cna đo th% 55 3.3 Bài tốn ve xích, chu trình, đưịng, vịng tính liên thơng cna đo th% 58 3.4 Bài tốn ve tơ màu đo th% 63 3.5 Bài toán. .. trình liên thơng Do G m®t Đ%nh lý đưoc chúng minh Chương M®t so tốn đo th% ban 2.1 2.1.1 Bài toán ve đưàng Đưàng Euler - Chu trình Euler 2.1.1.1 Bài toán ma đau : Bài toán cau o Kăonigsberg: Thnh... khăn nhung lý khác M®t lý sn mói me, đ®c đáo khó cna chn đe kien thúc Lu¾n văn "Lý thuyet đo th% vói tốn phő thơng" đưa đen sn sáng tao cách nhìn nh¾n tốn l¾p lu¾n cách giai dưói mat cna lý thuyet