Đại học Quốc gia Hà Nội Trờng Đại học khoa häc tù nhiªn Trịnh Tuân Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận tích chập suy rộng phép biến đổi I luận án Tiến sĩ Toán học Hà Nội - 2009 Trịnh Tuân Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận tích chập suy rộng phép biến đổi I Chuyên ngành: Toán Giải tích Mó số: 62.46.01.01 Tập thể hớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo GS TSKH Nguyễn Văn Mậu luận án Tiến sĩ Toán học Hà Nội - 2009 Mục lục Danh mục kÝ hiÖu Danh mục hàm hàm đặc biệt Mở đầu 13 Chơng : Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận 25 1.1Hàm dạng I với nhiỊu ®èi sè ma trËn 25 1.2TÝch chËp ®èi víi phÐp biÕn ®ỉi M 41 KÕt luËn ch¬ng 45 Chơng : Phép biến đổi I tích chập suy rộng phép biến ®æi I 46 2.1PhÐp biÕn ®æi I 47 2.2TÝch chËp suy réng ®èi víi phép biến đổi I 53 Kết luận chơng 68 Chơng : Các tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev ngợc (K1), Fourier sine (Fs) cosine (Fc) 69 3.1Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân K1, Fs, Fc ứng dụng giải lớp hệ phơng trình tích ph©n 70 3.2TÝch chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fc, K1 ứng dụng giải số hệ phơng trình tích phân 82 KÕt luËn ch¬ng 97 KÕt luËn chung 98 Danh mục công trình công bố 100 Tài liƯu tham kh¶o 101 Danh mục kí hiệu ã N = {1, 2, } tập số tự nhiên; Z tập số nguyên ã R+ = {x|x > 0}: tập số thực dơng ã = i, i2 = −1 • (f ∗ g)(x): tÝch chËp cđa hai hàm f g ã (f g)(x): tÝch chËp cđa hai hµm f vµ g víi hµm träng γ(x) k • (f ∗ g)(x): tÝch chËp cđa hai hàm f g theo số k ã F : phép biến đổi tích phân Fourier + (Ff )(y) = √ 2π − ∞ dx, y R f iyx (x)e ã Fc: phép biến đổi tÝch ph©n Fourier cosine ∫ +∞ f (x) cos(xy)dx, y > (Fc f )(y) π = ã Fs: phép biến đổi tích phân Fourier sine ∫ +∞ f (x) sin(xy)dx, y > (Fsf )(y) = ã M : phép biến đổi tÝch ph©n Mellin +∞ ∫ f ∗ (x) = (M f )(y) = f (x)xy−1dx • M −1 : phép biến đổi Mellin ng- ợc c+i (M1g)(x) = 2πi ∫ c−i∞ g(s)x−sds • L: phÐp biÕn ®ỉi Laplace +∞ ∫ (Lf )(y) = e−xy f (x)dx c+i ã L1: phép biến đổi Laplace exyf (y)dy ngỵc c−i∞ −1 (L f )(x) = 2i ã (x1 + x )(.): phép biến đổi Laplace biÕn d¹ng 1 (xα Λ−1 x−α )f (x) = ∫ f ∗(s)x−sds + 2πi Γ(s + α) σ Re()> ã H : phép biÕn ®ỉi Hilbert +∞ ∫ (Hf )(y) = f (x) dx xy ã H1: phép biến đổi Hilbert ngỵc ∫ (H −1 f )(x) = +∞ f (y) dy π−∞ x − y • S : phÐp biÕn ®ỉi +∞ ∫ Stieltjes (Sf )(y) = f (x ) dx x+y • K : phÐp biÕn ®ỉi Kontorovich - Lebedev +∞ ∫ (Kf )(y) = Kix(y)f (x) dx,y > 0 ã K1 phép biến đổi Kontorovich - Lebedev ngợc + x −1 ∫(K f )(x) = Ki (y) y f (y)dy, x > π2 x sh(πx) ®ã Kix hàm Macdonald ã Phép biến đổi M : Mρ(f ) = m+1 (det Z)ρ− 2f (Z)dZ, Z>0 ®ã Re −1 m ρ> (Gf )(x) =Gm n • PhÐp biÕn ®ỉi G Σ pq ∫ (α)1,p Σ f (t) (x) (β)1,p ψ(s)f ∗(s)x−sds m n i Meijer, đóp G hàm G q σ = ,s ∈ C : Re(s) = ,, ™ n ™ p; ™ m ™ q; vµ m Γ(βj2+ n Q s) Q Γ(1 − αj − s) j= ψ(s) = j= = p1 j=Qn+1 1q Γ(αj + s) j=Qm Γ(1 − βj − s) +1 f biến đổi Mellin f Re(β ) > 0, j = 1, m; − Re(αj) > 0, j = 1, n Re(αj) + > 0, j = n + 1, p; +j 2 0, m + 1, q ã Tích phân Mellin - Barnes xác định nh sau: γ+i∞ ∫ f (z) = γ−i∞ πi − Re(βj) > Γ(a1 + A1s) Γ(an + Ans) Γ(c1 + C1s) Γ(cp + Cps) Γ(b1 − B1s) Γ(bn − Bns) s × Γ(d1 − D1s) Γ(dq − Dqs) z ds thực, Aj, Bj, Cj, Dj dơng ã L(R+) = {f (x) : +∞ ∫ |f (x)|dx < +∞} +∞ ∫: • L(R+, δ(x)) = {f (x) |δ(x)||f (x)|dx < +∞} : kh«ng gian víi träng δ c, γ 2π σ , , −1 • M (L) = f (x) : f (x) = ∫ f ∗ (s)x−s dsΣ cđa γ ∗ choπc|s| víi σ = s Re s = vµ f ∗(s) lµ phÐp biÕn ®ỉi Mellin f (x) vµ |s| f (s)e ∈ L(σ) Nhờ Ã) ( tồn tích chập (· ∗γ )L(R kh«ng gian ) dÉn c ·∗ · + ®Õn g(x) ∈ F L(R+) DƠ dàng kiểm tra f , g xác định nh nghiệm hệ phơng trình (3.2.24) - (3.2.25) Mệnh đề đợc chứng minh xong Nhận xét 3.2.1 Trong số kết đà biết [14, 35, 47, 50, 51, 53, 54, 55, 56], tích chập đợc xây dựng trớc có đặc điểm đẳng thức nhân tử hóa có phép biến đổi tích phân tham gia phép biến đổi tích phân theo sè thuéc cïng mét hä tham gia C¸c tÝch chËp suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân K1, Fs, Fc đợc xây dựng khác hoàn toàn với tích chập đà biết trớc chỗ đẳng thức nhân tư hãa cđa chóng cã nhiỊu phÐp biÕn ®ỉi tÝch phân khác tham gia Các tích chập suy rộng không giao hoán không kết hợp Những hệ phơng trình tích phân đợc xây dựng nhằm mục đích minh họa cho ứng dụng tích chập suy rộng nhận đợc Các mệnh đề đợc phát biểu sau hệ phơng trình tích phân đà khẳng định tồn nghiệm hệ không gian hàm L(R+) cho cấu trúc nghiệm dới dạng đóng, biểu diễn thông qua tích chập suy rộng tích chập, tích chập suy rộng đà biết trớc Cần phải nhấn mạnh hệ phơng trình tích phân giải đợc công cụ tích chập suy rộng nhận đợc Kết luận chơng Kết chơng chơng là: ã Xây dựng đợc ba tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân (Fs, K1, Fc); (Fc, K −1, Fs); (Fc, K −1) cïng víi c¸c tÝnh chÊt cđa chóng cịng nh mét sè mèi liªn hệ với tích chập đà biết ã ứng dụng tích chập suy rộng vào giải số hệ phơng trình tích phân kiểu tích chập suy rộng, nghiệm nhận đợc dới dạng đóng 97 Kết luận chung Những kết luận án Xây dựng đợc hàm dạng I với nhiều đối số ma trận, từ nghiên cứu tính chất chúng Xây dựng đợc tích chập phép biến đổi M hai hàm f, g với nhiều đối số ma trận, ứng dụng để giải phơng trình tích phân kiểu tích chập Xây dựng phép biến đổi I , không gian hàm cho tồn phép biến đổi này, nhận đợc phép biến đổi ngợc chứng minh đợc ánh xạ đồng phôi không gian Từ ®i x©y dùng tÝch chËp suy réng ®èi víi phÐp biến đổi I I1, nghiên cứu tính chất chúng Trong trờng hợp đặt biệt tham số rk = ri = rj = Nhận đợc đẳng thức nhân tử hóa với tham gia phép biến đổi H I Xây dựng thí dụ minh họa cho tồn tich chập suy rộng phép biến đổi I I1 không gian hàm , nhờ số hàm đặc biệt khác mà nhận đợc liên hệ tích chập với trờng hợp số k = 3, 4, 5, Chọn ba phép biến đổi tích phân Fs, K1, Fc để xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng ba phép biến đổi tích phân nh trờng hợp áp dụng cho lí thuyết tổng quát chơng chơng Nghiên cứu tồn tích chập suy rộng Đặc biệt ứng dụng tích chập vào giải số lớp hệ phơng trình tích phân kiểu tích chập Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu điều kiện tồn hàm dạng I với nhiều đối số ma trận, chí trờng hợp riêng hàm H với nhiều đối số ma trận Xây dựng phép biến đổi tích phân cho lớp hàm I nhiều biến số hàm dạng I nhiều biến số, từ nghiên cứu tích chập suy rộng theo 98 99 số phép biến đổi tích phân nh đa chập Với tích chập suy rộng (f g) ba phép biến đổi tích phân Fs, K1, Fc ta cố định hai hàm f g để nghiên cứu phép biến ®ỉi tÝch ph©n kiĨu tÝch chËp suy réng cịng nh đa chập ba phép biến đổi tích phân Đặc biệt ứng dụng tích chập suy rộng cho nhóm phép biến đổi tích phân Fs, K1, Fc để giải số lớp phơng trình tích phân với nhân Toeplitz + Hankel dới dạng nghiệm đóng Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận án đà đợc công bố Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2003), On the Generalized Con- volution for I-transform, Acta Mathematica Vietnamica Vol.28, No 2, 159-174 Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2004), Basic Analogue of I− Function of Several Matrix Arguments Vietnam Journal of Mathemat- ics Vol 32, No 4, 419 - 431 Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2005), On the Generalized Convolutions of the Integral Kontorovich - Lebedev, Fourier sine and cosine Transforms, Annales Univ Sci Budapest, Sect Comp Vol 25, 37-51 Trinh Tuan (2007), On the generalized convolution with a weight function for the Fourier Cosine and the Inverse Kontorovich - Lebe- dev integral tranformations Nonlinear Functional Analysis and Appli- cations Korea Vol.12, No.2, 325 - 341 100 Tµi liƯu tham kh¶o [1] M Abramowitz and I A Stegun (1964), Handbook of Mathematical Func- tions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Nat Bur Stan appl Math Ser 55 [2] N I Achiezer (1965), Lectures on Approximation Theory, Science publish- ing House, Moscow H-function with complex param- eters: Existence Internat J Math Math Sci 25 (2001), [3] F Al-Musallam and Vu Kim Tuan (2001), no 9, 571-586 [4] H Bateman and A Erdelyi (1953), Higher Transcendental Functions, Mc Graw-Hill, New York, [5] H Bateman and A Erdelyi (1954), V.1 Tables of Integral Transforms, Mc.Graw- Hill, New York, V.1, [6] R G Buschman (1978), H-function of two variables I, Indian Math J 20, 139-153 [7] R G Buschman (1979), H-function of N - variables , Ranchi Univ Math J 10, 81-88 [8] Yu A Brychkov, H J Glaeske and O I Marichev (1983), Factorization of integral transformations of convolution type, Itogi Nauki i Techniki Math Anal VINITI V.21, 3-41 (In Russian) G and H-functions as symmetrical Fourier kernels, Tran Amer Math Soc 98, 395 429 [9] C Fox (1961), The [10] G Gasper, M Rahman (1990), Basic Hypergeometric Series, Cambridge University Press [11] W Hahn (1949), Beitrage zur theorie der Heineschen Reihen, q-Differenzenleichung, Das q-analogen der Laplace transformation, Math Nachr 2, 340-Die 24 in- tegrale der hypergeometrischen 379 101 19 [12] Nguyen Thanh Hai, O I Marichev and R.G Buschman (1992) Theory of H - function of two variables Rocky the general Mountain J of Math Vol 22 N 1317 [13] I I Hirchman and O V Widder (1955), Transforms, Princeton, New [14] 1327 The Convolution Jersey V A Kakichev (1967), On the convolution for integral transforms, Izv AN BSSR, Ser Fiz Mat N.2, 48-57 (In Russian) [15] V A Kakichev, Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hai (1996), Compo- sition method to constructing concoluions for the integral transform Integr Trans Special Func V 235 - 242 [16] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1994), On the generalized convolu- tion for H-transforms, Izv Vuzov Mat No 8, 21-28 (In Russian) [17] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1998), On the design method for the generalized integral convolution, Izv Vuzov Mat, No.1, 31-40 (In Russian) [18] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (2000), A basic analogue of the H - function of one and two variables, Izv Vuzov Mat 28-34 [19] Y L Luke (1969), The Special Functions and their Aproximations Vol I and II Academic Press New York Handbook of Integral Transforms of Higher Tran- scendental Functions Theory and Algorithmic Tables [20] O I Marichev (1983), New York [21] O I Marichev and Vu Kim Tuan (1985), The factorization of G-transform in two spaces of functions Complex Anal and Appl Varna 418 - 433 [22] A M Mathai and R K Saxena, (1973) Generalized Hypergeometric Func- tions with Applications in Statistics and Physical Sciences, Lecture Heidelberg and New York Notes No 348 Springer-Verlag, [23] 19 A M Mathai (1993), Lauricella function of real symmetric positive definite matrices Indian J Pure Appl Math 24, 513-531 [24] A M Mathai (1995), Special function of matrix arguments -III Proc Nat Acad Sci India A 65, 367-393 [25] A M Mathai and R K Saxena (1978), Applications in Statistics and Other Discipline , The H-Function with Wiley Fastern Limited, New Delli Ban- galore Bombay [26] Nielsen Niels (1906), funktion B C Teubner, [27] Handbuch der Theorie der Gamma- Leipzig A P Prudnikov, Yu A Bruchkov and O I Marichev (1986), Integral and Series, V.3: More Special Functions, Gordon and Breach Science Publish- ers, New York [28] M Saigo and S B Yakubovich (1991), On the theory of convolution integrals for G-transforms, Fukuoka: Univ Sci Report 21, 181-193 Integral and Derivative of Fractional Order and Several Their Application , Minsk [29] S G Samko, A A Kilbas and O I Marichev (1987), (In Russian) [30] R K Saxena (1982), Formal solution of certain new pair of dual integral equations involving Sect A, No 52, 366 [31] 375 R K Saxena, R A Kumar (1995), A basic analogue of generalized [32] H− functions Proc Nat Acad Sci India H - function, Matematiche 50, 263-271 R K Saxena, R A Kumar, (1990), Certain finite expansions associated with a basic analogue of G - function Rev Tec Ing Univ Zulia V 13, 111 - 116 [33] R K Saxena, G C Modi, and S L Kalla (1983), A basic analogue of Fox's H-function, Rev Tec Ing Univ Zulia 6, 139-143 [34] I N Sneddon (1951), Fourier Transform, McGray Hill, New [35] H and M convolution Srivastava theorem for Vu the Kim Tuan Stieltjes (1995), transform A and York new its application to a class of singular integral equation, 64, 144-149 Arch Math H - function of Several Matrix Arguments Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki [36] Nguyen Xuan Thao (1999), Basic analogue of N 12 12-17 (Russian) [37] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa (2004), On the generalized convolution with the weight function for the Fourier cosine and sine transforms Fract Cal and Appl Anal Vol 7, No.3, 323 - 337 [38] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2005), On the generalized con- volution with a weight function for the Fourier, Fourier cosine and sine transforms Vietnam J Math 33 Vol.4, 421 - 436 H-function of matrix argument, Vestnik, Nov GU Ser.: Estestv and Tehn Nauki 10, 102-106 (in [39] Nguyen Xuan Thao (1998), Russian) [40] Nguyen Xuan Thao (2001), On the generalized convolution for Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, Ukr Mat J 53, 560-567 (In Russian) [41] Nguyen Xuan Thao, V A Kakichev and Vu Kim Tuan (1998), On the gen- eralized convolution for Fourier cosine and sine transforms, [42] East-West J Math 1, Nguyen Xuan Thao and 85-90 Nguyen Thanh Hai (1997), Convolution for integral transform and their application, Russian Academy, Moscow [43] Nguyen Xuan Thao (1999), A basic analogue of the I-function of two vari- ables, [44] Volin Mat Visn 102-106 Nguyen Xuan Thao (2000), A basic analogue of the of several variables, [45] H-function Mat Zamet 67, 738-744 E C Titchmarch (1937), Integrals, Oxford Univ Press, Introduction to Theory of Fourier Oxford [46] Vu Kim Tuan (1987), Integral Transforms and Their Composition Structure Dr Sci Dissertation Minsk, 275 p [47] Vu Kim Tuan and M Saigo (1995), Convolution of Hankel transform and its applications to an integral involving Bessel function of first kind, Int J Math and Math Sci V 18, N 2, 545-550 [48] Vu Kim Tuan (1992), On criteria of convergence for double Mellin - Barnes integral Vesci AN Belorussian, Fiz - Mat [49] F G Tricomi (1957), and London [50] 25-31 Integral Equations, Inter Publ New York F G Tricomi (1951), On the finite Hilbert transform, Quart J Math , 199-211 [51] N Ya Vilenkin (1958), The matrix elements of irreducible unitary repre- sentations of a group of Lobacevskiii space motions and the generalized Fok- Mehler transformation, Dokl Akad Nauk SSSR, 118, 219–222 (In Russian) Special Functions of Mathematical Physics: A Unified Introduction with Applications Birkhauser Verlag [52] F Nikiforov, B Uvarov (1988), Basel [53] S B Yakubovich (1990), On the construction method for construction of integral convolutions, [54] DAN BSSR 34, 588-591 S B Yakubovich and A I Mosinski (1993), Integral equations and con- volutions for transforms of Kontorovich-Lebedev type, Diff Uravnenia 29, 1272-1284 [55] S B Yakubovich and Nguyen Thanh Hai (1991), Integral convolutions for H-transforms, Izv Vuzov Mat No.8, 72-79 [56] S B Yakubovich (1987), On the convolution for KontorovichLebedev inte- gral transform and its application to integral transform, [57] Dokl Akad Nauk BSSR 31, 101-103 (in S B Yakubovich (1996), Index Transforms, Russian) World Scientific Publishing Company, Singapore, New Jersey, London and Hong Kong, 248 p ... dựng đợc hàm dạng I v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận, không xây dựng đợc phép biến đ? ?i cho hàm dạng I mà xây dựng đợc phép biến đ? ?i cho hàm I biến số (lớp hàm hẹp lớp hàm dạng I v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận) ... đợc phép biến đ? ?i tích phân cho lớp hàm I nhiều biến số, hàm dạng G hàm dạng H (trờng hợp riêng hàm dạng I v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận) Sau xây dựng đợc phép biến đ? ?i I I1 nh tồn chúng không gian hàm. .. phép biến đ? ?i M v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận mở rộng hàm v? ?i đ? ?i số ma trận Mathai [24] Ta nhận đợc tích chập phép biến ®? ?i M cho hai hµm v? ?i nhiỊu ®? ?i sè ma trận Đây trờng hợp hàm thuộc lớp hàm dạng