Số học hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO PHƯƠNG BẮC SỐ HỌC, HÌNH HỌC CỦA NHĨM ĐẠI SỐ VÀ CÁC KHƠNG GIAN THUẦN NHẤT LIÊN QUAN TRÊN TRƯỜNG SỐ HỌC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO PHƯƠNG BẮC SỐ HỌC, HÌNH HỌC CỦA NHĨM ĐẠI SỐ VÀ CÁC KHÔNG GIAN THUẦN NHẤT LIÊN QUAN TRÊN TRƯỜNG SỐ HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 62.46.05.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Quốc Thắng Mnc lnc Mnc lnc Bang m®t so ký hiắu Bang mđt so thuắt ngE Me đau M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Nhóm đai so tuyen tính 1.2 Lưoc đo nhóm affine 1.3 Đoi đong đieu Galois 1.4 Đoi đong đieu phang 1.5 Tơpơ t¾p, nhóm đoi đong đieu Galois đoi đong đieu phang 1.5.1 Trưịng hop giao hốn 1.5.2 Trưịng hop khơng giao hốn Tơpơ đ¾c bi¾t 1.5.3 Trưịng hop khơng giao hốn Tơpơ tac 14 14 20 23 26 29 29 30 30 M®t so tính chat hEu tý cua nhóm quan sát đưec nhóm Grosshans 2.1 Các tính chat huu tý cua nhóm quan sát đưoc 2.2 Các tính chat huu tý cua nhóm tồn cau 2.3 Các tính chat huu tý cua nhóm Grosshans 2.4 Ket lu¾n cua Chương 32 33 41 43 46 Ve m®t dang tương đoi cho Đ%nh lý cua Bogomolov trưèng hồn thi¾n Éng dnng cua nú 47 3.1 Mđt so khỏi niắm v ket qua 48 3.2 M®t so ket qua lý thuyet bieu dien 52 3.2.1 Đ%nh lý ban cua bieu dien nhóm reductive trưịng đóng đai so 3.2.2 M®t so ký hiắu v -tỏc đng 3.2.3 Lý thuyet cua Tits ve bieu dien cua nhóm reductive m®t trưịng bat kỳ 3.2.4 Trang thái cua m®t bieu dien 3.2.5 Các nhóm parabolic P(λ) P(χ) 3.2.6 Đ¾c trưng cua nhóm tna parabolic 3.2.7 Đ%nh lý cua Kempf 3.2.8 Đ%nh lý cua Ramanan Ramanathan 3.2.9 Liên h¾ giua bieu dien cua nhóm reductive bieu dien cua nhóm nua đơn 3.3 Dang tương đoi cho m®t đ%nh lý cua Bogomolov 3.3.1 Chúng minh thú nhat cua Đ%nh lý 3.1.5 3.3.2 Chúng minh thú hai cua Đ%nh lý 3.1.5 3.4 M®t so tính chat huu tý cua nhóm tna parabolic nhóm dưói parabolic 3.5 Ket lu¾n cua Chương 53 53 54 56 57 58 59 60 61 62 63 65 68 77 Quy đao tương đoi Éng véi tác đ®ng cua nhóm đai so trưèng đ%a phương 79 4.1 M®t so ket qua sơ b® 80 4.2 Quy đao tương đoi cua nhóm đai so trưịng đay đu hồn thi¾n 86 4.3 Quy đao tương đoi cua nhóm đai so trưòng đay đu bat kỳ 97 4.3.1 Tác đ®ng tách manh, tác đ®ng tách 97 4.3.2 Chúng minh Đ%nh lý 4.3.1.3, Phan 98 4.3.3 Sơ đo chúng minh Đ%nh lý 4.3.1.3, Phan 99 4.3.4 Trưịng hop nhóm dùng lũy đơn 100 4.3.5 Trưịng hop nhóm giao hốn xuyen 102 4.3.6 Trưịng hop nhóm dùng m®t k-nhóm giai đưoc, liên thơng 111 4.3.7 Trưịng hop G m®t k-nhóm tuyen tính lũy linh 114 4.3.8 Trưịng hop nhóm dùng reductive 116 4.3.9 Trưòng hop tác đ®ng tách 118 4.4 M®t so tính tốn trưịng hop trưịng có đ¾c so p .118 4.5 Ket lu¾n cua Chương 126 Ket lu¾n 128 Danh mnc cơng trình cua tác gia liên quan đen lu¾n án 130 Tài li¾u tham khao 132 Ma đau Gia su G m®t nhóm đai so tuyen tính xác đ%nh m®t trưịng k Ta có the hieu đơn gian G m®t nhóm ma tr¾n vng cap n vói h¾ so nam bao thúc vói trưịng h¾ so trong cúu m®t quanHQTRQNG đóng n đaibien so cna k vk.GMđt ong thũinhung l tắphúng khụngnghiờn iem cna cỏc a nam giua Lý thuyet nhóm đai so tuyen tính Hình HQc Đai so Lý thuyet bat bien hình HQc M®t phan chn yeu cna lý thuyet nghiên cúu tác đ®ng (cau xa) cna m®t nhóm đai so tuyen tính lên m®t đa tap đai so cho trưóc, đ¾c bi¾t nghiên cúu tính chat cna quy đao Lý thuyet bat bien hình HQc xuat hi¾n tù lâu vói vi¾c nghiên cúu Bài tốn so 14 cna Hilbert ve tính chat huu han sinh cna đai so hàm bat bien Vói nhung đóng góp cna Mumford, Haboush, Nagata, , lý thuyet phong phú trưịng hop trưịng k đóng đai so Tuy nhiên, tù thòi điem ban đau cna Lý thuyet bat bien hình HQc hi¾n đai, mà Mumford ngưịi đ¾t nen móng, ơng đ¾t van đe nghiên cúu ca nhung tình huong tương đoi, túc k m®t trưịng bat kỳ nói chung khơng đóng đai so Chang han, vói đ®ng nghiên cúu toán so HQc (cu the xây dnng không gian moduli cna đa tap abel), Mumford (1965) xét nhieu van đe cna lý thuyet nhung lưoc đo đn tőng quát Ngoài ra, Borel (1969) v Tits (1965), ó mđt so cõu hoi (hay gia thuyet) mo r®ng ket qua biet cna lý thuyet bat bien hình HQc trưịng đóng đai so cho ca trưịng khơng đóng đai so (chang han mo r®ng m®t đ %nh lý női tieng cna Hilbert Mumford) Nhung ket qua đien hình theo hưóng thu®c ve Birkes (1971), Kempf (1978), Raghunathan (1974), cho câu tra lịi (ho¾c lịi giai) cna mđt so cõu hoi (hoắc gia thuyet) oc e c¾p o Nhung nghiên cúu theo cách v¾y nói chung đưoc GQI nghiên cúu ve tính chat huu ty (cna nhóm đai so, cna đa tap đai so, v.v ) Khó khăn g¾p phai tốn nói tương tn đoi vói m®t tốn so HQc, ví du vi¾c tìm nghi¾m cna đa thúc trưịng đóng đai so (“bài tốn hình HQc”) trưịng khơng đóng đai so (“bài tốn so HQc”) Đe hieu rõ tính chat cna quy đao, vi¾c nghiên cúu nhóm dùng rat quan TRQNG Có m®t so lóp nhóm quan TRQNG vi¾c nghiên cúu Lý thuyet bat bien hình HQc, lóp nhóm quan sát đưoc, lóp nhóm tồn cau, lóp nhóm Grosshans Tù m®t so nghiên cúu ve Lý thuyet bieu dien nhóm đai so, Bialynicki-Birula, Hochschild, Mostow (1963) đưa khái ni¾m nhóm quan sát đưac Ta có the hieu m®t nhóm đóng H cna G quan sát đưoc neu H nhóm dùng cna m®t vectơ v m®t G-mơđun huu ty huu han chieu V Các tác gia a mđt so ieu kiắn can v n e m®t nhóm quan sát đưoc Sau đó, Grosshans (1973, 1997) ó tỡm thờm oc mđt so ieu kiắn tương đương khác Tuy nhiên, hau het ket qua o đeu mói chi đưoc chúng minh cho trưịng hop k m®t trưịng đóng đai so M®t lóp nhóm khác quan TRQNG lóp nhóm tồn cau Borel Bien đưa (trúc ú Bergman ó lm mđt cụng viắc tng tn đoi vói Đai so Lie) Ta đ%nh nghĩa m®t nhóm đóng H cna G tồn cau neu đai so hàm quy k[G/H] cna khơng gian thuan nhat G/H bang k Nhung đieu ki¾n can đn đe m®t nhóm đóng tồn cau ban đau đưoc đưa boi Bien Borel (1992) Bên canh đó, Bien, Borel, Kollar (1996) nghiên cúu moi liên h¾ cna tính chat H nhóm tồn cau vói tính chat liên thơng huu ty cna khơng gian thuan nhat G/H Nhị vào nhung nghiên cúu liên quan đen Bài toán so 14 cna Hilbert, Grosshans (1973) đưa m®t lóp nhóm quan sát đưoc mang tên ơng Đó nhung nhóm quan sát đưoc H cna G có tính chat đai so hàm bat bien k[G]H huu han sinh, H tác đ®ng t%nh tien phai lên đai so hàm quy k[G] Chính Grosshans tỡm mđt so ieu kiắn can v n khỏ thú v% cho khái ni¾m nói Tuy nhiên, ket qua nói mói chi đưoc chúng minh trưịng hop k trưịng đóng đai so Gan đây, sn can thiet phai có nhung úng dung So HQc Lý thuyet ergodic, Weiss (1998) có m®t so ket qua ve tính chat huu ty cna nhóm quan sát đưoc nhung nhóm tồn cau Như ta biet, m®t nhóm đóng H cna G quan sát đưoc neu H = Gv , vói v ∈ V , V m®t G-mơđun huu han chieu Tuy nhiên, H chi nhóm dùng cna m®t vectơ (đoi vói bieu dien cho), ta khó có the nói thêm ve cau trúc cna H e đây, Sukhanov (1990) có ket qua sâu khang đ%nh nói Ơng chúng minh m®t đ%nh lý nói rang, m®t nhóm quan sát đưoc neu chi neu dưói parabolic Đe làm đưoc đieu này, Sukhanov phai dùng m®t ket qua quan TRQNG cna Bogomolov ve cau trúc cna nhóm dùng cna m®t vectơ thieu őn đ%nh (instable) v (nghĩa ∈ G · v) Tuy nhiên, ket qua cna Bogomolov Sukhanov mói chi đưoc chúng minh trưịng hop k trưịng đóng đai so N®i dung cna hai chương đau tiên nói ve ket qua cna lu¾n án (Chương 2, v Chng 3) l trỡnh by viắc mo rđng nhung khang đ%nh cho trưịng khơng đóng đai so Vỡ mđt so lý ky thuắt, cỏc ket qua cna Bogomolov Sukhanov Chương chi đưoc mo rđng lờn cho truũng hop k l trũng hon thiắn Như nói o trên, có rat nhieu ket qua cna Lý thuyet bat bien (hình HQc) đe c¾p đen vi¾c nghiên cúu tính chat đóng cna quy đao dưói tác đ®ng cna nhóm G thu đưoc trưịng hop hình HQc, túc là, trưịng hop trưịng k đóng đai so Bên canh đó, m®t so địi hoi n®i tai cna Lý thuyet so mà trưịng đ%a phương, tồn cuc đưoc quan tâm đ¾c bi¾t Chang han ta cho G m®t nhóm đai so tuyen tính tác đ®ng lên k-đa tap V x ∈ V (k) Khi ú mđt búc chớnh viắc chỳng minh m®t ket qua tương tn cna Đ%nh lý siêu cúng (super-rigidity) Margulis trưịng hop trưịng hàm tồn cuc, đưoc đưa boi Venkataramana (1988), chúng minh tính chat đóng (đ%a phương) cna m®t so quy đao tương đoi G(k) · x Vì the, chúng tơi quan tâm đen moi liên h¾ giua tính chat đóng Zariski cna quy đao dưói tác đ®ng boi m®t nhóm đai so tính chat đóng Hausdorff cna quy đao tương đoi Cu the hơn, gia su k m®t trưịng đay đn đoi vói m®t đ%nh giá khơng tam thưịng v có hang thnc bang 1, ví du trưịng đ%a phương trưịng p-adic ho¾c trưịng so thnc R Ta trang b% cho X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cam sinh tù tôpô v-adic k Cho x ∈ X(k), chúng tơi muon nghiên cúu moi liên h¾ giua tính chat đóng Zariski cna quy đao hình HQc G · x X tính chat đóng Hausdorff cna quy đao (tương đoi) G(k) · x X(k) Ket qua đau tiên theo hưóng thu®c ve Borel Harish-Chandra (1963), tiep đen Birkes (1971) trưòng hop trưịng so thnc, sau Bremigan (1994) Thnc te, o báo chi neu G m®t R-nhóm reductive, G · x đóng Zariski neu chi neu G(R) · x đóng theo tơpơ thnc Đieu đưoc mo r®ng cho trưịng p-adic boi Bremigan (1994) Muc đích cna chương ket qua thú ba (Chương 4) mo r®ng nghiên cúu sâu tốn đưoc đe c¾p o Ban lu¾n án gom chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc ban, can thiet cho lu¾n án Cu the là, Muc 1.1, 1.2, nhac lai mđt so khỏi niắm ve nhúm so tuyen tớnh, Lý thuyet bat bien hình HQc (nói rõ hơn, tác đ®ng cna nhóm đai so lên đa tap) lưoc đo nhóm affine Trong Muc 1.3, 1.4, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc can thiet ve đoi đong đieu Galois đoi đong đieu phang, Muc 1.5, chúng tơi trình bày m®t so đ%nh nghĩa, ket qua biet ve tơpơ t¾p đoi đong đieu Các ket qua mói đưoc chúng tơi trình bày Chương 2, 3, Chương (tương úng, Chương 3, Chương 4) viet dna theo báo [1](tương úng, ([2], [4]) ([5], [6])) Trong Chương 2, chúng tơi nghiên cúu m®t so tính chat huu ty cna nhóm quan sát đưoc, nhóm tồn cau, nhóm Grosshans e đó, chúng tơi chi rang m®t so tiêu chuan can đn đe m®t nhóm quan sát đưoc m®t nhóm tồn cau đeu có the mo r®ng đưoc cho trưịng k bat kỳ, khơng nhat thiet đóng đai so Nói riêng ra, đieu ki¾n can đn đe m®t nhóm quan sát đưoc bao gom tính chat nhóm dùng k, tính chat mo r®ng đưoc k, tính chat tna affine k, , đeu mo r®ng đưoc cho trưịng k tùy ý Phát bieu xác cna ket qua đưoc cho Đ%nh lý 2.1.11 Tương tn nhóm quan sát đưoc, Bien Borel (1992) chúng minh m®t so tiêu chuan can đn đe m®t nhóm tồn cau Đ%nh lý thú hai cna Chương khang đ%nh rang, nhung tiêu chuan can 0 reductive) V làđai m®t -mơđun bat khanhat quy.thiet Khi liên G /Ru(G) nhóm Cho G m®tvà nhóm so G tuyen tính (khơng thơng, reductive Ru(G) tác đ®ng tam thưịng lên V V¾y theo Grosshans (1997), ta có đ%nh nghĩa vectơ TRQNG cao nhat úng vói bieu dien bat kha quy cna m®t nhóm đai so tuyen tính bat kỳ trên, khinghĩa xem V nhưTa m®t (G)-mơđun bat TRQNG kha quy v cna ∈ Vbieu vectơ neu Đ%nh 3.1.2 nóiGv /R ∈u V m®t vectơ caothì nhat dien nói TRQNG cao nhat Tù có nhung đ%nh nghĩa sau Đ%nh nghĩa 3.1.3 ([2,4]) Gia su G m®t nhóm đai so tuyen tính Cho parabolic Q m®tcna nhóm conQđóng G0 vKhi ta nóim®t Q m®tTRQNG nhóm cona)k-tna G0 neu = (Gcna )v, vói ∈ đó, V (k) vectơ cao nhat cna m®t k − G -mơđun V bat kha quy b) Ta đ%nh nghĩa m®t nhóm conk,đóng H tai cnam®t G lànhóm k-dưái parabolic (subparabolic) neu H xác đ%nh ton k-tna parabolic Q cna G0, cho H0 ⊆ Q Ru(H) ⊆ Ru(Q) a’) Ta đ%nh nghĩa nhóm conlà Q G0 tna parabolic nhóm tna parabolic) neu tnacna parabolic xác đ%nhtrên trênkk.(ho¾c kb’) Ta nói nhóm H cna G dưái parabolic k (ho¾c k-nhóm dưói parabolic) neu xác đ%nh k dưói parabolic M®t knhóm đóng H cna G đưoc GQI dưái parabolic manh k (strongly subparabolic over k) neu ton tai m®t k-nhóm tna parabolic Q cna G0 cho H ⊆ Q Ru(H) ⊆ Ru(Q) Chúng tơi lưu ý chương này, m®t nhóm đóng Q cna G đưoc gQI tna parabolic neu k¯-tna parabolic m®t nhóm đóng Q cna G dưói parabolic neu k¯-dưói parabolic Vì the, ta thu lai đưoc nhung khái ni¾m thơng thưịng ve nhung nhóm nói chúng đưoc đưa o Grosshans (1997) Hơn nua, rõ ràng tính chat dưói parabolic manh k ch¾t tính chat dưói parabolic k Ket qua đau tiên cna chương Đ%nh lý 3.1.5 cho liờn hắ giua nhúm dựng cna mđt vect thieu n đ%nh v ∈ V (k) vói nhóm k-tna parabolic trũng hop k l mđt trũng hon thiắn bat kỳ Đ%nh lý 3.1.5 ([2,4]) Cho k m®t trng hon thiắn, G l mđt k-nhúm reductive liờn thụng, V m®t k − G-mơđun huu han chieu, v ∈ V (k) \ {0} Khi đó, neu v m®t vectơ thieu őn đ%nh đoi vái tác đ®ng cua G (túc ∈ G · v), Gv chúa m®t nhóm k-tna parabolic thnc sn Q cua G Bang cách áp dung Đ%nh lý 3.1.5 m®t so ket qua khác, chúng tơi thu đưoc ket qua thú hai ve tính chat huu ty cho nhung nhóm tna parabolic, dưói parabolic quan sát đưoc cna m®t nhóm đai so tuyen tính G xỏc %nh trờn mđt trũng hon thiắn k %nh lý 3.1.7 ([2,4]) Cho k l mđt trng hon thiắn, G m®t nhóm đai so tuyen tính xác đ%nh k H m®t k-nhóm đóng cua G Ta xét nhung khang đ%nh sau 1) H k-tna parabolic 2) H tna parabolic k 3) H quan sát đưac k 4) H k-dưái parabolic 5) H dưái parabolic manh k 6) H dưái parabolic k The 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇔ 4) ⇔ 5) ⇔ 6) Neu G m®t nhóm nua đơn 1) ⇔ 2) Nói chung, 2) khơng suy 1) 3.3 Dang tương đoi cho m®t đ%nh lý cua Bogomolov Trong Muc 3.3.1, đưa cách chúng minh thú nhat cho Đ%nh lý 3.1.5 Đau tiên, phát bieu Bő đe 3.3.1.1 tù rút χ ∈ X ∗(T ) ln mo r®ng đưoc lên cho nhóm parabolic P (χ) (đưoc cho Đ %nh nghĩa 3.2.4.2) tương úng Sau đó, chúng tơi phát bieu chúng minh Bő đe 3.3.1.2 Bo đe 3.3.1.2 ([2,4]) Vái χ ∈ Λ+ m®t trQNg tr®i úng vái nhóm Borel B chúa T , ta gia su χ˜ X (P ()) l mđt ắc trng cua P (χ) cho χ˜| T = χ Cho ρ : G → GL(W ) bieu dien bat kha quy tuyắt oi ỳng vỏi trQNG trđi v w ∈ W m®t vectơ trQNG cao nhat úng vái χ Khi Kerχ˜ = Gw Nhị ket qua trên, chúng tơi có đưoc chúng minh thú nhat cna Đ%nh lý 3.1.5 Trong Muc 3.3.2, chúng tơi trình bày chúng minh thú hai cna Đ%nh lý 3.1.5 Chúng can khang đ%nh sau Bo đe 3.3.2.3 ([2,4]) Gia su rang G m®t nhóm reductive xác đ%nh mđt trng hon thiắn k, T l mđt k-xuyen cnc đai chúa m®t nhóm Borel B cua G Cho π : G → GL(V ) = k GLn l mđt k-bieu dien tuyắt oi bat kha quy ỳng vái trQNg tr®i χ ∈ X ∗ (T )k Gia su ton tai m®t vectơ v ∈ V (k)(= k n ) úng vái trQNG cao nhat χ bieu dien xa anh tương úng π : G → P GL(V ) = P GLn (k¯) xác đ%nh k The π xác đ%nh k nói riêng ra, H = Gv nhóm k-tna parabolic k Tù khang đ%nh m®t so ket qua bő tro khác, chúng tơi có đưoc cách thú hai chúng minh Đ%nh lý 3.1.5 Cũng nhò cách chúng minh này, thu đưoc ket qua sau mo r®ng m®t đ%nh lý cna Grosshans (1997) cho trưịng hồn thi¾n Đ%nh lý 3.3.2.4 ([4]) Cho G mđt nhúm reductive xỏc %nh trờn mđt trng hon thiắn k, T m®t k-xuyen cnc đai, χ ∈ X ∗ (T )k The ton tai m®t k-bieu dien bat kha quy tuy¾t đoi G → k GLn = GL(W ) vái trQng cao nhat χ, cho Pχ nhóm dùng cua m®t vectơ trQNG cao nhat w ∈ W (k) Đao lai, vái bat kỳ mđt k-bieu dien bat kha quy tuyắt oi G k GLn = GL(W ), nhóm dùng cua bat kỳ m®t vectơ trQNG cao nhat w ∈ W (k) (đoi vái nhóm Borel B cho trưác) đeu có dang Pχ , χ ∈ X ∗(T )k l mđt ắc trng trđi no ú (ỳng vỏi B) 3.4 M®t so tính chat hEu ty cua nhóm tEa parabolic nhóm dưái parabolic Muc đích cna phan chúng minh Đ%nh lý 3.1.7 đưoc nêu phan mo đau chương Ket qua đau tiên dưói phan then chot chúng minh Khang đ%nh úng vói m®t trưịng hop riêng cna tương đương 3) ⇔ 4) cna Đ%nh lý 3.1.7, trưịng hop k trưịng đóng đai so ú chớnh l mđt %nh lý cna Grosshans (1997) Mắnh đe 3.4.2 ([2,4]) Cho G m®t nhóm reductive xác %nh trờn mđt trng hon thiắn k, T l mđt k-xuyen cnc đai cua G cho H m®t k-nhóm đóng cua G chuan tac bái T Khi đó, H m®t nhóm quan sát đưac cua G neu chs neu H m®t nhóm k-dưái parabolic m®t nhóm tna parabolic Pχ cua G (Ru(H) < Ru(Pχ)) Đe chúng minh 2) ⇒ 1) Đ%nh lý 3.1.7, can nhung khang đ %nh sau ve tác đ®ng Galois lên nhóm parabolic P (χ) Cho T m®t kxuyen cnc đai cna k-nhóm G, (., ) m®t tích vơ hưóng W (T, G)-bat bien X ∗ (T ) ⊗Z R xác đ%nh k P (χ), Pχ đưoc cho Đ%nh nghĩa 3.2.4.2 Khi ta có Bo đe 3.4.6 ([2,4]) a) σ Kerχ = Ker(σ Gal(ks/k) b) Kerχ = T ∩ Pχ χ) , σ Pχ = Pσχ, σ P (χ) = P (σ χ), vái = MQI σ ∈ Γ Nh¾n xét Bang vi¾c l¾p lu¾n chúng minh thú hai cna Đ%nh lý 3.1.5 (xem ca Đ%nh lý 3.3.2.4), ta thay neu T m®t k-xuyen cnc đai cna m®t nhóm reductive G, X (T )k l mđt k-ắc trng cna T Pχ m®t nhóm k-tna parabolic cna G Cuoi cùng, can ket qua sau cho nhóm nua đơn đe chúng minh khang đ%nh 2) ⇒ 1) Đ%nh lý 3.1.7 M¾nh đe 3.4.7 ([2,4]) Cho k l mđt trng hon thiắn, G l mđt k-nhóm nua đơn Gia su H m®t nhóm tna parabolic cua G xác đ%nh k Khi đó, H m®t nhóm k-tna parabolic cua G, nghĩa l, ton tai mđt k-bieu dien bat kha quy tuyắt đoi ρ : G → GL(V ), m®t vectơ trQNG cao nhat v ∈ V (k) cho H = Gv nhóm dùng úng vái v Đe chúng minh M¾nh đe 3.4.7, can ket qua bő tro sau Bo đe 3.4.8 ([2,4]) Cho k mđt trng hon thiắn, G l mđt nhúm reductive v H m®t nhóm tna parabolic xác đ%nh k Khi đó, ton tai m®t kxuyen cnc đai T cua G v mđt ắc trng X (T ) cho H = Pχ = (Kerχ, Uα | α ∈ Φ(T, G), (α, χ) ≥ 0) Bo đe 3.4.9 ([2,4]) Cho T m®t k-xuyen cnc đai cua G, χ ∈ X ∗ (T ) cho Pχ xác đ%nh k The Kerχ = Ker(σ χ) vái MQI σ ∈ Γ Bo đe 3.4.10 ([2,4]) Vái nhung khái ni¾m Bő đe 3.4.9, neu G nua đơn, χ xác đ%nh k Chúng tơi trình bày hai cách chúng minh cna bő đe Tù ket qua nói thu đưoc chúng minh cna Đ%nh lý 3.1.7 Chúng ta lưu ý rang có nhung ví du chi nói chung 2) ƒ⇒ 1) trưịng hop G m®t nhóm reductive vói hang nua đơn lón tùy ý (mien nho hang cna G) (Xem nh¾n xét trang 76, 77 lu¾n án.) Chương Quy đao tương đoi Éng vái tác đ®ng cua nhóm đai so trưàng đ%a phương Trong phan này, nghiên cúu tốn trang b% tơpơ t¾p đoi đong đieu, moi liên quan vói van đe quy đao đóng (theo tơpơ Zariski tơpơ Hausdorff), dưói tác đ®ng cna nhóm đai so lên đa tap đai so xác đ%nh trưịng đay đn, đ¾c bi¾t trưịng đ%a phương cho m®t so úng dung Cho k m®t trưịng đay đn đoi vói m®t đ%nh giá khơng tam thưịng v có hang thnc bang 1, chang han trưòng đ%a phương trưòng so thnc R ho¾c trưịng so p-adic Qp Ta trang b% cho X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cam sinh tù tôpô v-adic k Cho x ∈ X(k), quan tâm đen moi liên h¾ giua tính đóng Zariski cna quy đao G · x X tính đóng Hausdorff cna quy đao (tương đoi) G(k) · x cna x X(k) Ket qua đau tiên theo hưóng thu®c ve Borel Harish- Chandra (1963), tiep đen Birkes (1971) trưịng hop trưịng thnc, sau Bremigan (1994) mo r®ng cho trưịng p-adic Lưu ý rang, m®t so chúng minh nói khơng mo r®ng đưoc cho trưịng hop trưịng có đ¾c so dương Muc đích cna chương nghiên cúu xem ket qua có the mo r®ng đưoc cho nhung lóp nhóm nhung lóp trưịng Trong cách tiep c¾n cna chúng tơi, nhung câu hoi liên quan ch¾t che vói tốn trang b% tơpơ nhóm (ho¾c t¾p) đoi đong đieu Đó khía canh quan TRQNG cna lý thuyet đoi ngau cna đoi đong đieu Galois đoi đong đieu phang trưòng hop tőng quát (theo Shatz (1964, 1972), Milne (2006)) M®t so ket qua sơ b® đưoc trình bày Muc 4.1, vói đ%nh lý Đ%nh lý 4.1.5 e Muc 4.2, chúng tơi đưa m®t so ket qua tőng qt ve tính đóng cna nhung quy đao tương đoi, đ¾c bi¾t nhung trưịng đay đn, hồn thi¾n Đ%nh lý cna muc Đ%nh lý 4.2.4, 4.2.6 Trong Muc 4.3, chúng tơi xét trưịng hop trưịng đay n, khụng nhat thiet hon thiắn v tỏc đng cna nhóm đai so vói nhung nhóm dùng nam mđt lúp nhúm ắc biắt, bao gom cỏc nhúm ly linh trưịng đay đn bat kỳ Ket qua đưoc cho Đ%nh lý 4.3.1.3 4.1 M®t so ket qua sơ b® Các khang đ%nh sau cho moi liên h¾ giua tơpơ tac vói tơpơ đ¾c bi¾t, tính chat liên tuc cna nhung ánh xa giua t¾p đoi đong đieu theo tơpơ Đ%nh lý 4.1.1 ([6]) Cho k m®t trưàng đay đu đoi vái m®t đ%nh giá khơng tam thưàng có hang thnc bang Khi vái bat kỳ m®t k-nhóm đai so tuyen tính G, phép nhúng xác đ%nh k vào k-nhóm đ¾c bi¾t H, tơpơ H-đ¾c bi¾t H1(k, G) manh tơpơ tac t¾p đoi đong đieu H1(k, G) Hơn nua, G giao hốn liên thơng hai tơpơ trùng Đ%nh lý 4.1.2 ([6]) Cho trưác dãy kháp k-nhóm đai so tuyen tính → A → B → C → (∗) 1) Neu đoi biên giua đieuchính δ : C(k) H1(k, A), cam đó, ánh xa liên tnc t¾p đoi đoi váiđong tơpơ tac →cua H1(k, A) sinh tù dãy kháp k-nhóm () l liờn tnc oi vỏi mđt tụpụ H-ắc biắt 2) MQI ánh xa noi cua t¾p đoi đong đieu b¾c ≤ đưac cam sinh tù (∗) liên tnc đoi vái tơpơ tac (tương úng, tơpơ đ¾c bi¾t) nhung t¾p Nh¾n xét Phương pháp chúng minh phan a) cna đ%nh lý sau chn yeu thu®c ve Borel Tits (1965), sau xuat hi¾n lai Bremigan (1994) Gille et al Trong trưịng hop k trưịng đ%a phương đ¾c so 0, ket qua ve tính chat huu han dưói thu®c ve Borel Serre (1963) Đ%nh lý 4.1.5 ([6]) Cho k m®t trưàng đay đu đoi vái m®t đ%nh giá khơng tam thưàng hang thnc G m®t k-nhóm đai so tuyen tính Khi a) T¾p má đoibi¾t vái tơpơHđ¾c H1(k, G) Do đó, neu G giao hốn{1} tơpơ đ¾c (k, bi¾t G) làtrong rài rac H1(k, G) rài rac Nói riêng ra, neu k trưàng đ%a phương đ¾c so b) Neu 1đ¾c so cua trưàng k bang tơpơ đ¾c bi¾t t¾p đoi đong đieu t¾p H (k, G) huu han rài rac đoi vái tơpơ đ¾c bi¾t Neu k trưàng khơng Acsimet G giao hốn khang đ%nh v¾y đoi vái nhóm Hi(k, G), i ≥ c) Cho G m®t nhóm đai so tuyen tính tác đ®ng quy lên k-đa tap affine X Neu v ∈ X(k) m®t điem cho nhóm dùng cua trơn (chang han char k = 0) quy đao tương đoi G(k) · v má (G · v)(k) theo tôpô Hausdorff 4.2 Quy đao tương đoi theo tơpơ Hausdorff dưái tác đ®ng cua nhóm đai so trưàng đay đu hồn thi¾n Trong muc ny chỳng ta thiet lắp v chỳng minh mđt ket qua ve tính chat đóng cna quy đao (hình HQc ho¾c tương đoi) cna nhóm đai so tích trnc tiep cna m®t nhóm reductive vói m®t nhóm lũy đơn Trưóc đen ket qua chính, can đen m®t so ket qua khác, mà m®t so chỳng cú ý ngha đc lắp Dúi õy, cỏc thu¾t ngu “mo” “đóng”, neu khơng có thích thêm, đưoc hieu theo tơpơ Zariski Khang đ%nh sau mo r®ng cna m®t đ%nh lý cna Kempf (1978) cho trưịng hop nhóm khơng reductive có dang tích trnc tiep cna m®t nhóm reductive m®t nhóm lũy đơn Đ%nh lý 4.2.4 ([6]) Cho k m®t trng hon thiắn, G = Lì U, ú nhúm L reductive U lũy đơn xác đ%nh k Cho G tác đ®ng k-chính quy lên kđa tap affine X, x m®t điem khơng őn đ%nh cua X(k) (túc G · x khơng đóng) Gia su Y l mđt úng, G-bat bien tùy ý cua G · x \ G · x Khi đó, ton tai m®t nhóm m®t tham so λ : Gm → G, xác đ%nh k, m®t điem y ∈ Y ∩ X(k) cho λ(t) · x → y t → Vói nhung ket qua chuan b% này, ta có ket qua sau ve tôpô cna nhung quy đao Đ%nh lý 4.2.6 ([6]) Cho k l mđt trng hon thiắn, ay u oi vái m®t đ%nh giá khơng tam thưàng có hang thnc Cho G m®t k-nhóm đai so tuyen tính tác đ®ng k-chính quy lên m®t k-đa tap affine X, x ∈ X(k) m®t k-điem cua X Khi ta có khang đ%nh sau: 1) (Mo r®ng m®t so ket qua cna Birkes, Borel, Harish-Chandra, Tits, Bremigan) Neu quy đao G · x đóng nhóm dùng Gx m®t k-nhóm trơn, quy đao tương đoi G(k) · x đóng theo tơpơ Hausdorff X(k) 2) Đao lai, gia su G = L × U, L reductive U lũy đơn, tat ca đeu xác đ%nh k Neu G(k) · x đóng X(k) theo tơpơ Hausdorff G · x đóng theo tơpơ Zariski X 3) Vái neu nhung gia thiet 1), G(k) · x đóng X(k) neu chs G0(k) · x đóng X(k) Nh¾n xét Khang đ%nh 1) cna Đ%nh lý 4.2.6 o có nguon goc tù báo cna Borel Harish-Chandra (1963) cho trưòng hop trưòng thnc R Trưòng hop tőng quát đưoc suy tự mđt lắp luắn cna Borel, Tits (1965) m o có dùng đen Đ%nh lý hàm an L¾p lu¾n đưoc xuat hi¾n lai o Bremigan (1994) Chieu đao lai đưoc chúng minh cho nhóm reductive xác đ%nh trưòng thnc boi Birkes (1971), boi Bremigan (1994) cho nhóm reductive xác đ%nh trưịng đ%a phương đ¾c so e chúng tơi có đưoc ket qua cho trưịng hồn thi¾n, đay đn vói đ%nh giá khơng tam thưịng vói hang thnc bang 1, trưịng hop đó, Đ%nh lý hàm an van Tù nhung l¾p lu¾n o trên, ta có ket qua sau đây, mo r®ng cna nhung ket qua biet cna Borel, Harish-Chandra, Birkes, Bremigan (xem o phan giói thi¾u chương) Đ%nh lý 4.2.7 ([6]) Cho k, G, V Đ%nh lý 4.2.6 Gia su Gv m®t k-nhóm trơn Khi ta có 1) Neu G = L × U, vái L U lan lưat nhóm reductive lũy đơn, G · v đóng Zariski neu chs neu G(k) · v đóng Hausdorff 2) Neu G nhóm reductive ho¾c lũy linh t¾p G · v đóng Zariski neu chs neu G(k) · v đóng Hausdorff 3) Gia su G m®t k-nhóm lũy linh trơn, T m®t k-xuyen cnc đai nhat cua G The khang đ%nh sau tương đương: a) G · v đóng theo tơpơ Zariski b) T · v đóng theo tơpơ Zariski c) G(k) · v đóng theo tơpơ Hausdorff d) T (k) · v đóng theo tơpơ Hausdorff Nhắn xột Mđt %nh lý ni tieng cna Mostow (1956) nói rang, bat kỳ nhóm đai so tuyen tính liên thơng xác đ%nh trưịng k đ¾c so đeu có phân tích thành tích nua trnc tiep G = L · U , U m®t k-nhóm chuan tac lũy đơn cnc đai cna G, L m®t k-nhóm reductive liên thơng cnc đai Nhung nhóm tích trnc tiep cna m®t nhóm reductive m®t nhóm lũy đơn có the lóp ví du tot nhat đe khang đ%nh 2) cna Đ%nh lý 4.2.6 đúng, nghĩa cho G · x đóng Hausdorff kéo theo G · x đóng Zariski Cu the, chúng tơi đưa dưói ví du vói chieu nho nhat so nhung nhóm giai đưoc khơng lũy linh, mà o G · x khơng đóng Zariski M¾nh đe 4.2.8 ([6]) Cho B m®t nhóm đai so tuyen tính giai đưac chieu 2, tác đ®ng quy lên m®t đa tap affine X, x ∈ X, tat ca đeu xác đ%nh mđt trng k ắc so 1) Neu nhúm dùng Bx cua x m®t nhóm vơ han cua B, quy đao B · x ln đóng 2) Cho SL2,bieu B làdien nhóm Borelcua cuaGGbang bao cách gom matác tr¾n tamlêngiác G Ta =CHQN tiêucon chuan cho G đ®ng V2 khơng gian đaC-khơng thúc thuan nhatvectơ b¾c chieu vái h¾Khi so C, vàBxem khơng gian m®t gian dim = 2, vái v = (1, 0, 1)t ∈ V2, ta có a) Quy đao G · v = {(x, y, z) | 4xz = y2 + 4} l mđt úng theo tụpụ Zariski b) Quy đao B đóng · v =theo {(x, y, Zariski z) | 4xz = y2 + 4} \ {z = 0} l mđt khụng tụpụ c) B(k) à v = {(a b2,tơpơ 2bd, d2) | advái = k1,ho¾c a, b,lc,trng d k} mđt úng+ theo Hausdorff, thnclR hoắc l mđt trng p-adic, ú p=2 hoắc p ≡ (mod 4) d) Nhóm dùng Bv cua v B huu han Nh¾n xét Chúng ta lưu ý rang trưịng hop nhóm giai đưoc, trái ngưoc vói trưịng hop lũy linh (xem Đ%nh lý 4.2.7), mđt so tớnh chat liờn hắ ve tớnh đóng cna quy đao nhóm đóng tính chat đóng cna quy đao cna nhóm lón có the khơng Đieu đưoc chi m¾nh đe sau Mắnh e 4.2.9 ([6]) Cho G l mđt nhúm tuyen tính giai đưac xác đ%nh m®t trưàng đ%a phng k ắc so 0, T l mđt k-xuyen cnc đai tùy ý cua G, G tác đ®ng k-chính quy lên m®t k-đa tap affine V Gia su v ∈ V (k) m®t điem khuu ty Ta xét khang đ%nh sau a) G · v t¾p đóng theo tơpơ Zariski; b) T · v t¾p đóng theo tơpơ Zariski; c) G(k) · v t¾p đóng theo tơpơ Hausdorff; d) T (k) · v t¾p đóng theo tơpơ Hausdorff Khi ta có sơ đo lôgic sau b) ⇔ d), a) ⇒ c), a) ƒ⇒ b), b) ƒ⇒ a), c) ƒ⇒ d), d) ƒ⇒ c), c) ƒ⇒ a) 4.3 Quy đao tương đoi cua nhóm đai so trưàng đay đu bat kỳ Trong muc xem xét chn yeu tác đ®ng cna nhóm đai so vói nhóm dùng lũy linh ho¾c (gan vói lũy linh) trưịng k bat kỳ, đay đn đoi vói m®t đ%nh giá khơng tam thưịng, hang thnc bang Đ¾c bi¾t, quan tâm đen nhóm xác đ%nh trưịng hàm đ%a phương, m®t trưịng hop quan TRQNG cna trũng khụng hon thiắn 4.3.1 Tỏc đng tỏch manh, tỏc đ®ng tách Ket qua đau tiên cna Phan 4.3 Đ%nh lý 4.3.1.3 Đ%nh lý nói rang, dưói m®t so gia thiet tn nhiên yeu, chúng tơi giai quyet đưoc trưịng hop nhóm reductive nhóm lũy linh Ket qua tri¾t đe nhat, khơng can có thêm đieu ki¾n thu đưoc cho trưịng hop nhóm giao hốn nhóm lũy đơn Trong Muc 4.3.2, 4.3.6 (tương úng 4.3.7) chúng tơi chúng minh m®t so ket qua ve tính đóng cna quy đao dưói tác đ®ng cna mđt so lúp nhúm ắc biắt, v nhúm dựng cna chúng bao gom lóp nhóm lũy linh (tương úng reductive) Trưóc het, chúng tơi nhac lai khái ni¾m tác đ®ng tách manh (strongly separable) cna nhóm đai so (theo Ramanan Ramanathan (1984)) Đ%nh nghĩa 4.3.1.1 Cho G m®t nhóm đai so tuyen tính tác đ®ng quy lên m®t đa tap affine V G · v bao đóng Zariski cna G · v V Tác đ®ng cna G đưoc GQI tách manh tai v neu vói MQI x ∈ G · v nhóm dùng Gx trơn, ho¾c tương đương, cau xa G → G/Gx tách Liên quan đen khái ni¾m này, ta có đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 4.3.1.2 ([6]) Ta nói m®t tác đ®ng “khá tách” (fairly separable) tai v neu vói MQI x ∈ (G · v)(k) Gx m®t k-nhóm trơn cna G Đ%nh lý 4.3.1.3 ([6]) Cho k m®t trưàng đay đu đoi vái m®t đ%nh giá khơng tam thưàng có hang thnc bang 1, G m®t k-nhóm đai so tuyen tính tác đ®ng k-cau xa lên m®t k-đa tap affine V Gia su v ∈ V (k) Ta có khang đ %nh sau: 1) Neu quy đao tương đoi G(k) · v đóng tơpơ Hausdorff cua V (k) ho¾c G lũy linh, hoắc G l reductive vỏi tỏc đng cua G l tách manh tai v, quy đao G · v đóng theo tơpơ Zariski V 2) Đao lai, vái nhung quy ưác trên, G(k) · v đóng Hausdorff V (k) neu G · v đóng v mđt cỏc ieu kiắn sau l ỳng: a) Gv giao hốn trơn; ho¾c nhóm G giao hốn b) Gv m®t k-nhóm trơn má r®ng cua m®t k-nhóm lũy đơn trơn bái m®t k-nhóm chéo hóa đưac c) Trưàng k compac đ%a phương, Gv m®t k-nhóm reductive liên thơng trơn G d) Tác đ®ng cua G tai v tách Nh¾n xét 1) Neu đ¾c so cna trưịng k bang đ%nh lý nam ket qua cna Muc 4.2 Vì the, ket qua chi thú v% trưòng hop trưòng khơng hồn thi¾n, ví du trưịng hàm đ%a phương 2) Các ví du o Muc 4.4 chi rang neu mđt nhung ieu kiắn cna G %nh lý 4.3.1.3, Phan 1) (tính lũy linh, tính tách manh) b% vi pham khang đ%nh 1) khơng Chúng minh Đ%nh lý 4.3.1.3 đưoc chia làm nhieu phan Bên canh chúng tơi có m®t so ket qua khác có liên quan sau 4.3.7 Trưàng hap G m®t k-nhóm tuyen tính lũy linh k-nhóm chéo U l mđt k-nhúm ly linh, linh G Ta=ắt TU = Ts · Tđó a, trongđó Ta gia suhóa G làđưoc, mđt k-nhúm tuyen tớnh ly Tì , T l m®t Ts, Ta tương úng xuyen k-phân rã k-khơng hưóng cnc đai cna T , tích nói hau trnc tiep, xác đ%nh k Ta biet rang, ln ton tai m®t nhóm chuan tac k-phân rã cnc đai Ud Ð U cho thương Uw := U/Ud k-xoan, nghĩa khơng ton tai m®t k-nhóm cau (trên k) vói nhóm c®ng tính Ga Khang đ%nh sau cho phép ta quy tốn trưịng hop G m®t k-nhóm lũy linh tùy ý ve trưịng hop G = T × U , vói T , U đeu nhóm k-phân rã M¾nh đe 4.3.7.1 ([6]) Vái k m®t trưàng compac đ%a phương, gia su G tác đ®ng k-chính quy lên m®t k-đa tap affine V , v ∈ V (k) Gia su thêm rang, G · v đóng V , G = T ì U, ú T l mđt k-nhúm chộo hóa đưac, U m®t k-nhóm lũy đơn Khi neu (Ts(k) × Ud(k)) · v đóng Hausdorff ((Ts × Ud) · v)(k) G(k) · v đóng Hausdorff V (k) Chúng ta có h¾ qua sau Hắ qua 4.3.7.2 ([6]) Cho k l mđt trưàng compac đ%a phương, G m®t k-nhóm lũy linh, trơn cua GL(V ) G tác đ®ng tuyen tính lên V thơng qua bieu dien tiêu chuan Gia su G · v đóng Khi đó, G(k) · v t¾p đóng Hausdorff V (k) 4.4 Mđt so tớnh toỏn trng hap trng cú ắc so p Dưói chúng tơi đưa hai ví du tính tốn đoi vói trưịng hop trưịng có đ¾c so p ƒ= M¾nh 4.4.1 ([6]) Cho dien G =ac SL2 cho xỏc nh %nh trờnMắnh mđt trng hm đ¾c so đe 2, ρ, V bieu đe 4.2.8, v đ%a = (1,phương 0, 1)t ∈ V (k) Khi 1) G · v = {(x, 0, z)t ∈ k¯ × k¯ × k¯ | (x, z) ƒ= (0, 0)} G · v khơng đóng V 2) G(k) · v đóng (G · v)(k), G(k) · v khơng đóng V (k) 3) Cho B nhóm Borel cua G M¾nh đe 4.2.8 Khi B · v khơng đóng V , B(k) · v khơng đóng V (k), B(k) · v đóng (B · v)(k)1 dùng Gv ∼= α2 m®t lưac đo nhóm khơng trơn 4) Cho U lũy đơn cua B Khi U (k) · v đóng V (k), nhóm Ví du sau cho thay m®t so khang đ%nh cna Đ%nh lý 4.3.1.3 khơng neu ta bo m®t so đieu ki¾n liên quan đen tính tách cna tác đng Mắnh e 4.4.2 ([6]) Cho p l mđt so nguyên to, k = Fq((T )), q = pr, G = SL2, V không gian vectơ hai chieu xác đ%nh k bieu dien ρ đưac cho bái , v = (1, a b ap T )t ∈ k2 Σ Σ ρ : G = SL2 → GL2, c d ›→ bp cp g= dp Khi 1) G · v = V \ {(0, 0)} t¾p má (và khơng đóng) V 2) G(k) · v t¾p đóng V (k) 3) Gia su rang B đưac cho Khi B · v = {(x, y) ∈ V | y ƒ= 0} t¾p má (và khơng đóng V ) 4) B(k) · v t¾p đóng V (k) 5) Cho U nhóm lũy đơn M¾nh đe 4.4.1 Khi quy đao U (k) · v t¾p đóng V (k) Uv ∼= αp lưac đo nhóm khơng trơn 6) Các không gian quy đao U (k) · v, B(k) · v, G(k) · v không má V (k) Trưịng hop khác vói trưịng hop char.(k) = 0, o B(k) · v đóng V (k) Ket lu¾n cua lu¾n án Trong lu¾n án chúng tơi thu đưoc nhung ket qua sau Chúng minh nhung khang đ%nh ve tính chat huu ty cho nhóm quan sát đưoc, nhóm tồn cau, nhóm Grosshans Mo r®ng mđt ket qua cna F Bogomolov cho trũng hon thiắn Chỳng minh mđt khang %nh ve liờn hắ giua cỏc khái ni¾m nhóm tna parabolic, dưói parabolic, trưịng hop k l hon thiắn Ket qua ny chỳa mđt mo rđng cna %nh lý Sukhanov cho trũng hon thiắn Nghiên cúu moi liên h¾ giua tính đóng Zariski cna quy đao hình HQc tính đóng Hausdorff cna quy đao tương đoi Liên h¾ chúng vói tốn trang b% tơpơ t¾p đoi đong đieu Galois (ho¾c phang) thu đưoc m®t so ket qua ve tơpơ t¾p đoi đong đieu ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO PHƯƠNG BẮC SỐ HỌC, HÌNH HỌC CỦA NHĨM ĐẠI SỐ VÀ CÁC KHƠNG GIAN THUẦN NHẤT LIÊN QUAN TRÊN TRƯỜNG SỐ HỌC Chuyên... hEu tý cua nhóm quan sát đưec nhóm Grosshans 2.1 Các tính chat huu tý cua nhóm quan sát đưoc 2.2 Các tính chat huu tý cua nhóm tồn cau 2.3 Các tính chat huu tý cua nhóm Grosshans... tính chat H nhóm tồn cau vói tính chat liên thông huu ty cna không gian thuan nhat G/H Nhị vào nhung nghiên cúu liên quan đen Bài tốn so 14 cna Hilbert, Grosshans (1973) đưa m®t lóp nhóm quan sát