Một số bài toán về dãy số

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Thành Giáp M®T SO BÀI TỐN VE DÃY SO LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i 2011 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen Thành Giáp M®T SO BÀI TỐN VE DÃY SO Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cap Mã so: 60.46.40 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Pham Văn Quoc Mnc lnc Lài nói đau Chương M®t so kien thÉc chuan b% 1.1.Dãy so 1.1.1.Đ%nh nghĩa 1.1.2.Cách cho m®t dãy so 1.1.3.Mđt vi dóy so ắc biắt 1.1.4.Giói han cna dãy so 1.2.Sơ lưoc ve phương pháp sai phân 11 1.3.So HQc 14 1.3.1.Đong dư thúc 14 1.3.2.M®t so đ%nh lý ban cna so HQc 15 Chương Tính chat so HQC CUA dãy so 17 2.1.Tính chia het 17 2.2.Tính chat so nguyên 36 2.3.Tính phương 46 2.4.Bài t¾p 57 Chương Giái han cua dãy so 60 3.1 Giói han cna tőng 60 3.2 Dãy sn h®i tu cna dãy so .65 3.3 Dãy so xác đ%nh boi phương trình 73 3.4 Bài t¾p 81 Ket lu¼n 84 Tài li¼u tham khao 85 Lài nói đau Dãy so m®t lĩnh vnc khó rat r®ng, đe thi HQc sinh gioi quoc gia, quoc te thưịng xuat hi¾n tốn ve dãy so Đe giai đưoc toán ve dãy so địi hoi ngưịi làm tốn phai có kien thúc tőng hop ve so HQ c, đai so, giai tích Các van đe liên quan đen dãy so rat đa dang có nhieu tài li¾u viet ve van đe này, tài li¾u thưịng viet r®ng ve van đe cna dãy so, van đe đưoc quan tâm nhieu tính chat so hoc tính chat giai tích cna dãy so Tính chat so HQc cna dãy so the hi¾n tính chia het, tính ngun, tính phương , tính chat giai tích có nhieu dang quan TRQNG tốn tìm giói han dãy so Các tốn ve dãy so thưịng tốn hay khó, tác gia lu¾n văn sưu tam, cHQN LQc phân loai theo tùng chn e Luắn vúi e ti Mđt so bi tốn ve dãy so” có muc đích trình bày m®t cách h¾ thong, chi tiet tính chat so HQc cna dãy so, giói han dãy so Lu¾n văn đưoc trình bày vói chương Chương M®t so kien thúc chuan b% Chương h¾ thong lai kien thúc ban nhat ve dãy so, so HQc, phương pháp sai phân se đưoc dùng đe giai quyet toán chương sau Chương Tính chat so HQc cna dãy so Chương trình bày m®t so van đe ve tính chat so HQc cna dãy so tính chia het, tính nguyên, tính phương nêu phương pháp giai tốn, phân tích tốn cu the Chương Giói han cna dóy so Chng ny e cắp en mđt so tốn ve giói han dãy so như: Giói han cna tőng, dãy sn h®i tu cna dãy so, dãy so xác đ%nh boi phương trình vói phương pháp giai cu the cho tùng dang tốn Lu¾n văn đưoc hồn thành vói sn quan tâm giúp đõ, hưóng dan khoa HQ c cna TS Pham Văn Quoc, thày t¾n tình chi bao cách t¾p nghiên cúu khoa HQc, cách làm trình bày ban lu¾n văn đong thịi thày có nhieu ý kien q báu đe hồn thành lu¾n văn Tác gia xin bày to lịng cam ơn sâu sac nhat tói thày Nhân d%p tác gia xin cam ơn khoa Toán – Cơ – Tin HQc, phòng Sau đai hQc, phòng Cơng tác tr% sinh viên trưịng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên – Đai HQc Quoc gia Hà nđi ó tao ieu kiắn giỳp tỏc gia suot hai năm HQc trình làm lu¾n văn, cam ơn Ban giám hi¾u, ban đong nghi¾p trưịng THPT Nguyen Trung Ngan giúp đõ cho tác gia cơng tác HQc t¾p thịi gian qua, tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè cő vũ, đ®ng viên tác gia vưot qua MQI khó khăn đe hồn thành ban lu¾n văn Hà N®i, ngày 25 tháng 11 năm 2011 HQc viên Nguyen Thành Giáp Chương M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Dãy so 1.1.1 Đ%nh nghĩa Moi hàm so u xác đ%nh t¾p so nguyên dương N∗ đưoc GQI m®t dãy so vơ han (GQI tat dãy so) Kí hi¾u: u :N∗ −→ R n −→ u(n) Dãy so thưịng đưoc viet dưói dang khai trien: u1, u2, , un, Trong u n = u(n) GQI u1 so hang đau, un so hang thú n so hang tőng quát cna dãy so Moi hàmsosohuu u xác t¾ptrien M =cna 1, 2, 3, ,m vói m ∈ N∗ đưoc GQI m®t dãy han.đ%nh Dang khai u.1 , u , , um u1 so hang đau, um so hang cuoi Dãy so (un ) oc GQI l: ã Dóy n iắu tăng neu un+1 > un vói MQI n = 1, 2, ã Dóy n iắu khụng giam neu un+1 ≥ un vói MQI n = 1, 2, • Dãy đơn đi¾u giam neu un+1 < un vói MQI n = 1, 2, ã Dóy n iắu khụng tăng neu un+1 ≤ un vói MQI n = 1, 2, Dãy (un ) đưoc GQI là: • Dãy so b% ch¾n neu ton tai so M cho un < M , vói MQI N = 1, 2, ã Dóy so b% chắn dúi neu ton tai so m cho un > m, vói MQI N = 1, 2, ã Dóy so b% chắn neu vùa b% ch¾n vùa b% ch¾n dưói Dãy so (un ) đưoc GQI tuan hồn vói chu kỳ k neu un+k = un , vói MQI n ∈ N Dãy so (un ) đưoc GQI dãy dùng neu ton tai m®t so N0 cho un = C vói MQI n ≥ N (C hang so, GQI hang so dùng) 1.1.2 Cách cho m®t dãy so Dãy so cho bang cơng thúc cna so hang tőng quát: Ví du xét dãy so (un) đưoc cho boi un = √ Σ √ √ − 2 n 1+ 1 − Σn √ so (un) đưoc xác đ%nh boi Dãy so cho bang phương pháp truy hoi: Dãy   u1 = 1, u2 = 50  un+1 = 4un + 5un−1 − 1975, n = 2, 3, 4, Dãy bangVói phương pháp mơ ta:n Ví xét dãy n) đưoc cho boi: a1 = 19,soacho = 98 moi so nguyên ≥ du 1, xác đ%nhsoa(u n+2 bang so dư cna phép chia an2+ an+1 cho 100 (xn) Tù đó, hàm fn(x) ngh%ch bien (1; +∞) suy xn < (1) vói MQI n ∈ N∗ M¾t khác, vói moi n∗∈ N∗ , hàm fn (x) kha vi [xn ; 4] nên theo đ%nh lý Lagrange, vói moi n ∈ N ton tai t ∈ (xn ; 4) cho fn(4) − fn(xn) = J ()= n2 fn t 4− − xn vói MQI n ∈ N∗ Suy x n) − (4t − 1)2 vói MQI n ∈ N∗ ⇒ xn − (t − 1)2 0, lim g(x) = lim = +∞ V¾y hàm so x→+∞ →−∞ g(x) ngh%ch bien có nghi¾m nhat [−2007; +∞), GQI nghi¾m b, phương trình sin2(x + 11) − x = 2007 có nghi¾m nhat b b/ Kí hi¾u α = [− ma x |g J (t)| Khi α ∈ [0; 1] 2007;−2006] Ta thay −2007 ≤ un ≤ −2006 phương trình | sin 2(x + 11)| = vơ nghi¾m [−2007; −2006] nên ≤ α < Theo đ%nh lý Lagrange, úng vói moi n ∈ N∗, ton tai cn ∈ (−2007; −2006) cho |un+1 − b| = |g(un ) − g(b)| = |g J (cn )||un − b| ≤ α|un − b| Tù theo phương pháp quy nap toán HQc, ta đưoc |un+1 − b| ≤ α n|u1 − b| Suy lim n→+∞ |un+1 − b| = ⇒ lim n un = b →+∞ Bài t¼p 3.3.5 Chúng minh rang vói MQI so nguyên dương n cho trưóc phương trình xn x2n+1 = x + cú ỳng mđt nghiắm thnc GQI nghiắm ú l xn Tính lim n→+∞ Lài giai Neu x < −1 x2n+1 < x < x + Neu −1 ≤ x ≤ x2n+1 − x = (−x)(1 − x2n) < ⇒ x2n+1 < x + Neu < x ≤ x2n+1 ≤ x < x + V¾y neu x nghi¾m cna phương trình x2n+1 = x + ta phai có x > Đ¾t fn(x) = x2n+1 − x − Ta có fnJ (x) = (2n + 1)x2n − > [1; +∞) Suy fn tăng nua khoang Vì fn(1) = −1 < fn(2) = 22n+1 − > nên phương trình fn(x) = có nghi¾m (1; 2) Theo lý lu¾n trên, nghi¾m nhat Xét fn+1 (x) = x2n+3 − x − Ta có fn+1 (1) = −1 < n n n fn+1(xn) = x2n+3 − xn − = x2n+3 − x2n+1 > Tù ta suy < xn+1 < xn Dãy (xn) giam b% ch¾n dưói boi 1, suy hanđó huu nua a ≥ Ta chúng minh a = Th¾t v¾y giadãy su acó>giói Khi xn han ≥ a a, vóihơn MQI n ta tìm đưoc n đn lón cho: n x2n+1 ≥ a2n+1 > Trong đó, ta có xn + < x1 + < Mâu thuan fn3 (xn) = n Bài t¼p 3.3.6 Cho phương trình x + 2x + · · · + nx = vói n nguyên dương a/Chúng minh rang vói MQI n nguyên dương, khoang (0; +∞), phương trình có nghi¾m nhat, kí hi¾u xn b/Chúng minh rang dãy (xn) có giói han huu han n → +∞ tìm giói han (x)3= x + 2x2 + · · · + nxn liên tuc R có − Lài giai a/ Xét hàm so fn fnJ (x) = + 22 x + · · · + n2 xn−1 > vói MQI x ∈ (0; +∞) n nên hàm so f n(x) tăng (0; +∞) Mà fn (0) = − , f (1) > nên phương trình fn(x) = có nghi¾m nhat khoang (0; +∞) b/ Ta có 1 3f Σ =11 + 1· + · · · + n· 1Σn−1 −3 f n Σ3= + 2· 3Σ2 + · · · + n·3 Σn − Trù ve theo ve ta đưoc 2f 2n + n n 3 Σ Σ 3 = n 43=− 1− =1+ + n − − 3 < − 3n − · · · +3n−1 3n 4· n vói MQI n ∈ Z+ Áp dung đ%nh lý Lagrange, ton tai Do xn > y ∈ ; x Σ cho: n n 2n + (y Σ = |f J n (x n) − 4· n )| n n f n x − > x −1 n 3 f J (yn ) > vói yn > M¾t khác lim xn = 2n + = ⇒ lim n→+∞ n →+∞ 4· 3n Qua toán trên, thay công cu ban đe khao sát dãy so cho boi dãy phương trình đ%nh lý ban cna giai tích (ve hàm liên tuc, hm n iắu, %nh lý ve sn hđi tu cna dãy so đơn đi¾u b% ch¾n, đ%nh lý Lagrange) moi liên h¾ mang tính truy hoi giua phương trình 3.4 Bài t¾p phương x2n+1 =Chúng x + cú ỳng mđtvúinghiắm GQI nghiắm l xn Bi trình t¼p 3.4.1 minh rang moi sothnc ngun dương nđócho trưóc Tính lim xn n→+∞ Bài t¼p 3.4.2 Cho dãy so (xn) đưoc xác đ%nh sau: x= Tính ,x xn = n+1 vói MQI n ∈ N∗ 2(2n + 1)xn + Σ n xi lim n →+∞ i=1 Bài t¼p 3.4.3 (đe dE b% VMO 2008) Cho so thnc a dãy so thnc (xn) xác đ%nh boi: x1 = a, xn+1 = ln(3 + cos xn + sin xn ) − 2008 vói MQI n = 1, 2, 3, Chúng minh rang dãy so (xn) có giói han huu han n → +∞ Bài t¼p 3.4.4 Cho dãy {xn}+∞ n=thoa mãn: x1 = 1; x2 = x3 = 9; x4 = xn+4 = √4 xn xn+1 xn+2 xn+3 vói MQI n ≥ Chúng minh rang ton tai lim xn tính giói han Bài t¼p 3.4.5 Cho phương2 trình vói n là3tham so ngun dương: x+ 2(x − 1) + 3(x − 1) + · · · + n(x − 1)n − 4=0 a/Chúng minh rang phng trỡnh trờn cú mđt nghiắm nhat lón vói MQI n ngun dương kí hi¾u xn b/Chúng minh rang dãy han (1) (xn) có giói han huu han n → +∞ tìm giói Bài t¼p 3.4.6 Cho dãy so (un) đưoc xác đ%nh sau:   u1 =  un+1 = + u1 u2 · · · un vói MQI n = 1, 2, 3, Tìm n Σ li m n→+∞ i=1 ui Bài t¼p 3.4.7 Cho dãy so (un) thoa mãn:   u1 = 2009 √  un+1 = un ( un + 1)2 vói MQI n = 1, 2, 3, Tìm Σ n √ li m n→+∞ i=1 ui + Bài t¼p 3.4.8 Cho dãy so (xn) xác đ%nh boi:  x1 = 2,  xn+1 √ n   n , , = + xn − x2 + 8xn − ( =1 ) Vói moi so ngun dương n đ¾t y =Σ n n đ%nh boi: Bài t¼p 3.4.9 Cho dãy so (un) xác x2i+   u1 = un Tìm i=  u 199 + un 1 Tìm lim y n − n = 1, 2, = u · n u2 + Σ· ·+ lim u1 un+1 n→+∞ u2 + u3 n+1 Bài t¼p 3.4.10 Cho dãy so (un) đưoc xác đ%nh boi:  u0 =  un + 2008  n = 0, 1, 2, + 2010  un+1 = −u n a/Chúng minh rang dãy so (u0) có giói han huu han tìm giói han n Tính b/Đ¾t Tn n = Σ lim n→+∞ n + k=0 uk − T 2009 Ket lu¾n Dãy so m®t lĩnh vnc r®ng khó, toán dãy so rat đa dang Trong ban lu¾n văn chi đe c¾p đen tính chat so HQc cna dãy so giói han cna dãy so Lu¾n văn trình bày h¾ thong tốn ve tính chat so HQc cna dãy so tính chia het, tính nguyên, tính phương Trong tốn đeu v¾n dung kien thúc tőng hop ve so HQc, dãy so, phương pháp sai phân, moi dang tốn đeu nêu phương pháp giai cu the, có đe xuat m®t so dang tốn tőng qt, m®t so tốn tőng qt đưoc đ¾c bi¾t hóa đe có nhieu tốn khác Lu¾n văn trình bày m®t so dang tốn ve giói han dãy so giói han cna tőng, dãy sn h®i tu cna dãy so, dãy so xác đ%nh boi phương trình Các tốn dang đeu có phương pháp giai cu the v¾n dung kien thúc ve dãy so, đ%nh lý ve giói han Lu¾n văn cHQN LQc đưoc tốn đien hình cho moi dang tốn, đ¾c bi¾t có nhieu tốn đe thi HQc sinh gioi quoc gia, quoc te nhung năm gan qua thay vai trị quan TRQNG cna toán ve dãy so đe thi Trong ban lu¾n văn này, tác gia sáng tao đưoc m®t so tốn góp phan làm phong phú thêm toán ve dãy so, tao so cho tác gia biet nghiên cúu, sáng tao cơng tác sau Tuy nhiên, thịi gian lnc ban thân han che nên ban lu¾n văn chac khơng tránh đưoc thieu sót, rat mong đưoc sn đóng góp ý kien cna thày giáo, ban đong nghi¾p, em HQc sinh đe cuon tài li¾u ve dãy so đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Đe, Nguyen Khánh Nguyên (d%ch) (1996), Các đe thi vô đ%ch Tốn 19 nưác – có Vi¾t Nam, NXB Giáo duc [2] Phan Huy Khai (2007), Chuyên đe boi dưãng HQc sinh giói tốn thpt tốn ve dãy so , NXB Giáo duc [3] Phan Huy Khai (1997), 10.000 toán sơ cap dãy so giái han, NXB Hà N®i [4] Nguyen Vũ Lương (chn biên) (2006), Nguyen Lưu Sơn, Nguyen NGQc Thang, Pham Văn Hùng, Các giang ve so HQc, NXB Đai HQc Quoc gia H nđi [5] Nguyen Vn Mắu, Ky yeu trai hè Hùng Vương năm 2010 [6] Nguyen Văn M¾u (chn biên), Nguyen Văn Tien (2009), M®t so chuyên đe giai tích boi dưãng HQc sinh giói trung HQc phő thơng, NXB Giáo duc Vi¾t Nam [7] Nguyen Sinh Tien, Nguyen Văn Nho, Lê Hồnh Phị (2003), Tuyen t¾p dn tuyen Olympic Toán HQc quoc te 1991 – 2001, NXB Giáo duc [8] Lê Đình Th%nh (chn biên), Đ¾ng Đình Châu, Lê Đình Đ%nh, Phan Văn Hap (2001), Phương trình sai phân m®t so úng dnng, NXB Giáo duc [9] Các toán chQN LQc 45 năm tap chí tốn HQc tuői tré (2009), NXB Giáo duc [10] Tu sách toán HQc tuői tré Các thi Olympic tốn Trung HQc phő thơng Vi¾t Nam (1990 – 2006) (2007), NXB Giáo duc ... 60 3.2 Dãy sn h®i tu cna dãy so .65 3.3 Dãy so xác đ%nh boi phương trình 73 3.4 Bài t¾p 81 Ket lu¼n 84 Tài li¼u tham khao 85 Lài nói đau Dãy so m®t lĩnh vnc... phân tích tốn cu the Chương Giói han cna dãy so Chng ny e cắp en mđt so bi toỏn ve giói han dãy so như: Giói han cna tőng, dãy sn h®i tu cna dãy so, dãy so xác đ%nh boi phương trình vói phương... Tính chat so HQC CUA dãy so Dãy so nguyên phan quan TRQNG lý thuyet dãy so Ngoài van đe chung tìm so hang tőng qt cna dãy so, tìm cơng thúc tính tőng n so hang đau tiên tốn ve dãy so thưịng quan