Lý thuyết đồ thị với các bài toán phổ thông luận án ths toán học 60 46 01 13

Đại học Quốc gia Hà Nội Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Lê Thị Thu Hiền LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Hà Nội- 2013 Mục lục Mở đầu Lý 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 thuyết đồ thị Các khái niệm Bậc đồ thị Xích, chu trình, đường, vịng Đồ thị liên thông Sắc số đồ thị tô màu Số ổn định trong, số ổn định Nhân đồ thị ứng dụng vào trò Cây chơi Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải tốn trung học phổ thơng 2.1 Quy trình chuyển đổi từ tốn thơng thường sang ngôn ngữ lý thuyết đồ thị 2.2 Bài toán liên quan đến đồ thị có hướng 2.3 Bài toán liên quan đến đồ thị màu 2.4 Bài tốn có liên quan đến bậc cạnh đồ thị 2.5 Bài toán liên quan đến đường 2.6 Bài toán liên quan đến đồ thị liên thông 2.7 Bài toán liên quan đến 2.8 Tổng hợp 5 14 16 17 19 21 26 30 30 33 35 47 51 55 57 60 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu Phương pháp lý thuyết đồ thị mơn khoa học có tính khái qt cao giúp nghiên cứu tối ưu mối liên hệ đỉnh, nút, cạnh cung để chuyển thành phương pháp giải toán Đặc biệt trung học phổ thông phương pháp đồ thị giải nhiều tốn hay bổ ích Vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải tập cho học sinh giúp rèn luyện lực hệ thống hóa kiến thức thúc đẩy trình sáng tạo trình tự học nghiên cứu học sinh Qua toán sơ cấp logic, lý thuyết đồ thị giúp phân tích yếu tố, cấu trúc, đưa cách chọn lựa hợp lý cho trường hợp toán Lý thuyết đồ thị phát triển khoảng kỉ trước Đánh dấu xuất lý thuyết đồ thị kết ứng dụng vào năm 1736 báo Leonhard Euler “Bảy cầu Euler” Cho đến ngày mang lại nhiều ứng dụng quan trọng khoa học, kĩ thuật : Tin học, vật lý, hóa học, mạng lưới giao thơng, điều khiển học, cấu trúc máy tính, Để hiểu sâu lý thuyết đồ thị phương pháp này, trước hết cần nắm bắt tính chất đồ thị : Đồ thị tập đối tượng gọi đỉnh (hoặc nút) nối với cạnh (hoặc cung) Cạnh có hướng vô hướng Đồ thị thường vẽ dạng tập điểm (các đỉnh nối với đoạn thẳng (các cạnh) Đồ thị biểu diễn nhiều cấu trúc Nhiều toán thực tế biểu diễn đồ thị Do vậy, phát triển thuật toán xử lý đồ thị mối quan tâm phương pháp đồ thị Ngồi ra, Cấu trúc đồ thị mở rộng cách gán trọng số cho cạnh Có thể sử dụng đồ thị có trọng số để biểu diễn nhiều khái niệm khác Luận văn : “Lý thuyết đồ thị với toán trung học phổ thơng” nghiên cứu cấu trúc tốn biểu diễn đồ thị, đưa phương pháp nhận dạng toán phát triển lực vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải tập toán Đồng thời làm bật ưu lý thuyết đồ thị qua toán ứng dụng thực tế Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu ba chương Chương : Giới thiệu nội dung lý thuyết đồ thị, khái niệm, định lý, tính chất hệ chứng minh Chương : Tập trung khai thác lý thuyết đồ thị vào giải tốn trung học phổ thơng qua dạng toán cụ thể Đưa phương pháp giải dạng tốn liên quan đến đồ thị, đồ thị tơ màu, đồ thị liên thông, cây, bậc, đường toán tổng hợp Chương : Hướng dẫn giải số tốn quy phương pháp đồ thị, số toán áp dụng Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TS Đặng Huy Ruận, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, người Thầy tận tình giúp đỡ tác giả trình nguyên cứu soạn thảo luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc tới Giáo sư Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Lê Thị Thu Hiền Chương Lý thuyết đồ thị 1.1 Các khái niệm Định nghĩa đồ thị yếu tố liên quan + Tập hợp X = ∅ đối tượng tùy ý E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, đồng thời kí hiệu G(X, E) G = (X, E) G(X) Các phần tử tập X gọi đỉnh phần tử tập E gọi cạnh đồ thị G Hình ảnh đồ thị: Trong (H1) có: Tập đỉnh X = {2, 3, 5, 6, 7, 10} Tập cạnh E = {(2, 3), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (3, 10), (6, 5), (6, 7), (7, 5), (7, 10)} + Cặp đỉnh không thứ tự a = (x, y) gọi cạnh hay cạnh vơ hướng, cịn x, y gọi đỉnh đầu cạnh a; cặp đỉnh thứ tự b = (u, v) gọi cạnh có hướng hay cung Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối cung b Người ta cịn nói rằng: cung b từ đỉnh u đến đỉnh v Trong hình (H2) có: Tập cạnh (3, 5), (5, 7), (7, 10) Cung (3,10), đỉnh đầu, 10 đỉnh cuối + Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vô hướng Đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung, gọi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp + Một cặp đỉnh nối với hai nhiều hai cạnh ( hai nhiều hai cung hướng) Các cạnh (cung) gọi cạnh (cung) bội + Một cạnh (hay cung) bắt đầu kết thúc đỉnh Cạnh (cung) loại gọi khun hay nút (có hướng) Trong hình (H4) có: Cạnh bội cạnh (3, 5) Cung bội cung (3, 10) Khuyên (7, 7) Nút (5, 5) + Cặp đỉnh x, y gọi hai đỉnh kề nhau, x = y hai đầu cạnh hay cung + Đối với đỉnh x dùng D(x) để kí hiệu tập đỉnh, mà đỉnh nối với x cạnh D+ (x) để tập đỉnh, mà đỉnh từ x có cung tới D− (x) để tập đỉnh, mà đỉnh có cung tới x Trong hình (H4) có: D(3) = {5, 7}; D+ (3) = {10}; D− (3) = ∅ + Hai cạnh (cung) a, b gọi kề nhau, nếu: Chúng khác Chúng có đỉnh chung (nếu a, b khơng phụ thuộc vào đỉnh chung đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung b ) Biểu diễn đồ thị hình học Đồ thị có nhiều cách để biểu diễn phần trình bày cách biểu diễn hình học Giả sử có đồ thị G = (X, E) Để có dạng biểu diễn hình học G ta cần biểu diễn đỉnh cạnh Biểu diễn đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với phần tử tập X dùng kí hiệu phần tử để ghi điểm tương ứng Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu x, y biểu diễn đoạn thẳng hay đoạn cong nối hai điểm x, y không qua điểm tương ứng chung gian khác Biểu diễn cung: Cung b có đỉnh đầu u, đỉnh cuối v , biểu diễn đoạn thẳng hay đoạn cong định hướng từ u sang v không qua điểm tương ứng chung gian khác Hình nhận gọi dạng biểu diễn hình học đồ thị G = (X, E) Đơi người ta gọi dạng biểu diễn hình học đồ thị Ví dụ Giả sử đồ thị G có tập đỉnh X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 } tập cạnh E gồm cạnh a1 = (x1 , x2 ), a2 = (x2 , x3 ), a3 = (x4 , x5 ), a4 = (x5 , x6 ), khuyên vô hướng a5 = (x7 , x7 ), khuyên có hướng (x6 , x6 ) cung b1 = (x1 , x8 ) Khi đồ thị G = (X, E) có dạng biểu diễn hình học sau: Một số dạng đồ thị đặc biệt Trong trường hợp không cần phân biệt cạnh cung ta quy ước dùng cạnh thay cho cung + Đồ thị G = (X, E) khơng có khun cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Hình ảnh đơn đồ thị + Đồ thị G = (X, E) khơng có khun có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Hình ảnh đa đồ thị + Đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh (một cung với chiều tùy ý) + Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi hữu hạn, số đỉnh hữu hạn, tức tập X có lực lượng hữu hạn + Đồ thị G gọi giả đồ thị G tồn cạnh nối đỉnh với Cạnh gọi khuyên + Cho Y ⊆ X, Y = ∅, H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y ) Đồ thị G1 = (Y, F ) gọi đồ thị con, G2 = (X, H) đồ thị phận đồ thị G = (X, E) + Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hai mảng, tập đỉnh X phân thành hai tập rời X1 , X2 , (X1 ∪ X2 = X X1 ∩ X2 = ∅) cạnh có đầu thuộc X1 , cịn đầu thuộc X2 Khi G = (X, E) cịn kí hiệu G = (X1 , X2 ; E) Hình ảnh đồ thị hai mảng 1.2 Bậc đồ thị Để định lượng số cạnh thuộc đỉnh đồ thị người ta đưa khái niệm bậc đỉnh Đối với đồ thị đa đồ thị có hướng để định lượng số cung vào số cung đỉnh cịn có khái niệm nửa bậc vào nửa bậc Bậc đỉnh đồ thị Giả sử G = (X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng khơng có hướng Số cạnh cung thuộc đỉnh x gọi bậc đỉnh x kí hiệu m(x) Nếu cạnh khun tính Trong đồ thị hình (H9) có: m(X1 ) = 3; m(X2 ) = m(X3 ) = m(X5 ) = m(X4 ) = m(X6 ) = m(X7 ) = + Đỉnh có bậc gọi đỉnh biệt lập + Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo + Cạnh (cung) có đầu đỉnh treo gọi cạnh (cung) treo Trong đồ thị hình (H9) có: X7 đỉnh biệt lập X6 đỉnh treo (X4 , X6 ) cung treo Nửa bậc Giả sử G = (X, E) đồ thị đa đồ thị có hướng Số cung vào đỉnh x gọi nửa bậc vào đỉnh x kí hiệu m (x) m− (x) Số cung khỏi đỉnh x gọi nửa bậc đỉnh x kí hiệu m (x) m+ (x) Kí hiệu tập cung vào đỉnh x E − (x), tập cung khỏi đỉnh x E + (x) Trong đồ thị hình (H10) có: m (X1 ) = 0; m (X1 ) = m (X2 ) = 1; m (X2 ) = 10 Ván thứ hai có khả : Hoài thắng Huệ thắng Nên xuất phát từ A lấy hai điểm ghi kí hiệu tương tự A, B từ A kẻ đường thẳng hai đoạn cong tới hai điểm thêm Đối với điểm B chọn thêm hai đỉnh ghi A B , từ B kẻ hai đoạn thẳng hai đoạn cong tới hai điểm thêm Tiếp theo thực kéo dài đường cách tương tự, quy ước Hồi Huệ, đường mà xuất đỉnh liên tiếp ghi kí hiệu đỉnh ghi kí hiệu khơng kéo dài H53 Vì Hồi Huệ đấu với ván có người thắng hai ván liên tiếp có người thắng ván Nên đường xuất phát từ đỉnh S khơng có cạnh (H53) Cây có 14 đỉnh nên có 14 khả xảy Bài Tại giải cầu lơng có đội Hà Nội, Hải Phịng, Hà Nam, Nam Định vào bán kết Có dự đốn xếp hạng sau : Hải phịng vơ địch, Nam Định nhì Hải Phịng nhì, Hà Nam ba Hà Nội nhì, Hà Nam ba Kết : Mỗi dự đoán đội Hãy cho biết kết xếp hạng đội ? Giải Dùng A, D, H, T để ký hiệu đội Hà Nội, Hải Phòng, Hà Nam Nam Định xi , để kí hiệu đội x xếp hạng i (1 ≤ i ≤ 4) Ta vẽ cây, hai nhánh ứng với dự đoán thứ D1 , T2 Từ nhánh lại có hai nhánh ứng với dự đốn thứ hai Tiếp tục rẽ nhánh ứng với dự đoán thứ ba Ta chọn đường từ gốc O tới điểm thỏa mãn điều kiện 59 - Một đội xếp hai hạng khác - Hai đội xếp hạng Suy có đường D1 H3 A2 thỏa mãn H54 Đường tô tậm D1 H3 A2 thỏa mãn điều kiện dự đoán đội mà thứ tự ghi đường Vậy kết xếp hạng sau : Hải Phòng vơ địch, Hà Nội nhì, Hà Nam ba, Nam Định bốn 2.8 Tổng hợp Bài Một quan cần tuyển ba người để thành lập nhóm có đủ lực biên dịch tài liệu từ sáu thứ tiếng : Anh, Pháp, Nga, Đức, Trung Quốc, Bồ Đào Nha sang Tiếng Việt Có bảy người đến dự tuyển, người biết hai thứ tiếng hai sáu thứ tiếng nói đồng thời hai người biết nhiều thú tiếng chung sáu thứ tiếng Biết thứ tiếng có hai người biết Liệu xảy trường hợp khơng tuyển yêu cầu nêu hay không ? Giải Ta chứng minh tuyển chọn yêu cầu nêu Trước hết ta chứng minh khẳng định : Một đồ thị ln có đỉnh, cạnh bậc đỉnh lớn ln ln có cạnh đơi khơng kề Chứng minh : Kí hiệu đồ thị G a) Đồ thị G liên thông Thật vậy, đồ thị G khơng liên thơng G gồm đỉnh với bậc không bé mà phải chia thành tam giác, nên G có cạnh Ta tới mâu thuẫn với điều kiện đồ thị gồm cạnh b) Đồ thị G phải có chu trình Thật vậy, G khơng có chu trình mà G lại liên thông nên G Khi 60 G có đỉnh treo, tức đỉnh bậc 1, nên mâu thuẫn với điều kiện bậc đỉnh thuộc G khơng bé c) Vì × = 14 = × + nên G phải có hai đỉnh bậc 3, có đỉnh bậc 4, đỉnh lại bậc - Trường hợp a : G có đỉnh bậc (Chẳng hạn đỉnh A) khơng tính tổng qt, ta giả sử cạnh xuất phát từ A AB, AD, AN, AP Lúc đỉnh T khơng kề với A phải kề với hai đỉnh khác (chẳng hạn P N ) hai đỉnh lại (B D) phải kề Khi cạnh không kề đôi BD, N T, P A H55 - Trường hợp b :G có hai đỉnh bậc Giả sử A P hai đỉnh bậc Vì G liên thơng, nên có đường từ A đến P Ta tạm bỏ qua đường (vẫn giữ nguyên đỉnh A P ) xảy hai khả - G khơng cịn liên thơng : Như ta có hai chu trình sơ cấp phân biệt, chu trình gồm cạnh Suy ta chọn AP hai cạnh khơng kề với BT, N D H56 G liên thông : Như ta cịn chu trình sơ cấp (vì đỉnh có bậc 2) Ta có đường từ A đến P (một đường tạm bỏ, hai đường theo chu trình), đường ngắn có độ dài (hình 3) độ dài (Hình 4) AT P ADP 61 - Khi AP có độ dài 1, chu trình sớ cấp có độ dài ta chọn cạnh không kề không kề AD, P T, BN - Khi AP có độ dài 2, việc chọn cạnh thuộc đường ngắn từ A đến P hai cạnh khơng kề với chu trình sơ cấp lại, chẳng hạn AD, T P, N B DP, AT, N B Vậy trường hợp ta tìm cạnh đơi khơng kề Khẳng định chứng minh Chuyển toán dạng đồ thị Dùng điểm tương ứng với ngoại ngữ nói Dùng chữ đầu tên ngoại ngữ để ghi tên điểm tương ứng : A, P, N, D, T, B Mỗi người biết hai ngoại ngữ biểu thị cạnh nối hai đỉnh tương ứng với hai ngoại ngữ Đồ thị nhận kí hiệu G Có người tham gia dự tuyển người biết hai ngoại ngữ, đồ thị G có cạnh Bất kì hai người dự tuyển biết tối đa ngoại ngữ nói trên, nên đồ thị G khơng có cặp đỉnh nối hai cạnh Vậy G đồ thị đơn gồm đỉnh cạnh Do đó, theo khẳng định trên, ln ln tìm cạnh khơng kề đơi Khi việc chọn người biểu thị cạnh nói trên, người biết hai ngoại ngữ khơng có hai người biết ngoại ngữ Do nhóm người biết tất sáu ngoại ngữ : Anh, Pháp, Nga, Đức, Trung Quốc Bồ Đào Nha Bài ( Bậc - Liên Thơng ) Trong họp có hai đại biểu không quen đại biểu có số lẻ người quen đến dự Chứng minh ln ln xếp số đại biểu ngồi chen hai đại biểu nói trên, để người ngồi hai người mà đại biểu quen Giải Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với đại biểu dự hội nghị Dùng tên đại biểu để ghi điểm tương ứng 62 Hai điểm tùy ý x, y nối đoạn thẳng đại biểu x, y quen Đồ thị nhận ta kí hiệu G Hai đại biểu khơng quen nhau, hai đỉnh tương ứng khơng kề Mỗi đại biểu lại có số lẻ người quen đến họp, nên đồ thị G có hai đỉnh bậc lẻ hai đỉnh lại khơng kề Khi đó, theo hệ hai đỉnh liên thơng, nên có đường nối hai đỉnh bậc lẻ Giả sử α đường nối hai đỉnh bậc lẻ Dựa vào α ta xếp đại biểu tương ứng ngồi hai đại biểu hai đỉnh bậc lẻ, đại biểu ngồi hai người mà anh (chị) ta quen Bài (Bậc - Chu trình) Cho tập hợp X gồm n > điểm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng số tự nhiên k (k < n) Chứng minh : Nếu k ≤ n2 từ điểm tập hợp cho vẽ đoạn thẳng nối với k điểm khác, cho khơng có ba đoạn thẳng tạo thành tam giác Nếu k > n2 điểm tập hợp cho nối đoạn thẳng vói k điểm khác, đoạn thẳng có đoạn thẳng lập thành tam giác Giải Xét k ≤ n2 Chọn tập X , tập A gồm [ n2 ] điểm, B = X\A chứa [ n2 ] + điểm, n lẻ Nếu n chẵn lực lượng A B n2 Vì k nguyên k ≤ n2 , nên A, B chứa khơng k điểm Xây dựng đồ thị mảng: Mỗi đỉnh thuộc tập A có đỉnh nối với đỉnh thuộc tập B Khi đỉnh tập X có đoạn thẳng nối với k đỉnh, khơng có tam giác xuất Xét k > n2 điểm X nối với k điểm khác đoạn thẳng Giả sử (x, y) số đoạn thẳng Theo giả thiết, x y điểm nối với k điểm khác đoạn thẳng, nên (x, y) từ điểm x, y xuất phát k − đoạn nữa.Bởi tổng cộng số đoạn thẳng có đầu mút x y 2k − Nhưng số điểm lại (khác x, y ) n − k > n2 , nên 2k − > n − Do 2k − đoạn thẳng nói phải có đoạn thẳng trùng đầu mút z Bởi ba đoạn thẳng (x, y), (x, z), (y, z) lập thành tam giác Tổng quát cho toán Cho tập X có n > điểm, khơng có điểm thẳng hàng số tự nhiên p, k thỏa mãn : ≤ p < n; k < n Chứng minh rằng: Nếu k n < p−2 p−1 , điểm x nối đoạn thẳng đến 63 k điểm khác x, cho tập Y (chứa p điểm X ) X có điểm khơng nối đoạn thẳng Nếu nk > p−2 p−1 điểm X nối đoạn thẳng với k điểm khác X , có tập A X chứa p điểm, cho điểm thuộc A nối đoạn thẳng Phụ lục Bài toán đưa đồ thị I Bài tốn Trong nhóm gồm 1996 người mà người có người quen với người cịn lại Hãy xác định số nhỏ người quen với tất 1995 người cịn lại bao nhiêu? Trên tập S đưa vào quan hệ " > ": Với phần tử S có tính chất sau: (1) Với hai phần tử khác a, b S , có a > b, b > a (2) Với ba phần tử a, b, c thuộc S , có a > b b > c suy c > a Hỏi tập S có tối đa phần tử? Chứng minh nối n điểm cho trước (n > 4) mũi tên, cho từ điểm đến điểm khác theo hai mũi tên ( cặp điểm nối mũi tên theo chiều mũi tên) a Trong phòng có 10 người, người họ có người quen từ trước Chứng minh rằng, tìm người mà hai người họ quen từ trước b Khẳng định a có cịn khơng, số người Ở quốc gia H, thành phố nối với phương tiện giao thông: ôtô, tàu hỏa, máy bay Biết rằng, khơng có thành phố giao lưu với thành phố khác loại phương tiện trên,đồng thời, khơng có ba thành phố mà thành phố giao lưu loại phương tiện Hãy tìm số lớn thành phố có quốc gia H Có 20 đội bóng thi đấu vòng tròn lượt Hỏi số trận đấu tối thiểu để ba đội có hai đội đấu với Có đấu thủ cờ vua thi đấu theo thể thức vòng tròn Chứng minh thời điểm không diễn trận đấu có hai đấu thủ chơi số trận 64 Trong đợt thi đấu tranh giải vô địch quần vợt quốc gia năm 1996 có đấu thủ tham gia Chứng minh thời điểm khơng thi đấu mà có hai đấu thủ chơi số ván, cịn đấu thủ chưa đấu ván nào, đấu xong với người lại Trong đồn tham quan mà thành viên có khơng nhiều người khơng quen Chứng minh chia đồn thành nhóm, mà nhóm, thành viên có khơng nhiều người không quen 10 Trong quốc gia, hệ thống đường bay bố trí sau: Mỗi thành phố có đường bay thẳng đến nhiều thành phố thành phố bay đến thành phố khác với nhiều lần chuyển tiếp liên quốc gia có nhiều thành phố? 11 Có n người khơng quen biết Chứng minh giới thiệu số người họ quen nhau, để cuối khơng có người có số người quen 12 Trên bờ hồ tròn lớn, có số điểm dân cư Một số điểm dân cư liên hệ qua lại với tàu thủy theo điều kiện sau: Hai điểm dân cư liên hệ hai điểm tiếp sau (kể từ điểm hai điểm này), theo ngược chiều kim đồng hồ, không liên hệ Chứng minh từ điểm dân cư đến điểm dân cư tùy ý khác tàu thủy mà không lần chuyển tàu (đổi hướng tàu) 13 Cho n điểm nối chúng đoạn thẳng không giao nhau, cho từ điểm đến điểm điểm cịn lại theo đoạn thẳng này, ngồi ra, khơng có hai điểm chúng nối hai đường khác Chứng minh có n - đoạn thẳng nối? 14 Trong thành phố giao lộ (nơi gặp hai đường) A, B, C có đường từ A đến B không qua C Chứng minh từ giao lộ đến giao lộ khác theo hai đường khơng giao 15 Chín nhà toán học gặp hội nghị toán học quốc tế năm 1996 họ nhận là: Bất kỳ người họ có người nói với thứ tiếng Mặt khác, người họ khơng nói nhiều thứ tiếng Chứng minh rằng, có nhà tốn học nói với thứ tiếng 16 Một trường học gồm 1989 học sinh, học sinh quen với 45 bạn khác Chứng minh chọn bạn xếp quanh bàn tròn cho bạn ngồi hai bạn quen 65 17 Có n kiện tướng cờ vua tranh giải vơ địch quốc gia năm 1996 (khơng có trận hịa) Chứng minh có hai kiện tướng thắng số trận, phải có kiện tướng mà người có trận thắng trận thua (trong nhóm người này) 18 Tất mặt khối đa diện lồi tam giác Chứng minh tơ cạnh khối đa diện màu xanh đỏ cho: Từ đỉnh khối đa diện đến đỉnh tùy ý khác, liên tục cạnh đồng màu 19 Cho điểm khơng gian khơng có điểm đồng phẳng Tất điểm nối cặp đoạn thẳng Các đoạn thẳng tơ màu: Xanh, đỏ, vàng Tìm giá trị nhỏ n, cho với cách tô màu n cạnh tồn tam giác có cạnh đồng màu 20 Cho số điểm đỏ xanh Một số điểm chúng nối đoạn thẳng Ta gọi điểm x yếu, nửa số điểm nối với x có màu khác với x Ta đổi màu điểm " yếu" cách: Mỗi lần gặp điểm "yếu" ta đổi màu cho Chứng minh sau số lần đổi màu vậy, khơng cịn điểm " yếu " 21 Giả sử Việt Nam có 67 trường đại học Hãy chứng minh tồn trường đại học có số chẵn đường giao thơng tới trường đại học khác 22 Chứng minh lớp học tùy ý, số học sinh mà người có số lẻ bạn thân lớp số chẵn 23 Chứng minh số người mà người có số lẻ lần bắt tay trái đất số chẵn 24 Trong hội nghị, đại biểu bắt tay đại biểu khác, người ta đếm tất 57 lần bắt tay Hỏi hội nghị có người? 25 Liệu có nhóm người người quen biết người khác không? 26 Có 20 đội bóng thi đấu với nhau, đội phải đấu trận với đội khác Chứng minh vào lúc có đội đấu số trận nhau? 27 Chứng minh họp tùy ý gồm đại biểu trở lên, ln ln có đại biểu mà họ có số người quen đại biểu đến dự họp 28 Chứng minh nhóm tùy ý gồm người, mà có người có số người quen nhau, họ khơng thể đồng thời khơng quen đồng thời quen tất người lại nhóm 66 29 Một hội nghị gồm 1998 người, đại biểu gặp bắt tay a Chứng minh có số đại biểu bắt tay số lẻ lần số chẵn b Trong số đại biểu dự hội nghị có đại biểu có số lần bắt tay c Giả sử 1998 người dự hội nghị có đại biểu có số lần bắt tay hai đại biểu khơng thể có số lần bắt tay 1997 lần 30 Trước vào hội nghị đại biểu bắt tay (hai người bắt tay nhiều lần Có đại biểu không bắt tay Một người đếm số lần bắt tay nói có người bắt tay lần, người bắt tay lần, người bắt tay lần Nếu hội nghị có 15 người ơng ta đếm nhầm? Tại sao? 31 Một thơn có gia đình, gia đình thân với gia đình khác Chứng minh xếp số chẵn gia đình làm nhà xung quanh hồ để gia đình sống hai gia đình mà họ thân? 32 Khi nghỉ hè, bạn lớp 12 trường Lê Quý Đôn trao đổi địa với nửa số bạn lớp Chứng minh thời gian nghỉ hè bạn học sinh lớp 12 báo tin trực tiếp gián tiếp cho bạn lớp 33 Có n số tự nhiên tùy ý (n ≥ 3) số có ước chung với số khác Chứng minh ghi phần tập số lên vòng tròn để số có ước chung với số bên cạnh 34 Có n người đến hội (n ≥ 4) Mỗi người quen người đến dự Chứng minh ln ln tách số chẵn người để xếp cho họ ngồi xung quanh bàn tròn, cho người ngồi hai người mà anh (chị) ta quen 35 Có 16 em thi đấu bóng bàn Theo lịch em phải thi đấu bạn khác trận Hiện em thi đấu 11 trận Chứng minh rằng, tìm em mà em đấu với em cịn lại 36 Có 1998 số tự nhiên lớn thỏa mãn điều kiện: Cứ số bất kỳ, số nguyên tố với số cịn lại Hãy tìm xem có số số nguyên tố với 1997 số lại 37 Trong hội nghị quốc tế ngơn ngữ học có n nhà bác học tham gia (n ≥ 4) người tùy ý có người nói chuyện trực tiếp với người lại Chứng minh n − người số họ, người nói chuyện trực tiếp với ba người cịn lại? 38 Trong phịng có 100 người, mà người quen với 66 99 người cịn lại Hỏi liệu có xảy hay khơng trường hợp người phịng có người không quen nhau? ( Đề thi học sinh giỏi Ba Lan 1966 - 1967) II Hướng dẫn giải toán 67 Dùng định lý 1.5 chương I Đáp số: Không nhiều phần tử Dùng qui nạp: Với n = 3, 5, làm trực tiếp Với hệ X gồm n điểm thỏa mãn giả thiết qui nạp, gọi a, b điểm thứ n + n + Khi nối a với điểm hệ X mũi tên hướng X Nối điểm X với b, mũi tên hướng b Nối b với a, mũi tên hướng a Chứng minh khơng có người quen với khơng người cịn lại, đồng thời người có người quen khơng người nhóm Chứng minh thành phố khơng đủ phương tiện, có phương tiện phục vụ không nhiều thành phố Đáp số 90 Chọn đội bóng có số trận đấu Dùng định lý 1.3 chương I Dùng định lý 1.4 chương I Chia thành nhóm tùy ý, sau chuyển người có người khơng quen sang nhóm tổng số cặp, khơng quen nhóm giảm Sau số hữu hạn bước thực xong 10 Đáp số 10 11 Dùng định lý chương I 12 Chứng minh chia thành cặp có liên hệ Trong cặp có liên hệ từ cặp đến cặp 13 Dùng định lý 19 chương I 14 Dùng qui nạp theo độ dài đường giao lộ xét giao lộ thứ gần giao lộ ban đầu 15 Dùng phản chứng Tìm nhà tốn học A khơng nói với người khác thứ tiếng , lấyB họ, tồn C số cịn lại khơng nói với B thứ tiếng 16 Tồn đỉnh A bậc chẵn, không nhỏ 46 Xét B kề với A, kề với khơng 44 đỉnh kề A, 44.46 > 1989 17 Xét x, y có số trận thắng x thắng y , x thua k người thua y 18 Gọi A, B, C, D, , E kề với M Tô xanh M A, M B, M C, , M E , tô đỏ AB , đoạn đường gấp khúc B, C, , E tô xanh Làm tiếp với mặt sát phần 68 tơ Mặt xét có cạnh tơ, cạnh thứ tơ tùy ý, có cạnh tơ tơ màu khác 19 Đáp số 33 Xét dần trường hợp 6; 7; 8; đỉnh 20 Tô màu lại số đoạn thẳng với đầu mút trái màu giảm 1, sau số hữu hạn bước xong 21 Vì số đỉnh bậc lẻ ln số chẵn Bởi đồ thị 67 đỉnh phải có đỉnh bậc chẵn, nên 67 trường đại học phải có trường có đường giao thơng nối với số chẵn trường 22 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ áp dụng trực tiếp định lý 1.2 chương I 23 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ áp dụng trực tiếp định lý 1.2 chương I 24 Để giải toán ta chứng minh khẳng định tổng quát: Khẳng định 1: Nếu đồ thị có m cạnh, n đỉnh bậc đỉnh không nhỏ a, n ≤ 2m a Do tổng bậc tất đỉnh 2m, nên có bất đẳng thức na ≤ 2m ⇒ n ≤ 2m a Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ: Đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với đại biểu dự hội nghị Cạnh: Hai điểm x, y nối thẳng cạnh hai đại biểu tương ứng với x, y bắt tay Khi số cạnh đồ thị số lần đại biểu bắt tay nhau(57), bậc đỉnh số lần mà đại biểu tương ứng với đỉnh bắt tay (≥ 4) Áp dụng công thức (1) suy ra: n < 114 = 28.5 Vậy hội nghị có tối đa 28 đại biểu 25 Xây dựng đồ thị Đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với số người nhóm Cạnh: Trong đồ thị G đỉnh x, y nối cạnh hai người quen Bài toán phát biểu dạng đồ thị sau: "Tồn hay khơng đồ thị có đỉnh mà đỉnh bậc lẻ" Trả lời: Không (theo định lý 1.2 chương I) 26.27 Dùng định lý 1.3 chương I 28 Dùng định lý 1.4 chương I 29 Xây dựng đồ thị tương ứng áp dụng kết lý thuyết đồ thị: a Dùng định lý 1.2 chương I; b Dùng định lý 1.3 chương I; c Dùng định lý 1.4 chương I 69 30 Xây dựng đồ thị Đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với đại biểu Cạnh: Hai đỉnh x, y nối cạnh hai đại biểu tương ứng bắt tay Vì có 15 người nên đồ thị có 15 đỉnh đó, theo đại biểu đếm bắt tay có đỉnh bậc 4, đỉnh bậc 5, đỉnh bậc Đồ thị có số đỉnh bậc lẻ số lẻ, nên mâu thuẫn với định lý 1.2 chương I Vậy kết luận đại biểu đếm nhầm 31 Dùng định lý 1.10 chương I 32 Dùng định lý 1.11 chương I 33 Dùng định lý 1.9 chương I 34 Dùng định lý 1.10 chương I 35 Ta giải tốn dạng tổng quát cách phát biểu chứng minh khẳng định sau: Khẳng định 6: Trong đồ thị G(X, E) với kn + đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ (k − 1)n + tồn đồ thị đầy đủ gồm k + đỉnh Chứng minh: Khẳng định chứng minh quy nạp theo k Với k = 1, khẳng định hiển nhiên Với k = làm chặt giả thiết: Nếu đồ thị 2n + đỉnh, mà đỉnh có bậc khơng nhỏ n, có đồ thị đỉnh đầy đủ Thật vậy, xét đỉnh x tùy ý, y đỉnh kề với x Giả sử không tồn đỉnh mà với x, y tạo thành chu trình đỉnh tức đồ thị đầy đủ gồm đỉnh, tổng số đỉnh kề với x, y không nhỏ 2n, số đỉnh khác với x y 2n − Vậy phải có đỉnh z tính lần Lúc x, y, z tạo thành đồ thị đầy đủ đỉnh Giả sử khẳng định với k , cần chứng minh tính đắn khẳng định k + Theo giả thiết đồ thị G gồm (k + 1)n + đỉnh, số đỉnh kề với x tùy ý không nhỏ kn + 1, nên số đỉnh G không kề với x không vượt n Bởi đỉnh y kề với x, kề với nhiều n đỉnh khơng kề với x Do đỉnh y phải kề với kn + − n = (k − 1)n + đỉnh kề với x Xét đồ thị G1 gồm đỉnh kề với x Đồ thị G1 có kn + đỉnh mà đỉnh kề với (k − 1)n + đỉnh thuộc đồ thị G1 , nên theo giả thiết qui nạp, G1 có đồ thị đầy đủ G2 gồm k + đỉnh Vì đỉnh x kề với đỉnh thuộc G2 , nên đỉnh x kết hợp với đỉnh thuộc G2 lập thành đồ thị đầy đủ gồm k + đỉnh đồ thị G Khẳng định chứng minh Áp dụng khẳng định để giải tập 70 Đỉnh: Lấy đỉnh mặt phẳng hay không gian tương ứng với số em thi đấu bóng bàn Cạnh: Các đỉnh x, y nối cạnh em thi đấu với Ta đồ thị G gồm 16 đỉnh, bậc đỉnh 11 Xét k = 3; n = Số đỉnh đồ thị (thỏa mãn)≥ k.n + = 3.5 + = 16 (đỉnh) bậc đỉnh (thỏa mãn) ≥ (k − 1)n + = 2.5 + = 11 Vậy tồn đồ thị đầy đủ gồm k + = + = (đỉnh), nên theo suy tồn nhóm em, mà em đấu với em lại Nhận xét: Qua khẳng định tập ta thấy thay đối tượng (các em) quan hệ (thi đấu) đối tượng quan hệ khác có tính chất đối xứng, thay đổi giá trị k n ta thấy lớp toán khác 36.37 Vận dụng đồ thị tô màu 38 Câu trả lời " Có thể" Ta xếp họ ngồi vào bàn: bàn thứ 33 người, bàn thứ hai xếp 33 người, bàn thứ ba xếp 34 người Có thể xảy trường hợp: Những người ngồi bàn không quen người ngồi bàn quen tất người bàn Như người quen 66 67 người khác, đồng thời người phịng có người ngồi bàn nên họ không quen 71 Kết luận Luận văn trình bày thu - Một số kết lý thuyết đồ thị, bậc, xích, chu trình, đường vịng, đồ thị liên thơng, đồ thị tơ màu, tập ổn định ngoài, nhân đồ thị - Phân dạng đưa số khẳng định cần thiết để áp dụng giải tập tốn với bậc trung học phổ thơng Tác giả đặc biệt nhấn mạnh ứng dụng đồ thị tô màu, phương pháp ứng dụng hiệu để giải tốn phổ thơng khơng mẫu mực - Một số toán liên quan đáp án, hướng dẫn giải Vì thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm, bảo thầy đóng góp ý kiến các bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 72 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Huy Ruận, 2000, Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB khoa học kĩ thuật [2] Đặng Huy Ruận, 2002, Bảy phương pháp giải toán logic, NXB khoa học kĩ thuật [3] Vũ Đình Hịa, 2008, Giáo trình lý thuyết đồ thị, NXB đại học sư phạm [4] Hoàng Tụy, 1964, Đồ thị hữu hạn ứng dụng vận trù học, NXB khoa học [5] Hồng Chúng,1992,Gragh giải tốn phổ thơng, NXB giáo dục [6] Đặng Huy Ruận (chủ biên), 2011,Các chuyên đề chọn lọc từ Olympic tốn học trung học phổ thơng [7] Một số luận văn Thạc sĩ toán logic ứng dụng thuộc chuyên ngành "Phương pháp toán sơ cấp" 73 ... diễn đồ thị, đưa phương pháp nhận dạng toán phát triển lực vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải tập toán Đồng thời làm bật ưu lý thuyết đồ thị qua toán ứng dụng thực tế Cấu trúc luận văn Luận văn... pháp đồ thị Ngồi ra, Cấu trúc đồ thị mở rộng cách gán trọng số cho cạnh Có thể sử dụng đồ thị có trọng số để biểu diễn nhiều khái niệm khác Luận văn : ? ?Lý thuyết đồ thị với toán trung học phổ. .. tự học nghiên cứu học sinh Qua toán sơ cấp logic, lý thuyết đồ thị giúp phân tích yếu tố, cấu trúc, đưa cách chọn lựa hợp lý cho trường hợp toán Lý thuyết đồ thị phát triển khoảng kỉ trước Đánh