PHƯƠNG PHÁP đạo hàm và các bài TOÁN về tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và NHỎ NHẤT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DIỆP PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội- 2015 Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán Cơ Tin học, Trương Đại học Khoa học Tự Nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình giúp đỡ hoàn thành khóa Cao học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè động viên khuyến khích nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên luận văn nhiều thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2015 Nguyễn Thị Diệp Mục lục Lời mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm 1.2 Cực trị hàm số 1.3 Các định lí hàm khả vi 1.4 Hàm lồi hàm lõm Ứng dụng đạo hàm giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 10 2.1 Khảo sát trực tiếp hàm số miền xác định 10 2.2 Khảo sát hàm số theo biến 11 2.3 Đặt biến phụ chuyển đánh giá hàm số biến 13 2.4 Đánh giá gián tiếp thông qua biểu thức bậc 15 2.5 Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, hàm lõm 17 Cực trị hàm nhiều biến 19 3.1 Cực trị tự 19 3.2 Cực trị có điều kiện 20 Lời mở đầu Trong năm gần đây, kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông thường gặp toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đại lượng Các toán cực trị phong phú đa dạng mang nội dung vô sâu sắc, có ý nghĩa quan trọng em học sinh Các toán cực trị góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư cho học sinh Bài toán tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài toán Để hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho công việc sống sau Luận văn trình bày số ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị Luận văn đề cập tới số phương pháp giải số loại toán cực trị đại số thường gặp chương trình toán học trung học phổ thông Luận văn hệ thống hóa, phân loại toán trình bày theo ý tưởng kỹ vận dụng đạo hàm vào việc giải lớp toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Luận văn gồm có chương với nội dung sau: Chương 1: Luận văn trình bày kiến thức khái niệm cần thiết đạo hàm, tính đơn điệu hàm lồi tham khảo [3] Chương 2: Luận văn trình bày phương pháp sử dụng đạo hàm vào giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Chương luận văn trình bày phương pháp khảo sát trực tiếp hàm số tập xác định hàm số, khảo sát theo hàm số biến, đặt biến phụ chuyển đánh giá hàm biến, đánh giá thông qua biểu thức bậc nhất, hay phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, hàm lõm tham khảo [1, 5, 6, 2, 7, 4] Chương Luận văn trình bày phương pháp để tìm cực trị tự cực trị có điều kiện hàm nhiều biến số Từ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tham khảo [3] Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a, b) x0 ∈ (a, b) Nếu giới hạn sau tồn hữu hạn lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số f điểm x0 ký hiệu f (x0 ) Khi ta nói f khả vi x0 Ý nghĩa hình học Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Khi đó, f (x0 ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f (x) M (x0 , y0 ) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm M (x0 , y0 ) ∈ (C) y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 1.2 Cực trị hàm số Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định tập hợp D ⊂ R x0 ∈ D Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số f (x) tồn khoảng (a, b) chứa điểm x0 cho f (x) ≤ f (x0 ) với ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi f (x0 ) gọi giá trị cực đại f (x) điểm (x0 , f (x0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số y = f (x) Điểm x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f (x) tồn khoảng (a, b) chứa điểm x0 cho f (x) ≥ f (x0 ) với ∀x ∈ (a, b) ∩ D Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu f (x) điểm (x0 , f (x0 )) gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = f (x) Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Ta có kết sau điều kiện cần cực trị Định lý 1.3 ( Định lý Fermat) Cho hàm f xác định (a, b) x0 ∈ (a, b) Nếu hàm số f có cực trị x0 hàm f có đạo hàm x0 f (x0 ) = 1.3 Các định lí hàm khả vi Trong phần này, luận văn trình bày hai định lý quan trọng đạo hàm Đó định lí Lagrange, định lí Rolle (xem [3]) Định lý 1.4 (Định lý Rolle) Nếu f (x) hàm liên tục đoạn [a, b], có đạo hàm khoảng (a, b) f (a) = f (b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Chứng minh Vì f (x) liên tục [a, b] nên theo định lí Weierstrass f (x) nhận giá trị lớn M giá trị nhỏ m [a, b] - Khi M = m ta có f (x) hàm [a, b], với c ∈ (a, b) có f (c) = - Khi M > m, f (a) = f (b) nên tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = m f (c) = M , theo Định lý Fermat suy f (c) = Định lý chứng minh Hệ 1.5 Nếu f (x) có đạo hàm (a, b) f (x) có nhiều n nghiệm (n số nguyên dương) (a, b) f (x) có nhiều n + nghiệm (a, b) 8 Định lý 1.6 (Định lí Lagrange) Nếu f (x) hàm liên tục đoạn [a, b], có đạo hàm khoảng (a, b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = f (b) − f (a) b−a Chứng minh Xét hàm số F (x) = f (x) − f (b) − f (a) x, b−a x ∈ [a, b] Khi F (x) hàm liên tục đoạn[a, b], có đạo hàm khoảng (a, b) F (a) = F (b) Theo định lí Rolle tồn c ∈ (a, b) cho F (c) = Mà F (x) = f (x) − f (b) − f (a) , b−a suy f (c) = f (b) − f (a) b−a Định lý chứng minh 1.4 Hàm lồi hàm lõm Ta ký hiệu I(a, b) tập hợp có bốn dạng tập hợp sau (a, b), [a, b), (a, b] [a, b] Định nghĩa 1.7 Hàm số f (x) gọi lồi tập I(a, b) với x1 , x2 ∈ I(a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) (1.1) Nếu dấu đẳng thức (1.1) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực (chặt) I(a, b) Định nghĩa 1.8 Hàm số f (x) gọi lõm tập I(a, b) với x1 , x2 ∈ I(a, b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ) (1.2) Nếu dấu đẳng thức (1.2) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lõm thực (chặt) I(a, b) 9 Định lý 1.9 Nếu f (x) khả vi bậc hai I(a, b) f (x) lồi (lõm) I(a, b) f (x) ≥ 0(f (x) ≤ 0) I(a, b) Chương Ứng dụng đạo hàm giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2.1 Khảo sát trực tiếp hàm số miền xác định Bài toán ( Thi HSG Quốc gia, 1992) Cho số tự nhiên n > Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) = √ √ n 1+x+ n1−x với x thuộc [0, 1] Bài toán a Tìm giá trị lớn biểu thức √ x+1 x2 − x + với x ∈ R b Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ x2 − x + + y2 − y + + số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 10 √ z2 − z + 11 Bài toán Giả sử A, B, C ba góc tam giác nhọn Tìm giá trị nhỏ biểu thức tan A + tan B + tan C + 6(sin A + sin B + sin C) Bài toán Giả sử x > 0, y > x + y = Chứng minh giá trị lớn biểu thức √ √ x y +√ 1−y 1−x Bài toán Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = √ √ x2 + x + + x2 − x + Bài toán Giả sử a, b ∈ R+ a = b Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( a + x b+x ) b+x với x ∈ [0, +∞) Bài toán Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2sin x + 2tan x − 2x+1 2.2 0≤x≤ π Khảo sát hàm số theo biến Đối với BĐT nhiều biến, ta chọn biến biến số biến thiên cố định biến lại, toán lúc trở thành BĐT biến Bài toán Giả sử A, B, C ba góc tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q=2 1 + + − (cot A + cot B + cot C) sin A sin B sin C Bài toán Giả sử số thực a, b, c > 0, thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức b2 a b c + + 2 +c c +a a + b2 12 Bài toán 10 Chứng minh giá trị lớn biểu thức 2(x3 + y + z ) − (x2 y + y z + z x) với x, y, z ∈ [0, 1] Bài toán 11 Giả sử a, b, c ∈ [ 31 , 3] Tìm giá trị lớn biểu thức S(a, b, c) = a b c + + a+b b+c c+a Bài toán 12 Giả sử a, b, c ∈ [0, 1] Tìm giá trị lớn biểu thức S= b3 b c a + + 3 + c + c + a + a + b3 + Bài toán 13 Xét hàm số f (x, y) = (1 − x)(2 − y)(4x − 2y) miền D = {(x, y) : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 2} Tìm giá trị nhỏ hàm f miền D Bài toán 14 (Đề thi HSG THPT toàn quốc bảng A, 1999) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2 − + a2 + b + c + Bài toán 15 (VMO, 2001) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện     ≤ z ≤ min{x, y}   5 (2.1) xz ≥ 15      yz ≥ Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P (x, y, z) = + + x y z Bài toán 16 (Đề thi chọn ĐTQG, 2001) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (a, b, c) = + + a b c 13 Bài toán 17 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = −2xy + x2 y miền E = {(x, y) : ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 1} Bài toán 18 Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 12xyz ≥ 2x + 8y + 21z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x + 2y + 3z 2.3 Đặt biến phụ chuyển đánh giá hàm số biến Bài toán 19 Giả sử x, y hai số thực không âm thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = (x3 − 1)(y − 1) Bài toán 20 Giả sử x, y, z hai số thực không âm thỏa mãn x2 + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x+y+z Bài toán 21 Giả sử x, y ≥ hai số thực thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = (x2 − 1)(y − 1) − x2 + y + Bài toán 22 Giả sử hai số x, y khác thay đổi thỏa mãn (x + y)xy = x2 + y − xy Chứng minh giá trị lớn 1 + 3 x y 16 (2.2) 14 Bài toán 23 Giả sử x, y số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y + xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = x2 y − xy Bài toán 24 Giả sử x, y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = (x3 + y ) − (x2 + y ) (x − 1)(y − 1) Bài toán 25 (Trích đề thi Đại học khối A năm 2006) Giả sử hai số thực x, y = thay đổi thỏa mãn (x + y)xy = x2 + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + 3 x y Bài toán 26 Giả sử số thực dương x, y, z thỏa mãn   x + y + z =  xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Q = x4 + y + z Bài toán 27 Giả sử số thực x, y, z > thỏa mãn   xy + yz + zx =  xyz = Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức Q = x4 + y + z Bài toán 28 Giả sử số thực x, y, z > thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q= 4x2 + + x2 4y + + y2 4z + z2 Bài toán 29 (Trích đề thi Đại học khối A năm 2003) Giả sử x, y, z > 0, x + y + z ≤ Chứng minh giá trị nhỏ x2 + √ 82 + x2 y2 + + y2 z2 + z2 15 Bài toán 30 Giả sử ba số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c ≤ 23 Tìm giá trị nhỏ P = a2 + b + c + 1 + + ab bc ca Bài toán 31 (Thi thử đại 2012-2013 Trường THPT Kon Tum) Giả sử x, y, z số thực không âm thỏa x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx − 2xyz Bài toán 32 Giả sử x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y + z + 15 xyz Bài toán 33 (Trích đề thi thử đại học năm 2012-2013, trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum) Giả sử x, y số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện 4(x2 + y + xy) ≤ + 2(x + y) Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + √ x + y − x2 − y Bài toán 34 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 12, bảng A, tỉnh Nghệ An, năm 20122013 ) Giả sử a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a+ √ √ −√ a+b+c ab + abc Bài toán 35 Giả sử x, y, z ∈ [1, 2] Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P = (x + y + z)( + + ) x y z Bài toán 36 Giả sử ≤ x, y, z ≤ x + y + z = Tìm giá trị lớn P = x2 + y + z 2.4 Đánh giá gián tiếp thông qua biểu thức bậc Nếu toán có dạng sau cho n ∈ N số a1 , a2 , an ∈ D thỏa mãn a1 + a2 + · · · + an = nα, với α ∈ D Hàm số y = f (x) khoảng D không lồi 16 không lõm D đồ thị “nằm trên” tiếp tuyến D Trong áp dụng BĐT hàm lồi dùng phương pháp “tiếp tuyến” để giải toán Sau xin trình bày số toán minh họa cho phương pháp trích dẫn từ số đề thi Olympic nước ta nước giới Trong số toán phải sử dụng linh hoạt giả thiết tính chất biểu thức toán để vận dụng phương pháp cách hiệu Bài toán 37 ( Olimpic 30/4- 2006) Giả sử a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức Q= a(b + c) b(c + a) c(a + b) + + (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 (a + b)2 + c2 Bài toán 38 (Hồng Kong, 2005) Giả sử a, b, c, d số dương thỏa mãn a + b + c + d = Chứng minh giá trị nhỏ 6(a3 + b3 + c3 + d3 ) − (a2 + b2 + c2 + d2 ) 81 Bài toán 39 ( Mở rộng toán thi Olimpic Ba Lan, 1996 Olimpic 30-4, 1999) Giả sử số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức a b c + + 2 1+a 1+b + c2 Bài toán 40 (Rumania, 2005) Giả sử số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = Chứng minh giá trị nhỏ 1 + + − (a2 + b2 + c2 ) a b c Bài toán 41 (Trung Quốc, 2005) Giả sử số không âm a, b, c thỏa mãn a+b+c = Chứng minh giá trị nhỏ 10(a3 + b3 + c3 ) − 9(a5 + b5 + c5 ) (2.3) 17 Bài toán 42 (Moldova,2005) Giả sử số dương a, b, c thỏa mãn a4 + b4 + c4 = Tìm giá trị lớn biểu thức 1 + + − ab − bc − ca 2.5 Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, hàm lõm Bài toán 43 (Bất đẳng thức Karamata) Cho hai dãy số {xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, , n} thỏa mãn điều kiện x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn    x1 ≥ y         x1 + x2 ≥ y + y          x1 + x2 + xn−1 ≥ y1 + y2 + yn−1       x + x + x n = y + y + y n Khi đó, ứng với hàm lồi f (x) (2.4) (f (x) ≥ 0) I(a, b), ta có f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ) (2.5) Ta có phát biểu tương tự hàm lõm cách đổi chiều dấu bất đẳng thức Hệ 2.1 (Bất đẳng thức Jensen) Với hàm lồi f (x) I(a, b) với xi ∈ I(a, b) (i = 1, 2, , n), ta có bất đẳng thức f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) x1 + x2 + · · · + xn ≥ f( ) n n Ở phần tiếp theo, luận văn trình bày số áp dụng bất đẳng thức Karamata hệ 18 Bài toán 44 Cho 2n số thực dương , bi (i = 1, 2, , n) thỏa mãn điều kiện     a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an    b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ b n      a1 ≥ b1 , a1 a2 ≥ b1 b2 , , a1 a2 an = b1 b2 bn Chứng minh a1 + a2 + · · · + an ≥ b + b + · · · + b n Bài toán 45 Giả sử số thực a, b, c thỏa mãn     0≤c≤b≤a≤8    a + b ≤ 13      a + b + c = 15 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức M = a2 + b + c Bài toán 46 Giả sử A, B, C góc tam giác nhọn Chứng minh giá trị lớn cos A + cos B + cos C 32 Bài toán 47 Giả sử tam giác ABC không nhọn Chứng minh giá trị nhỏ tan √ 2 − B C A + tan + tan 2 Bài toán 48 (IMO 2000) Giả sử số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh 1 (a − + )(b − + )(c − + ) ≤ b c a Chương Cực trị hàm nhiều biến 3.1 Cực trị tự Sau đây, luận văn xin trình bày cực trị tự hàm nhiều biến tham khảo [3] Giả sử z = f (x1 , , xn ) hàm xác định liên tục miền D mở, M (a1 , , an ) ∈ D Ta nói hàm f (x1 , , xn ) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) M điểm (x1 , , xn ) thuộc lân cận M (a1 , , an ) f (x1 , , xn ) ≤ f (a1 , , an ) ( tương ứng f (x1 , , xn ) ≥ f (a1 , , an )) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm f (x1 , , xn ) gọi cực trị hàm số Tại M (a1 , , an ) mà hàm đạt cực trị gọi điểm cực trị hàm số Định lý 3.1 (Điều kiện cần cực trị [3]) Nếu hàm z = f (x1 , , xn ) đạt cực trị M (a1 , , an ) hàm số có đạo hàm riêng hữu hạn, fxj (a1 , , an ), j = 1, 2, , n đạo hàm riêng phải triệt tiêu fxj (a1 , , an ) = với j = 1, 2, , n Định lý 3.2 (xem [3]) Giả sử M (x0 , y0 ) điểm thỏa mãn zx (x0 , y0 ) = 0, zy (x0 , y0 ) = hàm z = f (x, y) hàm z = f (x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục 19 20 ta gọi A= ∂ 2z ∂ 2z ∂ 2z (x , y ), C = (x , y ), B = (x0 , y0 ) 0 0 ∂x2 ∂x∂y ∂y Nếu B − AC < z = f (x, y) có cực trị M (x0 , y0 ) Hơn hàm z = f (x, y) đạt cực đại M (x0 , y0 ) A < 0, z = f (x, y) đạt cực tiểu M (x0 , y0 ) A > Nếu B − AC > z = f (x, y) cực trị M (x0 , y0 ) Nếu B − AC = 0: chưa kết luận cực trị hàm z = f (x, y) M (x0 , y0 ) Bài toán 49 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau z = x3 + y − 3xy ≤ x, y ≤ Bài toán 50 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau z = x3 + 2y − 3x − 6y − ≤ x, y ≤ Bài toán 51 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số z = 8x2 + 3y + − (2x2 + y + 1)2 miền tròn đóng D xác định x2 + y ≤ 3.2 Cực trị có điều kiện Xét toán: Tìm cực trị hàm số f (x1 , , xn ) với điều kiện φj (x1 , , xn ) = 0, j = 1, , m Phương pháp làm sau (xem [3]): Xét hàm Lagrange m L(x1 , , xn , λ1 , , λm ) = f (x1 , , xn ) + λj φj (x1 , , xn ) j=1 Giải hệ   Lx (x1 , , xn , λ1 , , λm ) = ∀j = 1, , n j  φj (x1 , , xn ) = 0, j = 1, , m để tìm điểm dừng Sau xét dấu dạng vi phân cấp d2 L để tìm cực trị hàm số ban đầu 21 Bài toán 52 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số u = x − 2y + 2z với điều kiện x2 + y + z − = Bài toán 53 Tìm giá trị nhỏ hàm số u = x2 + y với điều kiện x + y = Bài toán 54 Tìm giá trị lớn hàm số u = sin x sin y sin z với điều kiện x + y + z = π2 , x, y, z ≥ Bài toán 55 Tìm giá trị lớn hàm số u = xyz với điều kiện x2 + y + z = 1, x + y + z = Bài toán 56 Tìm giá trị lớn hàm số u = xy + yz với điều kiện x2 + y = 2, y + z = 2, x, y, z ≥ Kết luận Luận văn đề cập tới nghiên cứu số phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số với ứng dụng vào giải toán khác Luận văn trình bày vấn đề sau: - Phương pháp khảo sát trực tiếp hàm số miền xác định - Phương pháp khảo sát hàm số theo biến - Phương pháp đặt biến phụ - Phương pháp đánh giá thông qua biểu thức bậc - Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, hàm lõm - Cực trị tự hàm nhiều biến, cực trị có điều kiện hàm nhiều biến 22 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Văn Dũng, Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức [2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB tri thức, 2006 [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích 1, NXB ĐHQG Hà Nội, 2004 [4] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức: Định lý áp dụng, NXB Giáo dục, 2006 [5] Trần Phương, Vẻ đẹp Bất đẳng thức kì thi Olympic Toán học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2010 [6] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, 2009 [7] Nguyễn Minh Tuấn, Lý thuyết sở hàm lồi bất đẳng thức cổ điển, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013 23 [...]... cấp 2 là d2 L để tìm cực trị của hàm số ban đầu 21 Bài toán 52 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u = x − 2y + 2z với điều kiện x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 Bài toán 53 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số u = x2 + y 2 với điều kiện x + y = 1 Bài toán 54 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số u = sin x sin y sin z với điều kiện x + y + z = π2 , x, y, z ≥ 0 Bài toán 55 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số u = xyz... f (x, y) không có cực trị tại M (x0 , y0 ) 3 Nếu B 2 − AC = 0: chưa kết luận được cực trị của hàm z = f (x, y) tại M (x0 , y0 ) Bài toán 49 Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau z = x3 + y 3 − 3xy trong đó 0 ≤ x, y ≤ 2 Bài toán 50 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau z = x3 + 2y 3 − 3x − 6y trong đó − 2 ≤ x, y ≤ 2 Bài toán 51 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số z = 8x2 + 3y 2 +... xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 1 + 3 3 x y Bài toán 26 Giả sử các số thực dương x, y, z thỏa mãn   x + y + z = 3  xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x4 + y 4 + z 4 Bài toán 27 Giả sử các số thực x, y, z > 0 thỏa mãn   xy + yz + zx = 8  xyz = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x4 + y 4 + z 4 Bài toán 28 Giả sử các. .. z = 0 Bài toán 56 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số u = xy + yz với điều kiện x2 + y 2 = 2, y + z = 2, x, y, z ≥ 0 Kết luận Luận văn đề cập tới nghiên cứu một số phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khác nhau Luận văn đã trình bày các vấn đề sau: - Phương pháp khảo sát trực tiếp hàm số trên miền xác định - Phương pháp khảo...11 Bài toán 3 Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tan A + tan B + tan C + 6(sin A + sin B + sin C) Bài toán 4 Giả sử x > 0, y > 0 và x + y = 1 Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của biểu thức √ là √ x y +√ 1−y 1−x 2 Bài toán 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √ √ x2 + x + 1 + x2 − x + 1 Bài toán 6 Giả sử a, b ∈ R+ và a = b Tìm giá trị nhỏ nhất của... 13      a + b + c = 15 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = a2 + b 2 + c 2 Bài toán 46 Giả sử A, B, C là 3 góc của một tam giác nhọn Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của cos A + cos B + cos C là 32 Bài toán 47 Giả sử tam giác ABC không nhọn Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của tan √ là 2 2 − 1 B C A + tan + tan 2 2 2 Bài toán 48 (IMO 2000) Giả sử các số dương a, b, c thỏa mãn... 17 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = −2xy 2 + x2 y trên miền E = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} Bài toán 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 12xyz ≥ 2x + 8y + 21z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + 2y + 3z 2.3 Đặt biến phụ chuyển về đánh giá hàm số một biến Bài toán 19 Giả sử x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu... y)xy = x2 + y 2 − xy Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của 1 1 + 3 3 x y là 16 (2.2) 14 Bài toán 23 Giả sử x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 + xy = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 y − xy 2 Bài toán 24 Giả sử x, y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x3 + y 3 ) − (x2 + y 2 ) (x − 1)(y − 1) Bài toán 25 (Trích đề thi Đại học khối A năm 2006)... y) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + √ x + y − x2 − y 2 Bài toán 34 (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 12, bảng A, tỉnh Nghệ An, năm 20122013 ) Giả sử a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a+ √ 2 3 √ −√ 3 a+b+c ab + abc Bài toán 35 Giả sử x, y, z ∈ [1, 2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 P = (x + y + z)( + + ) x y z Bài toán 36 Giả sử 1 ≤ x, y, z ≤ 3 và. .. , an )) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm f (x1 , , xn ) được gọi là cực trị của hàm số Tại M (a1 , , an ) mà hàm đạt được cực trị gọi là điểm cực trị của hàm số Định lý 3.1 (Điều kiện cần của cực trị [3]) Nếu hàm z = f (x1 , , xn ) đạt được cực trị tại M (a1 , , an ) và tại đây hàm số có các đạo hàm riêng hữu hạn, fxj (a1 , , an ), j = 1, 2, , n thì các đạo hàm riêng