MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN NHÂM MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chương Các kiến thức 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số 1.1.2 Dãy số đơn điệu 1.1.3 Dãy số bị chặn 1.1.4 Cấp số cộng, cấp số nhân 1.1.5 Các cách cho dãy số 1.1.6 Dãy Fibonacci 11 1.2 Giới hạn dãy số 11 Chương Một số lớp toán dãy số 15 2.1 Lớp toán có tính chất số học dãy 15 2.2 Lớp toán dãy số có chất đại số 23 2.3 Lớp toán bất đẳng thức dãy 27 2.4 Sử dụng lượng giác giải toán dãy 46 2.5 Lớp toán giới hạn dãy 53 2.5.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa tính giới hạn 53 2.5.2 Tính giới hạn nhờ sử dụng tính đơn điệu bị chặn 54 2.5.3 Tính giới hạn nhờ sử dụng định lý hàm số co 57 2.5.4 Phương pháp sử dụng tổng tích phân tính giới hạn 58 2.5.5 Tính giới hạn dựa vào việc giải phương trình sai phân 59 2.5.6 Sử dụng dãy phụ để tính giới hạn 60 2.5.7 Giới hạn dãy sinh phương trình 65 2.5.8 Giới hạn dãy tổng 68 KẾT LUẬN 71 Tài liệu tham khảo 72 LỜI NÓI ĐẦU Dãy số số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích toán học Các học sinh sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề Những bắt đầu làm quen với khái niệm dãy số thường khó hình dung cấu trúc đại số tập dãy số, đặc biệt phép tính dãy có chứa tham số, biến đổi dãy đại số dãy, Dãy số đặc biệt quan trọng toán học không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia , thi Olympic toán quốc tế, thi vô địch toán nước, toán liên quan đến dãy số hay đề cập thường thuộc loại khó Luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức dãy Chương 2: Một số lớp toán dãy số Chương 1: Nhắc lại khái niệm dãy số, định lý, dấu hiệu liên quan đến dãy số dùng luận văn Chương 2: Trong chương tác giả trình bày toán dãy, có nhiều toán có kỳ thi học sinh giỏi nước, Olympic toán quốc tế, toán trình bày theo nhóm dạng, sau số phân tích để tìm hướng giải ý tưởng phát triển toán Để hoàn thành luận văn này, trước tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc tới TS.Nguyễn Thành Văn, Trường THPT chuyên -Đại học Khoa học Tự nhiên Hà nội, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành thầy cô đọc, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn phong phú hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán-Cơ -Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi sai sót trình bày, mong góp ý thày cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 26 tháng 03 năm 2011 Học viên Phạm Văn Nhâm Chương Các kiến thức 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa dãy số Định nghĩa 1.1:Dãy số hàm số từ N∗ (Hoặc N) (Hoặc tập N) vào tập hợp số R Các số hạng dãy số thường ký hiệu un , , xn , yn Bản thân dãy số ký hiệu tương ứng {un } , {vn } , {xn } , {yn } , Dãy gọi vô hạn chúng có vô hạn phần tử Dãy gọi hữu hạn số phần tử dãy hữu hạn Nhận xét: Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số 1.1.2 Dãy số đơn điệu Định nghĩa 1.2 * Dãy số {xn } gọi là: - Dãy đơn điệu tăng un+1 > un , với n=1,2, - Dãy đơn điệu không giảm un+1 ≥ un , với n=1,2, - Dãy đơn điệu giảm un+1 < un , với n=1,2, - Dãy đơn điệu không tăng un+1 ≤ un , với n=1,2, Thí dụ:- Dãy 1, 3, 5, 7, 9, dãy đơn điệu tăng 1 1 - Dãy 1, , , , , dãy đơn điệu giảm 1 1 - Dãy 2, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, dãy đơn điệu không giảm - 1, , , , , , dãy 2 3 đơn điệu không tăng * Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy đơn điệu 1.1.3 Dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3 * Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn số thực M cho với n ∈ N ta có xn ≤ M * Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn số thực m cho với n ∈ N ta có xn ≥ m * Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy bị chặn 1.1.4 Cấp số cộng, cấp số nhân Định nghĩa 1.4(Cấp số cộng) Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng số hạng đứng trước cộng với đại lượng không đổi (đại lượng không đổi gọi công sai cấp số cộng) Dãy số {xn } gọi cấp số cộng tồn d ∈ R cho: xn+1 = xn + d, n = 1, 2, d gọi công sai cấp số cộng, x0 số hạng đầu, xn số hạng thứ n Ta có công thức sau: * xn = x0 + nd * Sn = x0 + x1 + + xn−1 = nx0 + n (n − 1) Định nghĩa 1.5(Cấp số nhân) d n = (x0 + xn ) 2 Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vô hạn) mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng số hạng đứng trước nhân với đại lượng không đổi (đại lượng không đổi gọi công bội cấp số nhân) Dãy số {xn } gọi cấp số nhân tồn q ∈ R cho: xn+1 = xn q, n = 1, 2, q gọi công bội cấp số nhân, x0 số hạng đầu, xn số hạng thứ n Ta có công thức sau: * xn = qn x0 qn − x0 Nếu |q| < {xn } gọi cấp số nhân * Sn = x0 + x1 + + xn−1 = q−1 x0 lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn tính theo công thức: S = 1−q 1.1.5 Các cách cho dãy số Để xác định dãy số người ta tiến hành theo cách sau đây: a) Cho công thức số hạng tổng quát un Thí dụ: Dãy số (un ) xác định nhờ công thức un = 2n với n=0,1,2, Đây dãy số tự nhiên chẵn: 0,2,4,6,8, b) Dãy số cho theo công thức truy hồi Thí dụ:Cho dãy số {un }, n=0,1,2,3, xác định sau: u0 = un+1 = 3un + + 2011u2n c) Dãy số xác định theo cách miêu tả d) Phương pháp phương trình đặc trưng Trong phương pháp để xác định dãy, sử dụng phương pháp phương trình đặc trưng dãy phương pháp dựa vào phương pháp sai phân sau đây: * Sơ lược phương pháp sai phân: Cho dãy số x0 ; x1 ; ; xn ; Ta biết dãy số hàm số với đối số nguyên, kí hiệu xn = x (n) * Định nghĩa sai phân: Ta gọi ∆xn = xn+1 − xn sai phân cấp dãy xn = x (n)với n ∈ N Và gọi ∆2 xn = ∆xn+1 − ∆xn sai phân cấp hai dãy xn = x (n)với n ∈ N Một cách tương tự ∆k xn = ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn sai phân cấp k dãy số * Vài tính chất sai phân: Tính chất 1: Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số Tính chất : Sai phân cấp k dãy số có tính chất toán tử tuyến tính, tức ∆k (α xn + β yn ) = α ∆k xn + β ∆k yn , ∀α ; β ∈ R Tính chất : Sai phân cấp k đa thức bậc m là: i Đa thức bậc m − k, m > k ii Là số m = k iii Bằng m < k n Tính chất : ∑ ∆xk = xn+1 − xm (với m c − , suy xn+1 tồn ta có √ < xn+1 < c √ √ 1√ c+x c− c+x Đặt f (x) = c − c + x f (x) = − Với x ∈ (0, (c)) ta có: √ √ √ (c + x) c − c + x > c c − c + c ≥ 2 − + > √ Từ suy ra: | f (x)| ≤ q < với x ∈ (0, c) √ tức f (x) hàm số co (0, c), suy dãy số cho hội tụ Vậy tất giá trị c cần tìm c ≥ 2.5.4 Phương pháp sử dụng tổng tích phân tính giới hạn Việc tính trực tiếp tổng dãy số cho trước để từ xét giới hạn thực Tuy nhiên ta phân tích tổng dạng khác mà từ cho phép ta tính giới hạn tổng cách dễ dàng nhờ tích phân Theo định nghĩa tích phân xác định hàm f (x) khả tích đoạn [a; b] với phép phân hoạch π đoạn [a; b] cách chọn điểm ξi ∈ [xi−1 ; xi ] (i = 1, 2, , n) ta có: Trong đó: d = max 1≤i≤n b n f (x) dx = lim ∑ f (ξi ) (xi − xi−1 ) a (xi − xi−1 ) d→0 i=1 Như biểu thức dấu giới hạn tổng tích phân hàm f (x) [a; b] ứng với phép nhân [a; b] Vậy để tính giới hạn tổng nhờ tích phân xác định ta thường tiến hành theo bước sau: b−a b−a n - Biến đổi tổng dấu giới hạn biểu thức dạng: Sn = ∑ f a+i n i=1 n - Chọn hàm f (x) khả tích [a; b] - Tính tích phân a giới hạn cần tìm Bài toán Tìm lim Pn với: Pn = n→∞ b + 5n 15n−2 + 28 5n + 5n 58 n f (x) dx Lời giải n Lấy lôgarit hai vế ta nhận được: ln Pn = ∑ ln + 15i−12 5n n i=1 Đặt Sn = ln Pn Ta chia đoạn [2; 5] thành n phần với điểm chia: xi = + i chọn ξi = xi−1 + xi ∈ [xi−1 ; xi ] n 5 Xét hàm: f (x) = lnx liên tục [2; 5] nên khả tích đoạn Do đó: lim Sn = n→∞ lntdt = ln − ln + Vậy: lim Pn = e5 ln 5−2 ln 2+3 n→∞ Bài toán   1 1  + + +   n π π 2π n + sin + sin + sin 2n 2n 2n Tính: lim Sn Đặt: Sn = n→∞ Lời giải Ta có: Sn = n ∑ n i=1 iπ + sin 2n Đặt: f (x) = π x , x ∈ [0; 1] + sin Từ đó: Sn = f (x) dx Đặt t = − x , ta suy ra: f (x) = π t , dx = −dt + cos Do đó: 1 dt dt = = π t π t cos2 π + cos Do đó: lim Sn = π2 f (x) dx = πt = tg π t πt π cos2 1 d = π n→∞ 2.5.5 Tính giới hạn dựa vào việc giải phương trình sai phân Bài toán Cho dãy số un xác định bởi: 59      un+2 − (n + 1)(n + 2) 2(n + 2) 2(n + 2)2 un+1 + un = , ∀n > (n + 1)(n + 3) n(n + 3) n+3 u1 =     u2 = −3 Chứng minh rằng: lim un =1 n2 Lời giải Trước hết ta tìm số hạng tổng quát dãy (un ) cách giải phương sai phân: (n + 1)(n + 2) 2(n + 2) 2(n + 2)2 un+1 + un = , ∀n > 2(∗) un+2 − (n + 1)(n + 3) n(n + 3) n+3 với điều kiện ban đầu: u1 = u2 = −3 n+3 Nhân hai vế (*) với ta được: n+2 (*) n+3 2(n + 2) n+1 ⇔ un+2 − un+1 + un = 2, ∀n > 2(∗∗) n+2 n+1 n n+1 un Khi ta phương trình: vn+2 − 2vn+1 + = 2, ∀n > 2(∗∗∗) n v1 = 0; v2 = −9/2 Ta có phương trình đặc trưng:t − 2t + = có nghiệm kép 13 15 t=1 ta giải được: = − n + n2 Suy ra: 12 12 13 15 n 15n2 n3 13n n = − n+n = − + Do đó: un = n+1 n + 12 12 2(n + 1) 2(n + 1) n + un lim = n Đặt = 2.5.6 Sử dụng dãy phụ để tính giới hạn * Sử dụng dãy để xét hội tụ dãy Cơ sở phương pháp định lý: Mọi dãy dãy hội tụ hội tụ ngược lại : Nếu dãy dãy (an ) hội tụ chúng phải hội tụ đến giới hạn a số a giới hạn dãy (an ) Như vậy: Nếu limx2n = limx2n+1 = a limxn = a Tổng quát: Cho số nguyên m ≥ 2, nếu: limxmn+i = a, i=0,1,2, ,m-1 60 limxn = a Bài toán Cho dãy số (xn ) xác định công thức: x0 = x1 = 3xn+2 = xn + xn+1 Chứng minh dãy(xn ) hội tụ Lời giải 2an , dễ thấy (an ) dãy giảm dần Ta chứng tỏ max {x2n , x2n+1 } ≤ an , với n (1) Xét dãy số (an ) xác định bởi:a0 = 1, an+1 = Thật vậy, (1) với n=0 n=1 Giả sử (1) với n ý (an ) dãy số giảm nên ta có: 3x2n+2 = x2n + x2n+1 ≤ 2an suy x2n+2 ≤ an+1 3x2n+3 = x2n+1 + x2n+2 ≤ an + an+1 ≤ 2an suy x2n+3 ≤ an+1 Như (1) với n+1, theo nguyên lí quy nạp (1) chứng minh Dễ thấy xn > với n , từ (1) theo nguyên lý kẹp có limx2n = lim2n+1 = suy limxn = * Nhận xét: Lời giải đưa vào dãy phụ an có tác dụng chặn hai dãy dạng x2n , x2n+1 làm cho chúng hội tụ điểm Tiếp tục phương pháp ta xét toán sau: Bài toán x0 = x1 = Cho dãy số (xn ) xác định công thức: 3xn+2 = x2n + x2n+1 dãy(xn ) hội tụ Chứng minh Lời giải 2an , dễ thấy (an ) dãy giảm dần Tương tự toán ta chứng minh được: Ta xây dựng dãy (an ) sau:a0 = 1, an+1 = max {x2n , x2n+1 } ≤ an , với n Dễ thấy xn > ,với n, từ (1) theo nguyên lý kẹp có limx2n = lim2n+1 = suy limxn = Nhận xét: Cách cho công thức truy hồi hai dãy khác lại chung cách giải ta tổng quát hoá cho lớp toán mà tác giả dẫn sau: Bài toán Cho dãy số (xn ) xác định công thức: x0 = x1 = 3x3n+2 = x23n + x23n+1 61 Chứng minh dãy(xn ) hội tụ Lời giải 2an Ta xây dựng dãy (an ) sau:a0 = max {x0 , x1 ,x2 } , an+1 = , dễ thấy (an ) dãy giảm dần Ta chứng minh:max {x3n , x3n+1 , x3n+2 } ≤ an , với n (3) Thật vậy, (3) với n=0 n=1,2 Giả sử (1) với n ý (an ) dãy số giảm nên ta có: 3x3n+3 = x23n + x23n+2 ≤ 2a2n ⇒ x3n+3 ≤ an+1 ; 3x3n+4 = x23n+1 + x23n+3 ≤ a2n + a2n+1 ≤ 2a2n ⇒ x3n+4 ≤ an+1 3x3n+5 = x23n+2 + x23n+4 ≤ a2n + a2n+1 ≤ 2a2n ⇒ x3n+5 ≤ an+1 Như (3) với n+1, theo nguyên lí quy nạp (3) chứng minh Dễ thấy xn > với n , từ (1) theo nguyên lý kẹp có limx3n = lim3n+1 = lim3n+2 = suy limxn = Ba toán ta sử dụng dãy dạng (x2k+i ), i = 1, (x3k+i ), i = 1, 2, Sau ta xét toán có sử dụng đến dãy dạng (x4k+i ), i = 1, 2, 3, 4: Bài toán 4(VMO-2008 [4]) Cho dãy số thực (xn ) xác định sau: x1 = 0, x2 = xn+2 = 2−xn + với n=1,2,3, Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Lời giải Xét hàm số f (x) = 2−x + 21 , xác định R Với n ∈ N∗ ,ta có xn+4 = f (xn+2 ) = f ( f (xn )) hay xn+4 = g(xn ), g hàm xác định R g(x) = f ( f (x)), ∀x ∈ R (1) Dễ thấy, hàm số f giảm R; hàm số g tăng R Vì từ (1) suy ra: với k ∈ 1; 2; 3; 4, dãy (x4n+k ), n ∈ N, dãy đơn điệu nữa, từ cách xác định dãy (xn ) dễ thấy ≤ xn ≤ 2, ∀n ∈ N∗ đó, với k ∈ 1; 2; 3; dãy (x4n+k ) dãy hội tụ Với k ∈ 1; 2; 3; đặt x4n+k = ak Ta có ≤ ak ≤ nữa, hàm số g liên tục R nên từ (1) suy g(ak ) = ak (2) 62 Xét hàm số h(x) = g(x) − x [0; 2] Dễ chứng minh hàm số h giảm [0; 2] Vì có không điểm x ∈ [0; 2], cho h(x) = hay g(x) = x Mà g(1) = 1, nên từ (2) ta ak = 1, ∀k ∈ 1; 2; 3; từ đây, dãy (xn ) hợp bốn dãy x4n+k nên dãy (xn ) hội tụ limxn = *Nhận xét: Như toán giải cách xét dãy phụ, từ dãy phụ ta tạo lớp tập tương tự sau: Chứng minh dãy số dương (xn ) cho công thức sau hội tụ với x0 , x1 , x2 , x3 thuộc khoảng (0;1): 1)3xn+3 = x2n + xn+1 xn+2 ; 2)3xn+3 = x2n + xn xn+1 x2 + x2n+2 + x2n+1 3)3xn+3 = n x2n + x2n+2 + xn xn+1 4)3xn+3 = * Sử dụng dãy số phụ để tính giới hạn Nhận xét: Qua phương pháp ta thấy: Khi khảo sát hội tụ dãy số ta thường định lí dãy đơn điệu bị chặn Nếu dãy không đơn điệu thử xét dãy với số chẵn dãy với số lẻ Tuy nhiên, có dãy số có “hành vi” phức tạp nhiều Chúng tăng giảm bất thường Trong số trường hợp thế, ta xây dựng (hoặc hai) dãy số phụ đơn điệu, chứng minh dãy số phụ có giới hạn sau chứng minh dãy số ban đầu có giới hạn Tất nhiên, dãy số phụ phải xây dựng từ dãy số Bài toán Dãy số (an ) xác định a1 > 0, a2 > an+1 = Chứng minh dãy số (an ) hội tụ tìm giới hạn an + an−1 Lời giải Xét hai dãy (Mn ) (mn ) với: Mn = max {an , an+1 , an+2 , an+3 } mn = {an , an+1 , an+2 , an+3 } Ta chứng minh (Mn ) dãy số giảm (mn ) dãy số tăng Thật vậy, ta chứng minh: an+4 ≤ max {an+1 , an+3 } Suy Mn+1 = an+1 an+2 an+3 rõ ràng 63 Mn = max {an , an+1 , an+2 , an+3 } ≥ Mn+1 ≥ an+3 suy ≥ (an+3 + an+2 )an+3 Thật vậy, an+4 ≥ an+3 an+3 + an+2 2a 2 − an+2 + an+4 = (a +an+2 )a − Khi an+1 = an+2 = an+3 − (a +a n+2 n+3 ) n+3 n+2 n+3 an+3 an+2 + an+4 ≥ an+4 Suy đpcm Vậy ta chứng minh dãy (Mn ) giảm Tương tự dãy (mn ) tăng Hai dãy số bị chặn nên hội tụ Cuôi cùng, ta cần chứng minh hai giới hạn √ √ Bài toán Dãy số (an ) xác định a1 > 0, a2 > an+1 = an + an−1 Chứng minh dãy số (an ) hội tụ tìm giới hạn dãy số Lời giải Xét dãy số (Mn ) với Mn = max {an , an+1 , 4} Nếu Mn = an , an+1 ≤ 4, suy an+2 ≤ 4, từ Mn+1 = Nếu Mn = an+1 an+1 ≥ an , an + ≥ Khi đó: √ √ √ an−1 = an+1 − an ≥ an+1 , suy ra: √ √ √ √ an+2 = an + an+1 ≤ an + an−1 = an+1 Do Mn+1 = an+1 √ √ √ Nếu Mn = an an ≥ an+1 , an ≥ Khi an+2 = an + an+1 ≤ 2an Suy Mn+1 ≤ an = Mn Vậy trường hợp Mn+1 ≤ Mn, tức dãy (Mn ) dãy số giảm Do (Mn )bị chặn nên dãy có giới hạn Ta chứng minh giới hạn Thật vậy, giả sử giới hạn M > Khi với ε > 0, tồn N cho với n ≥ N M − ε < Mn < M + ε Chọn n ∈ N cho Mn+2 = an+2 (theo lập luận M > tồn số n Ta có: M − ε < Mn+2 = an+2 = √ √ √ an + an−1 < M + ε hay M(M − 4) − ε (2M + − ε ) < Mâu thuẫn M > ε chọn nhỏ tuỳ ý Bài toán 3.(VMO-1992 [4]) Cho số dương a, b, c dãy số {ak }, {bk }, {ck } xác định sau: 1) a0 = a, b0 = b, c0 = c 2 ; bk+1 = bk + ck+1 = ck + ; ∀k = 2) ak+1 = ak + bk + ck ck + ak ak + bk Chứng minh ak dần tới vô hạn k dần tới vô hạn Lời giải 64 Với k ≥ 0, đặt: Mk = max {ak , bk , ck } mk = {ak , bk , ck } Từ giả thiết toán, suy {Mk } {mk } dãy số dương Ta chứng minh rằng: lim mk = ∞ (5) k→∞ từ suy lim ak = ∞ k→∞ Để chứng minh (5), ta chứng minh rằng: lim Mk = ∞ lim k→∞ Mk k→∞ mk = p∈R a) Xét {Mk }.Từ giả thiết (2), ta có : a2k+1 + b2k+1 + c2k+1 > a2k + b2k + c2k + bk ck ak + + bk + ck ck + ak ak + bk ≥ a2k + b2k + c2k + Suy ∀k ≥ 1, ta có : a2k + b2k + c2k > 6k → Mk2 > 2k → Mk > √ 2k → lim Mk = ∞ (6) k→∞ Mk mk Từ giả thiết (6), dễ thấy ∀k ≥ mk+1 ≥ mk + M1k Mk+1 ≥ Mk + m1k 1 Suy ra: Mk+1 + mk ≤ Mk + mk = Mk mk + = Mk mk + ≤ mk Mk Mk Mk+1 ≤ ≤ Mk mk+1 → mk+1 mk Mk Mk Do ≥ 1, ∀k ≥ nên dãy dãy không tăng bị chặn -1 Vì mk mk Mk = p, p ∈ R (7) vậy, tồn lim n→∞ mk Từ (6) (7) suy điều phải chứng minh b) Xét dãy 2.5.7 Giới hạn dãy sinh phương trình Nhận xét:Trong toán học, có nhiều trường hợp ta không xác định giá trị cụ thể đối tượng mà xét (ví dụ số, hàm số) thực phép toán đối tượng Ví dụ ta giá trị nghiệm phương trình, biết tổng chúng, tìm giới hạn dãy nghiệm Bài toán Ký hiệu xn nghiệm phương trình: 1 + + + = thuộc khoảng (0, 1) x x−1 x−n 65 a) Chứng minh dãy {xn } hội tụ b) Hãy tìm giới hạn 1 + + + =0 x x−1 x−n liên tục đơn điệu (0, 1) Tuy nhiên, ta xác định giá trị cụ thể Nhận xét: xn xác định hàm số fn (x) = xn Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ xn , ta không cần đến điều Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu bị chặn đủ Với tính bị chặn, thứ ổn < xn < Với tính đơn điệu, ta ý chút đến mối liên hệ fn (x) fn+1 (x) : fn+1 (x) = fn (x) + xn Đây chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu x−n−1 Lời giải Rõ ràng xn xác định cách nhất, < xn < Ta có: 1 fn+1 (x) = fn (x) + = < 0, fn+1 (0+ ) > x−n−1 x−n−1 Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0, xn ) có nghiệm fn+1 (x) Nghiệm xn+1 Như ta chứng minh xn+1 < xn Tức dãy số {xn } giảm Do dãy bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quen thuộc sau: + 1/2 + 1/3 + + 1/n > ln(n) (Có thể chứng minh dễ dàng cách sử dụng đánh giá ln(1 + 1/n) < 1/n)) Thật vậy, giả sử limxn = a > Khi đó, dãy số giảm nên ta có xn ≥ a với n Do + 1/2 + 1/3 + + 1/n → ∞ n → ∞ nên tồn N cho với n ≥ N ta có: + 1/2 + 1/3 + + 1/n > 1/a Khi với n ≥ N ta có: 1 1 1 1 + + < + + + + < − = 0.Mâu thuẫn 0= + xn xn − xn − n xn −1 −2 −n a a Vậy ta phải có limxn = Bài toán (VMO 2002)[4] Cho n số nguyên dương Chứng minh 1 1 + + + = phương trình: x − 4x − n x−1 có nghiệm xn > Chứng minh n dần đến vô cùng, xn dần 66 đến Nhận xét: Việc chứng minh phương trình có nghiệm xn > hiển nhiên Mối liên hệ fn+1 (x) = fn (x) + 1/((n + 1)2x − 1) cho thấy {xn } dãy số tăng 1 1 + + + − ) (ở fn (x) = x − 4x − n x−1 Đề cho sẵn giới hạn xn làm cho toán trở nên dễ nhiều Ta dùng định lý Lagrange để đánh giá khoảng cách xn Để làm điều này, ta 1 1 + + + − Rất may mắn, cần tính fn (4), với fn (x) = x − 4x − n x−1 tính fn(4) liên quan đến dạng tổng quen thuộc Lời giải Đặt fn (x) gọi xn nghiệm > phương trình fn (x) = Ta có 1 1 1 1 fn (4) = + + + − = + + + − − 16 − 4n − 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 1 − =− − + − + + − = 3 2n − 2n 4n Áp dụng định lý Lagrange, ta có: 1/4n = | fn (xn ) − f (4)| = | f (c)||xn − 4| với Nên từ c thuộc (xn , 4) Nhưng do:| fn (c)| = + + > (c − 1)2 (4c − 1)2 |xn − 4| < 9/4n, suy limxn = Nhận xét:Trong ví dụ sử dụng định lý Lagrange để đánh giá hiệu số xn giá trị giới hạn Bình luận:Từ hai toán ta rút cách xây dựng dãy hội tụ từ phương trình: Xét họ phương trình F(n, x) = Nếu với n, phương trình F(n, x) = có nghiệm miền D dãy số xn xác định Từ mối liên hệ hàm F(n, x), dãy số có tính chất thú vị Ví dụ Với số tự nhiên n ≥ 3, gọi xn nghiệm dương phương trình xn − x2 − x − = Chứng minh lim = tìm lim [n (xn − 1)] n→∞ n→∞ Ví dụ 2: Chứng minh với n nguyên dương, phương trình: 2 + + + + =0 x x−1 x−4 x − n2 có nghiệm xn thuộc khoảng (0, 1) Tìm lim xn n→∞ Để tạo phương trình có nghiệm khoảng đó, sử 67 dụng tổng hàm đơn điệu Riêng với hàm đa thức ta sử dụng quy tắc Đề-các số nghiệm dương phương trình Nếu dãy hệ số phương trình đổi dấu k lần phương trình có không k nghiệm dương Ví dụ phương trình x4 − x2 − nx − = có nghiệm dương x0 , phương trình x4 − x2 + nx − = có nhiều hai nghiệm dương Khi xây dựng hàm F(n, x), sử dụng công thức truy hồi Như ví dụ Xây dựng F(n, x) kiểu này, dãy nghiệm xn thì: F(n + 1, x) = F(n, x) + (x−n−1) dễ có quy luật thú vị Ví dụ, với dãy số trên, ta có: F(n + 1, x) = F(n, x) + < Từ đây, F(n + 1, 0+ ) = ∞ ta suy xn+1 (xn − n − 1) nằm xn , tức dãy (xn ) giảm Ví dụ (VMO 2002- Ngày thứ hai) 1 1 + + + + + + =0 Xét phương trình: 2x x − x − x−k x − n2 Trong n tham số nguyên dương 1) CMR với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm khoảng (0;1), ký hiệu nghiệm xn 2) CMR dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Ví dụ Cho n số nguyên dương lớn Chứng minh phương trình xn = x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Chứng minh xn dần n dần đến vô tìm lim n(xn − 1) n→∞ Ví dụ (VMO 2007) Cho số thực a > fn (x) = a10 xn+10 + xn + + x + a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn (x) có nghiệm dương b) Gọi nghiệm xn , chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn n dần đến vô 2.5.8 Giới hạn dãy tổng n Bài toán: Tìm giới hạn dãy có dạng tổng:∑ cho trước hệ thức truy hồi n 1 ∑ , Trong dãy xn xi xi Để tiến hành giải toán ta làm theo bước sau: Bước 1: Chỉ rằng: lim xn = +∞ 68 n n , ∑ , (Tùy thược vào đề bài) xi xi n n Bước 3: Tính lim ∑ , lim ∑ xi xi Bài toán Cho dãy (un ) có số hạng đầu u1 = un+1 = u2n − un + 1, n = 1, n Tìm lim ∑ ui Bước 2: Tính ∑ Lời giải Do u1 = > un+1 = un + (un − 1)2 , n = 1, nên < = u1 < u2 < u3 < Tức dãy (un ) dãy tăng Ta chứng minh dãy (un ) không bị chặn Thật vậy, dãy (un ) bị chặn (un ) hội tụ, giả sử limun = a(a > 1) Khi ta phương trình: a = a + (a − 1)2 ⇔ a = (mâu thuẫn) Từ suy lim un = +∞ Bây ta xét hệ thức truy hồi: n 1 1 − , i = 1, 2, suy ra: ∑ − = ui+1 − = ui (ui − 1) ⇒ = ui ui − ui+1 − u1 − i=1 ui 1 = 1− → n → +∞ un+1 − un+1 − n Vậy lim ∑ = 1 xi Bài toán 2.(VMO 2009) x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 Cho dãy (xn ) xác định bởi:x1 = xn = , n=1,2 2 n Chứng minh dãy (yn ) (n=1,2, ) với yn = ∑ có giới hạn hữu hạn tìm giới xi hạn Lời giải Từ giả thiết ta thấy xn > 0, ∀x ≥ Ta có: xn − xn−1 = = x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 x2n−1 + 4xn−1 − xn−1 2 = − xn−1 2xn−1 x2n−1 + 4xn−1 + xn+1 > 0, ∀n ≥ Do (xn ) dãy tăng Giả sử limxn = a suy a>0 a = (vô lí) Vậy limxn = +∞ 69 √ a2 + 4a + a ⇔a=0 Từ xn = x2n−1 + 4xn−1 + xn−1 , ∀n ≥ 2 1 suy ra:x2n = (xn + 1)xn−1 suy ra: = − , ∀n ≥ xn xn−1 xn n 1 1 1 1 Suy ra: yn = ∑ = + − + − + + − x1 x2 x2 x3 xn−1 xn x1 i=1 xi 1 − = − , ∀n ≥ x1 xn xn Do đó:limyn = = + x21 Bài toán Cho dãy (un ) có số hạng đầu u1 = 2010 thỏa mãn điều kiện: u2n + 2009un − 2011un+1 + = 0, với n ∈ Z∗ 1 + + + Đặt Sn = u1 + 2010 u2 + 2010 un + 2010 Tính giới hạn Sn n dần đến vô Lời giải un + 2009un + ⇔ un+1 − = 2011 (un − 1)(un + 2010) 1 un + 2009un + − ⇔ un+1 − = ⇔ = − 2011 2011 un + 2010 un − 1 1 Khai triển ước lượng ta có: Sn = + + + = un+1 − u1 + 2010 u2 + 2010 un + 2010 1 − u1 − un+1 − (un − 1)2 ≥ 0, ∀n ∈ Z∗ suy dãy số:(un ) tăng suy ra: Mặt khác ta có:un+1 − un = 2010 2010 = u1 < u2 < u3 < < un Giả sử a giới hạn dãy, theo điều kiện ta có: a2 +2009a−2011a+1 = suy a=1[...]... tập số thực ta có: Nếu f (x) là ánh xạ co trên R thì dãy số x0 = a ∈ R {xn }xác định bởi hội tụ xn+1 = f (xn ) 14 Chương 2 Một số lớp bài toán về dãy số 2.1 Lớp bài toán có tính chất số học của dãy Trong mục này tác giả sẽ đưa ra các bài toán về dãy số với các yêu cầu có tính chất số học và các bài toán dãy số giải được bằng phương pháp số học Trước tiên ta đi xét một số bài toán về dãy nguyên Dãy số. .. là một số chính phương với n ≥ 1998 Bài 8 Cho dãy (an ) sao cho a1 = 43, a2 = 142, an+1 = 3an + an−1 Chứng minh rằng (an , an+1 ) = 1 Chứng minh rằng với bất kỳ m ∈ N tồn tại vô hạn số n sao cho: m|UCLN(an − 1, an+1 − 1) 2.2 Lớp các bài toán dãy số có bản chất đại số Lớp các bài toán dãy số có bản chất đại số thường là các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số, tính tổng các số hạng của một. .. nguyên Dãy số nguyên là một phần quan trọng trong lý thuyết dãy số Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên các bài toán về dãy số nguyên còn quan tâm đến tính chất số học của dãy số như chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng Trong nhiều trường hợp, dãy số chỉ là cái bề ngoài,... một dãy số Với loại toán này, chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như: 1) Các công thức về cấp số cộng, cấp số nhân 2) Phương pháp phương trình đặc trưng để giải các phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng (thuần nhất và không thuần nhất) Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số ở loại này là bằng các biến đổi đại số, đưa bài toán về các bài toán quen thuộc, tính toán. .. ra một số đề toán về dãy dựa theo theo một số đặc trưng của hàm như sau: 1 Dựa theo đặc trưng của hàm tuyến tính f (x) = ax là f (x + y) = f (x) + f (y) Chuyển sang bài toán dãy sẽ là: Xác định dãy (un ) biết um+n = um + un , với mọi số nguyên không âm m, n (m ≥ n), u1 = a = 0 2 Dựa theo đặc trưng của hàm lũy thừa f (x) = xk , x > 0 là f (xy) = f (x) f (y) Chuyển sang bài toán dãy sẽ là: Xác định dãy. .. xét :- Do dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số Ta có thể giải bài toán trên bằng cách cách sử dụng phương trình hàm như sau: 25 1 Chuyển dãy về hàm, ta có: f (x + y) + f (x − y) = ( f (2x) + f (2y)), f (1) = 1 2 Cho x=y ta được f (0) = 0 Cho y=0 ta được: f (2x) = 4 f (x) Từ đây suy dễ dàng suy ra f (x) = x2 Do vậy: an = n2 Như vậy: Ta có thể chuyển bài toán từ dãy về hàm và giải bài toán đó... quy nạp toán học Trong một số bài toán, phép thế lượng giác sẽ rất có ích Ta bắt đầu đi từ bài toán thi HSG của đất nước Mỹ năm 1993: Bài toán 1(Putnam 1993 [11]) Cho dãy các số thực thỏa mãn điều kiện: a2n − an−1 an+1 = 1, ∀n ≥ 1(1) CMR tồn tại các số thực m sao cho: an+1 = man − an−1 , ∀n ≥ 1(2) an+1 + an−1 phân tích: Từ kết luận ( 2)ta suy ra:m = an an+1 + an−1 Ta cần chỉ ra tồn tại m tức là dãy: không... = 1 Vậy số hạng tổng quát của dãy (an ) là: √ √ an = (5 − 2 6)n + (5 + 2 6)n , với mọi n ∈ N 2 Dễ dàng chứng minh được bằng phương pháp quy nạp toán học Nhận xét: Từ các bài toán trên ta phát triển thành bài toán tổng quát sau: Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện: a2 = b + 1 Dãy số {un } xác định như sau: u0 = 1, un+1 = aun + đều nguyên bu2n − c Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên Lời... minh rằng mọi số hạng của dãy số trên Lời giải bài toán tổng quát này tương tự bài toán 4 Như vậy từ bài toán tổng quát này ta có thể sáng tác ra một hệ thống các bài toán bằng cách cho a,b,c các giá trị cụ thể 20 Bình luận:Các hệ thức truy hồi trong các bài toán 4 và 5 đều gợi cho chúng ta đến với phương trình Pell Quả thật là có thể xây dựng hàng loạt dãy số tương tự bằng cách xét phương trình Pell... là dãy hằng Vậy ta an−1 hãy cho bn là một dãy hằng vối số hạng tổng quát khác thì ta được một bài toán α an + β an−2 suy ra bn = bn+1 suy ra giả thiết sẽ được thay mới Ví dụ cho bn = an−1 a2 − an−1 an+1 α = thế bằng: n2 β an−1 − an an−2 α Hay un+1 = un , với un+1 = a2n − an−1 an+1 Tức là (un ) là cấp số nhân với công β α bội là β α Suy ra bài toán mới: Cho (un ) là cấp số nhân với công bội là Dãy