Luận văn thạc sĩ số học tổ hợp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LÊ XUÂN DƯƠNG SO HOC TO HeP LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Nm 2017 LÊ XUÂN DƯƠNG SO HOC TO HeP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS Nguyen Huu Đien Hà N®i - Năm 2017 Mnc lnc Lài nói đau Chương Cơ sá lí thuyet ve so HQC, to hap 1.1 So HQC 1.1.1 Tính chat chia het t¾p hap so nguyên 1.1.2 Đong dư 1.1.3 Hàm phan nguyên 1.2 Nguyên lý Dirichlet 1.3 Nhac lai ve t¾p hap 1.3.1 T¾p hap 1.3.2 T¾p hap sap thú tn 1.3.3 So phan tu cua mđt so hap 1.4 Quy tac c®ng quy tac nhân 1.4.1 Quy tac c®ng 1.4.2 Quy tac nhân 1.5 Giai thùa hoán v% 1.5.1 Giai thùa 1.5.2 Hoán v% 1.6 Chinh hap, tő hap 1.6.1 Chinh hap 1.6.2 Tő hap 5 5 8 9 10 11 11 11 11 11 12 Chương So HQC to hap 2.1 Bài toán sap xep 2.1.1 Bài toán chia het 2.1.2 Bài toán ve bat thúc 13 13 14 16 2.1.3 Bài toán cnc tr% 2.1.4 Bài toán tőng hap 2.2 Dãy so 2.2.1 Bài toán ve bat thúc 2.2.2 Bài toán ve dãy 2.2.3 Lna CHQN dãy 2.2.4 Nhóm so hang lân c¾n 2.2.5 Dãy so tiêu chuan 2.2.6 Bài toán hőn hap 2.3 Mãng so 2.3.1 Tőng hàng tőng c®t 2.3.2 Bài toán ve mãng 2.3.3 Bài tốn ve t¾p trưàng 2.3.4 Bài toán ve trưàng lân c¾n 2.3.5 Bien đői mãng 2.3.6 Mãng tam giác 2.4 Cau hình khơng thú tn 2.4.1 CHQN t¾p 2.4.2 T¾p hap kieu DS 2.4.3 Bài tốn phân hoach t¾p 2.4.4 Phân hoach đeu 2.5 Phép l¾p 2.5.1 Các ví dn giái thi¾u 2.5.2 Phương pháp bat bien 2.5.3 Phương pháp đánh giá 2.5.4 Phương pháp đánh giá - mã r®ng 20 22 25 25 27 30 33 34 36 38 38 41 44 46 48 50 54 54 56 57 59 61 62 64 66 69 Ket lu¾n 74 Tài li¾u tham kháo 75 Lài nói đau Có the nói so HQC t hap l mđt bđ phắn khụng the thieu đưac cua tốn so HQC nói chung, thưàng xun xuat hi¾n đe thi HQC sinh giõi ã MQI cap Nhưng rat tài li¾u viet ve so HQC tő hap có chi đươc đe c¾p tùng mãng cua so HQC So HQC tő hap thưàng liên quan nhieu đen đoi tang l cỏc hap huu han thừa mđt tính chat so HQC Vì le tốn mang đ¾c trưng rõ nét so HQC có hưáng cua tốn dãy so Lu¾n văn đe c¾p đen phương pháp đe giãi toán ve so HQC tő hap Ngồi phan mã đau, danh mnc tài li¾u tham khão, lu¾n án gom hai chương Chương I: Cơ sã lí thuyet ve so HQC, tő hap Chương trình bày lai mđt cỏch cú hắ thong cỏc kien thỳc c bãn ve so HQC Và tő hap làm sã cho vi¾c cho vi¾c giãi tốn Chương II: So HQC tő hap Đau tiên chúng tơi trình bày tốn sap xep su dnng tính chia het, kien thúc ve bat thúc, cnc tr%, kien thúc tőng hap đe chi rang ton tai m®t hốn v% thõa mãn tính chat so HQC Mnc 2.2 giãi quyet tốn có liên quan đen dãy so Dãy cua m®t dãy, tìm giá tr% nhõ nhat ho¾c lán nhat cua tőng phan tu cua m®t dãy chúng minh ton tai dãy thõa mãn m®t tính chat Mnc 2.3 có toán ve mãng so liên quan đen toán so HQC sap xep so vào m®t mãng, mãng con, trưàng lân cân, mãng tam giác Trong Mnc 2.4 giúp ta hieu rõ toán ve so HQC đe c¾p tái t¾p, t¾p hap con, phân hoach t¾p phân hoach đeu Cuoi cùng, Mnc 2.5 giãi quyet tốn dãy l¾p huu han, vơ han ho¾c tuan hồn bang phương pháp bat bien phương pháp đánh giá Lu¾n văn đưac hồn thành dưái sn hưáng dan t¾n tình chi bão cua thay giáo PGS.TS Nguyen Huu Đien Tôi xin bày tõ lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac đen thay Tôi xin trân TRQNG cãm ơn ban lãnh đao Khoa Toán - Cơ - Tin HQC, Trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn Nhiên, Đai HQC quoc gia Hà N®i, thay cô trang b% kien thúc, tao đieu ki¾n cho tơi thài gian HQC t¾p tai trưàng Hà N®i, ngày 18 tháng 10 năm 2017 Tác giã Chương Cơ sá lí thuyet ve so HQC, to hap Chương se nhac lai m®t so lý thuyet ve t¾p hap h¾ thong lý thuyet bãn cua toán tő hap như: Hoán v%, chinh hap, tő hap Các n®i dung đưac giãng day cho HQC sinh trung HQC phő thơng h¾ bãn, nâng cao h¾ chun nghành tốn 1.1 So HQC 1.1.1 Tính chat chia het t¾p hap so ngun Đ%nh nghĩa 1.1.1 Vái hai so nguyên a b, ta nói rang a chia het cho b a kb Lúc kýcua hi¾u a bb.làTrưàng lai tai ký hi¾u a ƒk b= (hay a ay b®i b,làhay ưác cuahap a),ngưac neu ton so nguyên cho ta nói rang a khơng chia het cho b Các tính chat bãn cua tính chia het i) Neu a, b nguyên dương mà a b, a ≥ k ii) Neu a b vái MQI i = 1, n (a1 + a2 + · · · + a n) b iii) Vái không batsokỳ a b, đócho b aƒ= lnhai tonsotaingun nhat m®tâm c¾p ngun q r = 0, bqln + r, ≤ r < b 1.1.2 Đong dư Đ%nh nghĩa 1.1.2 Neu hai so nguyên a b chia cho so tn nhiên m (m ƒ= 0) có so dư ta nói rang a đong dư vái b theo modulo m viet a ≡ b mod m Các tính chat bãn cua đong dư nguyên dương) a chi dư khivái (a theo − modulo b) m m i) Hai so nguyên b đong (m so ii) Quan hắ ong d l mđt quan hắ tng ng t¾p hap so nguyên Z iii) Neu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a+ ≡− b c+≡d b − (mod m)c, a d (mod m), ac ≡ bd (mod m) iv) Neu p m®t so nguyên to ab ≡ (mod p) a ≡ (mod p) ho¾c b ≡ (mod p) 1.1.3 Hàm phan nguyên hi¾u [ x], là1.1.3 so nguyên nhat không vưat quáphan x nguyên cua x, ký Đ %nh nghĩa Chocơ xlán so thnc, ta GQI phan M®t so tính chat bãn cua hàm phan nguyên i) [x] = a ⇔ x = a + d, a so nguyên ≤ d < ii) [x + y] = x, x so nguyên ≤ y < iii) [x].Neu iv) n [xlà+soynguyên ] ≥ [x]thì+[n [y+ ] x] = n + n n vi) Neu n so tn nhiên n[x] ≤ [nx] ΣxΣ [x] v) Neu n so nguyên dương Σ Σ= q vii) Vái MQI so tn nhiên n q (q ƒ= 0) q Σ n Σ≤ n 1.2 Nguyên lý Dirichlet Nguyên lý (Nguyên lý Dirichlet bãn) Neu nhot n + thõ vào n chuong bao già có m®t chuong chúa nhat hai thõ Nguyên lý (Nguyên lý Dirichlet mã r®ng) Neu nhot n thõ vào Σ m −1 m ≥ chuong ton tai m®t chuong có nhat n+m thõ, ã Σ kí hi¾u [α] đe chi phan ngun cua so α Chnng minh Giã su trái lai MQI chuong thõ khơng có đen Σ Σ Σ Σ Σ Σ n + m − n − n − n −1 con, so thõ mői chuong đeu nhõ bang + Tù = + 1hơn = ho¾c m1 n −1 suy tőng so thõ không vưat m · Σ m = n − Đieu vơ lý có m n thõ.m V¾y giã thiet m phãn chúng sai Ngun lí Σ Σ Dirichlet mã r®ng đưac chúng minh Σ m®t Ngun lí Dirichlet tưãng chùng đơn giãn v¾y, cơng cn rat hi¾u quã dùng đe chúng minh nhieu ket quã sâu sac cua tốn HQC Nó đ¾c bi¾t có nhieu áp dnng lĩnh vnc khác cua tốn HQC Ngun lí nhieu trưàng hap ngưài ta de dàng chúng minh đưac sn ton tai mà không đưa đưac phương pháp tìm đưac v¾t cn the, thnc te nhieu toán ta chi can chi sn ton tai đu roi Nguyên lí Dirichlet thnc chat l mđt %nh lớ ve huu han Ngi ta có the phát bieu xác ngun lí dưái dang sau Nguyên lý (Nguyên lí Dirichlet dang t¾p hap) Cho A B hai t¾p hap khác rőng có so phan tu huu han, mà so lưang phan tu cua A lán so lưang phan tu cua B Neu vái m®t quy tac đó, mői phan tu cua A cho tương úng vái m®t phan tu cua B, ton tai nhat hai phan tu khác cua A mà chúng tương úng vái m®t phan tu cua B Nguyên lý (Nguyên lớ Dirichlet dang hap mó rđng) Gió su A, B hai t¾p hap huu han S(A), S(B) tương úng kí hi¾u so lưang Hình 1.1 phan cuataAcóvà B tac Giãcho su tương có m®t somői tn nhiên đóvái màm®t S (Aphan ) > kS(Btu ) quy úng phan B tu cua A tu cua B Khi ton tai nhat k + phan tu cua A mà chúng tương úng vái m®t phan tu cua B Chú ý: Khi k = 1, ta có lai ngun lí Dirichlet 1.3 Nhac lai ve t¾p hap 1.3.1 T¾p hap Đ%nh nghĩa 1.3.1 Cho t¾p hap A T¾p hap B MQI phan tu cua B eu thuđc A GQI t¾p cua t¾p A B ⊂ A ⇔ (∀x ∈ B ⇒ x ∈ A) Tính chat 1.3.2 • MQI t¾p hap A đeu có t¾p l v A ã Tắp A cú n phan tu so t¾p cua A 2n 1.3.2 Tắp hap sap thỳ tn Mđt hap huu han có m phan tu đưac GQI sap thú tn neu vái mői phan tu cua t¾p hap ta cho tương úng m®t so tn nhiên tù đen m, cho vái nhung phan tu khác úng vái nhung so khác (c) Bài toán tuan hon Kiem tra xem cú ton tai mđt dóy lắp tuan hồn; có the miêu tã tat cã dãy the ho¾c tìm chu kỳ tuan hồn cua chúng 2.5.1 Các ví dn giái thi¾u Ta bat đau bang giói thớch mđt so bi toỏn xung quanh dóy lắp Bài 2.5.1 Trên m®t bàn có viên sõi, đưac chia thành nhieu ô Tù mői ô lay m®t viên sõi tao thành m®t mái vái chúng Tiep tnc l¾p lai thao tác Hõi có se có bàn sau 30 bưác (cách chia ban đau cua viên sõi khơng biet) Hình 2.8 Giãi Ta miêu tã mői cách chia viên sõi thành bang m®t HQ so, mői so so viên sõi m®t ô Vì thú tn cách chia không ãnh hưãng, mői cách chia đưac bieu dien bãi m®t HQ [6], [5, 1], [4, 2], [3, 3], [4, Quá trình bien đői đưac bieu dien bang m®t đo th% có hưáng cua Hình 2.8, mői mũi tên bieu dien cách thay đői bo cnc cua ô m®t bưác Tù đo th% ta de thay sau nhieu nhat bưác ta thu đưac cách chia [3, 2, 1], se không thay đői đưac nua (và sau 30 bưác can chi có bàn) Q Bài tốn 2.5.1 cịn đưac tőng qt hóa cho trưàng hap so viên sõi tùy ý Bài Tù b®b® so dương (a,đau b,(c, máilai, (ab, bc, cd, 2.5.2 da), đưac, bon so ban a, d b,) ta c, tao d) thnh khụngmđt xuatbđ hiắn ngoai trự trưàng tiep tnc l¾p lai q trình Chúng minh rang, dãy l¾p thu hap a = b = c = d = s = Giãi abcd ab)(sau bc)( cd)(soda ) = ta s2thu , ta đưac có theb® de bon dàngsosuy nap GiãDo su(rang m®t bưác, banbang đau,quy đ¾t đó, tù giã thiet, suy s k = s vái k ≥ 1, s = Trong trưàng rang sau k bưác ta thu đưac m®t b® gom so mà có tích bang s2k Do hap abcd = 1, b® thú tư có dang (a, b, c, d) → (ab, bc, cd, da) → (ab2c, bc2d, cd2a, da2b) → → (ab3c3d, bc3d3a, cd3a3b, da3b3c) = (b2c2, c2d2, d2a2, a2b2) Do vắy bđ thỳ t ac suy tù b® thú hai bang cách lay bình phương phan tu roi thay đői thú tn cua chúng Theo cách tương tn, b® thú sáu đưac suy tù b® thú tư, b® thú tám đưac suy tù b® thú sáu, v.v Do đó, so lán nhat b® thú 2k bang t2k−1 , t so lán nhat so ab, bc, cd, da Do theo giã thiet, dãy l¾p tuan hồn, dãy so t, t2, t4, t8, chi có the có huu han phan tu, đieu chi xãy t = M¾t khác, ta có = a2b2c2d2 = (ab)(bc)(cd)(da) ≤ t · t · t · t = tt4 Tù rang abb® = 4bc = sau cd = B® thú hai (b® 1, 41,đau 1, 1);đây suy đó, tat cã theo có da cùng=dang, và4cuoi cùng, tiên dang Q Bài x1(, xx2x, , x x, x n bao gom so +1 −1 ta tao thành2.5.3 m®tTù b®b® nn so so mái 2 , , x n x ) , tiep tnc trình k Chúng minh rang neu n = vái so nguyên k ≥ 1, sau m®t so bưác nhat đ%nh ta thu đưac b® n so (1, 1, , 1) Giãi Ta chúng khang đ%nh đ%nh bang khang đ%nh hien nhiên Giãminh su khang quy vái nap, k ≥vái1kvà=xét dãy tùy ý ( x1 , x2, , xn ) gom so ±1 có đ® dài n = 2k+1 iVì x2 = vái i, phép l¾p thú hai MQI (x1x2x23, x2x2x34, , xn−1 nx2 x1, x1nx2x2) có the đưac thành b® n so (x1x 3, x2x4, , xn−1 x1,k x nx2), mà có the đưac suy bang cách thay đői so hang cua hai b® so (x1x3, x3x5, , xn−1 x1) (x2x4, x4x6, , xnx2) (2.12) Su dnng quy tac tương tn ta thu đưac phép l¾p thú tù phép l¾p thú hai, phép l¾p thú tù phép l¾p thú 4, v.v Do đó, sau 2j bưác (j ≥ 2) ta thu đưac tù b® n ban đau mà thành phan cua phép l¾p thú (j − 1) cua cã hai dãy (2.12) tr®n đeu vái Nhưng theo giã thiet quy nap phép l¾p chi bao gom so vái j đu lán Ket thúc chúng minh quy nap Q 2.5.2 Phương pháp bat bien Bây già miờu tó mđt khỏi niắm quan TRQNG m thng ac su dnng tìm nghi¾m cua tốn bat bien Mđt bat bien cua quan hắ trờn X vỏi giá tr% K m®t ánh xa bat kỳ I : X → K khác hang (túc là, I(x) =ƒ= I(y) vái x, y ∈ X đó) có tính chat rang It¾p (x )so = Vì I(ygiá ) vái kỳbat (x,bien y) không ∈ Ω Trong cáctrên tốn, K ln m®t tr%bat cua thay đői cỏc phan tu cua dóy lắp mđt I chorang I ( x)phan ƒ= tu I(yy).không Ta se the giãiđat thích quytùlu¾t khơng đat batbat kỳ,bien ta ket lu¾n đưac x neu tonthe tai đưac bang ví dn sau Ta ac ing mđt trũn cắpcú so2x, bat48kỡso bang c¾p + 0, (theo Bàiphép 2.5.4.thay Trên so y theo thúx tn+1,1,0,y 1, , thú tn này) Chúng minh rang bang cách l¾p lai q trình ta khơng the thu đưac 50 so giong chieu nhatTađ%nh Vì ta (x trịn + 1bang ) − (xy ,+x1,) = .x ,−x y,, mđt bat Giói kớ hiắu cỏccúsoang trờnthỳc ng 50 em theo mđt có cỏc cắp so hang ke xi, xi1 chi phn thuđc hiắu xi xi+1 Khụng khó bien cua cách hoat đ®ng câu hõi m®t phát bieu rang vái tat đe đốn rang bieu thúc I = x1 − x2 + x3 − x4 + + x49 − x50 Vái50dãy đaunhau ta cótaI có = I 1=−0.0 Đieu + = 2, váim®t dãy bat bat bien kỳ cua so ban giong hoàn thành chúng minh tính khơng the đat đưac Q Bài n × n bao gom dau − Ta đưac thay2.5.5 đői tatGiã cã su cácm®t daumãng nam trng cựng+hng hoắc cựng phộp cđt, hoắc mi mãng 2.9, tương nng n = 4, 5, 6, kiemm®t trưàng cuatrong hàng Hình chéo song song vái m®t hai đưàng chéo Vái gom n dau + tra xem sau l¾p q trình bên ta có the bien đői chúng thành bãng Hình 2.9 Giãi Ta,đői dau mãng thành so +1 −1 ký hi¾u chúng bang a ij i, j ∈ {1, 2, , n} Khi tích cua m®t so phan tu a ij bat bien chéo batphép ký chúa chan so Ta tỡmbat tớchk, vỏicđt n= tahoắc chỳ ý hng rang đoi vái bienso đői chi khithu hàng bat4, kỳ, nhat có dang I = a12a13a21a24a31a34 a42a43 Do váim®t bãng đaucó tiên Hình ta có I = −1, khơng thành bãng I = Vái các2.9 bãng khác ta không nhat thietthe tìmbien bat bien khác, ta chi can xét bat bien xây dnng tù mãng đeu =− 1, suy mãng cã nàyhai thành mãng ×có4I cua chúng ã góckhơng dưái the bênbien phãi.đői Vìcác cã trưàng hapu ta cau mà khơng có dau − Q Bài 2.5.6 Trong Xnbien gomđői tatsau: cã dãy a = , a2, , a n ) bao gom so 0, 1, ta cót¾p phép Trong mői(adãy (a , , a ) ta có the thay đői hai b® ba lân c¾n bat kỳ cua phan tn 1(a i, ai+1n, ai+2) (ai+3, ai+4, ai+5), ≤ i ≤ n − 5, tnc tn bien đői thành dãy a J = ( a , , a i − , a i +3 , a i +4 , a i +5 , a i , a i +1 , a i +2 , a i +6 , , a n ) Chnng minh rang tn t¾p Xn ta có the cHQN nhat p dãy mà tnng đơi khơng the đat đưac bang phép bien đői bên trên, so p xác đ%nh bãi p =  (k + 2)(k +3 1)2 neu n = 3k + neu n =  (k + 1) (k + 2) (k + 1) neu n = 3k + Giãi Vái mői a = (a1, a2, , an) ∈ Xn ta đ¾t S (a ) = a + a + a + 3k· 1· · S2(a)1 = a24 + a57 + a8 + · · · S ( a ) = a3 + a6 + a9 + · · · chi chő mői tőng Si Trong trưàng hap n = 3k vái Cácđői tőng S1hai , S2so , Shang rõ ràng 3bat bien, bat kỳ thay đői cua b® ba bat kỳ m®t p = (k + 1) b® ba cua so đưac CHQN tù {0, 1, , k} ta có the de dàng tìm m®t dãy a ∈ Xn cho Si ( a) = αi (i = 1, 2, 3), có the tìm đưac trưàng hap n = 3k + n = 3k + 2, nên p dãy đơi m®t khơng đat đưac Tương tn, so thích hap p dãy so đau tiên, tương úng cã hai so, cua so α1 , α2 có the lay giá tr% k + Q 2.5.3 Phương pháp đánh giá Đe nghiên cúu dãy l¾p cua quan h¾ Ω X ta thay rang ngồi tính bat bien Mnc 2.5.2, m®t ánh xa tőng quát J : X → X huu ích, giá tr% sau l¾p phan tu cua X thay i mđt cỏch n iắu Do ú ta GQI ánh xa J : X → K m®t đánh giá khơng tăng (tương quan h¾ Ω Jneu c¾p (x, )∈ Ω, nghĩa x ƒ= y, ta có úng J ( x)giãm) ≥ J(cua y) (tương úng ( x) vái > Jbat (y)kỳ ) Tương tn,yta đ%nh m®t đánh giá không giãm, tương úng tăng; tat cã trng hap K l mđt cỏc R, N0, Z vái thú tn thông thưàng Ta ý rang, neu mđt quan hắ nhat %nh cú ỏnh giỏ khụng tăng J, vái bat kỳ dãy l¾p x1, x2, ta có J(x1) ≥ J(x2) ≥ · · · , đieu cho phép ta giãi tốn tuan hồn (đieu ki¾n J(x1 ) = J(x2 ) thưàng dan tái m®t miêu tã cua tat cã phan tu x1 có the) Ngồi vơ 1, x2, ton tai m®t chi so n cho J ( x n ) = J ( x n + ) = · · · , han túc x neu J m®t đánh giá giãm vái giá tr% N0, mői dãy l¾p xn = xn+1 = · · · , mői t¾p khác rőng cua N0 chúa phan tu nhõ nhat cua nó; đieu giãi tốn tính huu han, tương úng tốn őn đ%nh hóa Bài 2.5.7 Tù b® so thnc (a, b, c, d) ta tao thành m®t b® mái (a − b, b − c, c − d, d − a), đau không thừalắp = bbien = c d, Chỳng sau mđt so bưác nhat thu tiep tnc laiaphép đői=này minh rang, mienđ%nh b® ta ban đưac m®t b® mà chúa nhat m®t so lán 10 Giãi Ta xét m®t đánh giá khơng âm J(a, b, c, d) = a2 + b2 + c2 + d2 ký De hi¾uthay ( an ,a b+ n , c n , d n ) b® mà thu đưac tù b® ban đau sau n bưác bn + cn + dn = vái MQI n ≥ nên vái mői n ta n có the viet J(an+1,bn+1, cn+1, dn+1) = (an − bn)2 + (bn − cn)2 + (cn − dn)2 + (dn − an)2 = 2J(an, bn, cn, dn) − 2(anbn + bncn + cndn + dnan) = 2J(an, bn, cn, dn) − 2(an + cn)(bn + dn) = 2J(an, bn, cn, dn) + 2(an + cn)2 ≥ 2J(an, bn, cn, dn) H¾ thúc cho ta đánh giá J(an, bn, cn, dn) ≥ 2n−1 J(a1, b1, c1, d1) vái MQI n ≥ Do đó, trù J ( a1 , b1 , c1 , d1 ) = (mà chi xãy a = b = c = d), đieu có nghĩa J ( a n , bn, cn, dn) = na2 +n b2 + + d2 > 36 · 1012 n c n phãi lán, · 10nhưng Tuykhi nhiên, an + bn + cn + dn = 0, tù giã thiet lán váihơn n đu ítvìnhat 6m®t so | an | , |bn |, | cn|, |dn| max{an, bn, cn, dn} ≤ 10 ta thu đưac c¾n dưái min{an, bn, cn, dn} ≥ −3 · 106, max{|an|, |bn|, |cn|, |dn|} ≤ · 106, mâu thuan Chú ý rang phép bien đői bên m®t ánh xa tuyen tính tù R4 → R4, nên tốn có the đưac giãi bang cách thơng thưàng bang cách tìm giá tr% riêng véctơ riêng cua ma trắn ì tng ỳng Q xi Cho − xdãy j = 1, ta có the thay so hang x i , x j bang so Bài cho 2.5.8 so nguyên x , x2, , xn Neu i, j chi so tùy ý xi + 1, xj − (theo thú tn 1này) Chúng minh rang chi có huu han bưác l¾p v¾y Giãi Đánh giá so nguyên J = x2 + x2 + · · · + x2 tăng lên sau mői phép 2 2 n bien đői, (xi + 1) + (xj − 1) − (ix + j x ) = 2(xi − xj) + = Neu ta đ¾t 1, x2, , x n } M = max{x1, x2, , xn} , ta m chi = canmin chi { raxrang vái bat kỳ b® n có the đat đưac (y1, , yn), ta có c¾n m − 3n < yi < M + 3n vái mői i = 1, 2, , n (Các c¾n kéo theo nh¾n xét sau Vái mői k ∈ Z ta có neu {x1, , xn} ∩ {k − 1, k, k + 1} ƒ= đánh giá J b% ch¾n dãy l¾p.) Phương tiep c¾n cua ta dna ∅, {ypháp k + 1} ƒ= ∅ vái MQI b® n (y1 , , , , y n } ∩ { k − 1,yk, n ) có the đat đưac ( x1đưac , tù , x(nx) ,Do đó, neu ta giã su rang b® n (y1 , , yn ) mà có thetùđat , x n ) thõa mãn yi ≥ M + 3n vái i ∈ {1, 2, , n}, MQI so nguyên a, M ≤ a ≤ yi , phãi mđt phan tu thuđc bđ n xuat vỏi mihiắn mđttrong trongq (n trình + 1)l¾p t¾p Cho rài M− M, M + 1}, { M + 2, M+ nên { t¾p {y1, , , y n } phãi có giao khác rőng 3, M + 4}, , { M + 3n − 1, M + 3n, M + 3n + 1}, mâu thuan Tương tn, ta có the ngoai trù trưàng hap yi ≤ m − 3n vái i ∈ {1, 2, , n} Đieu phãi chúng minh Q so b, c,Giã d thõa (a −nd≥ )(b4,−đưac c) < 0,trên tađưàng có thetrịn đői chőkehai Bàia,2.5.9 su nmãn so thnc, viet Neu bon so ke b, c Chúng minh rang ta chi thnc hi¾n đưac huu han bưác bien đői v¾y Giãi Đau tiên ta nh¾n xét rang th¾m chi chí có huu han hốn v% n so đưàng trịn, van khơng hien nhiên tai m®t dãy bien đői ã khơng the vơ han (túc tuan hồn) Ta có (a − d)(b − c) = (ab + cd) − (ac + bd), hai đau (ngo¾c a, b, đau c, dtiên ), vàã c¾ptadau ta ãcóv% đócua cắpbđ dau bờn phói cú ngoắc tớch cuathỳ cỏchai trí tích cua b® (a, c, b, d), mà thu đưac tù b® ban đau bang cách đői chő b, c, ngồi ra, c¾p trung tâm giong cã hai b® (sai khác v% trí) Do đó, đe cho đơn giãn ta ký hi¾u so liên tiep theo m®t chieu bang x1, x2, , xn xét đánh giá J = x1x2 + x2x3 + · · · + xn−1 xn + xnx1, đánh giá tăng, Vì vái b® n cho trưác chi có huu han giá tr% cua J, sau m®t so bưác J se đat đưac giá tr% lán nhat, phép bien đői sau không the xãy Q 2.5.4 Phương pháp đánh giá - má r®ng Bây già ta xét thêm ba tốn khó mà có the đưac giãi bang cỏch ỏnh giỏ n iắu Bi 2.5.10 su mđt dóysogom + the sođưac ngun tính hai chat: Neu xóa m®t so Giã bat kỳ cịn 2n lai có chiacó thành t¾p n ta phan tu dãy đưac taocã thành tù 2n + 1nhau so giong cho tőng cua v¾y so hai t¾p giong Chúng minh rang MQI Giãi Mői so hang cua dãy xét sai khác vái tőng cua tat cã 2n + so hang m®t so chan Đieu có nghĩa rang tồn b® dãy chúa riêng so chan chúa riêng so le Do ta có dãy có dang 2a1 , 2a2, , 2a2n+ho¾c , ho¾c dãy có dang 2a1 − 1, 2a2 − 1, , 2a2n+1 − 1; cã hai trưàng hap ta có the xét dãy so nguyên a1 , a2 , , a2n+1 Cách rút GQN bão I, J ⊂ {1, 2, , 2n + 1} ta có thúc tồn tính chat ban đau cua dãy, vái bat kỳ hai t¾p n phan tu có chi so ∑ 2ai = ∑ 2aj, ∑(2ai − 1) = ∑(2aj − 1), chi i∈I j∈J i∈I ∑ i∈I = j∈J ∑ aj j∈J Vì bat thúc | x | ≤ |2x| | x | ≤ |2x − 1| vái MQI x ∈ Z, cách rút GQN bên không làm tăng tőng S cua tr% tuy¾t đoi cua tat cã +1 so so hang cuatadãy ra, giá S so ngun âm, và, 2n sau m®t bưác thu Ngồi đưac m®t dãytr% so ngun b1, b2, khơng ,b 2n+1 cho tőng S = |b1| + |b2| + · · · + |b2n+1| không thay đői sau neu rút thêm Cho nên vái MQI i ∈ {1, 2, , 2n + 1} ta có ho¾c |bi | = |2b i | (túc bi = 0) ho¾c | bi | = |2bi − 1| (túc là, bi = 1) Tuy nhiên, so b1 , b2 , , b2n+1 có tính chan le, v¾y ta có ho¾c bi = (1 ≤ i ≤ 2n + 1) ho¾c bi = (1 ≤ i ≤ 2n + 1) Bây già de kiem tra theo quy nap rang tat cã b® (2n + 1) ã trưác chúa so đong nhat Q GQN Bài 2.5.11 Tù m®t b® n so nguyên bat kỳ a1, a2, , an ta tao thành m®t b® n so mái 21 + an 2an + a1 Σ a1 + a22 a2 + a3 an − , , , , , tiep tnc phép bien đői Tìm tat cã b® n ban đau có the neu biet rang tat có bđ n xuat hiắn sau eu tao thành bãi so nguyên Giãi Neuban a1 = = · · · so =a n , rõ ràng sau mői phép bien đői ta thu đưac b® đaua2gom ngun giong Tuy nhiên, ta khơng hap chan, d, c, d, cã, c, ) hap có tính cantìm tìm,Vítrong c dnv®i ket(c, luắn l tat cỏcdtrng bđ chat n can dn, trưàng c¾p so ngun bat kỳ có tính chan le Cho (a1, a2, , an)bat l k bđcú n tớnh chat ó cho, M = max{a1, a2, , an} m = min{a1, a2, , an} Vì M (tương úng m) m®t đánh giá so ngun khơng tăng (tương úng không giãm) cua phép bien đői cho M ≥ m, đieu có nghĩa giá tr% M m dãy l¾p vơ han khơng thay đői tù m®t v% trí nhat đ%nh (cn the bat đau vái phép l¾p (b1, b2, , bn)) Nhưng ta có thúc b1 + b2 b2 + b3 bn + b1 max , , , Σ = max{b1 , b2 , , bn } (= MJ ) chi dãy b1 , b2, , bn , b1 so MJ xuat hi¾n hai v% trí l¾p lu¾n cho phép l¾p sau, theo quy nap theo k ≥ Neu ta l¾p lai ta thu đưac khang đ%nh sau: Trong dãy tuan hồn vơ han b1, b2, , bn, b1, b2, , bn, J so M1 xuat lân c¾n Đieu có the xãy vái MQI k ≥ neu hi¾n b1 =trong b2 =k· + · · 1=v%btrí n Neu b® n (b1 , b2 , , bn ) khơng b® ban đau, phép l¾p trưác (c1 , c2 , , cn ) phãi cn +thõa c1 mãn c2 + = · · · = , =3 c1 + c c2 túc là, c1 = c3 = c5 = · · · c2 = c4 = · · · Tù suy trưàng hap n le, c1 = c2 = · · · = cn (v vắy rừ rng bđ n ban đau chi chúa n so giong nhau) Vái n chan ta có (c1, c2, , cn) = (c, d, c, d, , c, d), chúng hapsoc ngun ƒ= d (c1tính , c2,chan le , cCuoi n ) b® banminh trongrang c trưàng d cób® cùng, ta đau; túc là, khơng ton tai so nguyên e1, e2, , en thõa mãn đong thài thúc en− 21 + en = c e3 + = · · · = e4 e1 + = en + e1 e4 + e2 e5 e2 + e3 = =···= Th¾t v¾y, đang2thúc kéo theo = d nc = e1 + d2 + e3 + e4 + · · · + en−1 + en = nd, c = d, mâu thuan Q Bài 2.5.12 Giã su so nguyên x1, x2, , xn đưac viet liên tiep lên góc cua m®t n-giác, S = x1 + x2 + · · · + xn > Neu vái k ∈ {1, 2, , n} ta có xk < 0, ta có the tien hành phép bien đői sau: Các so x k −1 , x k , xk+1 đưac đői thành xk−1 + x k , − x k , xk+1 + xk, theo thú tn này; ã ta đ¾t x0 = xn xn+1 = x1 Ta có the l¾p lai phép bien đői b® n mái, v.v Chúng minh rang trưàng hap n = n = chi có huu han phép bien đői đưac tien hành, túc là, sau huu han bưác ta thu đưac b® n gom so không âm Giãi Đau tiên ta ý rang (xk−1 + xk) + (−xk) + (xk+1 + xk) = xk−1 + xk + xk+1, hap n = khơng đe đői ket lu¾n rangTrong đánh giá nên tőng S m®t3bat bien cua khó phép bien đe trưàng 2 J ( x , x 2, x ) = x + x + x ; (2.13) tính x đoi< xúng ta chibien can đői xét cho m®ttaphép bien đői cua J vái k = Do đ¾t 0, phép J(x1 + x2, −x2, x3 + x2) = (x1 + x2)2 + (−x2)2 + (x3 + x2)2 = (x2 + x2 + x2) + 2x2(x1 + x2 + x3) = J(x1, x2, x3) + 2x2S < J(x1, x2, x3) Cho nên J làđieu m®tnày đánh giãm, theominh (2.13) giáhuu tr% han cua Jtrong m®t so ngun khơng âm, ketgiá thúc chúng tính trưàng hap n = Váihap n= tình huong trã nên phúc tap Dn đốn m®t đánh giá thích J(x5 , x2, , x5) có the can phãi tưãng tưang đáng ke, nhiên neu ta giã su J dang tồn phương, ta có su dnng phương pháp h¾ so bat đ%nh, cn the, đe tìm J dưái dang J(x1, x2, x3, x4, x5) = p(x2 + x2 + x2 + x2 + x2) + q(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1) (2.14) + r(x1x3 + x2x4 + x3x5 + x4x1 + x5x2) vái hang so chưa biet p, q, r Các h¾ so (2.14) đưac CHQN cho J m®t bat bien đői vái phép giao hốn cua b® x1, x2, , x5 vi¾c nghiênthay cúu đői thaytrưàng đői cuahap J thành trưàng k =ra,2.đieu Tínhnày tốnrút thơng mà khơng cua tốn;hap ngồi GQN thưàng ta đưac J(x1 + x2, − x2, x3 + x2, x4, x5) − J(x1, x2, x3, x4, x5) = 2p(x1x2, x2 + x x ) + q(−2x1x2 − 2x22 − 2x2x3 + x2x4 + x2x5) 2 + r(x1x2 + x2 + x2x3 − x2x4 − x2x5) = x2[(2p − 2q + r)(x1 + x2 + x3) + (q − r)(x4 + x5)] Rõ ràng đơn giãnngo¾c ta có the u bang cau 2p − 2q + r = q − r = c > 0; cácđesocho hang vuông c(x1 + x2 + x3 + x4 + x5) = cS > 0, x2 ≥− c.JĐánh de nhat thuâm đưac = so Tùđe đâychan, ta thay rang giár tr% cua so giá nguyên không neuvái cãchai r = −2: J = (x1 − x2)2 + (x2 − x − 4)2 + (x3 − x5)2 + (x4 − x1)2 + (x5 − x2)2 Đieu ket thúc chúng minh cho trưàng hap n = Q Trong phan ta giãi quyet đưac toán ve phng phỏp lắp ú l cho mđt dóy lắp vụ han liắu cú ton tai mđt dóy lắp tuan hồn có the miêu tã tat cã dãy the ho¾c tìm chu kì tuan hồn cua chúng Phan giái thi¾u đưac phương pháp bat bien, phương pháp đánh giá, phương pháp đánh giá mã r®ng 74 Ket lu¾n Lu¾n văn vái đe tài “So HQC tő hap” giãi ket đưac van đe sau: Lu¾n văn h¾ thong khái ni¾m bãn cua phép chia het, tính chat cua phép chia het, khái ni¾m bãn tő hap, nguyên tac Dirichlet Lu¾n văn giái thi¾u đưac tốn ve tớnh chat chia het cua mđt dóy so hoắc m®t dãy cua dãy so thõa mãn m®t tính chat chia het Lu¾n văn giái thi¾u đưac tốn ve dãy so toán ve bat thúc, toán ve lna CHQN dãy con, dãy tiêu chuan, thơng qua giúp ngưài ĐQC thay đưac sn hap dan an tưang cua tốn ve dãy so Lu¾n văn đưa đưac phương pháp giãi quyet tốn có liên quan đen mãng, mãng con, trưàng, trưàng lân c¾n giãi quyet đưac tốn liên quan tái vi¾c bien đői mãng Lu¾n văn giúp ta có nhìn thau đáo ve cau hình khơng thú tn, túc phan tu khơng có thú tn theo bat kỳ mơ hình bao gom tốn ve t¾p DS, phân hoach Lu¾n văn cung cap phương pháp giãi quyet tốn ve phép l¾p thơng qua tốn tính đat đưac, tốn tính huu han, tốn tuan hồn Như v¾y lu¾n văn h¾ thong đưac đay đu đa dang toán ve so HQC tő hap, cung cap thêm cho thay cụ giỏo mđt ti liắu huu ớch ve sụ HQC tő hap vi¾c boi dưãng HQC sinh giõi Tài li¾u tham kháo Tieng Vi¾t [1] Nguyen Huu Đien (1999), Phương pháp DIRICHLET nng dnng, NXB Khoa HQC V k thuắt H Nđi [2] Nguyen Thụng (2012), Boi dưãng HQC sinh giõi toán tő hap rài rac, NXB Đai HQC Quoc gia Hà N®i [3] Phan Huy Khãi (2009), So HQC dãy so, NXB Giáo dnc [4] Pham Minh Phương (2006), Các chuyên đe so HQC, NXB Giáo dnc [5] Nguyen Văn Vĩnh (2005), 23 chuyên đe giãi 1001 toán sơ cap, NXB Giáo dnc [6] T¾p san Tốn HQC tuői tre năm Tieng Anh [7] J Herman, R Kucera, and J Simsa (2003), Counting and Configurations Problems in Combinatorics, Arithmetic, and Geometry, Translated by Karl Dilcher, Springer ...LÊ XUÂN DƯƠNG SO HOC TO HeP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS Nguyen Huu Đien Hà N®i - Năm 2017 Mnc lnc Lài nói... han thừa mđt tớnh chat so HQC Vì le tốn mang đ¾c trưng rõ nét so HQC có hưáng cua tốn dãy so Lu¾n văn đe c¾p đen phương pháp đe giãi tốn ve so HQC tő hap Ngồi phan mã đau, danh mnc tài li¾u tham... tốn dãy l¾p huu han, vơ han ho¾c tuan hồn bang phương pháp bat bien phương pháp đánh giá Lu¾n văn đưac hồn thành dưái sn hưáng dan t¾n tình chi bão cua thay giáo PGS.TS Nguyen Huu Đien Tơi xin